1.3.1函数的单调性与导数教案

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高中数学人教版选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数教案2

导数与函数的单调性 (教案)教学目标：(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法：“诱思探究”法教学手段：多媒体课件等辅助手段教学过程：一、回顾与思考提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。

） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数：我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。

这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

二、观察与表达借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已32()233616f x x x x =--+经学过）。

让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。

老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。

1.3.1 函数的单调性与导数教案

1.3.1 函数的单调性与导数授课班级：高二（9）授课教师：曾进教材分析“函数单调性与导数”是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.教学目标1.探索函数的单调性与导数的关系，.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.2.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法，在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.3通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何用导数判断函数的单调性.教学方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况，尝试运用“问题探究式”教学法.通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.教学手段多媒体辅助教学，利用计算机快速显示等特点对各类实际问题进行展现，引导学生发现问题，互动探究归纳概括等方法，充分提高课堂效率.学习指导1、学情分析由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性.2、教学方式与策略1探究式学习，再设计教学时题目数量不一定多，必须精选，保证质量；在解决问题的过程中，使学生体会到导数解决函数单调性的优越性.教学过程设计教学情境设计教学环节与内容问题师生互动设计意图一创设情境提出问题师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2xy 的单调性，如何进行？生：用定义法、图像法.T：提出问题.S：思考并回答.T：提出问题.S：学生认真思考，独立解答，并回答.T：点评，对正确确的解师：因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？生：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数答加以指正.通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.二探索新知解决问题师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上T ：问题1：要解决的问题是什么？（函数单调性与导数的联系） S ：通过图像，数形结合，引导学生讨论后给出结论.单调递增；而x y 2/=，当0<x 时，其导数0/<y ；当0>x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；而2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数xy 1=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,而2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/<y .师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减.师：如图，导数'0()f x 表示函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．提出问题：得出的结论是否具有一般性？观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎引导学生用已经学过的知识，来解决问题从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心.样的关系？生:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/<x f ，切线是“左上右下”式的，这时，函数)(x f 在1x 附近单调递减．师生共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．师生共同归纳得出结论，得出今天学习的内容通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.三巩固训练熟练技能例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致学生思考，并在纸上画出函数图像让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的的,这是今后利用导函数研究函数的必备技能.这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍.形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示．. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+师生活动:总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义老师先讲述两个例子，然后让学生动手尝试解题让学生动手，从而加深的知识的理解.通过实例，让学生理解求函数单调性的思路和解题步骤让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便.1 4 0 x域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．课堂练习：232231.,:(1) ()24;(2) ();(3) ()ln ; (4) ().()1(2,)x f x x x f x x x x f x x x f x e x f x x ax a =-+=--=+=-=--+∞判断下列函数的单调性并求出单调区间2.已知函数在内单调递增，求实数的取值范围.4. 201333141()ln 2,f x x x x =-+年月日中午，复旦大学硕士研究生林森浩将其做实验后剩余并存放在实验室内的剧毒化合物带至寝室，注入饮水机槽，月日早上，同寝室的黄洋起床后接水喝，饮用后便出现干呕现象，最后因身体不适入院.最后抢救无效死亡.经研究发现剧毒化合物进入人体后血液中的含量与时间满足求在进入人体后什么时间人体内含量最高？教师投影若干学生的作业情况,学生共同分析四课堂小结 5、小节：（1）本节课主要学习了什么知识.（2）本节主要学习了什么思想方法.老师提出问题.学生回顾与思考，总结本节课所学的知识.引导学生对本节课的重点和难点进行回顾，以突出重要的知识技能；帮助学生把握知识要点，理清知识脉络，以利于良好的学习习惯的养成.五布置作业必做：课本31P A 组 1,2 选做： 32()(0,2)6701()2()1()(2,)2f x x bx cx d P x y f x y f x ax f x ax =+++-+==+=-+∞+1.已知的图像过点且在处的切线方程为，求（）的解析式；（）求函数的单调区间.2.已知函数在内单调递减，求实数的取值范围.体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习,加强学生的应用意识.板书设计1.3.1、函数的单调性与导数一．函数的单调性与导数的关系二.例题例1.二.利用导数求单调性的步骤例2．三．随堂练习教学反思。

