2012年华约自主招生数学含答案以及详解)
2012华约 高校自主招生数学试题及解答
x2n
(x+2n+1),
(2n 1)!
f 2 n 1 (2n
1) =
f2n1(2n 1)
=…=
f1(2 n1) <0
故 f2n1(x) =0 有唯一一个解，记为 x2n1 ∈(-2n-1,0)
又
f
2n
2
(
x
)
=
f2n1(x) ，
f2n2 (x)
在(-∞,
x2n1 )上单调减，在( x2n1 ,+∞)上单调增
A. 0 ；
B.1 ；
C. 1 ；
D. 2
5.若正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最大元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差
为 k 的等差数列,则并集 A17 A59 中的元素个数为
A.119；
B.120；
C.151；
D.154
6.三角式
1 cos 0f2n1 (x2n1 ) <0= f2n1 (x2n1 ) , f2n1 (x) 单调增， x2n1 x2n1
总之，当 n 为偶数时,方程 fn (x) 0 无解;当 n 为奇数时,方程 fn (x) 0 有唯一解 xn ,且
xn2 xn .
15 3
7
13.【简解】如图，cosB= = ,cosC=
n0
n1
n2
k
k 1
k 2
= C2nk 1 (1 p)n p 2k 1n +2 C2nk 1 (1 p)n1 p 2k n + C2nk 1 (1 p)n2 p 2k 1n
n0
n0
n0
k
=
C2nk 1 (1
p)n
p
2012年华约自主招生数学试题参考解答
1 2 1 2
A, B, C, D 与 F11 , F12 ,..., F21m , F22m 之间的比赛我们安排如下：
ABC , BE R† AC u E , CD R† AB u D , BC = 25, CE = 7 , u: H , ë •Ý . DE , ± DE •†»x ,T † AC
BD = 15 . e BE, CD u,˜: F , ¦ AF )‰. ë
3 7 DF , Kk DF R† AC . d®•^‡k cos B = , cos C = ,¤ 5 25 4 24 ± sin B = , sin C = . u´ 5 25 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + sin C cos B = Ï d ∠A = ∠B , = ABC • n 4 = sin B , 5 AC =
2. 当 l m 的时候结论成立，那么 l m 1 的时候，假设这 4m 5 位选手为
A, B, C, D, E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m ，由归纳假设，可以安排 E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m 之间的比赛，使得他们之间每两位选手作为队友恰好只参加
Ïd
p
1 ž , {pk } 4O ; 2
p
1 ž , {pk } 4~ . 2
2. ® • fn (x) = 1 + x + fn (x) = 0 Ã) ,
2010-2012“华约”自主招生数学试题和参考解答-2
2010年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为（ ）． （A ）n/3 （B ）n/4 （C ）n/6 （D ）n/84．正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（ ）．（A ）1:6 （B ）1:5 （C ）1：4 （D ）1:3 5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=， 则tantan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B（C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
2012华约自主招生考试数学试题
2012年华约自主招生考试数学试题一、选择题1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（ ）A 、⎛ ⎝⎭B 、12⎛ ⎝⎭C 、()0,1D 、⎫⎪⎪⎝⎭2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前，蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ）A 、36B 、60C 、90D 、1203. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（ ）A 、α<β<θ<γB 、α<β<γ<θC 、α<γ<β<θD 、β<α<γ<θ4. 向量e α≠，1e =，若对t R ∀∈，te e αα-≥+，则（ ）A 、e α⊥B 、()e αα⊥+C 、()e e α⊥+D 、()()e e αα+⊥-5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω+在复平面内对应的点的轨迹（ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（ ）A 、11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C 为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（ ）A 、12BCD 、348. 已知锐角ABC ∆，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BECD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、119. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（ ） A 、0B 、lg 32C 、lg2D 、lg310. 已知610i x -≤≤（1,2,,10i =），10150i i x ==∑，当1021i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4二、解答题 11. 三角形ABC 中，22sin 1cos22A B C +=+， （1）求角C 大小； （2）22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值．12. 点P 在y 轴上的投影为H ，若()2,0A -，()2,0B ，22AP BP PH ⋅=．（1）求点P 的轨迹；（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于M 、N 两点，MN 的中点为R ，求过R 与()0,2Q -的直线斜率的取值范围．13. 系统内每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．（1）某系统配置21k -有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率k P ，并讨论k P 的单调性；（2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性． 14. 已知2()12!!n n x x f x x n =++++（n N *∈），求证：当n 为偶数时，()0n f x =无解；当n 为奇数时，()0n f x =有唯一解且2n n x x +<．15. 乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求n的所有可能值并每个给一种比赛方案．16.。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(二)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。
