1.3复数的乘幂与方根
复变函数：第三节 复数的乘幂与方根
i
sin
4
n
(
2)n
cos
n 4
i
sin
n 4
cos
n 4
i
sin
n 4
n2
22
cos
n
.
4
例4 计算 3 1 i 的值.
解
1i
2
1 2
1 2
i
2cos
4
i
sin
4
3
1i
6
2cos
4
2k 3
i sin
4
2k
3
(k 0,1,2).
即
w0
6
2cos
12
i
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义zn
1 zn
,
那么当n
为负整数时,
上式仍成立.
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
例5 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
2
cos
1-3复数的乘幂与方根
2 2
23
2
2 z 2 Re z 3
解: 设 z x iy, 则 2 z 2 Re z 3
y
即为 2 x 2 y 2 2 x 3
0
3 4
x
9 整理得： y 3 x 4
7
点为 z1 1 和z2 2 i , 例2 已知正三角形的两个顶 求它的另一个顶点 .
y
解
如图所示,
o
z3
z2 2 i
3
x
将表示 z2 z1 的向量
z1 1 z 3 绕 z1 旋转 (或 )就得 3 3 到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z ). 3
已知曲线： x , y 0, F
若令 z x iy,
代入得： zz zz F , 2i 2
zz zz 则 x , y 2 2i
0 为曲线的复数形式方程.
18
例5
指出下列方程表示的曲线
(1) z i 2
解:法 1.
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
n in
n
r
n
cos n i sin n
1 n , 那么当 n 为负整数时, z
n个
z z , Argz nArgz
n
如果我们定义 z 上式仍成立.
n
10
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cos n i sin n . 棣莫佛公式
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
高二数学复数的乘方与根式的求解方法
高二数学复数的乘方与根式的求解方法复数是数学中一个重要的概念，它由实数部分和虚数部分组成。
在高二数学中，我们需要掌握复数的乘方和根式的求解方法。
本文将详细介绍高二数学中复数的乘方和根式的求解方法。
一、复数的乘方复数的乘方是指对一个复数进行指数运算，即复数的幂。
复数的幂可以通过极坐标形式和指数形式来求解。
1. 极坐标形式如果我们将复数表示为幅角和模长的形式，即z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示幅角，那么复数的乘方可以通过将模长和幅角分别进行乘方来求解。
例如，对复数z = 2(cosπ/6 + isinπ/6)进行平方，我们可以将幅角π/6倍增，模长2进行平方，即得到z² = 4(cosπ/3 + isinπ/3)。
2. 指数形式复数的指数形式是指将复数表示为指数函数的形式，即z = re^(iθ)，其中r表示模长，θ表示幅角。
对于复数的乘方，我们可以直接对指数进行运算。
例如，对复数z = 2e^(iπ/6)进行平方，我们可以直接对指数进行平方，即得到z² = 4e^(iπ/3)。
二、复数的根式求解方法复数的根式是指对一个复数求根的过程，即解复数的等式。
复数的根式可以通过极坐标形式和指数形式来求解。
1. 极坐标形式对于复数的根式，我们可以使用极坐标形式进行求解。
假设我们要求解复数z的n次根，那么根式的公式可以表示为 w =r^(1/n)(cos(θ+2kπ)/n + isin(θ+2kπ)/n)，其中r表示模长，θ表示幅角，k 为整数。
例如，要求解复数z = 8(cosπ/4 + isinπ/4)的平方根，即求解 w² =8(cosπ/8 + isinπ/8)。
根据公式，我们可以得到两个平方根，分别为w₁= 2(cosπ/16 + isinπ/16)和w₂ = 2(cos17π/16 + isin17π/16)。
2. 指数形式对于复数的根式，我们也可以使用指数形式进行求解。
复数概念与运算
2kπ 4
k 0,1, 2, 3
w0 2(1 i ), w1 2(1 i ),
w2 2(1 i ), w3 2(1 i ).
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 r n 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
y
w1
w0
o
w2
x
w3
1.4 复数在几何上的应用举例
z x iy z x iy z x iy z x iy
共轭复数的性质
1 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
.
2 z z z
3 z z Re(z)2 Im(z)2 .
4 z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
z1 z3 z2 z1 z2 z1
z1z3z2 3
z1
z2
z2
z12
z22
i
z3 z2 e 3
i
z1 z3 e 3
z32 z1z2
z1 z2
z2 z3
z2 z3
z3 z1
z1 z3 z2 z3
1.5 复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法
Argz2 .
