1.3复数的乘幂与方根

1.3复数的乘幂与方根

一、乘积与商

定理一.

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它

们的辐角相加：1212z z z z ⋅=；1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+或者12()

1212i z z rr e

θθ+=。 注：定理中1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+两边是角的集合相等。 证明：令1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+

12121122(cos sin )(cos sin )z z r r i i θθθθ⋅=⋅++

1212121212[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )]r r i θθθθθθθθ=⋅-++ 121212[cos()sin()]r r i θθθθ=⋅+++

几何意义：将复数1z 按逆时针方向旋转一个 角度2()Arg z 再将其伸缩到2z 倍。 令1z i =+由复数乘法的几何意义说明下列 复数如何生产：

1.(1z +

；2.(1z -；3.(1)z i -

如何得到下列复数：

1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍

2. 将z 顺时针旋转120

定理二.

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被

除数与除数的辐角之差。即：

2211z z z z =；2211

rg()rg()rg()z

A A z A z z =- 注：定理中2

211

rg(

)rg()rg()z A A z A z z =-两边是角的集合相等。

证明：由除法定义2

1

z z z =

，即：21z zz =。由定理一得：11z z z z ⋅=；11rg()rg()rg()A zz A z A z =+2211z z z z ∴

=；2211

rg()rg()rg()z

A A z A z z =- 定理一和定理二如果用复数的指数形式证明则更简单。

补充知识：设121122,i i z re z r e θθ==，则12()

1212i z z rr e

θθ+=；21()

2211

i z r e

z r θθ-= 令1z i =+，则z 除以哪个复数可满足下列要求。 1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍

2. 将z 顺时针旋转120度，模缩小至原来的三分之一

例1.已知正方形1234z z z z 的相对定点13(0,1),(2,5)z z -，求顶点1z 和4z 的坐标。

解：31212()()()42

2z z z z z i --=-⇒=+。

同理：41314()()sin )2344z z z z i z i ππ

-=-+⇒=-+

二、幂与根 n 个相同的复数z 的乘积，称为z 的n 次幂，记作n z ，即

n n z z z z =⋅ 共个

设i z re θ=由复数的乘法定理和数学归纳法可证明，(cos sin )n n n in z r n i r e θθθ=+=，特别地当1z =时，即cos sin i z e i θθθ==+，有：

(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+——棣模佛(De Moivre)公式 定义 1n n

z z

-=

，由定义得n n in z r e θ

---= 问题：给定复数z ，求所有的满足n z ω=的复数ω。当0z ≠时，都有n 个ω满足要求。每一个满足要求的ω都称为z 的n 次根。ω，

注：开方——乘方的逆运算。

4i

=+

解：设i e ϕωρ=由n z ω=n in i e re ϕθρ=n r ρ⇒=，2()n k k Z ϕθπ

=+∈

2k i

n

θπ

ω+⇒=

=22sin

)k k i n

n

θπ

θπ

++=+(0,1,2,,1)k n =-

注：当0,1,,1k n =- 时，可得n 个不同的根，而k 取其它整数时，这些根又会重复出现。

例2.

解：1cos0sin 0i =+

，0202cos

sin (0,1,2)33k k i k ππ

++=+=

22sin

)(0,1,2,4,5)6

6

k k i k ππ

ππ

++=+=

例3.

令z i =

？ 解：2(cos

sin )66

z i π

π

=+

226

6

sin )(0,1,2,4,5,6)7

7

k k i k π

π

ππ++=+=

的n

n 个等分点，即它们是内接于该圆周的正n 边形的n 个顶点。