三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等

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证明三角形全等的五种方法

证明三角形全等的五种方法
方法一：边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。

三角形具有稳定性，三条边都确定了，整个三角形都可以固定下来了。

这样就具有了唯一性，而这样的两个三边都对应相等的三角形，自然就是全等的。

但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。

方法二：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是课本上直接给出的，同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。

方法三：角边角（ASA）——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式也是课本上直接给出的，一个角的边可以无限延长，两个角的夹边被确定以后，就无法延长了，另外两条边则肯定会有交点，这样肯定也能将三角形确定下来。

方法四：角角边（AAS）——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的，只要记住了方法三，这个方法就很好记了。

三角形的内角和是180，如果两个角都确定了的话，另外一个角度也可以确定下来，这样三个角都是固定的了，那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的，所以也就形成了“角边角”。

方法五：斜边直角边（HL）——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是利用了勾股定理，如果两条边都知道了，那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了，这样利用方法一边边边，或者是方法二边角边，都是可以得出两个三角形全等的。

但是前提必须是两个直角三角形。

三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作

以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信息，某些描述可能不够精确或全面。如有需要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广泛的情况，例如处理只有一边和两个角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决实际问题，例如几何证明、建筑设计、工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法（如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使用圆规在该点上画圆，与直线相交于两点。连接这两点即可得到经过该点的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三角形全等来确定未知点的位置。例如，已知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知点的位置，从而满足建筑设计的需求。

全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。

在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。

下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。

一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。

我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。

所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。

由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。

我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。

这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。

如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。

通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。

在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。

正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。

全等三角形的判定方法

全等三角形的判定方法全等三角形是指具有相同且完全重合的三边和三角形的一种特殊形态。

在几何学中，判断两个三角形是否全等是一个重要的问题。

本文将介绍全等三角形的判定方法，并对每种方法进行详细说明。

全等三角形的判定方法有以下几种：三边全等判定法、两边一夹角全等判定法、两角一边全等判定法、正方形外接圆判定法和恒等变换法。

首先，我们来介绍三边全等判定法。

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。

这是最简单的判定方法，只需要通过测量三个边的长度即可判断。

接下来，是两边一夹角全等判定法。

当两个三角形的两边与夹角分别相等时，这两个三角形也是全等的。

根据这个条件，我们只需要测量两边的长度和夹角的大小，就可以判断是否全等。

第三种判定方法是两角一边全等判定法。

当两个三角形的两个角和一条边分别相等时，这两个三角形是全等的。

在使用这个方法时，我们需要测量两个角的大小和一条边的长度来进行判断。

正方形外接圆判定法是第四种方法。

只要两个三角形的外接圆相同，那么它们就是全等的。

这个方法主要通过测量三角形外接圆的半径来判断。

最后，我们来介绍恒等变换法。

恒等变换是指对一个图形进行平移、旋转或镜像等变换后，图形保持不变。

基于恒等变换的思想，我们可以通过将一个三角形的顶点对应到另一个三角形的顶点，来判断两个三角形是否全等。

通过以上五种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。

根据实际情况和题目要求，我们可以选择合适的方法来进行判定。

在判断过程中，需要准确地测量边长和角度，并仔细观察三角形的属性。

需要注意的是，判定全等三角形时，不能简单地凭借肉眼观察或估算。

必须使用准确的测量工具和数学方法来判断，以确保结果的准确性。

总结起来，判定全等三角形的方法有三边全等判定法、两边一夹角全等判定法、两角一边全等判定法、正方形外接圆判定法和恒等变换法。

每种方法都有其特点和适用范围，需要根据题目要求和具体情况进行选择。

在进行判定时，需要准确测量边长和角度，并小心观察三角形的属性。

三角形证全等的五种方法

三角形证全等的五种方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。

方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。

两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。

夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。

三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。

初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总

初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总全等三角形是初中数学中非常重要的内容，今天我们就把初二数学中，与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。

一、全等三角形的性质与判定。

五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，其中HL是边边角（SSA的特例）。

全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。

二、寻找全等三角形常用方法1、直接从结论入手一般会有以下几种要求证的方向：•线段相等•角相等•度数•线段或者线段的和、差、倍、分关系然后根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，再围绕这两个三角形进行研究。

