高考物理一轮复习 第5章 机械能及其守恒定律 第1节 功和功率教案

第5章机械能及其守恒定律
第1节功和功率
一、功
1．做功两因素
力和物体在力的方向上发生的位移。

2．公式：W＝Fl cos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。

(2)该公式只适用于恒力做功。

3．功的正负的判断方法
恒力的功依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动中的功依据力与速度方向的夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化时的功功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。

2．物理意义：描述做功的快慢。

3．公式
(1)P ＝W t
，P 为时间t 内的平均功率。

(2)P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角)。

①v 为平均速度，则P 为平均功率。

②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率。

4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械长时间正常工作时输出的最大功率。

(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。

(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。

(√)
(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。

(×)
(4)据P ＝Fv 可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。

(√)
(5)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。

(√)
(6)公式P ＝Fv 中的F 是物体受到的合外力。

(×)
2．(人教版必修2P 59T 1改编)如图所示，力F 大小相等，物体运动的位移s 也相同，哪种情况F 做功最少( )
A B
C D
[答案] D
3．(人教版必修2P 63T 3改编)(多选)关于功率公式P ＝W t
和P ＝Fv 的说法正确的是( )
A ．由P ＝W
t
知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率 B ．由P ＝Fv 既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率 C ．由P ＝Fv 知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限增大 D ．由P ＝Fv 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
BD [P ＝W t
只适用于求平均功率，P ＝Fv 虽是由前者推导得出，但可以用于求平均功率和瞬时功率，选项A 错误，B 正确；汽车运行时不能长时间超过额定功率，故随着汽车速度的增大，它的功率并不能无限制的增大，选项C 错误；当功率一定时，速度越大，牵引力越小；速度越小，牵引力越大，故牵引力与速度成反比，选项D 正确。

]
4．(粤教版必修2P 67T 5)用起重机将质量为m 的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种( )
A ．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B ．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C ．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D ．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
C [物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，则合力做功为零，故A 、B 、
D 错误，C 正确。

]
功的分析与计算 [依题组训练]
1．(2019·北京二中月考)下列叙述中正确的是( ) A ．一对作用力和反作用力做功之和一定为零 B ．静摩擦力一定不做功
C ．一对滑动摩擦力所做总功不可能为零
D ．一对静摩擦力所做总功可能不为零
C [一对作用力和反作用力可能同时做正功或做负功，也可能一个做功另一个不做功，所以它们做功之和不一定为零，故A 错误；静摩擦力同样能对物体做功，例如随水平传送带加速运动的物体所受的静摩擦力对物体做正功，故B 错误；一对滑动摩擦力对相互作用的系统做的总功等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，不可能为零，故C 正确；一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，因而做功之和为零，故
D 错误。

]
2.(多选)如图所示，粗糙的斜面在水平恒力的作用下向左匀速运动，一物块置于斜面上
并与斜面保持相对静止，下列说法中正确的是( )
A．斜面对物块不做功
B．斜面对地面的摩擦力做负功
C．斜面对物块的支持力做正功
D．斜面对物块的摩擦力做负功
ACD[斜面对物块的作用力可以等效为一个力，根据平衡条件，这个力与物块的重力大小相等，方向相反，与位移方向的夹角为90°，所以不做功，选项A正确；地面受到摩擦力作用，但没有位移，所以斜面对地面的摩擦力不做功，选项B错误；斜面对物块的支持力与位移方向的夹角小于90°，做正功，而斜面对物块的摩擦力与位移方向的夹角大于90°，做负功，所以选项C、D正确。

]
3.(2019·福建邵武七中期中)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A[根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功为W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝(ma)2＋(mg)2＝m a2＋g2，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。

]
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。

0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合外力F 合，再用W 合＝F 合l cos α求功。

适用于F 合为恒力的过程。

方法二：先求各个力做的功W 1、W 2、W 3…，再应用W 合＝W 1＋W 2＋W 3…求合外力做的功。

功率的分析与计算 [依题组训练]
1．平均功率的计算方法 (1)利用P ＝W
t。

(2)利用P ＝F ·v cos α，其中v 为物体运动的平均速度，F 为恒力。

2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P ＝F ·v cos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度。

(2)P ＝F ·v F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。

(3)P ＝F v ·v ，其中F v 为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。

[题组训练]
1.(2019·江苏南通二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。

若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于( )
A ．5 W
B ．20 W
C ．100 W
D ．400 W
C [学生体重约为50 kg ，每次引体向上上升高度约为0.5 m ，引体向上一次克服重力做功为W ＝mgh ＝50×10×0.5 J＝250 J ，全过程克服重力做功的平均功率为P －＝nW
t
＝
12×250
30
W ＝100 W ，故C 正确，A 、B 、D 错误。

