四川省开江县任市中学高中必修一数学课件：1.3函数的基本性质1 精品

思考：讨论函数 f(x) x 2 2ax 3
在(-2,2)内的单调性.
f (x1) f (x2 )＜0
则 在区间上是增函f (数x)
（2）当 时，x1＜x2
f (x1) f (x2 )＞0
则 在区间上是减函f (数x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数．
2、 证明函数f(x)=x3 在(-∞，+∞)上是增函数.
函数的基本性质---单调性
课前复习
1 函数的概念
复
习
2 函数的表示方法
3 常见的函数图象：正比例函数、反 比例函数、一次函数、二次函数
复习：几个常见函数的图像
y
y x 1
1
1
O
x
y
O
1
y x2 2x
2
x
y
y 2x 2 2
o1
x
y
y 1
x
O
x
「自我感悟」
1. 分析下图中函数图象的变化规律，并将 相同规律的图象部分绘制出来
(2)图①和图②分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，
则函数 y＝f(x)的单调增区间为_[_1_,4_)_和__[_4_,6_]__；函数 y ＝g(x)的单调减区间为___0_，__32_π_ ____．
(3)画出函数 f(x)＝|x|(1－x)的图象，并说明函数的单 调区间．
－x2＋x，x≥0
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O
x1
x
2. 初中教材如何描述上述的相同规律？ 高中教材又是如何描述的？
上升
y y x 1
o
x
y 下降
y x 1
o
x
y
先下降后上升
y x2
o
x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或
下降趋势吗？
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
练习1：证明函数 y x 2 在区间 [2, ) 是增函数。
证明：任取 x1, x2 [2，, 且) ，x1 x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O x1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O x1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O
x1
x
函数 y x 2 中自变
「知识辨析」
辨析1：能否只取两个点（a，f (a) ）、
（b，f (b) ），若a < b ，则f (a)< f (b) ，就可
肯定函数 y = f (x) 为单调递增函数？反之呢？
辨析2：我们知道函数 y =
1 在区间
x
（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∩
能否写成在区间（－∞，0） （ 0 ，+ ∞ ）
1
2
1
2
=3 x +2-3 x -2
1
2
=3( x - x ) 12
∵x <x
1
2
∴ x - x <0 12
∴ f (x )- f (x )=3( x - x )<0
1
2
12
∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增ห้องสมุดไป่ตู้数
下一课
回顾
定义:一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1, x2，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 )( f ( x1 ) f ( x2 )), 那么就说函数f ( x)在区间D上是增函数(减函数).
y
y f(x)
f (x1 ) f (x2 ) 一般地，设函数f(x)的定义域为I:
O
x1
x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值x1，x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数．
y
y f(x)
f (x1) f(x2)
(3)f(x)＝|x|(1－x)＝x2－x，x<0
.
作出函数的图象，如图所示．
由图可知：函数 f(x)的单调增区间为 0，21；单调减区间为(－∞，0)和 12，＋∞.
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明：设 x ， x 是 R 上任意两个实数，且 x < x
1
2
1
2
则 f (x )- f (x )=(3 x +2)-(3 x +2)
练习1（3）、求函数y=|x2-2x-3|的单调区间。
例3.物理学中的玻意耳定律
p
k V
(k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调性证明之。
证明：设V1,V2 是在 0, 上任取的两个实数,且V1 V2 取值
kk 则 p(V1) p(V2 ) V1 V2
上是减函数？
反比例函数
例题展示
例1、(1) 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图 象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单 调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
Y
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
X
解：单调递增区间：[-2,1],[3,5] 单调递减区间：[-5,-2),(-3,3)
作差
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
定号
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
结论
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
证明函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
则 f (x1) f (x2 ) x1 2 x2 2
(
x1 2
x2 2)(
x1 2
x2 2)
x1 x2
.
x1 2 x2 2
x1 2 x2 2
因为 x1 x2 0, x1 2 ， x2 2 0
得 f ( x1) f ( x2 )
所以函数 f (x) 在x上 2 是[增2,函数)．
O
x1 x2
如果对于定义域I内某个区间D上的任
意两个自变量的值x1，x2 ，当x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 )，那么就说函数 f (x) x 在区间D上是减函数．
如果函数 f (x) 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f (x)
在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 f (x) 的单调区间．
2：证明函数 y
x
1 x
在（1，+∞）上为增函数．
练习1
规律总结
用定义证明函数单调性的步骤：
1.取值
在指定的区间上任意取 两个数
x1 , x2 且x1 x2
2.作差变形 f (x1) f (x2)＝
3.定号
确定 f (x1) f (x2 )＞0 还是 ＜０
4.判断
（1）当 x1＜x时2 ，
x1 O
y x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
x1 O
y x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
x
O
1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
Ox1
y
y
y
2 x
-1 0 (1) y
x 0
(4)
0
x
x=-2 (2)
y
-1 0 1 x
(5)
x 0
(3) y
2 -2
01
(6)
x
引导
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
y x2
x1 O
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)