2012年自主招生考试数学试卷1
2012年高中自主招生考试理综试卷注意事项：1. 本试卷由数学、物理及化学三部分构成，数学1—8页；理化9—12页； 2．分值设置：数学100分，物理40分，化学40分，共180分； 3．考试时间：数学、物理及化学同场考试，时间为150分钟.4．答卷前，务必将自己的姓名、考号用钢笔（圆珠笔）写在每张试卷密封线内相应的位置上.5．考试结束后，考生须将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷一并交回．数学部分第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分. 1. 下列运算正确的是A ．236(2)8a a -=-B ．3362a a a +=C ．632a a a ÷=D ．3332a a a ⋅= 2. 若某三角形的两边长分别为6和8，则下列长度的线段能作为其第三边的是A ．2B ．10C ．14D ．163．实数aA . 7B . -7C . 2a -15D . 无法确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别 在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标 为（0，4），则圆心M 的坐标为A ．（25，﹣2） B ．（25-，2） C ．（﹣2，25）D ．（2，25-）（第3题图）（第4题图）5. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i =1i =1∶1，则两个坡角的和为A ．o 60B ．o 75C ．o 90D ．o 1056．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 A ．9B ．10.5C ．12D ．157. 如图，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1）， （2，2）两点．当21y y <时，x 的取值范围是 A ．x ＞-1 B ．-1＜x ＜2 C ．x ＜2D . x ＜-1或x ＞28．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的 面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是(第6题图)(第7题图)A BCDEF PA ．B ．C ．D ．Ａ ＦＣＤＢＥ （第12题图）2012年高中自主招生考试数 学 试 卷总 分 表选择题答题表第Ⅱ卷 （非选择题 共76分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将结果直接填写在每题的横线上. 9．分解因式：2224xy xy y -+-= .10．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．11．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm ，则此扇形的面积是 2cm （结果保留π）． 12．如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF是正方形.其中错误的是 （只填序号）. 13．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则直线y kx b =+的解析式为 .B n 的坐标是 ．三、解答题：（本大题共8个小题，满分61分）14.（本题满分5分）化简：22222369x y x y yx y x xy y x y --÷-++++．15.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．16.（本题满分6分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A，进行下一轮比赛的概率是多少？17.（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．EADB C18.（本题满分8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA =CB ，CD ∥AB 与OA 的延长线交于点D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若∠ACB =120°，OA = 4，求CD 的长．19.（本题满分8分）如图，已知菱形OABC 的边长为6，O 点为坐标原点，C 点在x 轴上，D 为BC 边的中点，双曲线y =xk(k >0)经过A 、D 两点. （1）求反比例函数y =xk的解析式； （2）若点P 为x 轴上一点，且满足PD =AD ，求出点P 的坐标.ABC DO20．（本题满分10分）为迎新年，某公司用10台机器生产A、B两种不同的龙年吉祥玩具，每台机器只生产其中一种玩具，每天所需生产原料总数不超过950千克，每天生产的B种玩具不小于A种玩具的件数，每天连续工作10小时.下表是这种机器生产不同玩设生产A种玩具的机器x台，则生产B种玩具的机器有（10-x）台.（1）求x的取值范围.（2）若A种玩具每2件包装成一盒，B种玩具每4件包装成一盒，每天生产的各种玩具恰好包装完．．．．．.A种玩具每盒可获利5元，B种玩具每盒可获利6元.(包装了才能销售)怎样安排机器生产使每天生产玩具获利最大.（3）若用6台机器生产A种玩具，4台机器生产B种玩具，且将A种玩具2件，B种玩具4件混合包装成一盒，这样安排后，每天生产出来的玩具不能成套包装的有多少件？21．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2012年高中自主招生考试数学模拟试卷3