两个复数相乘的几何意义
y •z
z1 z2
r
i sin(1 2 )].
复数的乘幂
zk rk (cosk i sink )
o
12
r1
•
r2
z2
x
k 1, 2, , n ,
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
对虚数单位的规定：
第一章3复数的乘幂与方根
第二节
复数的运算
一、复数的代数运算及共轭复数的运算法则
二、复数的代数运算的几何表示
三、复数的乘幂与方根
三、复数的乘幂与方根
1. 乘幂
设复数 ≠ 0, = (cos+sin),
则 = (cosn+sinn) ，为正整数．
规定 z
−n
1
= n.
z
), w3 = 2 (cos
+ i sin
),
16
16
16
16
1
8
1
8
这四个根是内接于以原点为圆心，半径为 2的圆的正方形的顶点
8
谢谢观看！
当 = , + 1, ⋯ 时，这些根又重复出现.
=
=
1
[cos
2 在几何上，
+ 2
+ 2
+ sin
], = 0,1,2, ⋯ , − 1
1
的个值是以原点为圆心， 为
半径的圆的内接正边形的个顶点.
例3．求 1 + .
4
解： 1 + = 2(cos + sin )
特别地，当 = 1时，得到棣莫弗公式
(cos+sin) = cosn+sinn.
2. 方根
z 称为的次方根.
设 z = r (cos + i sin ), w = (cos + i sin )
方程 wn = z 的根 w ，即 w =
n
n
有 (cos n + i sin n ) = r (cos + i sin )
中考知识点复数的乘方与开方
中考知识点复数的乘方与开方一、复数的乘方在数学中，复数的乘方是指将一个复数自乘若干次的运算。
复数的表示形式为a+bi，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
复数的乘方可以通过将实数部分和虚数部分分别展开，并利用幂运算规则进行计算。
复数的乘方的计算方法如下：1. 将复数表示成指数形式复数a+bi可以表示为模长和辐角的指数形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
2. 使用欧拉公式展开根据欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，将复数表示为指数形式后，可以方便地使用欧拉公式展开。
3. 应用幂运算法则计算将复数的指数形式展开后，可以根据指数幂运算法则进行计算。
例如，(a+bi)^n可以展开为(a+bi)(a+bi)(a+bi)...(a+bi)的形式，然后利用幂运算法则进行计算。
二、复数的开方复数的开方是指求一个复数的平方根，即找到一个复数，使得它的平方等于给定的复数。
复数的开方可以通过将复数转化为极坐标形式，然后利用平方根的性质进行计算。
复数的开方的计算方法如下：1. 将复数表示成极坐标形式复数a+bi可以表示为模长和辐角的极坐标形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
2. 求模长的开方复数的模长的开方可以通过求模长的平方根得到，即r的开方。
3. 求辐角的平分复数的辐角的平分可以通过将辐角除以2得到的值。
4. 求得复数的开方将模长的开方和辐角的平分代入极坐标形式中，可以得到复数的开方。
三、例题解析1. 求解复数i的乘方和平方根(1) 复数i的乘方将复数i表示为指数形式，即i=cos(π/2)+isin(π/2)，根据欧拉公式可得i=e^(iπ/2)。
因此，i的乘方可以通过幂运算法则进行计算。
(2) 复数i的平方根将复数i表示为极坐标形式，即i=1(cos(π/2)+isin(π/2))，根据平方根的性质可得i的平方根为√1e^(iπ/4)。
1.3 复数的乘幂与方根
)3
eπi
1.
变
2 2
函
数
此外，显然有 (1)3 1.
由此引出方根的概念。
8
§1.3 复数的乘幂与方根
§1.3 复数的乘幂与方根
第 一 三、 复数的方根 P15
章
复数求方根是复数乘幂的逆运算。
复 数
定义
设 z 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足wn z 的
与 复
复数 w ，称为把复数 z 开 n 次方，或者称为求复数 z 的
2e 3 .
1
12
§1.2 复数的几种表示
附：关于 Arg (z1 z2 ) Arg z1 Arg z2(在集合意义下)
第
一
所谓“在集合意义下”是指：
章 分别从集合 Arg z1 中与集合 Arg z2 中任取一个
复 数
元素(即辐角)，相加后，得到集合Arg (z1 z2 ) 中的
与
一个元素(即辐角)。
2e 6
有
复 数
πi
5π i
( π 5π )i
(1 3 i)( 3 i) 2e 3 2e 6 4e 3 6
与
复
πi
变
4e 2 4 i .
