最短路径问题公开课
课题学习 最短路径问题 (公开课)获奖课件
点拨精讲：可将该式变形为完全平方公式的结构可简便运算。
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
教师点拨：把左边的展开后对比各项。
4ab
(4ab)
【点拨精讲】（3分钟）
A B
P'
P B'
l
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究1 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是 平行的直线，桥要与河垂直。）
分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进 一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将AM沿与河岸垂直的方向 平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’＝MN，AM+NB＝A’N+NB，当A’B在一条直线上 时，根据“两点之间，线段最短”，可得A’N+NB的值最小，则路径AMNB最短。
解：在直线a上取任意一点M’，作M’N’⊥b于点N’，平移AM， 使点M’移动点N’的位置，点A移动到点A’的位置，连接A’B 交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短。
理由如下：如图，点M’为直线a上任意一点（不与点M重合）， A ∵线段A’N’是线段AM平移得到的 ∴AA’＝M’N’，A’N’＝AM A' ∴AM’+M’N’+BN’＝A’N’+AA’+BN’ ∵MN平行AA’且MN＝AA’ ∴MN可以看作是AA’经过平移得到的 ∴A’N＝AM ∴AM+NB＝A’N+NB ∵根据两点之间线段最短，得A’N+NB＝A’B<A’N’+BN’ ∴AM+NB<AM’+BN’ ∵MN＝M’N’ ∴AM+MN+NB<AM’+M’N’+N’B，即路径AMNB最短。
全国优质课一等奖初中数学《课题学习最短路径问题》公开课课件
（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直）
A
M
N
B
我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N 为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交 直线a于点M，这样，上面的问题可以转化 为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？
B A
C
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
如何将B“移”到l 的另一
A
侧B′处，满足直线l 上的任意 ·
一点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
B
·
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”．
C Q 山
河岸 P
A 大桥 B
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
M
当AB、BC和AC三条边的长度 恰好能够体现在一条直线上时，
A
a
M
b
N
B
将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动 到点N，点A移动到点A'，则 AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？
人教版数学八年级上册初中数学《最短路径(将军饮马)》公开课课件
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
l2
l2的对称点A1，A2，连接A1A2分
A
别交直线l1，l2于点M，N，则 点M，N即为所求.
M
l1
A1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
△AMN的周长最小. 解析：通过轴对称的原理，把 周长最小值转化为两点间距离
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四
边形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求.
M
A
B
N
l2
巩固新知
如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a 上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来 水厂的位置,可使用的水管最短？ A
解：如图,作点B关于河边a的对称点 B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在 的位置为所求的自来水厂的位置.
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
最短路径问题市公开课一等奖省优质课获奖课件
问题1 归纳
B A
l
处理实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知处理新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
第12页
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处 可使从A到B路径AMNB最短？（假定河两岸是平 行直线，桥要与河垂直.）
思索： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？
在处理最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上两条线段转化到一条直线上 ，从而作出最短路径方法来处理问题.
第29页
布置作业
必做题 教材第91页复习题13第15
题.
第30页
第6页
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧两个点， 怎样在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 距离和最短？
B A
l
C
B
两点之间，线段最短.
第7页
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不一样点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 异侧呢？
（3）利用什么知识能够实现转化目标？
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边什么地方饮马，可使所走路 径最短？
B A
l
第4页
精通数学、物理学海伦稍加思索，利用轴对称 知识回答了这个问题．这个问题以后被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
第5页
分析：
B B
课题学习 最短路径问题 (优质课)获奖课件
四、归纳总结
1．本节课你学到了哪些知识？ 2．怎样解决最短路径问题？
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为
载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将
实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对 称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问
题．
11．2
与三角形有关的角
通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在
他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能 够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的 时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆 猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这 样以后才能运用自如．
多媒体出示问题2.(教材第86页) 提出问题：
(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？
(2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？
学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB
最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．
尝试选址作出图形． 多媒体展示教材图 13.4 － 7 ， 13.4 － 8 ， 13.4 － 9 ， 引导
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋ ∠ACD＝2×180°＝360°.
四、练习与小结 练习：教材练习． 教师布置练习，学生举手回答．
小结：谈谈你对三角形外角的认识．
教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和 性质两个方面入手．
五、布置作业
习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？ 思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找 到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？ 教师引导学生讨论，明确找点的方法． 让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明． 教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．
第课时 课题学习 最短路径问题 公开课一等奖课件
解：①作点A关于直线b的对称点A’，连接A’B交直
线b于点E，则AE+BE＝A’E+BE＝A’B，根据两点之间线
段最短，AE+BE的路程最短。
②∵点A与点A’关于直线b对称
A'
∴AE＝A’E，AC＝A’C
∴∠AEC＝∠A’EC
a
∵∠BED＝∠A’EC
∴∠AEC＝∠BED
∵∠ACE＝∠BDE＝90°，AC＝BD
M'
M
a
∴AM’+M’N’+BN’＝A’N’+AA’+BN’
A'
∵MN平行AA’且MN＝AA’ ∴MN可以看作是AA’经过平移得到的 ∴A’N＝AM ∴AM+NB＝A’N+NB
b N' N
B
∵根据两点之间线段最短，得A’N+NB＝A’B<A’N’+BN’
∴AM+NB<AM’+BN’
∵MN＝M’N’
∴AM+MN+NB<AM’+M’N’+N’B，即路径AMNB最短。
提高文明水平。
安静是什么
• 安静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国
来的人，文明程度并不高。这就是形象。
安静是什么
• 保持安静是一种习惯。
•习惯是养成的，除了必要的约束，还需要较长的时 间。行为养成习惯，习惯形成品质，品质决定人生。 自觉保持公共场所的安静，就是良好的行为，就能形
分析：如果我们能把点B移到l的另一侧B’处，同时对直线l上的任一点C，都保
人教版_《课题学习最短路径问题》_公开课PPT1
A
B
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四
问题. 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
l1，l2于点C，D，连接AC，BD. 依据“两点之间，线段最短”可知，路线（3）是最近的. 解：延长AC至点A′，使得A′C=AC， 如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实 所以小明先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
意一点，则AC和BC的大小关系是什么？
l C
A
B
依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等”知， AC=BC.