2012年高中自主招生考试数学模拟试卷3参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）如果a＞b，且c为实数，那么下列不等式一定成立的是（）A．a c＞bc B．a c＜bc C．a c2＞bc2D．a c2≥bc2考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质分析判断．解答：解：c是正是负无法确定，根据不等式的基本性质，A、B式无法判定；c为实数，则c2≥0，根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以c 为0时ac2=bc2，c为不等于0的任何实数时，ac2＞bc2成立，所以一定成立的是ac2≥bc2；故D成立．故选D．点评：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．注意实数包括0在内．2．（3分）若n为整数，则能使也为整数的n的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：分式的值；分式的加减法．专题：计算题．分析：原式=1+，则n﹣1的值，一定是±1或±2．就可以求出n的值．解答：解：当n=0时原式等于﹣1；n=2时原式等于3；n=3时原式等于2；n=﹣1时原式等于0．故选D．点评：此题主要考查分式的基本概念和性质，难易程度适中．3．（3分）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．9考点：二次根式的性质与化简．分析：把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．解答：解：∵原式===∴当（a﹣3）2=0，即a=3时代数式的值最小，为即3故选B．点评：用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．4．（3分）抛物线y=2x2是由抛物线y=2（x+1）2+2经过平移得到的，则正确的平移是（）A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位考点：二次函数图象与几何变换．分析：只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．解答：解：新抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），原抛物线y=2（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）所以是先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．故选A．点评：讨论两个二次函数的图象的平移问题．5．（3分）在平面内有线段AB和直线l，点A、B到直线l的距离分别是4cm、6cm．则线段AB的中点C到直线l的距离是（）A．1或5 B．3或5 C．4D．5考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理．专题：分类讨论．分析：本题要分两种情况讨论：线段AB分别在直线同侧和异侧．同侧时，只需根据梯形的中位线定理进行计算；异侧时，综合运用梯形的中位线定理和三角形的中位线定理进行计算．解答：解：（1）线段AB在直线l的同侧：∵AN=4，BM=6，AN∥BN∥CD，C为AB的中点，∴CD=（AN+BM）=（4+6）=5（cm）；（2）线段AB在直线l的异侧：连接NB，AM．延长CD交AM于E，反向延长CD交BN于F．∵CD⊥NM，C为AB的中点，∴EF为梯形AMBN的中位线．∴EF=（AN+BM）=（4+6）=5．在△ABN中，CF为中位线，∴CF=AN=×4=2．同理，在△AMN中，CD=AN=×4=2．故CD=EF﹣CF﹣ED=5﹣2﹣2=1（cm）．故选A．点评：本题涉及到三角形和梯形的中位线定理，在解答时要注意线段AB在直线同侧和异侧两种情况讨论．6．（3分）（2003•泰州）在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：相似三角形的判定．专题：动点型．分析：过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角就可以．解答：解：过点P作AB的垂线，或作AC的垂线，作AB的平行线，作∠PDC=∠A．故选D．点评：本题主要考查三角形相似的条件，有两个角相等的三角形相似．7．（3分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈考点：弧长的计算；等边三角形的性质．分析：根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C 选择．解答：解：设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C，则这个圆共转了4C÷C=4圈．故选A．点评：注意正确分析圆所走过的路程，可以画出圆心所走过的路程．二、填空题：8．（3分）的绝对值是．考点：实数的性质．分析：首先比较跟2的大小关系，然后根据绝对值的代数定义即可求解．解答：解：因为 1.732，所以＜0，则的绝对值是2﹣．点评：此题主要考查了实数的绝对值，对绝对值的代数定义应熟记：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．此题的关键是确定是负数．9．（3分）写出一条经过第一、二、四象限，且过点（﹣1，3）的直线解析式y=﹣x+2．考点：一次函数的性质．专题：开放型．分析：先设出一次函数的解析式，再把点（﹣1，3）代入函数解析式求出﹣k+b满足的条件，根据此条件写出一条经过第一、二、四象限的直线解析式即可．解答：解：设此函数的解析式为y=kx+b，∵函数图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∵函数图象过点（﹣1，3），∴﹣k+b=3，∴可令k=﹣1，则b=2，故解析式可为y=﹣x+2．点评：此题考查了一次函数的性质，有一定的开放性，只要根据条件推出符合题意的k、b的值即可，答案不唯一．10．（3分）（2007•宁德）若，则=．考点：等式的性质．专题：计算题．分析：根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．解答：解：根据等式的性质：两边都加1．则=，故填．点评：观察要求的式子和已知的式子之间的关系，从而利用等式的性质进行计算．11．（3分）一顶简易的圆锥形帐蓬，帐篷收起来时伞面的长度有4米，撑开后帐篷高2米，则帐篷撑好后的底面直径是米．考点：弧长的计算．分析：根据题意可知圆锥的母线长为4米，高2米和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径．解答：解：r===2，直径为4米．点评：主要考查了圆锥的特点．解此题的关键是要知道圆锥的母线，高和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径是一个常用的方法．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为5．考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理．分析：首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．解答：解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴BA=10，∴其外接圆的半径为5．点评：熟练运用勾股定理；注意：直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半．13．（3分）圆心在x轴上的两圆相交于A、B两点，已知A点的坐标为（﹣3，2），则B点的坐标是（﹣3，﹣2）．考点：相交两圆的性质；坐标与图形性质．分析：圆心都在x轴上的两圆是轴对称图形，对称轴是x轴，那么A，B两点也关于x轴对称为（﹣3，﹣2）．