函 数
1 3i 3i
πi
2e 3
5π i
( π 5π )i
7π i
e 3 6 e 6
2e 6
cos 7π i sin 7π 3 1 i .
章 复
wk
n
z
n
r
i(
en
2k n
)
,
(k 0,1, , n 1) .
数 与
描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
复数概念表示法乘幂与方根区域
背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。
邻域复平面上以内部的点的集合称为点的折线连接属于中任意两点均可用完全区域边界与边界点已知点的任何邻域中都包含有界区域与无界区域若存在闭区域区域为圆点表示以re轴的直线几个点只是边界增加了一个或它仍然是区域几个点如果在其中去掉一个或组成它的边界由两个圆周而且是有界的表示一个圆环re表示下半复平面表示右半复平面实变函数表示为
2 2
• 判断复数相等
z z x x , y y , 其 z x 中 iy , z x iy 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 z 0 Re z ) Im ( z ) 0 (
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算
3
例 2 : 求 1
3
解 : 1 co 0 i s 0 s i n
i i 1 2 设 z r e , z r e 1 1 2 2
证明
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
Argz=Argz2-Argz1 即：
复数的幂与根的运算
复数的幂与根的运算复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
在复数运算中，我们经常会遇到复数的幂与根的运算，本文将详细讨论这两种运算及其特性。
一、复数的幂运算复数的幂运算是将一个复数自乘若干次。
设有一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。
1. 复数的平方运算将复数z自乘一次，即z^2 = (a + bi)(a + bi)。
展开得到z^2 = a^2 + 2abi - b^2，整理后可得z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi。
可以看出，复数的平方仍旧是一个复数，实部为a^2 - b^2，虚部为2ab。
2. 复数的立方运算将复数z自乘两次，即z^3 = z^2 * z = (a^2 - b^2 + 2abi)(a + bi)。
展开得到z^3 = (a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i)，整理后可得z^3 = (a^3- 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i。
同样地，复数的立方仍旧是一个复数，实部为a^3 - 3ab^2，虚部为3a^2b - b^3。
3. 复数的n次幂运算将复数z自乘n次，即z^n = z^(n-1) * z = ((a + bi)^(n-1))(a + bi)。
根据二项式定理展开后可得z^n = (a^n + na^(n-1)bi + C(n, 2)a^(n-2)b^2i^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1)i^(n-1) + b^n * i^n)。
在上述展开式中，可以观察到幂次大于1的i项会相互抵消，因为i^2 = -1，而i^3 = -i，i^4 = 1，i^5 = i，以此类推。
因此，最终复数的n次幂展开式可简化为z^n = (a^n + C(n, 2)a^(n-2)b^2 - C(n, 4)a^(n-4)b^4 + ... + (-1)^(n/2)b^n) + (na^(n-1)b - C(n, 3)a^(n-3)b^3 + ... + (-1)^((n-1)/2)ab^(n-1))i。
复数的乘方与根式
复数的乘方与根式当我们学习数学时，经常会遇到复数的乘方和根式。
复数是由实数和虚数部分组成的数，它具有形式 a+bi，其中 a 表示实数部分，b 表示虚数部分，i 是虚数单位，它满足 i² = -1。
本文将探讨复数的乘方和根式的计算方法及其特点。
一、复数的乘方要计算复数的乘方，我们首先需要了解复数的乘法法则。
复数的乘法法则可以通过将两个复数的实部和虚部展开，并利用 i² = -1 的性质来得到。
具体的计算步骤如下：1. 将复数 a+bi 平方展开，得到 a²+b²i²+2abi。
2. 利用 i² = -1 的性质，将 a²+b²i²替换为 a²-b²。
3. 将结果整理为标准形式 a²-b²+2abi。
举例来说，我们计算 (3+2i)²：(3+2i)² = 3²+(2i)²+2(3)(2i)= 9+4i²+12i= 9+4(-1)+12i= 9-4+12i= 5+12i因此，(3+2i)² = 5+12i。
同样地，可以计算复数的高次幂，例如 (3+2i)³、(3+2i)⁴等等。
通过将复数展开并合并同类项，我们可以得到最终结果。
二、复数的根式复数的根式也是数学中常见的概念。