学习目标
1 . 利 用 轴 对 称 , 平 移 等 变 化 解 决 简 单 的 最 短 路 径 如图所示，将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置. 那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？ 依据“垂线段最短”可知（2）是最短的.
对称点C ； C A 知识点1 两点一线型
∠A′CE=∠BDE，
1 1 分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直
课题学习 最短路径问题 公开课大赛(省)优【一等奖教案】
13．4课题学习最短路径问题1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】两点的所有连线中，线段最短如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【类型二】运用轴对称解决距离最短问题在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l 于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．三、板书设计课题学习最短路径问题1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD等于( )A ．3B ．2C ．1.5D ．1解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝12×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到CD ＝12DB . 解：CD ＝12DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD ＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝12DB . 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．三、板书设计含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。
人教版《课题学习最短路径问题》公开课PPT
A
A
抽象成
Bl
实际问题
C
l
数学问题 B
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已使知得：A如C图+B，CA最，小B。在直线L的两侧，在L上求一点C，
连接AB,线段AB与直线L的交点C ，就是所求。
C
思考？？？
(Ⅰ)两点在一条直线异侧 ∴ AC +BC＜AC′+BC′． (Ⅲ)一点在两相交直线内部 难点名称：最短路径问题 已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
根据：两点之间线段最短. 想一想：对于前一个问题，两点在同一条直线异侧，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
八年级-上册-第13章第4节 三角形三边关系：两边之和大于第三边； PC最短，因为垂线段最短 BC =B′C，BC′=B′C′． 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 三角形任意两边之和大于第三边
两点在同一条直线异侧，如
A
何将点B“移”到l 的另一侧
B′处，满足直线l 上的任意一
l
点C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：
连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； 连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
为什么这样做就能得到最短距离呢？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
最短路径问题 公开课
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
在△AB′C′中，
C
AB′＜AC′+B′C′，
C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 比较线段大小常用
即 AC +BC 最短．
的方法
B′
证明“最大”“最小”这类问题，常常需 要另选一个量，通过与求证那个“最 大”“最小”的量进行比较来证明。这是 数学中常采用的方法。
作法：
B′吗？
（1）作点B 关于直线l
B
的
B′；
A
（2）连接 ，与直线l
C
l
相交于点C．
则点C 即为所求．
B′
问题3 你能用所AC学+的B知C是识最证短明吗AC？+BC最短吗？
再选一个C′′证明一下吧
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
与CB′的长度相等？
C l
利用轴对称，作出点B关于直线l
B′
的对称点B′.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距 离的和最短？
因为BC=B′C,所以求AC+BC和最小,
就转化求AC+B′C和最小。
B
转A 化
转化
C l
现在你能解决问题2了吗？
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
《课题学习 最短路径问题》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、
AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三
角形即可．
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
二 造桥选址问题
A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设
护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥
可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽， 连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A C
几何画板：验证路径最短.gsp
B
l B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
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M
O
城堡 AAB上的点， 你能在AC、AB上分别确定一点Q和R， 使 PQ+QR 最短吗？
C
A
P
B
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1 A1 A
M P Q N P Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ ＰＱ ； 连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸 于Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ Ｑ＋ＱＢ．
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
A
B
思维分析
A
1、如图假定任选位 置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们遇 到了什么障碍呢？
Ｍ
Ｎ
B
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ 交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此 时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ 最短.
A
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB． 桥MN、PQ和GH在中间，且方 向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决 问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长. 平移的方法有四种：三个桥长都平移 到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
问题延伸一
如图，A和B两地之间 有两条河，现要在两 条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直）
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
A
直线外一点与直线上所有点的连线中， 垂线段最短
问题二：在直线 C，使CA+CB最小 ？ 上找一点 问题二：将军骑马从城堡 A出发，到军营 B去， 途中经过一条笔直的小河 。 将军问：在小 河的什么地方饮马可使他所走的路径最短？
C A
两点之间线段最短
B
探究一：将军饮马问题
. 将军骑马从城 堡A 出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到 军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他 所走的路径最短？
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
A1 A2 A3
A
M N P Q G H B
问题解决
A
沿垂直于河岸方向依次把A 点平移至A１、A２、A3， 使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸 于H点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸 的P点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的 对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方 向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 垂直于第二条河岸方向平移 Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
A A1 M N P Q B
A
B
C
A´
你学会了吗？
巩固训练：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
探究二：将军饮马问题
如图：一位将军骑马从城堡 A出发，先骑马去草地边 数学问题：在射线 OM、 ON上分别找一点 OMP 的某处吃草，再骑马去河边 ON 喝水，最后回到城堡A， 、Q，使AP+PQ+QA 最短 问：这位将军怎样走路程最短？ 草地
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
A
M N P Q B2 B1 B
将军饮马问题 ：
. 将军骑马从城 堡A 出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到 军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他 A 所走的路径最短？
B
问题一：在直线 上找一点 问题一：将军骑马从城堡 A出发， C，使到一 AC最短？ 条笔直的小河边 饮马 。问：在河边的 什么位置饮马,将军所走的路径最短？