解答：解：∵两圆相交于A、B两点，且两圆的圆心都在x轴上，∴A、B两点关于X轴对称，∵A点的坐标为（﹣3，2），∴B点的坐标为（﹣3，﹣2）．点评：解决本题的关键是知道相交两圆的交点也关于对称轴对称．14．（3分）用长4cm，宽3cm的邮票300枚不重、不漏摆成一个正方形，这个正方形的边长等于60 cm．考点：二元一次方程组的应用．分析：先设出未知数，然后依题意：300枚的总面积等于正方形面积．列出方程求解．解答：解：设正方形边长为x．则4×3×300=x2，解得：x=60故填60．点评：此题涉及一元二次方程的知识，难度中等．15．（3分）如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？（将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：分别作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，然后连接A′B′，交HG、FG 于点M，N，再连接AM、BN，则白球A移动路线图可得．解答：解：（1）作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，（2）连接A′B′，分别交HG、FG于点M、N，（3）连接AM，BN，所以白球A的移动路线为A→M→N→B．点评：本题是考查了作图问题的应用与设计作图，利用轴对称的性质作出对称点是解题的关键，难度中等．16．（3分）有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：先根据题意画出树状图，从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有6种，共有8种等可能的结果，再根据概率公式求解即可．解答：解：用A、B分别表示两项不同的竞赛，如图所示：每项竞赛只许有两位学生参加的情况是AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，共6种，则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为=．故答案为：．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M 到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是16πcm．考点：弧长的计算．分析：作出辅助线得出△OMN≌△Q2OP，进而得出∠OPQ2=∠NOM=90°，得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，求出即可．解答：解：过M作MN⊥L于点N，过O作L的垂线交于点Q1，Q2，连接PQ2，则MN∥OQ2，∠M=∠MOQ2，∵OM=OQ2，MN=OP，∴△OMN≌△Q2OP，∴∠OPQ2=∠MNO=90°，∴点P在以OQ1为直径的圆上，同理点P在以OQ2为直径的圆上，从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，移动的路程为：2×8π=16π．故答案为：16π．点评：此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题，此题综合性较强得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆是解决问题的关键．三、解答题：18．（5分）．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1+9+3﹣9×=1+9+3﹣3=10．点评：此题主要考查了学生对零指数、负指数以及二次根式的化简与特殊的三角函数值掌握情况．19．（6分）（2005•常德）解方程：考点：解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：本题考查解分式方程的能力．因为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可得方程最简公分母为（x+1）（x﹣1）．再去分母整理为整式方程即可求解．结果需检验．解答：解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得6﹣3（x+1）=x2﹣1，整理得x2+3x﹣4=0，即（x+4）（x﹣1）=0，解得x1=﹣4，x2=1．经检验x=1是增根，应舍去，∴原方程的解为x=﹣4．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）分式方程去分母时不要漏乘常数项，本题要避免出现6﹣（x+1）=1的错误出现．20．（10分）将分别标有数字0，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．抽取一张作为百位上的数字，再抽取一张作为十位上的数字，再抽取一张作为个位上的数字，每次抽取都不放回．（1）能组成几个三位数请写出个位数是“0”的三位数．（2）这些三位数中末两位数字恰好是“01”的概率为多少．考点：列表法与树状图法．分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：树状图分析如下（5分）（1）能组成18个三位数．（6分）个位数是“0”的三位数有120，130，210，230，310，320．（8分）（2）末两位数恰好是“01”的概率为P=．（10分）点评：树状图法适用于两步或两步以上完成的事件，此题为三步完成的事件，选择树状图法最简单．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（12分）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．解答：解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，OA=OB=1，与x轴的正方向夹角为30°．求直线AB的解析式．考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：欲求直线AB的解析式，只要求出点A和点B的坐标，再根据待定系数法列方程组解答．解答：解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴D，在Rt△AOC中，OC=1×cos30°=，AC=×1=，∴A点坐标为（，），OD=1×cos60°=，DB=1×sin60°=，∴B点坐标为（﹣，），设解析式为y=kx+b，把（，），（﹣，）分别代入解析式得：，解得k=﹣2+，b=﹣1+，∴解析式为y=（﹣2+）x+（﹣1+）．点评：待定系数法：先设某些未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法，在求函数解析式时经常要用到．23．（12分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D，点P在BA的延长线上，且PC是圆O的切线．（1）求证：∠PCD=∠POC；（2）若OD：DA=1：2，PA=8，求圆的半径的长．