当我们求解复数的根式时，需要使用求根公式。
对于复数 a+bi，求其根式的计算公式如下：1. 计算模长|a+bi| = √(a²+b²)。
2. 计算辐角θ = arctan(b/a)。
根据角度的周期性，复数的根式有多个解。
根式的结果可以通过使用模长和辐角的计算公式来得到。
假设我们要求解复数的二次根号，计算步骤如下：1. 将复数 a+bi 的模长记为 r，辐角记为θ。
2. 求根公式的结果为√r * (cos(θ/2) + i*sin(θ/2))。
复数的乘方与根式表示
复数的乘方与根式表示复数是由实部和虚部组成的数，通常可表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数乘方是指将一个复数自乘多次，而根式表示是指将一个复数开平方或开其他次方根的运算。
在本篇文章中，我们将探讨复数的乘方和根式表示。
一、复数的乘方复数的乘方可以通过将复数展开并应用二项式定理来计算。
根据二项式定理，任意一个复数的乘方可以通过展开并进行相关运算得到结果。
举例来说，设有一个复数z=a+bi，我们要计算它的n次方，即z^n。
展开这个乘方表达式可得：z^n = (a+bi)^n根据二项式定理，可以将复数展开为一系列组合项。
每个组合项包括一个系数和一个幂的乘积。
通过展开后的表达式，我们可以进行相关的运算，计算复数的乘方结果。
二、复数的根式表示复数的根式表示是指将一个复数开平方或开其他次方根的运算。
对于一个复数z=a+bi，我们可以用根式表达形式来表示它的平方根、立方根等。
1. 平方根设有一个复数z=a+bi，要求其平方根。
我们设平方根为w=x+yi，根据平方根的定义，可以得到以下等式：w^2 = z将w和z分别展开并进行比较，可以得到以下方程组：x^2 - y^2 = a2xy = b解这个方程组，可以得到平方根w的实部x和虚部y的值，进而得到平方根的根式表示。
2. 立方根对于一个复数z=a+bi，要求其立方根。
同样地，我们设立方根为w=x+yi，根据立方根的定义，可以得到以下等式：w^3 = z展开并比较w和z，可以得到以下方程组：x^3 - 3xy^2 = a3x^2y - y^3 = b解方程组，可以得到立方根w的实部x和虚部y的值，从而得到立方根的根式表示。
通过以上的方法，我们可以计算出复数的平方根、立方根，以及其他次方根。
根式表示有助于我们更好地理解复数的性质和运算。
总结：复数的乘方和根式表示是复数运算中的重要概念。
复数的乘方可以通过展开乘方表达式并进行运算得到结果，而复数的根式表示可以通过解方程组得到实部和虚部的值，进而得到根式表示的形式。
1-3复数的乘幂与方根
1 n
复 变 函 数 与 积 分 变 换
4
n n
i sin
4
n
) )
wn1 r (cos
1 n
2( n 1)
i si重复出现。
哈 尔 滨 工 程 大 学
例1 求 3 1
例2 设z 1 i ,求z 和 4 z
8
2k
i sin 4
2k 4 )
4 ( k 0,1, 2, 3)
三、 复数的方根
哈 尔 滨 工 程 大 学
设z re 为已知复数，n为正整数，则称满足 方程w z的所有w值为z的n次方根，记为
n
i
wnz
复 变 函 数 与 积 分 变 换
设w e , 则 e
i
n in
re
n
i
r,
n
2k
1 n
, k 0, 1, 2,
集合相等
Arg ( z1 z2 ) Argz1 Argz2
对除法，有
哈 尔 滨 工 程 大 学
z1 z1 z1 ( z2 0), Arg( ) Argz1 Argz2 z2 z2 z2
乘法的几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2， (z) 再将其伸缩到|z2|倍。 y
4
复 变 函 数 与 积 分 变 换
哈 尔 滨 工 程 大 学
几何上， n z 的n个值是 以原点为中心，n r 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 2 的正n边形的n个顶点。
如 k 4 1 i
1
y
28
1 i
2
复数的乘幂与方根(第一节 三)
iz相当于将z所对应的向量 OZ 沿逆时针方向旋转
→
→
π
2
-z相当于将z所对应的向量 OZ 沿逆时针方向旋转π
-iz相当于将z所对应的向量 OZ 沿顺时针方向旋转
→
π
2
4
说明 由于辐角的多值性 Arg( z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 两端都是无穷多个数构成的两个数集 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 对于左端的任一值 右端必有值与它相对应 例如， 例如，设 z1 = −1, z2 = i , 则 z1 ⋅ z2 = − i , Argz1 = π + 2nπ, ( n = 0, ± 1, ± 2,L), π Argz2 = + 2m π, ( m = 0, ± 1, ± 2,L), 2 π Arg( z1 z2 ) = − + 2kπ, ( k = 0, ± 1, ± 2,L), 2 3π π 故 + 2( m + n)π = − + 2kπ, 只须 k = m + n + 1. 2 2 若 k = −1, 则 m = 0, n = −2 或 m = −2, n = 0.