] 2．(多选)质量为m 的物体从距地面H 高处自由下落，经历时间t ，则下列说法中正确
的是( )
A．t秒内重力对物体做功为1
2
mg2t2
B．t秒内重力的平均功率为mg2t
C.
t
2
秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前
t
2
秒内重力做功的平均功率与后
t
2
秒内重力做功的平均功率之比为1∶3 ACD[物体自由下落，t秒内物体下落h＝
1
2
gt2，W t＝mgh＝
1
2
mg2t2，故A正确；P＝
W
t
＝
1
2
mg2t2
t
＝
1
2
mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前
t
2
秒末与后
t
2
秒末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前
t
2
秒末与后
t
2
秒末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确；前
t
2
秒与后
t
2
秒下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确。

]
3.(2019·江苏金陵中学高考模拟)如图所示，两个完全相同的小球分别从水平地面上A 点和A点正上方的O点抛出，O点抛出小球做平抛运动，A点斜抛出的小球能达到的最高点与O点等高，且两球同时落到水平面上的B点，关于两球的运动，下列说法正确的是( )
A．两小球应该是同时抛出
B．两小球着地速度大小相等
C．两小球着地前瞬间，重力的瞬时功率相等
D．两小球做抛体运动过程重力做功相等
C[从水平地面上A点抛出的小球做斜抛运动，设O点与水平地面的高度为h，所以从水平地面上A点抛出的小球的运动时间为t1＝2
2h
g
，从O点抛出的小球做平抛运动，小球的运动时间为t2＝
2h
g
，故选项A错误；两小球在竖直方向上有v y＝2gh，在水平方向根据x＝v0t可知从水平地面上A点抛出的小球的水平初速度是从O点抛出的小球做平抛运动的初速度的
1
2
，根据v t＝v20＋v2y可知两小球着地速度大小不相等，根据P y＝mgv y可知两小
球着地前瞬间重力的瞬时功率相等，故选项C正确，B错误；根据W G＝mgh可得从水平地面上A点抛出的小球的重力做功为零，从O点抛出的小球的重力做功为mgh，故选项D错误。

]
求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。

(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。

(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。

机车启动问题[讲典例示法]
1．两种启动方式
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为v m ＝
P F 阻。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v ＝P F
<v m
＝
P F 阻。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt ，由动能定理得Pt －F
阻
x ＝ΔE k ，此
式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。

[典例示法] 某汽车发动机的额定功率为120 kW ，汽车质量为5 t ，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍。

(g 取10 m/s 2
)
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到10 m/s 时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s 2
启动，则其匀加速过程能维持多长时间？ 思路探究：(1)达到最大速度时，汽车处于匀速运动状态。

(2)以加速度0.5 m/s 2
匀加速启动时，达到匀加速的最大速度时功率达到额定功率。

[解析] (1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v 达到最大值v m ，此时牵引力与阻力大小相等，故最大速度为
v m ＝P F ＝P F f ＝120×103
0.1×5 000×10
m/s
＝24 m/s
v ＝10 m/s 时的牵引力
F 1＝P v ＝120×10310
N ＝1.2×104
N
由F 1－F f ＝ma 得a ＝
F 1－F f
m
＝1.2×104
－0.1×5×103
×105×103
m/s 2 ＝1.4 m/s 2。

(2)当汽车以a ′＝0.5 m/s 2
的加速度启动时的牵引力
F 2＝ma ′＋F f ＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7 500 N
匀加速运动能达到的最大速度为
v ′m ＝P F 2＝120×103
7 500
m/s ＝16 m/s
由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v ′m ＝a ′t ， 故匀加速过程能维持的时间
t ＝v ′m a ′＝160.5
s ＝32 s 。

[答案] (1)24 m/s 1.4 m/s 2
(2)32 s
机车启动问题的三点注意
(1)在机车功率P ＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P ＝F f v m
只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。

(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W ＝Pt 计算，不能用W ＝Fl 计算(因为F 为变力)。

(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。

[跟进训练]
恒定功率启动
1．质量为m 的汽车沿平直的公路行驶，在时间t 内，以恒定功率P 由静止开始经过距离s 达到最大速度v m 。

已知汽车所受的阻力F f 恒定不变，则在这段时间内发动机所做的功W 可用下列哪些式子计算( )
A ．W ＝F f s
B ．W ＝1
2F f v m t
C ．W ＝F f v m t
D ．W ＝12
mv 2
m
C [发动机的功率恒定，经过时间t ，发动机做的功为W ＝Pt ，汽车从静止到最大速度
v m 的过程中，由动能定理可知W －F f s ＝1
2mv 2m ，
故W ＝12
mv 2
m ＋F f s ，A 、D 错误；速度达到最大时，牵引力等于F f ，P ＝F f v m ，所以W ＝F f v m t ，B 错误，C 正确。