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据切线的性质发现直角OCP，再根据等角的余角相等进行证明；（2）根据OD：DA=1：2，设OD=x，DA=2x，根据直角三角形的射影定理列方程求解．解答：解：（1）∵PC是圆O的切线，∴OC⊥PC．又CD⊥AB，∴∠PCD=∠POC．（2）设OD=x，DA=2x，根据两个角对应相等得到△PCO∽△CDO，则OC2=OD•OP，即9x2=x（8+3x），解得x=或x=0（不合题意，应舍去），则圆的半径是3x=4．点评：考查了切线的性质定理和直角三角形的射影定理．24．（12分）已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，动点P在⊙O2上，且在⊙1外，直线PA、PB分别交⊙O1于C、D，问：⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．考点：圆周角定理；三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系．专题：动点型．分析：连接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD 为定值，与P的位置无关．解答：解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关，证明：如图，连接AD，∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，∴∠ADP为定值，∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，∴∠P为定值，∵∠CAD=∠ADP+∠P，∴∠CAD为定值，∵在⊙O1中∠CAD对弦CD，∴CD的长与点P的位置无关．点评：本题为动态性题目，解答此题的关键是熟知圆周角与弦的关系，即在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等．25．（14分）已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计）①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）．考点：一次函数的应用．专题：应用题；图表型．分析：（1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，时间是两次之和（看横轴）；（2）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出EF的函数解析式就可以了，找到特殊点（9，0）和（10，45）用待定系数法可求出．解答：解：（1）依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行90千米；骑车人与客车总共相遇8次；（2）已知如图：设直线EF所表示的函数解析式为y=kx+b．把E（9，0），F（10，45）分别代入y=kx+b，得，解得，∴直线EF所表示的函数解析式为y=45x﹣405，把y=20代入y=45x﹣405，得45x﹣405=20，∴．答：时骑车人与客车第二次相遇．点评：本题考查了一次函数的应用：通过表格当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．此题比较复杂，首先是正确理解题意，这要求仔细观察图象，从图象中得到需要的信息，关键知道它们走的方向不同．此外还用到了待定系数法求函数解析式．26．（16分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0）（A在B的左边），且x1+x2=4．（1）求b的值及c的取值范围；（2）如果AB=2，求抛物线的解析式；（3）设此抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，问是否存在这样的抛物线，使△AOC和△BED全等，如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：开放型．分析：（1）由已知得：x1、x2是方程﹣x2+bx+c=0的两根，则△＞0，及根与系数关系可求b的值及c的取值范围；（2）由根与系数关系及AB=|x1﹣x2|，可求c的值；（3）根据图形的全等分两种情况，当OC=DE时和当OC=BE时，分别讨论．解答：解：（1）由已知得：x1、x2是方程﹣x2+bx+c=0的两根，∴△=b2﹣4•（﹣1）•c＞0，x1+x2=b，又x1+x2=4，∴b=4，c＞﹣4；（2）由（1）可得y=﹣x2+4x+c，x1+x2=4，x1•x2=﹣c，而AB=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，16+4c=4，解得c=﹣3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x﹣3；（3）存在；由（1）可得y=﹣x2+4x+c，∴C（0，c），D（2，c+4）；当OC=DE时，|c|=c+4，解得c=﹣2，当OC=BE时，AB=2OC，即|x1﹣x2|=2|c|，∴（x1﹣x2）2=4c2；16+4c=4c2解得c=或；满足题意的抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+，y=﹣x2+4x+．点评：本题考查了二次函数图象和x轴的交点与一元二次方程两根的关系，掌握用两根的表达式表示线段的长度，解决全等三角形的问题．。
2012年华约自主招生全真模拟_数学AAA(含答案以及详解)
1.1正数负数练习题1一﹑选择题 (共10个小题，每小题3分，共30分)1. 李华把向北移动记作“+”，向南移动记作“—”，下列说法正确的是（ ） A. —5米表示向北移动了5米 B. +5米表示向南移动了5米C. 向北移动—5米表示向南移动5米D. 向南移动5米，也可记作向南移动—5米 2. *下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100CB. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元 3. 下列说法错误的是（ ）A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B. 一个有理数不是整数就是分数C. 正有理数分为正整数和正分数D. 负整数、负分数统称为负有理数4.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）5.如图所示，点M 表示的数是（ ）A. 2.5B. 5.3-C. -25.D. 2.5 6. *6，2008，212，0，-3，+1，41-中，正整数和负分数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7. 若字母a 表示任意一个数，则—a 表示的数是（ ）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上情况都有可能 8.点A 为数轴上表示－2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B 时，点B 所表示的实数是 （ ）A 1B －６ Ｃ ２或－６ Ｄ 不同于以上答案第Ⅱ卷（非选择题）一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24）11.