三
复数的乘幂与方根
1、乘积与商 2、幂与根 3、小结与思考
1、乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 证
设复 数z1和z2的指数形式分别 为
z1 = ρ1e , z 2 = ρ 2 e
z1 ⋅ z2 ⋅L⋅ zn = ρ 1 ⋅ ρ 2 ⋅ L ⋅ ρ n e i ( ϕ
复变函数与积分变换1.3复数的乘幂与方根
所以
z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z1 0 .
2 2 2
二、 乘方与开方运算（幂与根 ） 1）乘方
z r e
n n
in
r
n
co s n
i sin n
令|z|=1,则得到 德莫佛(De Moivre) 公式：
co s
3
i sin
n
co s n i sin n
2 ）开方:
若满足 w
n
z
记为
则称w为z的n次方根, 于是
w
iArg z
n
z .
w e
n
inArg w
ze
推得
w n z a rg z 2 k A rg w n ( k 0,1, 2, , n 1)
例2 求
4
1 i.
2 co s i sin , 4 4
[解] 因为
1 i
所以
2 k 2 k 2 cos 4 i sin 4 4 4
, ( k 0,1, 2, 3)
4
1 i
8
w1
2
w0 x
w2
O
8
8
w3
四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形 的四个顶点.
例3 求
3
8.
解 因为 8 8 (cos i sin )， 所以
3
8
3
8 (cos
2 k
3
i sin i sin
2 k
复数的乘幂与方根 (上课用)
§1.3 复数的乘幂与方根教学目的：熟练运用复数的各种表示法的转化灵活进行相关的计算与证明．重点：灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相 关问题．难点：模不等式证明，复数的三角表示与指数表 示，复数的开方与复方程求解． 教学过程： 复习：1.复数的模的三角不等式与恒等式Re =≤z x z ,Im =≤z y z , Re Im ≤+=+z x y z z22⋅==z z z z 22+＝x y .21==z z z zz z. 设111222,z x iy z x iy =+=+， 则有三角不等式121212-≤±≤+z z z z z z ,例（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）设12,z z 为任意复数，证明下式并说明它的几何意义.()22221212122z z z z z z ++-=+；（3）z z z z -≤-.证明 （1）12z z ⋅==12z z =⋅.（2）∵ 2121212()()z z z z z z +=++11122122z z z z z z z z =+++22121221z z z z z z =+++2212122Re()z z z z =++ ，又∵ 212121*********()()z z z z z z z z z z z z z z -=--=--+ 22121221z z z z z z =+--2212122Re()z z z z =+-，∴ 两式相加得2222121212z z z z 2(z z )++-=+.它的几何意义是: 平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍. （3）2121212()()z z z z z z -=--2212122Re()z z z z =+-，又因为 12121212Re()z z z z z z z z ≤==， 所以2222121212122()z z z z z z z z -≥+-=-，从而 z z -≤z z -，同理可证 1212z z z z -≤+ 故有 121212z z z z z z -≤±≤+ 思考:说明上述不等式在什么条件下取等号? 2.复数的三种表示1） 代数表示：而i z x y =+称为复数z 的代数形式.2） 三角表示：设=+z x iy （0z ≠），由直角坐标与极坐标的关系知i θθ(cos sin )=+z r 称为z （0z ≠）的三角形式.其中r 是模，θ是辐角. （如图1.6解释两个量）注意：特别,当1==r z 时i cos sin z θθ=+ 称为单位复数. 3）指数表示式：由欧拉公式（Euler ）:i cos sin i eθθθ=+,知复数z （0z ≠）表示成 =i z re θ称为指数形式. §1.3. 1 复数的积与商设 1111z r (cos i sin )θθ=+，2222z r (cos i sin )θθ=+ 1.复数三角形式与指数形式的积/则 12121212z z r r [cos()i sin()]θθθθ=+++. 设1=i z r eθ,2=i z r eθ,则12()+⋅=i z z r r eθθ.从而1212=z z z z ,1212()=+Arg z z Argz Argz . 【定理一】两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于两个辐角的和.复数乘法的几何意义：12z z ⋅表示将1z 所表示的向量逆时针旋转2Argz 并伸长2z 倍后所获得的向量.