2、从已知条件入手把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。

然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。

记住一句话：“充分利用已知条件”。

3、把已经条件和结论综合起来考虑找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。

4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。

三、构造全等三角形的一般方法1、题目中出现角平分线（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。

（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形2、题目中出现中点或者中线（中位线）（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置（2）过中点作某一条边的平行线3、题目中出现等腰或者等边三角形（1）找中点，倍长中线（2）过顶点作底边的垂线（3）过某已知点作一条边的平行线（4）三线合一4、题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。

三角形全等地五种判定方法及如何能构造三角形全等

三角形全等地五种判定方法及如何能构造三角形全等1.SSS全等：即边边边全等，表示两个三角形的三条边分别相等。

如果两个三角形的对应边长度分别相等，那么这两个三角形全等。

构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-以这条线段为边，分别用刻度尺量取AC和BC两条边；-以线段AB为一边，在平面上任取一个圆心O，用刻度尺量取出角A和角B的度数；-以点O为圆心，以OA为半径在平面上画出一个圆；-分别用刻度尺量取出AC和BC的长度；-若AC和BC的长度与已知相等，则三角形ABC与已知三角形全等。

2.SAS全等：即边角边全等，表示两个三角形的两条边和它们的夹角分别相等，即两边夹角相等。

如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-以这条线段为边，在这条边的一侧画一个角为α的角；-以这条线段为边，在另一侧画一个角为β的角；-在角α和角β所在的射线上，分别用刻度尺量取AC和BC两条边；-若AC与BC的长度与已知相等，并且角ACB与已知相等，则三角形ABC与已知三角形全等。

3.ASA全等：即角边角全等，表示两个三角形的两个夹角和它们的对边分别相等，即两角边相等。

如果两个三角形的两个夹角和它们的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-以这条线段为边，在这条边的一侧画一个角为α的角；-在角α的一侧再画一个角为β的角；-在角β所在的射线上，以点C为一侧，在这条射线的一侧画一个角为γ的角；-若角ACB和角ABC与已知相等，并且边AC与边BC的长度与已知相等，则三角形ABC与已知三角形全等。

4.AAS全等：即角角边全等，表示两个三角形的两个夹角和一个对边分别相等，即两边角相等。

如果两个三角形的两个夹角和一个对边分别相等，那么这两个三角形全等。

构造方法：-首先，在平面上画出一条边为AB的线段；-在这条线段的一侧画一个角为α的角；-在这条线段的另一侧画一个角为β的角；-在角α和角β所在的射线上，分别用刻度尺量取AC和BC两条边；-若角ACB和角ABC与已知相等，并且边AC与已知边BC的长度比相等，则三角形ABC与已知三角形全等。

全等三角形五大判定方法(两篇)

引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。

在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。

全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。

本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。

正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。

2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。

3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。

5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。

二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。

2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。

3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。

5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。

三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。

2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。

3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。

5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。

四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。

2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。

3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。

4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。

5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。

五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。

三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等

全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

知识点二：构造全等三角形例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

知识点三：常见辅助线的作法1. 连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

2. 作垂线，利用角平分线的知识例5.如图，,AP CP分别是ABC∆外角MAC∠和NCA∠的平分线，它们交于点P。

求证：BP为MBN∠的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

3. “截长补短”构造全等三角形例 6.如图，在ABC∆中，AB AC>，12∠=∠，P为AD上任意一点。

求证：AB AC PB PC->-。

全等三角形的判定方法

关于三角形的知识点有很多，本篇文章主要介绍全等三角形的五种判定方法，同学们要深刻体会。

三角形全等判定方法：1.三边对应相等的两个三角形全等，简称SSS（边边边）举例：在△ABC中，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.∴△ACD≌△BDC.（SSS）∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）2：三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。

简称SAS（边角边）。

举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）3：三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。

简称ASA（角边角）。

举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD 中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）4：三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。

简称AAS（角角边）。

举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）5：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

简称HL（斜边、直角边）。

定义举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）相关概念及性质能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。