数轴上离表示-3的点的距离等于3个单位长度的点表示数是 .12.有理数中最小的非负数 ．最大的非正数是 ．13.在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是__ _点．14.小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．15.#如果全班某次数学测试的平均成绩为80分，某同学考了85分，记作+5分，得分90分和80分应分别记作_________________________．16.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg 、（50±0.2）kg 、（50±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 .17.小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的个数有 ．18.*神舟六号飞船于北京时间（UTC+8）2005年10月12日上午9:00在酒泉卫星发射中心发 射升空， 费俊龙和聂海胜两名中国航天员被送入太空。
“华约”自主招生试题及解答
“华约”自主招生试题解析一、选择题■1.设复数vv = (—)2,其中d为实数，若R的实部为2,则w的虚部为() 1 + /3 (A)——(B) -- (C)丄3(D)-2 2 222.设向量“”，满足\a\=^b\= \,a b=m ,则\a+tb\(t^R)的最小值为()(A) 2(B) y/l + m2(C) 1(D) Jl_屛3。
缺4。
缺A r5.在AABC中，三边长a.b.c ,满足“ + <? = 3/儿贝ij tan — tan —的值为()2 2(A) —(B) — (C) —(D)—5 4 2 36.如图，AABC的两条髙线AD、BE交于H ,其外接圆圆心为0 ,过O作OF垂直BC于F , OH 与AF相交于G,则△OFG与NGAH而积之比为()(A) 1:4 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 1:27.设/(x) = e at(«>0)・过点P(aO)且平行于y轴的直线与曲线C:y = f(x)的交点为曲线C过点Q的切线交X轴于点R ,则APQR的而积的最小值是()(A) 1 (B) —(C) - (D)—2 2 4X2 V2V2 V28.设双曲线G :r—— = k(d>2K>0)，椭圆G：r + — = 1・若G的短轴长与G的实轴长cr 4 4的比值等于c?的离心率，则G在c?的一条准线上截得线段的长为()(A) 2丿2 + «(B) 2 (C) 4J4 + R (D) 49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为〃种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则〃的最小值为()(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910.设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用o■表示空间以直线Q4为轴满足条件b(3) = C的旋转，用7•表示空间关于OCD所在平而的镜而反射，设/为过AB中点与CD中点的直线，用。
历年自主招生考试数学试题大全-2012年卓越联盟自主招生数学试题Word版
2012年名牌大学自主招生考试数学试题适用高校：北京理工大学、同济大学等十三校一、选择题1．正四面体的4个而上分别写若l ，2，3，4，将4个这样的均匀正四面体投掷于桌而上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是（ ）（A ）18 （B ）964 （C ）116 （D ）13162．设a>0，b ＞0，c ＞0，且a+b+c=1，则22a b c 的最大值为（ ）（A ）613 （B ）43123 （C ）34123 （D ）6123．已知F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点， 若221||||PF PF 的最小值为8a ， 则双曲线的离心率的取值范围为（ ） （A ）（l ，+∞）（B ）（0，3] （C ）（1，2]（D ）（1，3]4．如果关于x 的方程2x 2+3a x +a 2−a ＝0至少有一个根等于l 的根，那么实数a 的值（ ）（A ）不存在（B ）有一个 （C ）有三个 （D ）有四个5．5个顶点不共面的五边形叫空间五边形，空间五边形的5条边所在直线中，互相垂直的直线对至多有（ ）（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）8对 6．已知定义在实数集R 上的函数f （x ），其值域也是R ，井且时任意x 、y ∈R ，都有f [xf （y ）]=xy ，则|f （2007）等于（ ）（A ）0（B ）1 （C ）20072 （D ）20077．若k 是正位数，且0242401020054010401040104010333C C C C +⨯+⨯++⨯能被2k 整除，则k 的最大值为（ ）（A ）2004（B ）2005 （C ）2006 （D ）20088．已知非零向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且12||||A B A C A B A C =则ABC ∆为（ ）（A ）三边均为不相等的三角形（B ）直角三角形 （C ）等腰非等边三角形 （D ）等边三角形9．关于x 、y 、z 的方程组333(6),(6),(6),y x z y x z -=-=-=的实数解的组数有（ ）（A ）有一组解 （B ）有两组解（C ）有无穷多组解 （D ）无法确定10．在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支，每两支球队赛一场，胜者得1分，败者得0分，若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是（ ）（A ）8（B ）9 （C ）10 （D ）11二、解答题11．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1 P 2 ⋯P m 中， 若1≤i<j≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n +1）n （n −1）⋯321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1=l ，排列4321的逆序数a 3=6．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令b n =11n n n n a a a a +++，求证：2n <12n b b b +++ <2n +3，n =1，2，…。
2012自主招生“华约”数学试卷解析
2 k
f k x 在实数上的每个取值都大于零，因此结论成立
x 2 x3 xk ② k 是奇数的时候， f k x 1 x ， f k ' x f k 1 x ，那么由归 k! 2! 3!
