平方根与立方根知识点
人教版七年级实数平方根与立方根
平方根与立方根 知识点一：算术平方根1．定义一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的__________．2．表示方法a 的算术平方根记为__________，读作“根号a ”，a 叫被开方数．3．算术平方根的性质①正数a a②0的算术平方根是00=__________；③负数没有算术平方根．④a a 是非负数，即a ≥0a a ≥0．【例1-1】求下列各数的算术平方根.①10 ②25 ③6449 ④0.01 ⑤23【例1-2】设3-a 是一个数的算术平方根，那么（ ）.A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【例1-3】算术平方根等于它本身的数有__________．【例1-4】13-m 的算术平方根是2，16-+n m 的算术平方根是3，求n m 29+的算术平方根.举一反三1. 16的算术平方根是________．2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；①S a =；①S 是a 的算术平方根；①a 是S 的算术平方根.正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①3. 12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．4. 已知，()132++-=b a y ，当b a ,取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时，求a b 的非算术平方根.知识点二：平方根1. 平方根的概念一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的________或二次方根．【注意】在这里，a 是x 的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a ≥0．2. 平方根的性质①一个正数a 有_______个平方根，其中一个是“a ”，另一个为“a -”，它们互为相反数； ②0的平方根是0；③负数没有平方根．3. 开平方的概念求一个数a 的平方根的运算，叫做__________．4. 利用平方根的定义解方程将各式转化为等号的左边是含x 的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如m x =2或()()02≥=+m m b ax ，然后利用平方根的定义得到m x ±=或m b ax ±=+，进而得到原方程的解．5．平方根与算术平方根的区别①定义不同；②个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同，正数a 的平方根表示为a a a ；④取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．【例2-1】25的平方根是（ ）.A ．5B ．-5C ．5±D ．±5【例2-2】 下列说法正确的（ ）. ①2-是2的一个平方根；②4-的算术平方根是2；③16的平方根是±2；④0没有平方根.A ．①②③B ．①④C ．①③D ．②③④【例2-3】求下列各式的值： ①144 ②81.0- ③196121±④256【例2-4】 求下列各式中的x ．x 2=17 0491212=-x 【例2-5】若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）. A ．32+a B ．32+-a C ．32+±a D ．3+±a举一反三1. ()20.7-的平方根是（ ）A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.492. 下列说法中正确的是（ ）A ．81的平方根是3±B ．1的立方根是±1C ．11±=D ．5-是5的平方根的相反数3. 计算.=412___________ =±169___________ =-2894___________ 4. 求下列各式中x 的值. ()16142=-x ()011242=-+x5. 已知9的算术平方根是a ，b 的平方是25，求ab 的值．知识点三：立方根1．立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的__________或三次方根．这就是说，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．2. 表示方法：一个数a 的立方根，用符号3a 表示，读作：“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数．注：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．3．开立方求一个数的立方根的运算，叫做__________． 性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；33a a -= ③3333()a a =a ．开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．4．平方根和立方根的区别和联系①被开方数的取值范围不同 在a a 是非负数，即a ≥03a 中，被开方数a 是任意数．②运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．【例3-1】 -64的立方根是（ ）.A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【例3-2】 下列计算中，错误的是（ ）.A 30.125B 3273644-=-C 3313182=D ．3821255-=-【例3-3】若83-=a ，则a =__________．【例3-4】已知，一个正数的平方根是12-a 与a -2，求a 的平方的相反数的立方根.【例3-5】 已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的立方根是4，求b a +的平方根．举一反三 1. 33(1)- ）.A ．－1B ．0C ．1D ．±1 2. 求下列各式的值：（130.001 （23343125- （3）327191--．3. 求下列各式中的x .012583=+x ()2733=+x4. 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.5. 已知12+x 1362-+y x 的立方根是2．（1）求y x ,的值；（2）求xy 3的平方根．知识点四：非负性的运用非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
平方根 算术平方根 立方根
平方根算术平方根立方根三说王峰一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。
错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求的算术平方根。
错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。
仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。
例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
中考数学《平方根和立方根》知识点及练习题
平方根和立方根一.知识梳理：1.平方根定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
a 叫做被开方数。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