《1.3.1 函数的单调性与导数》教学设计

附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
学情预设：在增函数的定义中12x x -与)()(12x f x f -同号. 总结：通过观察，我们发现可以将单调增函数的定义改写成：
对于任意两个数I x x ∈21,，且当21x x ≠时，有0)()(1
212>--x x x f x f ，那么函数)(x f 就是区间I 上的增函数.
问题4：联想表达式1
212)()(x x x f x f --的含义，你能否从几何角度来解释单调增函数的定义吗?
学情预设：1
212)()(x x x f x f --表示函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率，其几何意义是区间I 上“任意”两点的割线斜率.
设计意图：定义是数学的根本.通过研究定义从另外一个角度阐述它的含义：说明对区间I 上“任意”两点的割线斜率大于零则函数单调递增，这为研究导数与函数单调性关系做好铺垫．
问题5：通过几何角度，我们发现割线的斜率与函数的单调性有着紧密的联系，即函数单调递增时，平均变化率大于0；函数单调递减时，平均变化率小于0.如何将其如导数联系起来？
问题6：结合下图，表达式x
x f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义是什么？
图1
问题7：当0→∆x 时，表示什么意思？
此时在点P 附近，我们可以用切线的斜率即导数来刻画曲线经过点P 时的上升或下降的“变化趋势”.
问题8：(1))(0x f ' ，曲线经过点P 时有上升趋势？
T。

《1.3.1 单调性》教学案

《1.3.1函数的单调性与导数》教学案一、教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断函数单调性. 三、教学难点：利用导数判断函数单调性. 四、教学过程【复习引入】1. 常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =； e xx a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a x x ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+， [()]'()cf x cf x '=法则3 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【讲解新课】函数单调性：函数 y = f (x ) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时: 1)都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2)都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间(2，＋∞)内，切线的斜率为正，函数y =f (x )的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y =f (x ) 在区间(2，＋∞)内为增函数；在区间(－∞，2)内，切线的斜率为负，函数y =f (x )的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f (x ) 在区间(－∞，2)内为减函数.定义：一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数【构建数学】一般地，对于给定区间上的函数f (x )，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在这个区间上是增函数.即x 1-x 2与f (x 1)-f (x 2)同号，即：1212()()00f x f x yx x x-∆>>-∆也即:增函数时有 1212()()00f x f x yx x x -∆>>-∆也即:减函数时有1212()()00f x f x yx x x-∆<<-∆也即结论：一般地，设函数y =f (x )在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f ′(x )>0，则f (x )为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )为减函数. 【数学应用】例1 确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2.令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例2 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例3 证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/()f x =(x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0， ∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴/()0f x <， ∴f (x ) =21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4 已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3[来%#源:@中教&^网](1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33. ∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33.∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b ，令2ax +b ＞0，解得x ＞－ab2∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y =xx 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=-- ∵当x ≠0时，－22x＜0，∴y ′＜0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x)′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f (x )的定义域. 2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x )>0，得函数单增区间；解不等式f ′(x )<0，得函数单减区间.。

高中数学_函数单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.1函数的单调性与导数（第二课时）教学设计【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

会求单调区间，会讨论含参函数单调性2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。

根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系，及单调性的逆用.(难点)3.含参数的函数讨论单调性（难点）【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。

整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。

2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。

3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像,会根据单调性求字母范围。

教学过程：（一）复习回顾，温故知新让学生填写导数公式，运算法则，复合函数求导法则（利用选号程序，挑选两名幸运的同学回答，可提升学生注意力）设计意图：通过复习回顾，加深对公式的记忆和理解，尤其是运算法则，复合函数求导公式的理解，有利于本节熟练应用。

第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数

解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0<x<2,所以f(x)在区间(0,2)内单调递减.
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ��
��
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

高中数学第一章《函数的单调性与导数》【教案】

1.3。

1函数的单调性与导数
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，
能由导数信息绘制函数大致图象。

（2）能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

（3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法:发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。

教学过程预设：
教学环
节
师生活动设计意图
一、回顾
与思考
提
问1．判断函数的单调性有哪
些方法?
（引导学生回答“定义法
"，“图象法”。

)
2．比如，要判断y=x2+1的
单调性,如
何进行？（引导学生回顾分
以问题形式复
习相关旧知识，
同时引出新问
题：三次函数判
断单调性，定义
法、图象法很不
方便，有没有捷。