（提问：i z ⋅及i z -⋅表示的意义是什么？）重要结论： 12=z z ⇔ 12=r r ,122=+k θθπ,(k 为任意整数)2.复数三角形式与指数形式的除法11121222[cos()sin()]z r i z r θθθθ=-+- ()121122-=i z r e z r θθ （同上叙述除法的几何意义） 从而 1122=z z z z ；1122()=-z Arg Argz Argz z .【定理二】两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的辐角等于被除数的辐角与除数的辐角之差. 思考题：如何理解1212arg()arg arg z z z z ≠+；1122arg()arg arg z z z z ≠- 例子：arg(),arg(1)2i ππ=-=，3arg[()(1)]arg()arg()arg(1)22i i i ππ-=-=-≠=+- (1)argarg()arg(1)arg()2i i i π-===--.arg()2i π=-=-≠3arg(3)arg(3)2i π---=. 例1 用复数的三角形式计算（1）(1)+i .解： 因为 12(cossin )33+=+i ππ， 552[cos()sin()]66=-+-i i ππ所以 (1)+i＝4[cos()sin()]22-+-i ππ＝4-i .（2）212+-ii.解： 112sinarctan )22+=+i i ，122)sinarctan(2)]-=-+-i i⇒212+-ii＝ 1cos[arctan arctan(2)]2--1sin[arctan arctan(2)]2+--icossin22i i =+=ππ.注意运用反三角恒等式：arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-arctan arccot ,2x x x R π+=∈.当0x >时，1arctan arccotx x= . 提问：设(cos sin )z r i θθ=+，则1z= . #：111(cos sin )[cos()sin()]i i z r rθθθθ=-=-+-.1. 幂：通常把n 个复数z 的乘积n z z z z ⋅⋅⋅=称为z 的n 次幂记为nz .若0≠z , 记i z re θ= ，则θθθ(cos sin )==+n n in n z r e r n i n ,特别 当1=r 时,有θθθcos sin =+in e n i n -----棣莫弗公式（De Moivre ）2.方根：设0z ≠，通常 把满足方程n w z = (2n ≥为整数)的复数w 称为复数z 的n 次方根,记为=w .记=i z re θ,e i w ϕρ=将它们代入方程 =nw z 得n in i e re ϕθρ=,从而 nr ρ=, 2=+n k ϕθπ，于是ρ=算术根), 2+=k nθπϕ,0,1,2,,1k n =-.且复数z 的n 次方根为2k ink k w θπ+==,0,1,2,,1k n =-.结论：复数(0)z z ≠的n 次方根共有n 个,它们均匀地分布在以原点为心.（如图1.7） 注意：复数的乘、除运算以及下面的幂(乘方)、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例2 的复指数表示式. 解 因为 88-=i e π，所以22332++==k k iieππππ(0k =,1,2).提问：计算例3 用复数三角表示计算 3(1+.解 33(1[2(cossin )]33+=+i ππ8(cos sin )8=+=-i ππ.例4 解方程（1） 320z -=； （2） 30z +=（3） 30z +=. （4） 310-+=z i .解 （1）320z -=可化为 32z =，方程的三个根为22sin )(0,1,2)33k k z i k ππ=+=.（2）30z =可化为 3z =122sin)33ππππ++=+k ki(0,1,2)k=为方程的三个根.（3）30+=z可化为3=z，13)sin()]}22=-+-z iππ2222sin)(0,1,2)33-+-+=+=k ki kππππ为方程的三个根.（4）310-+=z i可化为331sin)44=-⇒=+z i z iππ88sin)(0,1,2)1212++⇒=+=k kz i kππππ.例5求cos3θ及sin3θ(用cosθ与sinθ来表示). 解：由棣莫弗公式知33(cos sin)cos3sin3ii e iθθθθθ+==+又3(cos sin)iθθ+3223cos3cos sin(3cos sin sin)iθθθθθθ=-+-比较两式的实部与虚部得323cos3cos3cos sin4cos3cos θθθθθθ=-=-233sin33cos sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-=-.例6 已知 正三角形的两个顶点为11z =与22z i =+， 求另一个顶点.分析： 注意正三角形的几何特征与复数的几何意义 ()i 33121z z ez z π±-=-()()11i 2=±+()(131i 22=+±所以331((2222z i =-++或331((2222z i =++-．练习：1．方程s i n c o s 0z z -=在复数范围内的全部解为ππz=k +，（k 为整数）4． 