定义2：正数a 的正的平方根叫做a a ”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质2：算术平方根a 的双重非负性：①a ≥0 ； ②0≥a定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。
性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。
定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方3. 实数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）实数大小比较的几种常用方法①作差法：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0.②作商法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22④近似值法：记住这些数值：236.25732.13414.12≈≈≈；；二.课后作业1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。
2.-8的立方根是 ；立方根是它本身的数是______3.25的算术平方根是_____，64的立方根是5.比较大小：-3.14 π-；23。
6. 22(3)0y z -+-=，则xyz 的立方根是________7.23-的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
中考知识点平方根与立方根
中考知识点平方根与立方根中考知识点：平方根与立方根一、平方根平方根是指某一数的二次方所得结果等于该数的非负根。
在数学中，平方根用符号√( )表示，其中"√"为根号符号，"( )"内为需要求平方根的数。
例如，√9 = 3，因为3² = 9。
而√16 = 4，因为4² = 16。
要计算平方根，除了使用根号符号，还可以使用幂运算的方式。
即：如果一个数的平方等于已知数值，那么这个数就是待求解的平方根。
例如，x² = 9，那么x的解可以是±3。
在中考中，平方根常常涉及到对数值大小的估计和近似。
为了方便计算和表达，我们可以将平方根转化为一个无理数的近似值。
例如，√2约等于1.414，√3约等于1.732。
二、立方根立方根是指某一数的三次方所得结果等于该数的根。
在数学中，立方根用符号³√( )表示，其中"³√"为立方根号符号，"( )"内为需要求立方根的数。
例如，³√8 = 2，因为2³ = 8。
而³√27 = 3，因为3³ = 27。
与平方根类似，计算立方根也可以使用幂运算的方式。
即：如果一个数的立方等于已知数值，那么这个数就是待求解的立方根。
例如，x³= 8，那么x的解是2。
在中考中，立方根的运算也常常出现在几何体的计算中，如求立方体的体积或边长。
三、平方根与立方根的性质1. 平方根的求解：- 对于任意正数a，有√(a²) = a，这意味着一个数的平方根的平方等于该数本身。
2. 平方根与乘法运算：- 对于正数a和正数b，有√(ab) = √a × √b，这意味着对两个数进行乘法运算之后再求平方根，等于对这两个数分别求平方根然后再进行乘法运算。
3. 平方根与除法运算：- 对于正数a和正数b，有√(a/b) = √a / √b，这意味着对一个数除以另一个数后再求平方根，等于对这两个数分别求平方根然后再进行除法运算。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
数的开方知识点
数的开方知识点 Revised as of 23 November 2020平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a 的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的3a立方根是零（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
平方根与立方根知识点小结
平方根与立方根知识点小结平方根"与"立方根"知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作"$\pm \sqrt{a}$"（$a$称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，记作"$\sqrt{a}$"。
2、立方根：⑴、定义：如果$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作"$\sqrt[3]{a}$"（$a$称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；$0$的立方根是$0$；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是$0$；算术平方根是其本身的数是正数和$0$；立方根是其本身的数是正数和负数$1$。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、$a$本身为非负数，即$a\geq 0$；$a$有意义的条件是$a\geq 0$。
4、公式：⑴$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）；⑵$-\sqrt[3]{a}=-3\sqrt[3]{a}$（$a$取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于$0$，则每一个非负数都为$0$（此性质应用很广，务必掌握）。
例1：求下列各数的平方根和算术平方根1）$64$；（2）$(-3)$；（3）$1$例2：求下列各式的值1）$\pm 81$；（2）$-16$；（3）$\sqrt{2}$；（5）$1.44$，（6）$-36$，（7）$\pm \sqrt{3}$例3：求下列各数的立方根：⑴$343$；⑵$-\frac{2}{115}$；⑷$(-3)^{\frac{2}{9}}$；（4）$-4$.8）$-\sqrt[3]{25}$；⑶$0.9$二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当$a\geq 0$时，$a$的平方根是$\pm a$，即$a$是非负数。
数的开方(平方根与立方根)
一、知识点归纳:1、平方根(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。
a 的平方根记作：±20或±丿5。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。
(3) 平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。
3、立方根(1)立方根的意义如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。
如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。
记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。
(2)立方根的性质">0②一个负数有一个负的立方根， 即若a<0,则V^0③0的立方根是0,即若a=0，则3垢=0 。
重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。
二、典型例题： 例1、x 为何值时，寸X +1(5)X —1例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。
例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。