边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。

需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。

例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。

但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。

在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。

角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。

例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。

在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。

除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。

在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。

总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。

1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。

根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。

又因为AB=DC，所以BC=AC。

因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。

同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。

2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。

根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。

又因为AD=CE，所以BD=BE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。

同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。

全等三角形的5种判定方法

全等三角形的5种判定方法
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形。

判断两个三角形是否全等，有五种判定方法：
1.SSS定理：若两个三角形的三组对应边长分别相等，则这两个三角形是全等的。

2.SAS定理：若两个三角形的两组对边与夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

3.ASA定理：若两个三角形有一个角度对应相等，另外两条边对应相等，则这两个三角形是全等的。

4.RHS定理：若两个直角三角形的两条直角边分别相等，且斜边相等，则这两个三角形是全等的。

5.SAA定理：若两个三角形的两组角度分别相等且第三组对应边长成比例，则这两个三角形是全等的。

以上五种定理可以用来判断两个三角形是否全等，如果满足其中任意一条定理，两个三角形就是全等的。

三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等

三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等三角形全等是指两个三角形的所有对应边和对应角相等。

在几何学中，有五种常见的判定方法来确定两个三角形是否全等：SSS（边-边-边）判定法、SAS（边-角-边）判定法、ASA（角-边-角）判定法、AAS（角-角-边）判定法和HL（斜边-直角-斜边）判定法。

下面将分别介绍这五种方法，并给出如何构造三角形全等的例子。

1.SSS（边-边-边）判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可判断三角形ABC和DEF全等。

2.SAS（边-角-边）判定法：如果两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF，则可判断三角形ABC和DEF全等。

3.ASA（角-边-角）判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，AB=DE，∠ABC=∠DEF，则可判断三角形ABC和DEF全等。

4.AAS（角-角-边）判定法：如果两个三角形的两个角和一边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AB=DE，则可判断三角形ABC和DEF全等。

5.HL（斜边-直角-斜边）判定法：如果两个直角三角形的一个直角和一个斜边分别相等，则这两个三角形全等。

例子：给定两个直角三角形ABC和DEF，若∠BAC=∠EDF，AB=DE，则可判断三角形ABC和DEF全等。

以上是判定两个三角形全等的五种方法。

下面将介绍如何通过给定条件构造全等的三角形。

1.给定两边和夹角：以一条边为边长，另一条边为夹角的边，在端点处画出一条与给定边相等的线段作为第二条边，然后以给定夹角为顶点画出第三边，两个三角形即构造完成。

证明三角形全等的五种基本思路

证明三角形全等的五种基本思路1.SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

证明思路是通过对应边定比例得到对应角的正弦值相等，从而得出对应角相等，从而证明两个三角形的所有角度相等，即全等。

2.SAS判定：如果两个三角形的一边和与之相对的两个角分别相等，则这两个三角形是全等的。

证明思路是对于相等的边，利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例，从而得到与之相对的两个角的正弦值相等，从而证明两个三角形的所有角度相等，即全等。

3.ASA判定：如果两个三角形的两个角和夹角的两边分别相等，则这两个三角形是全等的。

证明思路是对于相等的角，利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例，从而得到夹角的两边的比例，从而证明两个三角形的对应边相等，即全等。

4.RHS判定：如果两个三角形的一个直角边和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。

证明思路是对于相等的边，利用余弦定理和正弦定理得到其它两边的比例，从而证明两个三角形的对应边相等，即全等。

5.AAS判定：如果两个三角形的两个角和一边（不是两边夹角）分别相等，则这两个三角形是全等的。

证明思路是对于相等的角，利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例，从而得到对应角的正弦值相等，从而证明两个三角形的所有角度相等，即全等。

以SSS判定为例，具体证明流程如下：已知两个三角形ABC和DEF的边长分别为AB=DE,BC=EF,CA=FD。

我们要证明∆ABC≌∆DEF。

1.首先，我们写出三角形ABC和DEF的正弦定理：sin(A)/AB = sin(B)/BC = sin(C)/CA --(1)sin(D)/DE = sin(E)/EF = sin(F)/FD --(2)2.由于AB=DE,BC=EF和CA=FD，我们可以得到三个等式：AB/DE=1,BC/EF=1,CA/FD=1--(3)3.将等式(1)和等式(3)相结合，我们可以得到：sin(A)/sin(D) = AB/DE, sin(B)/sin(E) = BC/EF, sin(C)/sin(F) = CA/FD --(4)4.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD=1，根据等式(4)，我们得到：sin(A)/sin(D) = sin(B)/sin(E) = sin(C)/sin(F) --(5)5.根据等式(5)，我们可以得到A=D,B=E和C=F。