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

教学设计6：1.3.1 函数的单调性与导数

1.3.1 函数的单调性与导数教学目标1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系；（3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）利用函数1()f x xx=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法；（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果；（3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结. 3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程得121212121()()()()x x f x f x x x x x --=- 由120x x >>，得120x x ->，120x x > 故当121x x >>时，1210x x ->恒成立得到12()()0f x f x -> 即()f x 在(1,)+∞上为增函数. （2）作出()f x 的图象如图所示，由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间；（2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间；（4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-；（2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数；（3）减区间是：(,1),(1,)-∞-+∞；（4）减区间上的点所对应的切线斜率为负数；（5）'()0f x >的解集为(1,1)-，'()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞；小结1：当'()0f x >时，则()f x 为增函数；当'()0f x <时，则()f x 为减函数.观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他有相同的结论，则可以强化他对自己结论的信心；反之，则能激发他找出结论中的问题所在的动力.的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.深入应用例3：求下列函数的单调区间：（1）2()23f x x x =--；（2）32()23121f x x x x =+-+；（3）3()3f x x x =+解：（1）∵2()23f x x x =-- ∴'()22f x x =-本题由原来的图象分析过渡到对函数解析式分析.以二次函数作为桥梁，重点处理三次函数的单调性判断问教师先让学生自主解答，并巡视各小组的解答情况，对薄弱学生给予必要的提示，鼓励学生利用两种方法解答题目.教师在巡视过程中要有目的的寻找一学生自主解答或者向老师或同组同学提出解答过程中所存在的问题，争取课堂上能够尽快掌握利用导数求解教学反思《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.。

课件14：1.3.1 函数的单调性与导数

【解析】由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0， f′(x)>0， ∴f(x)为增，当－1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)为减，当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0此时f(x)为减函数；当 x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，∴选C．
例 1 (1)f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是 ( D )
【解析】由导函数图象可知函数 f(x)在(－∞，0)上增函数，排除 A，C，在(0,2)上为减函数，排除 B，故选 D．
(2)证明函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．证明：∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－x2lnx，令 f′(x)>0.可知 lnx<1，即 0<x<e.
由此我们得出：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调 __递__增__； (2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调 _递__减___．
2．函数的变化快慢与导数的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较___快___，其图象比较__陡__峭__．即|f ′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b) 上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．

1.3 1函数单调性与导数导学案 (教师版)

§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二利用导数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2；由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线，若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0，而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0，解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。

1.3.1函数的单调性与导数教学设计

课题名称: 1.3.1函数的单调性与导数学习目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法;2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.学习重难点学习重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间.学习难点：探索函数的单调性与导数的关系.教学过程设计（一）复习旧知通过提问检查学生对“导学案 ”上所提问题的回答情况，让学生带着问题进入课堂。

具体问题如下：1.判断函数的单调性有哪些方法？2.如何判断函数()sin ,(0,)f x x x x π=-∈的单调性？让学生体会到用 “定义法”的局限性。

进而提出问题：“我们能否找到更好的方法解决这一难题？”，引出本节课，并板书课题。

设计意图:问题是思维的源泉，让学生在独立思考中产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，实现课堂的有效导入。

（二）情景设计让学生们回忆高台跳水的过程,以学生熟悉的“高台跳水”的例子，引导学生围绕本节课的重点展开探究。

假设运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 ，用图(1)表示; 其速度v 随时间t 变化的函数关系v(t)= ()h t '=-9.8t+6.5 ，用图(2)表示.提出问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间内，运动状态有什么区别？引导学生探究规律：（1）t 在),0(a 内，v(t)的正负为：=)(t v ()h t ' . 相应的，h(t)是函数；（2）t 在),(b a 内,v(t)的正负为：=)(t v ()h t ' . 相应的，h(t)是函数. 提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？设计意图:此处以课本22页高台跳水运动员的高度随时间变化的函数为例，从图象上认识和刻画函数的单调性与导数值的关系，并从函数与导函数的解析式上观察，明确本节课我们将要研究和学习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神．（三）追踪成果深入探究为突破本节课的难点,通过继续举例,引导学生进一步探究：探究:观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．设计意图:进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。

1.3.1函数单调性与导数(第一课时)

0
. . . . . ..
2
x
分析: 该函数在区间（－∞，2）上切线斜率小于0,即其导数为负,这时函数在（－∞， 2）上单调递减；在区间（2，+∞）上切线斜率大于0,即其导数为正，这时函数在（2，+∞）上单调递增。而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
f ( x)为增函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0, 即 0 x1 x2 x f ( x)为减函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0单调性密切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
江苏省靖江高级中学
祁海波
一、知识回顾：
1.单调性的定义一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1 ， x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
2
( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
图象法
y x3 2 x2 x ?
2 y x 比如：判断函数的单调性。图象法 y 如图：
y x2
减函数，函数在 ( , 0) 上为____ 增函数。在 (0, ) 上为____
o
x
发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时 . 例如 y=x 3 +2x 2 -x. 是否有更为简捷的方法呢？下面我们考察单调性与导数有什么关系?