例4、如果M =aP a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立方根。
第12章数的开方重要性质：J a 2=a ,(需 $ = a(a >0)下列代数式有意义。
(1W 3 + 2x(2) J x -2 + J 2—X(3) J x 2+31(4) -^= 如一1①一个正数有一个正的立方根， 即若a>0,则 (6) (X-1)2例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简V a 2- a -b + c-a + J (b -C)2三、课堂练习:1、填空：(10)某种洗衣机的包装箱是长方形，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3,底面是正方形，则该包装箱的底面边长m.(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、 下列各式中无意义的是A 、 —J 3B J-32).±J(-3丫(3) A下列说法正确的是( 、4的平方根是2、-16 的平方根是C 、实数a 的平方根是 土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是)(1) 0.25的平方根是9 2的算术平方根是J 16 的平方根是 - J 2的相反数是,73的倒数是J 3 -1的绝对值是(16=±层，V (」)2(4)时，有意义；若 有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m时，3治-3有意义(5)j 81的平方根是 ，74的算术平方根是邸64的平方根是，764的立方根若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =，这个正数是(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=；(a+2)2+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =、0.1A 、1B 、0 C（5）下列说法中，正确的是（ D 、不存在）•A 、27的立方根是3,记作J27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是 土蚯D 、正数a 的算术平方根是 j a(6) V a 的值是（ ）• （A ） 是正数 (B) 是负数 （C ）是零 以上都可能(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7(C ) 0.7 ( D ) 0.49下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根 下列各式中错误的是（ 下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32X 2=3 运 ).B 、16的平方根是 4C 、).B 、Q 0.36 = 0.6).④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3"乎击不改变根式的大小把 （a —q丄 根号外的因式移入根号内，正确的是（(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根J1.44 =±1.2莎=2 D、J 4^ =2a(D) - J 1-a).3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f(3) (- 2卜(一8 )•4、计算:6、已知实数 a,b,c 满足 一 a-b + J 2b +c +(c -7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2.abI _ !■ _. I J. ■ 1 •-2-1 0 1 2+------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b+2)+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2=9 2(2) (X +1) =1⑶(5-3x(121-——=0 . 493(4)(x+3) =27(5) (2x-1)' =-8(6) 64(x-1)3+125=08、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 16 的平方根，即求±√16 的值。
因为 4²＝ 16，（－4）²＝ 16，所以±√16 ＝ ±4 。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。
比如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9，所以 2 ＜√7 ＜ 3。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
平方根与立方根知识点
平方根与立方根知识点数字的平方根与立方根是数学中的基本概念，对于数学学习和实际生活中的计算都具有重要意义。
本文将介绍平方根与立方根的定义、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
1. 平方根的定义与性质平方根是一个数的平方等于它本身的非负实数根。
以数a为例，记作√a，其中a≥0。
以下是平方根的一些基本性质：1）非负实数a的平方根有两个，一个正数和一个负数。
通常平方根指的是非负数平方根，即正数√a。
2）如果a和b是非负实数，且a<b，则√a<√b。
也就是说，非负实数的平方根是一个非递减的函数。
3）平方根的运算可以与其他数学运算相结合，比如加法、减法、乘法和除法。
例如√(a+b)=√a+√b，√(a-b)=√a-√b，√(a*b)=√a*√b，√(a/b)=√a/√b。
2. 平方根的计算方法计算平方根的方法有很多种，以下介绍两种常用的方法：1）查表法：在没有计算器的情况下，可以使用查表法来近似计算平方根。
首先，找到与所求数最接近的两个平方数，然后在这两个平方数的平方根之间做线性估算。
2）牛顿迭代法：这是一种更精确的计算平方根的方法，可以通过迭代逼近来得到平方根的近似值。
具体步骤是：先猜测一个初始值，然后通过不断迭代求解来逼近平方根的真实值。
3. 立方根的定义与性质立方根是一个数的立方等于它本身的实数根。
以数a为例，记作³√a。
以下是立方根的一些基本性质：1）任何实数都有唯一的立方根，不论正负。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
2）如果a和b为任意实数，则³√(a*b)=³√a*³√b，³√(a/b)=³√a/³√b。
3）立方根的运算结果也可以带有虚数单位i，表示在复数域中的解。
4. 立方根的计算方法计算立方根的方法也有很多种，以下介绍两种常用的方法：1）估算法：根据所求数的数量级，可以先估算出一个近似值，然后通过不断迭代逼近来逐步得到精确值。
平方根与立方根知识点小结
平方根与立方根知识点小结平方根与立方根是数学中常见的运算概念，它们有着广泛的应用。
本文将对平方根与立方根的基本概念、性质、应用以及计算方法进行详细的介绍和总结。
一、平方根的概念与性质1.平方根是指对一个数进行运算，使得该数的平方等于给定的数。
例如，对于数a，满足b²=a的数b就是a的平方根。
2.平方根的记号为√a，其中a为被开方数，b为平方根。
√a=b。
3.平方根有两个解，一个为正数，一个为负数。
正数的平方根称为主值，负数的平方根则称为虚数。
4.平方根的性质包括：非负数的平方根仍为非负数；0的平方根为0；负数没有实数平方根，而有无数个复数平方根。