目前有 n n 2 位乒乓球选手，他们互相进行了若干场兵乓球双打比赛，并且发现任 意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问 n 的所有可能取值 解答：本题写起来较为复杂，所以主要告诉大家思想即可。 假设比赛了 k 场比赛，那么由题目假设，一场比赛出现了 2 对队友，所以 Cn 2k
AFi1 与 BFi 2 ， AFi 2 与 BFi1 ， CFi1 与 DFi 2 ， CFi 2 与 DFi1 ，这样就满足要求了
最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的 4m 5 位选手之间的比赛了 由数学归纳法，结论得到了证明 n 4l 的时候，我们对 l 使用数学归纳法，与上面几乎类似也可以证明结论 综合上述， n 的所有可能取值是 n 4l 或者 4l 1 ，其中 l
作者简介：田轶平，学而思自主招生研究中心数学带头人，学而思高端教师，毕业于北京大 学，曾获得 CMO 金牌，负责自主招生讲义的编写工作，在数学高中教育方面有着自己独到 的见解。
过一次比赛，我们还剩下 A, B, C, D, E 互相的比赛和 A, B, C, D 与 F1 , F1 ,..., F2 m , F2 m 之间 的比赛， A, B, C, D, E 互相的比赛根据 l 1 的结论我们知道也有满足要求的比赛；
1
2012年华约自主招生数学含答案以及详解)
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。
若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______ A.7 B.7 C. 3 D.323.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______A.1B. 2C. 3D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A .B.C.D.5．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。
A.0B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。
A 1 B 2 C 3 D 4 7． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．A 4/5B 3/5 C1 D -4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ）A ．π4B ．π2C ．24πD ．22π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
2012年华约自主自主招生数学试题及详解
安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE. （2） 设当L=M时结论成立，则L=M+1时，设4M+5选手为A,B,C,D,E， 由归纳假设，可以安排E, 之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比 赛，还剩下A,B,C,D，E,相互的比赛和A,B,C,D与 之间的比赛，A,B,C，D与 之间的比赛安排如下： A与B,A与B,C与D,C与D,满足要求。
=
= 因此，当p≥ 时，{}递增，当P≥时，{}递减。 14证明： 用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显然n=1时， 此时有唯一解，且严格单调递增，而无实数解，现在假设有唯一解且严 格单调递增，无实数解，于是注意到时，对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0, 于是
，所以 又因为所以由严格递增知有唯一根0， 对于有，所以（—∞，）上，递减，在（，+∞）上，递增，所以 因此，无实数解 综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时无解，当ｎ为奇数有唯一解。 再证，事实上，由 的严格单调性，只需验证，注意到 － ＝，由上述归纳法证明过程中，，所以 ， 因此，综上所述，原命题得证。 15假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以 =2k，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中lN，下边证明， 对于任意的n=4l，或者4l+1,其中lN,都可以构造出满足要求的比赛： n=4l+1,的时候，对于L使用数学归纳法： （1） 当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下
（7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角 30°，且，则此三棱锥的体积为（ ） (A) (B) (C) (D)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学（华约）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。
若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______A.7 B.72 C. 3 D.323.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______A.1B. 2C. 3D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A .B.C.D.5．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。
A.0B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。
A 1 B 2 C 3 D 47． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．A 4/5B 3/5 C1 D -4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π4B ．π2C ．24π D ．22π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
A 81/4B 83/4C 81/5D 83/510. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．A B C D二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．二、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >≥），其离心率为45，两准线之间的距离为252。
（1）求,a b 之值；（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ，B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。
三.（本小题满分25分）已知数列{a n }中的相邻两项a 2k-1，a 2k 是关于x 的方程x 2－（3k+2k ）x+3k×2 k =0的两个根. （1）求数列{a n }的前2n 项和S 2n .（2）记f （n ）=21（nn sin |sin |+3），T n =21)2(1-a a f ）（+43)3(1-a a f ）（+65)4(1-a a f ）（+…+n n n f a a 212)1(1--+）（，求证：61≤T n ≤245（n ∈N +）四、已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x=的交点为B 、C 。