构造全等三角形种常用方法

--构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“ＳAS ”,“AS Ａ”,“AAS ”，“HL ”）中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“S ＡS ”或再找第三组对应边用“SS Ｓ”;若找到一组角则需找另一组角(可能用“A ＳA ”或“ＡＡS ”)或夹这个角的另一组对应边用“SA Ｓ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“H Ｌ”。

上述可归纳为:()()()()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩用用用用或搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1.截长补短法例１.如图（1）已知:正方形ＡBCD 中，∠B ＡC 的平分线交ＢC 于E,求证：A Ｂ+BE=AC. 解法（一)（补短法或补全法）延长A Ｂ至F 使A Ｆ=AC ，由已知△ＡＥF ≌△A ＥC ，∴∠F=∠ACE=45º, ∴BF ＝BE ，∴AB+BE=A Ｂ+BF=ＡF ＝AC. 解法(二）（截长法或分割法）在ＡC 上截取ＡG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴ＥG=BE, ∠AG Ｅ=∠ABE,∵∠ＡC Ｅ＝45º, ∴CG ＝E Ｇ, ∴ＡB+ＢＥ=ＡG+CG ＝ＡC. ２．平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对R ｔ△,有时可作出斜边的中线．例２．△A ＢC 中，∠BA Ｃ=６0°,∠C=４０°AP 平分∠ＢA Ｃ交BC 于P ，BQ 平分∠A ＢＣ交ＡC 于Q, 求证：AB ＋B Ｐ=ＢＱ+AQ.证明:如图(１），过O 作OD ∥BC 交ＡＢ于D,∴∠ＡDO=∠AB Ｃ=１８0°-６0°－40°=80°,又∵∠AQO=∠C ＋∠QBC=80°,∴∠A ＤO=∠AQO,又∵∠DAO=∠Q ＡＯ,OA=AO ， ∴△ＡD Ｏ≌△ＡＱＯ,∴OD=ＯQ,AD=ＡＱ，又∵OD ∥ＢP,∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PB Ｏ=∠ＤBO ，∴∠D ＢO=∠DOB,∴BD=OD ，∴ＡB ＋ＢP ＝ＡD ＋DB+BP＝ＡQ+OQ ＋BO ＝AQ+BQ ．说明:⑴本题也可以在A Ｂ截取AD=AQ ，连OD ，构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下: ① 如图(2）,过O 作OD ∥BC 交ＡC 于Ｄ，则△ADO ≌△AB Ｏ来解决．② 如图(３）,过Ｏ作ＤE ∥ＢC 交A Ｂ于D, A B C P Q D OO A B C P Q D图（2）A B C PQ D E 图（3）O D--交AC 于E ，则△ADO ≌△AQ Ｏ，△ＡBO ≌△AEO 来解决. ③ 如图(4)，过P 作PD ∥B Ｑ交ＡB 的延长线于Ｄ,则△APD ≌△AP Ｃ来解决. ④ 如图（5）,过P 作PD ∥BQ 交AC 于D, 则△ＡBP ≌△A ＤＰ来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究)．3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。

证三角形全等的五种方法

证三角形全等的五种方法一、第一种方法是“边边边（SSS）”。

如果两个三角形的三边长度相应相等，那么我们就可以说这两个三角形全等。

比如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果AB=DE，BC=EF以及AC=DF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。

这种全等的方式十分明确，只要各边对应长度一致，不论角度如何都可以判定为全等。

二、第二种方法是“边角边（SAS）”。

若两个三角形有两边和它们之间的夹角对应相等，那么这两个三角形就可以被证明为全等。

比如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果AB=DE，而且它们之间的夹角∠BAC=∠EDF，另外AC=DF，我们就可以断定三角形ABC和三角形DEF全等。

三、第三种方法是“角边角（ASA）”。

如果两个三角形的两个角和它们之间的边对应相等，那么他们就是全等的。

例如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果∠BAC=∠EDF，且他们之间的边AC=DF，以及∠BCA=∠FDE，那么我们就可以认为三角形ABC全等于三角形DEF。

