一元二次方程的复习总结

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一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5．用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（）2；（2）x 2+px+ =（）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2）．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

一元二次方程复习知识点梳理

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。

2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。

4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。

2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。

4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。

5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。

3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。

2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。

知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。

解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。

选择哪种方法要根据具体情况而定。

直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。

配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。

一元二次方程的解法总结

( x a)( x a) 0
x a 0或x a 0
x1 a
形如
2
x2 a
的式子运用完全平方公式得：
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
16(2 x) 9 0 （1）解：原方程变形为： 9 2 (2 x) 16
解：提公因式得：
(3x 2)( x 6) 0
(3x 5)( x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
3x 2 0或x 6 0
2 x1 3

5 x1 3
x2 6
x2 2
平方差公式与完全平方公式
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
2
（2） x( x 2) 1 0 解：原方程变形为：
直接开平方得：
x2 2 x 1 0
( x 1)2 0
3 2 x 4 11 5 x2 x1 4 4
x1 x2 1
2 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘积的形式，且p + q = 一次项系数。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2
例题讲解
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2

一元二次方程单元知识复习与总结

一元二次方程单元知识复习与总结一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707~1783）,既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。

如下题：“父亲临终时立下遗嘱,要按下列方式分配遗产:老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……;以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？"这道题需要列方程求解。

解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗，老大分得遗产［100+110(100x2-100）］克朗，得方程100+110（100x2—100）=100x.同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.（x-9)（x-1）=0，∴x1=9，x2=1(舍去)。

遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。

点评:二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０;然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程,常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。

例１：用适当的方法解下列一元二次方程:(1)（2x-1）2—9=0; （2）x2+x-1=0; (3）x2-4x=1; （4）3x2-16x+5=0;（5）（3x+2）2=4（x—3)2; （6）（y-1）2=2y（1-y）；（7)3a2x22=0(a≠0) （8)x2+2mx=(n+m)（n—m）.解析 (1)两边开平方,得 2x-1=3或2x-1=—3，∴ x1=2,x2=-1;（2）已知:a=1，b=1,c=—1。

∴ x1,x2；（3)整理原方程，得 x2-4x—1=0，∴ (x—2）2=5。

∴ x12=2(4）原方程可化为(3x-1)（x-5)=0,∴ x1=13，x2=5；(5)两边开平方,得3x+2=2（x-3）或3x+2=—2（x —3)，∴ x 1=—8, x 2=45. （6）原方程可化为（y-1）(3y —1)=0，∴ y 1=1， y 2=13。

初中数学一元二次方程解法总结

初中数学一元二次方程解法总结一元二次方程解法总结一、引言初中数学中，一元二次方程是一个重要的内容，它的解法涉及了解析几何、代数方程及应用问题的解答等多个领域。

本文将总结一元二次方程的解法，包括求根公式法、配方法、图像法、因式分解法等，以帮助初中学生更好地掌握这一知识点。

二、求根公式法求根公式法是一种通用而简洁的解法，适用于任意一元二次方程。

对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以使用求根公式来求解。

求根公式为：x₁ = (-b + √(b²-4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b²-4ac))/(2a)三、配方法配方法是一种常用的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。

对于形如ax² +bx + c = 0，其中a≠0且b²-4ac不为完全平方数的方程，可以使用配方法来解决。

具体步骤如下：1. 将方程重新排列，以使得二次项系数为1。

2. 将方程两边加上一个适当的常数使其成为一个完全平方。

3. 通过完全平方公式求解新的二次方程。

4. 将求解得到的值代入原方程，验证是否为正确的解。

四、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法，适用于通过图像来解决一元二次方程。

对于形如ax² + bx + c = 0的方程，可以通过作出二次函数的图像来求解。

具体步骤如下：1. 根据二次方程的系数a、b和c，确定二次函数的图像形状。

2. 在坐标系中画出二次函数的图像。

3. 根据图像与x轴的交点，求解方程的根。

五、因式分解法因式分解法是一种巧妙的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。

对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以尝试通过因式分解来求解。

具体步骤如下：1. 将方程分解成二次因式的乘积形式。

2. 令每个因式等于零，求解得到方程的根。

3. 验证求得的根是否满足原方程。

六、实际应用一元二次方程在生活中有很多实际应用，比如求解质点运动问题、面积和体积最大最小问题等。

一元二次方程知识点总结和例题——复习 3

知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2）且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是,再对它进行整理。

如果能整理为 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。

（4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0)3。

一元二次方程的一般形式：一般地,任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.4。

一元二次方程的解法（1)直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，,,当b〈0时,方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=—p±√q；如果q＜0，方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-第二章一元二次方程本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。

一. 知识点：1. 一元二次方程的概念只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注：（①整式方程，含有一个未知数；②整理后未知数的最高次数是2）2. 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，化成：20ax bx c ++=（a ≠0）。

这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。

关键：（1）a ≠0；（2）系数带上符号3.一元二次方程的解（根）能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。

应用：若是方程的解（根），则代入方程，可使其成立。

通常结合恒等变形来求一些式子的值。

例：已知a 是方程2310x x -+= 的一个根，试求3222511a a a a --++ 的值。

4. 配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成()2x m n += （n ≥0）的形式。

通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。

()2x m n += （n ≥0）。

x m =- 关键：将二次项系数化为1的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方注：在求解一些式子的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。

例如：当x 取何值时，代数式2267x x -+ 的值最小求出这个最小值5. 公式法解一元二次方程对于一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当24b ac -≥0时，利用配方法可算出它的根是2b x a-±= 关键步骤：（1）将方程化为一般形式，确定公式中a ，b ，c 的值；（2）先求出 24b ac -的值，再考虑是否用公式。

一元二次方程知识归纳总结

一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。

它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。

在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。

2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。

2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。

4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。

四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。

它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。

初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）

初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。

- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。

- 步骤：- 确定a、b、c的值。

- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。

- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程专题复习考点一、概念(1）定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2"：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B 02112=-+xx C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为。

针对练习: ★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是 .★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是（） A 。

m=n=2 B 。

m=2,n=1 C 。

n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根,则m 的值为 .针对练习：★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为，另一根是 .★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

完整版一元二次方程知识点总结和例题复习

知识框架知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。

(2) 配方法配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。

根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；代替，则有化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式过整理，？都能化成如下形式一个一元二次方程经过整理化成是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。

2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。

数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，方法。

(完整版)一元二次方程知识点总结

一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。

注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

一元二次方程的复习总结

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(完整版)一元二次方程归纳总结

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