5.平方根有以下常见运算性质：(1)√(a*b)=√a*√b，即两个数的乘积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。
(2)√(a/b)=√a/√b，即两个数的比值的平方根等于这两个数的平方根的比值。
(3)√(a^2)=，a，即一个数的平方的平方根等于这个数的绝对值。
6.平方根的计算方法包括：试算法、牛顿迭代法、二分法等。
二、立方根的概念与性质1.立方根是指对一个数进行运算，使得该数的立方等于给定的数。
例如，对于数a，满足b³=a的数b就是a的立方根。
2.立方根的记号为³√a，其中a为被开方数，b为立方根。
³√a=b。
3.立方根也有两个解，一个为正数，一个为负数。
正数的立方根称为主值，负数的立方根则称为虚数。
4.立方根的性质包括：任何数的立方根都是唯一的；非负数的立方根仍为非负数；0的立方根为0。
5.立方根的运算规律与平方根类似：(1)³√(a*b)=³√a*³√b，即两个数的乘积的立方根等于这两个数的立方根的乘积。
(2)³√(a/b)=³√a/³√b，即两个数的比值的立方根等于这两个数的立方根的比值。
(3)³√(a^3)=a，即一个数的立方的立方根等于这个数本身。
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
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平方根与立方根知识点
1、平方根：
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数
（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数
B零有一个平方根，它是零本身
C负数没有平方根
（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读
作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.
（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.
2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是
：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0.
②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：
2、立方根：
1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数
（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.
5．开方运算：
我们知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a.
综上所述，有
a (a ≥0)
2a =│a │=
-a (a<0)
（1） 两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333==
6．实数
1、概念：有理数 和 无理数 统称为实数。
2、分类 按定义
正有理 正整数
有理数 0 正分数
有限小数或小数
负整数
实数 负有理_
负分数
无理数 正无理
负无理 无限不循环小数
.常见的无理数类型
(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4).开方开不尽的数。
如：35,3。
3、实数的有关性质
⑴a 与b 互为相反数〈=〉a+b=0
⑵a 与b 互为倒数〈=〉ab=1
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a ≥0
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =a -
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是一一对应的关系
实数的大小比较
1． 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
2． 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。
实数中的非负数及其性质
4、在实数围，正数和零统称为非负数，我们已经学过的非负数有如下三种形式 ⑴任何一个实数a 的绝对值是非负数，即a ≥0
⑵任何一个实数的平方是非负数，即2a ≥0；
⑶任何一个非负数a 的算术平方根是非负数，即a ≥0
5、非负数有以下性质
⑴非负数有最小值零
⑵有限个非负数之和仍然是非负数
⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。
平方根立方根练习题
一、填空题
1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________
2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________．
3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ；
4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________．
5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；
6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ；
8．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；
9．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；
10．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；
11．已知0)3(122=++-b a ，则=33
2ab ； 12．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．
13．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．
二、选择题
14．下列说法错误的是（ ）
A 、1)1(2=-
B 、()1133-=-
C 、2的平方根是2±
D 、81-的平方根是9± 15．2)3(-的值是（ ）．
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
16．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A 、1
B 、9
C 、4
D 、5
17.下列各数没有平方根的是（ ）．
A ．－﹙－2﹚
B ．3)3(-
C ．2)1(-
D ．11.1
18.计算3825-的结果是（ ）.
A.3
B.7
C.-3
D.-7 19.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.
A.a ＞b ＞c
B.c ＞a ＞b
C.b ＞a ＞c
D.c ＞b ＞a
20．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
21．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ）
A 、32210+
B 、3425+
C 、32210+或3425+
D 、无法确定
三、解方程
22．0252=-x 23. 8)12(3-=-x 24．4(x+1)2=8
四、计算 25．914414449⋅
26．494 27．
416
13+-。