四、第四种方法是“角角边（AAS）”。

若两个三角形有两个角和任一边对应相等，那么它们就是全等的。

例如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠BCA=∠FDE，并且边BC=EF，那么三角形ABC就全等于三角形DEF。

五、第五种方法是“右角三角形的斜边与一直角边（HL）”。

对于两个右角三角形，如果它们的斜边和一条直角边对应相等，那么我们就可以证明这两个三角形是全等的。

例如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果∠BAC和∠EDF都是90°，且AC=DF（斜边），AB=DE（一条直角边），则三角形ABC和三角形DEF全等。

【初中数学知识点解析】构造全等三角形的五种常用方法

方法4 倍长中线法 4．如应图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB. ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD.
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在△ABE与△ADG中，
方法5 截长(补短)法
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝
∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图
中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
AB＝AD，
∠B＝∠ADG＝90°，
BE＝DG，
要点提示
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．
常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．
方法1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻
方法3 旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
∴△ABH≌△ADF. ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. ∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°. ∵BE＋DF＝EF， ∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF. 在△AEH和△AEF中，

构造全等三角形种常用方法

构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等得五种方法(“SSS ”,“ＳA Ｓ”,“ASA ”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等得边,因此在应用时要养成先找边得习惯。

如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边得夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”)或夹这个角得另一组对应边用“ＳＡＳ”;若就就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。

上述可归纳为:搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了、下面举例说明几种常见得构造方法，供同学们参考、１、截长补短法例1、如图(1)已知:正方形ＡBCD 中,∠BAC 得平分线交B Ｃ于E ，求证:A Ｂ+ＢE=AC 、解法(一)(补短法或补全法)延长ＡB 至Ｆ使AF=ＡC ，由已知△ＡEF ≌△AEC,∴∠F ＝∠ACE=4５º， ∴BF ＝B Ｅ,∴ＡB+BE ＝A Ｂ+BF=AF=AC 、解法(二)(截长法或分割法)在A Ｃ上截取ＡG=ＡＢ，由已知 △ AB Ｅ≌△AGE,∴EG=B Ｅ, ∠A ＧＥ＝∠ABE,∵∠ACE ＝４5º, ∴CG ＝EG, ∴ＡB ＋BE ＝ＡG+CG=ＡＣ、 2、平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt △,有时可作出斜边得中线、例2、△ABC 中,∠ＢAC=60°,∠C ＝40°A Ｐ平分∠ＢAC 交B Ｃ于Ｐ，B Ｑ平分∠ABC 交A Ｃ于Q, 求证:A Ｂ＋B Ｐ=ＢQ+A Ｑ、证明:如图(1),过O 作O Ｄ∥ＢC 交AB 于Ｄ,∴∠ADO ＝∠ＡBC=180°-6０°-40°＝8０°,又∵∠AQ Ｏ=∠C ＋∠QBC=８０°,∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DA Ｏ=∠QAO ，ＯA=AO, ∴△ADO ≌△ＡＱO,∴OD=O Ｑ,AD=AQ ，又∵ＯD ∥ＢP,∴∠ＰＢO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠D ＢO,∴∠ＤＢＯ=∠D ＯB,∴BD=O Ｄ,∴AB ＋BP=AD+DB+B Ｐ=A Ｑ+OQ+B Ｏ＝AQ+BQ 、说明:⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”、⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下： ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交ＡC 于D, 则△ADO ≌△ABO 来解决、 ② 如图（3)，过O 作D Ｅ∥BC 交AB 于Ｄ，交AC 于E,则△ADO≌△AQ Ｏ,△A ＢO ≌△AE Ｏ来解决、 ③ 如图(4)，过Ｐ作P Ｄ∥B Ｑ交A Ｂ得延长线于D,则△A ＰD ≌△APC 来解决、 ④ 如图(5)，过P 作ＰD ∥ＢQ 交A Ｃ于Ｄ，则△AB Ｐ≌△ＡDP 来解决、 (本题作平行线得方法还很多,感兴趣A B C P Q D OO A B C P Q D图(2) A B C PQ D E 图(3) O A B C P Q图(4)DOA BCP Q 图(5)D OD得同学自己研究)、 3、旋转法对题目中出现有一个公共端点得相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。