2．方程sin cos 0z z +=在复数范围内的全部解为ππ-z=k ，（k 为整数）4．提问：1.任何复数都有模和幅角这种说法对吗？2.设1z =, 2z i =,试用指数形式表示12z z 和12z z . 小结：1.在进行复数运算时注意三角形式计算必须符合的要求.同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单.2.两个三角形式的复数相等时,辐角可以相差2π的整数倍.3.利用复数的三角形式很容易解释复数乘法、除法、乘方的几何意义.4. 解复方程时先将方程化为最简型，再开方.易犯错误：1.且复数开方运算时根表示易出错误.主要是特殊角的三角函数值不熟悉.2.解复方程错误多.作业：.(2),(3)3118.(1),(2),(3),(5)1416.(1).P ；；。
复数的乘方与根的运算法则
复数的乘方与根的运算法则复数的乘方与根的运算法则是复数运算中的重要内容，它们在数学、物理学和工程学等领域中有广泛应用。
本文将介绍复数的乘方运算法则和根的运算法则，以及它们的应用。
一、复数的乘方运算法则1.1 幂为自然数的情况：当复数z与自然数n相乘时，其运算法则如下所示：z^n = (r(cosθ + isinθ))^n= r^n(cos(nθ) + isin(nθ))其中，r表示复数z的模，θ为复数z的辐角。
1.2 幂为整数的情况：当复数z与整数n相乘时，运算法则可以根据乘方的性质推导得到。
1.2.1 n为正整数的情况：z^n = z × z × z × ... × z (共n个z相乘)= r^n(cos(θ) + isin(θ))(cos(θ) + isin(θ))...(cos(θ) + isin(θ))= r^n(cos(nθ) + isin(nθ))1.2.2 n为负整数的情况：z^n = 1/(z^-n)= 1/[(r^(-1))(cos(-θ) + isin(-θ))]= 1/[r^(-n)(cos(-nθ) + isin(-nθ))]= 1/[r^(-n)(cos(nθ) - isin(nθ))]= r^n/(cos(nθ) - isin(nθ))二、复数的根的运算法则2.1 幂为自然数的情况：假设复数w是复数z的n次方根，即w^n = z，其运算法则如下所示：w = (r(cosθ + isinθ))^(1/n)= r^(1/n)(cos(θ + 2kπ)/n + isin(θ + 2kπ)/n)其中，r表示复数z的模，θ为复数z的辐角，k为整数。
2.2 幂为整数的情况：当复数w是复数z的n次方根时，运算法则可以根据根的性质推导得到。
2.2.1 n为正整数的情况：w = (r(cosθ + isinθ))^(1/n)= r^(1/n)[cos((θ + 2kπ)/n) + isin((θ + 2kπ)/n)]其中，r表示复数z的模，θ为复数z的辐角，k为整数。
复数的乘方与根运算
复数的乘方与根运算复数的乘方和根运算是复数学中的重要概念和运算，它们在科学、工程和数学领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍复数的乘方和根运算，以及它们的性质和计算方法。
一、复数的乘方复数的乘方是指将一个复数与自身连续相乘的运算。
复数的乘方可以通过将复数写成极坐标形式来求解。
假设有一个复数z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
它的模长表示为|z|，辐角表示为θ。
复数z的乘方可以表示为：z^n=(a+bi)^n。
利用欧拉公式可将复数表示为极坐标形式：z=r(cosθ+isinθ)。
对复数z^n进行乘方运算，则得到：z^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))。
这样，复数的乘方结果可以通过模长和辐角的运算得到。
其中，模长的乘方等于原复数模长的乘方，辐角的乘方等于原复数辐角的乘以n。
二、复数的根运算复数的根运算是指求解复数的n次方根的运算。
复数的根运算的结果可以是有限个解，也可以是无穷多个解。
假设有一个复数z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
复数z的n次方根可以表示为：√z = √(a+bi)。
利用欧拉公式可将复数表示为极坐标形式：z=r(cosθ+isinθ)。
对复数√z进行根运算，则得到√z = √r(cos(θ/n)+isin(θ/n))。
复数的根运算结果可以通过模长和辐角的运算得到。
其中，模长的开n次方等于原复数模长的开n次方，辐角的除以n。
需要注意的是，复数的根运算可以有多个解。
具体来说，对于给定一个复数，它的n次方根共有n个解，形成一个n角等分的圆周，这也被称为复数的主值和辅助值。
三、复数乘方与根运算的性质1. 两个复数的乘方等于两个复数分别乘方再相乘。
即，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，它的乘方为[(ac-bd)+(ad+bc)i]^n。
2. 复数的幂运算满足指数运算的一般规律。
即，(a+bi)^n=(a+bi)(a+bi)⋯(a+bi)，其中n为正整数。
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1.3复数的乘幂与方根
一、乘积与商
定理一.
