2012年华约自主招生数学含答案以及详解)

2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学

（华约）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中

只有一项是符合题目要求的。

1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足

()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )

A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形

2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______

A.

7 B.

72 C. 3 D.32

3.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则

所作四面体的体积为______

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是

A .

B.

C.

D.

5．已知,R αβ∈，直线

1sin sin sin cos x y

αβαβ

+=++与

1cos sin cos cos x y

αβαβ

+=++的交点在直线y x =-上，

则cos sin c in s s o ααββ+++= 。

A.0

B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x =

+++++，则

1

()()_________f x f x

+=。 A 1 B 2 C 3 D 4

7． 已知1

cos45

θ=，则44sin cos θθ+= ．

A 4/5

B 3/5 C1 D -4/5

8．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．

π4

B ．

π2

C ．

24

π D ．

22

π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程

33421

()(3)0x y t x y t x y

-+++

=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

A 81/4

B 83/4

C 81/5

D 83/5

10. 已知椭圆22

143

x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线

l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．

A B C D

二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．

二、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >≥），其离心率为45，两准线之间的距离为25

2

。

（1）求,a b 之值；

（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ，B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。

三.（本小题满分25分）已知数列{a n }中的相邻两项a 2k-1，a 2k 是关于x 的方程x 2－（3k+2k ）x+3k×2 k =0的两个根. （1）求数列{a n }的前2n 项和S 2n .

（2）记f （n ）=21（n

n sin |

sin |+3），T n =21)2(1-a a f ）（+43)3(1-a a f ）（+65)

4(1-a a f ）（+…+n n n f a a 212)1(1--+）（，求证：

6

1

≤T n ≤245（n ∈N +）

四、已知椭圆 122

22=+b

y a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x

=的交点为B 、C 。现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M

（m ，0），当椭圆的离心率满足

13

2

2<

1

，某植物研究

所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定

某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值

（1）求随机变量ξ的数学期望E ξ；

（2）记“关于x 的不等式012>+-x x ξξ的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A

发生的概率P （A ）。

数学答案及详解

1． 解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，所以已知条件可改写为

()0AB CB CA ⋅+=。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D 。

2． 解：建立空间直角坐标系。设

A(0,-1,0), B(0,1,0),S

, (0,0,2

M ，P(x,y ,0).于是

有

(0,1,

),(,,32AM MP x y

==由

于AM ⊥MP ，所以(,,0x y ⋅

=，即3

4

y =，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的

长度为2

= 因此 选 B 。

3. B

4.. 答：

6

1

10若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是1

n

。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9

和0以外，还产生了12,,

,n a a a ，则概率为

12

11111112011999999

n a a a ⨯⨯⨯⨯

⨯⨯⨯，所以所求概率为12

11111112011999999

n p a a a =⨯⨯⨯⨯

⨯⨯⨯∑

11111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=

+++⨯⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()11111111111110099981098⎛

⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

注意到()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

两式相除即得6111110001001010

p =

⨯⨯=。