]
恒定加速度启动
2．(2019·芜湖模拟)一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的功率达到最大值P ，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v 2匀速上升，不计钢绳重力。

则整个过程中，下列说法正确的是( )
A ．钢绳的最大拉力为P
v 2
B ．重物匀加速过程的时间为mv 21
P －mgv 1
C ．重物匀加速过程的加速度为
P mv 1
D ．速度由v 1增大至v 2的过程中，重物的平均速度v <
v 1＋v 2
2
B [匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F ＝
P v 1，故A 错误；根据牛顿第二定律可知F －mg ＝ma ，结合v ＝at 解得a ＝P mv 1－g ，t ＝mv 21P －mgv 1
，故B 正确，C 错误；在速度由v 1增大至v 2的过程中，重物做加速度减小的变加速运动，平均
速度v >v 1＋v 22，故D 错误。

]
机车启动中的图象问题
3.(2019·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前 5 s 内做匀加速直线运动，5 s 末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v ­t 图象如图所示。

已知汽车的质量为m ＝1×103 kg ，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g 取10 m/s 2
，则以下说法正确的是( )
A ．汽车在前5 s 内的牵引力为5×102
N
B ．汽车速度为25 m/s 时的加速度为5 m/s 2
C ．汽车的额定功率为100 kW
D ．汽车的最大速度为80 m/s
C [由图象可知匀加速直线运动的加速度为a ＝Δv Δt ＝205
m/s 2＝4 m/s 2，根据牛顿第二定律得F －f ＝ma ，解得牵引力为F ＝f ＋ma ＝0.1×1×104 N ＋1×103×4 N＝5×103 N ，故A 错误。

额定功率为P ＝Fv ＝5 000×20 W＝100 kW ，故C 正确。

当车的速度是25 m/s 时，牵引力F ′＝P v ′＝100 00025 N ＝4 000 N ，此时车的加速度a ′＝F ′－f m ＝4 000－0.1×1×104
1×10
3 m/s 2＝3 m/s 2，故B 错误。

当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为v m ＝P F ＝P f ＝100 0001 000
m/s ＝100 m/s ，故D 错误。

]
求变力做功的几种方法
方法
以例说法
应用动能
定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为W F ，则有W F －mgl (1－cos
θ)＝0，得W F ＝mgl (1－cos θ)
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f
＝f ·Δx 1＋f ·Δx 2＋f ·Δx 3…＝f (Δx 1＋Δx 2＋Δx 3…)＝f ·2πR
功率法 汽车以恒定功率P 在水平路面上运动t 时间的过程中，牵引力做功W F
＝Pt
等效转换
法
恒力F 把物块从A 拉到B ，绳子对物块做功W ＝F ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫h sin α－h sin β 平均力法
弹簧由伸长x 1被继续拉至伸长x 2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力
做功W ＝F (x 2－x 1)
图象法
一水平拉力F 0拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0，图线与横轴所
围面积表示拉力所做的功，W ＝F 0x 0
kg 的物块(可看成质点)。

用大小始终为F ＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B (圆弧AB 在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g 取10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求这一过程中：
(1)拉力F 做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。

[解析] (1)将圆弧AB 分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每一小段上做的功为W 1、W 2、…、W n 。

因拉力F 大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos 37°、
W 2＝Fl 2cos 37°…W n ＝Fl n cos 37°
所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos 37°·16
·2πR ≈376.8 J。

(2)重力G 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－240 J ，因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知W F ＋W G ＋W f ＝0
所以W f ＝－W F －W G ＝－376.8 J ＋240 J ＝－136.8 J 。

[答案] (1)376.8 J (2)－136.8 J
[即时训练]
1．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m ＝0.5 kg 的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。

以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x 轴，现对物块施加水平向右的外力F ，F 随x 轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x ＝0.4 m 处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g 取10 m/s 2
)( )
甲 乙
A ．3.1 J
B ．3.5 J
C ．1.8 J
D ．2.0 J
A [物块与水平面间的摩擦力为F f ＝μmg ＝1 N 。

现对物块施加水平向右的外力F ，由F ­x 图象面积表示功可知，物块运动至x ＝0.4 m 处时F 做功W ＝3.5 J ，克服摩擦力做功W f ＝F f x ＝0.4 J 。

由功能关系可知W －W f ＝E p ，此时弹簧的弹性势能为E p ＝3.1 J ，选项A 正确。

] 2.如图所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F (恒定)，滑块沿水平面由A 点前进s 米至
B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

[解析] 设绳对滑块的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对滑块做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W ＝Fl 直接计算。

由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的作用点的位移大小为：
Δl ＝l 1－l 2＝h sin α－h sin β
所以W T ＝W F ＝F Δl ＝Fh ⎝
⎛⎭⎪⎫1sin α－1sin β。

[答案] Fh ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α－1sin β。