两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它
们的辐角相加：1212z z z z ⋅=；1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+或者12()
1212i z z rr e
θθ+=。
注：定理中1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+两边是角的集合相等。
证明：令1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+
12121122(cos sin )(cos sin )z z r r i i θθθθ⋅=⋅++
1212121212[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )]r r i θθθθθθθθ=⋅-++ 121212[cos()sin()]r r i θθθθ=⋅+++
几何意义：将复数1z 按逆时针方向旋转一个 角度2()Arg z 再将其伸缩到2z 倍。
令1z i =+由复数乘法的几何意义说明下列 复数如何生产：
1.(1z +
；2.(1z -；3.(1)z i -
如何得到下列复数：
1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍
2. 将z 顺时针旋转120
定理二.
两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被
除数与除数的辐角之差。
即：
2211z z z z =；2211
rg()rg()rg()z
A A z A z z =- 注：定理中2
211
rg(
)rg()rg()z A A z A z z =-两边是角的集合相等。
证明：由除法定义2
1
z z z =
，即：21z zz =。
由定理一得：11z z z z ⋅=；11rg()rg()rg()A zz A z A z =+2211z z z z ∴
=；2211
rg()rg()rg()z
A A z A z z =- 定理一和定理二如果用复数的指数形式证明则更简单。
补充知识：设121122,i i z re z r e θθ==，则12()
1212i z z rr e
θθ+=；21()
2211
i z r e
z r θθ-= 令1z i =+，则z 除以哪个复数可满足下列要求。
1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍
2. 将z 顺时针旋转120度，模缩小至原来的三分之一
例1.已知正方形1234z z z z 的相对定点13(0,1),(2,5)z z -，求顶点1z 和4z 的坐标。
解：31212()()()42
2z z z z z i --=-⇒=+。
同理：41314()()sin )2344z z z z i z i ππ
-=-+⇒=-+
二、幂与根 n 个相同的复数z 的乘积，称为z 的n 次幂，记作n z ，即
n n z z z z =⋅ 共个
设i z re θ=由复数的乘法定理和数学归纳法可证明，(cos sin )n n n in z r n i r e θθθ=+=，特别地当1z =时，即cos sin i z e i θθθ==+，有：
(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+——棣模佛(De Moivre)公式 定义 1n n
z z
-=
，由定义得n n in z r e θ
---= 问题：给定复数z ，求所有的满足n z ω=的复数ω。
当0z ≠时，都有n 个ω满足要求。
每一个满足要求的ω都称为z 的n 次根。
ω，
注：开方——乘方的逆运算。
4i
=+
解：设i e ϕωρ=由n z ω=n in i e re ϕθρ=n r ρ⇒=，2()n k k Z ϕθπ
=+∈
2k i
n
θπ
ω+⇒=
=22sin
)k k i n
n
θπ
θπ
++=+(0,1,2,,1)k n =-
注：当0,1,,1k n =- 时，可得n 个不同的根，而k 取其它整数时，这些根又会重复出现。
例2.
解：1cos0sin 0i =+
，0202cos
sin (0,1,2)33k k i k ππ
++=+=
22sin
)(0,1,2,4,5)6
6
k k i k ππ
ππ
++=+=
例3.
令z i =
？ 解：2(cos
sin )66
z i π
π
=+
226
6
sin )(0,1,2,4,5,6)7
7
k k i k π
π
ππ++=+=
的n
n 个等分点，即它们是内接于该圆周的正n 边形的n 个顶点。