最短路径问题公开课
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将军饮马问题 ：
. 将军骑马从城 堡A 出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到 军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他 A 所走的路径最短？
B
问题一：在直线 上找一点 问题一：将军骑马从城堡 A出发， C，使到一 AC最短？ 条笔直的小河边 饮马 。问：在河边的 什么位置饮马,将军所走的路径最短？
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1 A1 A
M P Q N P Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ ＰＱ ； 连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸 于Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ Ｑ＋ＱＢ．
问题延伸一
如图，A和B两地之间 有两条河，现要在两 条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直）
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
A
M N P Q B2 B1 B
A
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A
直线外一点与直线上所有点的连线中， 垂线段最短
问题二：在直线 C，使CA+CB最小 ？ 上找一点 问题二：将军骑马从城堡 A出发，到军营 B去， 途中经过一条笔直的小河 。 将军问：在小 河的什么地方饮马可使他所走的路径最短？
C A
两点之间线段最短
B
探究一：将军饮马问题
. 将军骑马从城 堡A 出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到 军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他 所走的路径最短？
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方 向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 垂直于第二条河岸方向平移 Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
A A1 M N P Q B
A
B
Biblioteka Baidu
思维分析
A
1、如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们遇 到了什么障碍呢？
Ｍ
Ｎ
B
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ 交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此 时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ 最短.
A
B
C
A´
你学会了吗？
巩固训练：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
探究二：将军饮马问题
如图：一位将军骑马从城堡 A出发，先骑马去草地边 数学问题：在射线 OM、 ON上分别找一点 OMP 的某处吃草，再骑马去河边 ON 喝水，最后回到城堡A， 、Q，使AP+PQ+QA 最短 问：这位将军怎样走路程最短？ 草地
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB． 桥MN、PQ和GH在中间，且方 向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决 问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长. 平移的方法有四种：三个桥长都平移 到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
A1 A2 A3
A
M N P Q G H B
问题解决
A
沿垂直于河岸方向依次把A 点平移至A１、A２、A3， 使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸 于H点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸 的P点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的 对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M
O
城堡 A
河边 N
能力训练： 已知P是∠BAC的边AB上的点， 你能在AC、AB上分别确定一点Q和R， 使 PQ+QR 最短吗？
C
A
P
B
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
. 将军骑马从城 堡A 出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到 军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他 A 所走的路径最短？
B
问题一：在直线 上找一点 问题一：将军骑马从城堡 A出发， C，使到一 AC最短？ 条笔直的小河边 饮马 。问：在河边的 什么位置饮马,将军所走的路径最短？
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1 A1 A
M P Q N P Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ ＰＱ ； 连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸 于Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ Ｑ＋ＱＢ．
问题延伸一
如图，A和B两地之间 有两条河，现要在两 条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直）
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
A
M N P Q B2 B1 B
A
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A
直线外一点与直线上所有点的连线中， 垂线段最短
问题二：在直线 C，使CA+CB最小 ？ 上找一点 问题二：将军骑马从城堡 A出发，到军营 B去， 途中经过一条笔直的小河 。 将军问：在小 河的什么地方饮马可使他所走的路径最短？
C A
两点之间线段最短
B
探究一：将军饮马问题
. 将军骑马从城 堡A 出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到 军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他 所走的路径最短？
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方 向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 垂直于第二条河岸方向平移 Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
A A1 M N P Q B
A
B
Biblioteka Baidu
思维分析
A
1、如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们遇 到了什么障碍呢？
Ｍ
Ｎ
B
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ 交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此 时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ 最短.
A
B
C
A´
你学会了吗？
巩固训练：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
探究二：将军饮马问题
如图：一位将军骑马从城堡 A出发，先骑马去草地边 数学问题：在射线 OM、 ON上分别找一点 OMP 的某处吃草，再骑马去河边 ON 喝水，最后回到城堡A， 、Q，使AP+PQ+QA 最短 问：这位将军怎样走路程最短？ 草地
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB． 桥MN、PQ和GH在中间，且方 向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决 问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长. 平移的方法有四种：三个桥长都平移 到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
A1 A2 A3
A
M N P Q G H B
问题解决
A
沿垂直于河岸方向依次把A 点平移至A１、A２、A3， 使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸 于H点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸 的P点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的 对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M
O
城堡 A
河边 N
能力训练： 已知P是∠BAC的边AB上的点， 你能在AC、AB上分别确定一点Q和R， 使 PQ+QR 最短吗？
C
A
P
B
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）