现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m ，0），当椭圆的离心率满足1322<<e 时，求实数m 的取值范围。
五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为31，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。
假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。
若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机变量ξ的数学期望E ξ；（2）记“关于x 的不等式012>+-x x ξξ的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A发生的概率P （A ）。
数学答案及详解1． 解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，所以已知条件可改写为()0AB CB CA ⋅+=。
容易得到此三角形为等腰三角形。
因此 选 D 。
2． 解：建立空间直角坐标系。
设A(0,-1,0), B(0,1,0),S, (0,0,2M ，P(x,y ,0).于是有(0,1,),(,,32AM MP x y==由于AM ⊥MP ，所以(,,0x y ⋅=，即34y =，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2= 因此 选 B 。
3. B4.. 答：6110若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是1n。
如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了12,,,n a a a ，则概率为1211111112011999999n a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以所求概率为1211111112011999999n p a a a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑11111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111111110099981098⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注意到()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相除即得6111110001001010p =⨯⨯=。
5．解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程001sin cos x x t t ββ-+=++，的两个根，即为方程20sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+的两个根。
因此cos (sin sin cos )ααββ+=-+，即cos sin c in s s o ααββ+++=0。
6．解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x ---+=+++++=++++++。
7． 458． B9. 答：815令2u t =，原方程化为3321()(3)0.x y u x y u x y-+++=- ① 233221(3)4()523(53)().x y x y x yx xy y x y x y ∆=+--⋅-=+-=-+所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，,3,3,(53)()0x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪-+<⎩或,3,3,(53)()0,30.x y x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪-+≥⎪⎪+<⎩点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为124181363.2525ABO BCO S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=10. 答：916π因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。
设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-=。
因为()2222222111111163491599611m m m m m m +==≤++++++++，所以内切圆半径12384F PQS r ∆=≤，因此其面积最大值是916π。
二、解答题一． 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得，故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--．若()0f x =有实根，则240b c ∆=-≥，在区间[]2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥≤≤即420,420,44,b c b c b -+⎧⎪++⎨⎪-⎩≥≥≤≤消去c ，解出4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤即4b =-，这时4c =，且0∆=．若()0f x =无实根，则240b c ∆=-<，将38c b =--代入解得84b -<<-． 综上54b --≤≤．所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，单调递减 故2222min max ()32,()74b c b c +=+=．注重分类讨论 二、解：（1）设c 为椭圆的焦半径，则2425,54a c c a ==。
于是有a ＝5，b ＝3。
（2） 解法一：设B 点坐标为(,)s t ，P 点坐标为(,)x y 。
于是有6(6)AB s t AP x y =-=-（，）, ，。
因为AB AP ⊥，所以有6(6)(6)(6)0s t x y s x ty --=--+=（，），。
(A1 )又因为ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP ，即= (A2 )由（A1）推出22226(6)6(6)ty t y s s x x -=-⇒-=--，代入（A2），得 226t x =-（）从而有 226y s =-（），即6s y =+（不合题意，舍去）或6s y =-。
代入椭圆方程，即得动点P 的轨迹方程22661925x y --+=（）（）。
解法二： 设11(,)B x y ,(,),P x y AB r =，则以A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为6cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩。
设AB 与x 轴正方向夹角为θ，B 点的参数表示为116cos sin x r y r θθ=+⎧⎨=⎩，P 点的参数表示为6cos(90)6sin ,cos sin(90)x r x r y r y r θθθθ⎧=+-=+⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩即. 从上面两式，得到1166x yy x =-⎧⎨=-⎩。