集合的含义与表示(优质PPT)
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集合的概念ppt课件
子集
如果集合A的每一个元素都是集 合B的元素，那么称A是B的子集， 记作A⊆B。
真子集
如果A是B的子集，且A不等于B， 那么称A是B的真子集，记作A⊂B。
根据元素的性质分类
可分为数集（元素都是数的集合） 和点集（元素都是点的集合）。
相等集合
如果两个集合A和B满足A⊆B且 B⊆A，那么称A和B是相等集合， 记作A=B。
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05
集合的扩展
模糊集合的概念
模糊集合的定义
模糊集合是一种特殊类型的集合， 其中元素对集合的隶属度不是绝 对的0或1，而是介于0和1之间的
实数。
隶属度函数
描述元素属于模糊集合程度的函 数，通常表示为μ(x)，取值范围
为[0,1]。
模糊集合的运算
包括模糊并集、模糊交集、模糊 补集等，运算规则与经典集合类
如果集合A是集合B的子集，且A不等 于B，则称集合A是集合B的真子集。
集合的相等关系
1 2
集合相等的定义 如果两个集合A和B满足A⊆B且B⊆A，则称集合A 与集合B相等。
集合相等的性质 两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素，即 对于任意元素x，x∈A当且仅当x∈B。
3
集合相等的符号表示
A=B表示集合A与集合B相等。
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
幂集是集合论中一个重 要的概念，具有一些独 特的性质，如幂集的基 数等于原集合基数的2 的指数次幂。
幂集的应用
幂集在组合数学、图论、 计算机科学等领域有着 广泛的应用，如用于描 述所有可能的组合或配 置。
1.1《集合的含义与表示》ppt课件
• 5．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A， 则实数x＝________. • [答案] －1 • [解析] ∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2 ＝ x. • ∴x＝±1，或x＝0. • 当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互 异性， • ∴x＝－1.
课堂典例讲练
• 集合的基本概念
由实数 x、－x、|x|、 x 、－ x3所组成的集合，最多含有 元素的个数为( A．2 C．4
[答案] A
2
2
3
) B．3 D．5
[解析]
因为 x ＝|x|，－ x3＝－x，当 x>0 时，它们依次
3
为：x，－x，x，x，－x，有两个不同的元素；当 x<0 时，它们 依次为 x，－x，－x，－x，－x，也只有两个不同的元素；当 x ＝0 时，只有一个元素 0.所以选 A.
易错疑难辨析
2x＋3y＝8 集合x，y 3x＋2y＝7
＝________.
[错解]
2x＋3y＝8 由 3x＋2y＝7
解得 x＝1，y＝2，
∴集合应等于{1,2}．
[辨析]
本例主要考查集合的描述法，集合中的元素为数
2x＋3y＝8 ∵方程组 3x＋2y＝7 x＝1， 的解为 y＝2，
• D．美国NBA的篮球明星 • [答案] D • [解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构 成集合．因为选项A、B、C中所给对象都是
• 2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集， 则有( ) • A．3∈A B．1∈A • C．0∈A D．－1∉A • [答案] C • [解析] 3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所 以0∈A，－1∈A.
集合的含义及表示ppt课件.ppt
思考3:我们用符号“ A B”表示集合A与B的 并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法 表示集合A B？ A B { x |x A ,或 x B }
思考4:如何用venn图表示 A B ？
A
B
思考5:集合A、B与集合A B的关系如何？ A B与B A的关系如何？
AA B BA B ABBA
理论迁移
例1 写出满足 { 1 ,2 } A { 1 ,2 ,3 ,4 }的所有集 合A.
{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}
例2 已知集合 A{y|y(x1 )2,x0 }， B {y|yx2x 1 ,x R },试确定集合A与 B的关系.
A B
例3 设集合 A {2, a2} ，B{1,2,a},若 A B ， 求实数 a 的值. -1或0
1.1.1 集合的含义与表示
第二课时 集合的表示
问题提出
1.集合中的元素有哪些特征？
确定性、无序性、互异性
2.元素与集合有哪几种关系？ 属于、不属于
3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的， 如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半 径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以 用什么方式表示集合呢？
称集合A是集合B的真子集.
思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？
AB或 B A
思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
知识探究（二）
考察下列集合： （1）{x|x是边长相等的直角三角形}； （2）{xR|x210} ； （3）{xR||x|20}.
思考1:上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素
集合的概念及其表示一ppt课件
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几 个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的。 ⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
判断下列各组对象能否描述为集合，若能，则用集合表 示出来，若不能，请说明理由。
（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流 （3）很小的有理数；（4）泸高校园的所有大树；
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征.
一般形式：x Ax 满 足 的 条 件
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 3、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集 例如: A =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
⑵ 无限集-----含有无限个元素的集合叫无限集
7．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征
(思考)本节课主要学研究哪些基本内容?集合 的三种表示方法各有怎样的优点?用其表示 集合各应注意什么?
• 记作：aA；
例如，Ａ＝｛能被３整除的整数｝
当a6时,aA 当a7时,aA
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
6.常用的数集及其记法
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ
判断下列各组对象能否描述为集合，若能，则用集合表 示出来，若不能，请说明理由。
（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流 （3）很小的有理数；（4）泸高校园的所有大树；
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征.
一般形式：x Ax 满 足 的 条 件
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 3、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。
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*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集 例如: A =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
⑵ 无限集-----含有无限个元素的集合叫无限集
7．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征
(思考)本节课主要学研究哪些基本内容?集合 的三种表示方法各有怎样的优点?用其表示 集合各应注意什么?
• 记作：aA；
例如，Ａ＝｛能被３整除的整数｝
当a6时,aA 当a7时,aA
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6.常用的数集及其记法
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ
集合的概念与表示ppt课件
由此能总结出集合元素有什么特性？
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.
第一部分集合的含义及其表示(共51张PPT)
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解：(1)正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)要使 y 有意义，必须使分母不为 0，即 x2＋x－6≠0，可得 x≠2 且 x≠－3，故集合可表示为{x|x∈R，x≠2，x≠－3}． (3)第一、三象限的角平分线应是直线 y＝x，故集合为{(x，y)|y ＝x，x∈R，y∈R}． (4){x|x2＋(m＋2)x＋m－1＝0，x∈R，m∈R}．＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}之间 的关系是________． 解析：∵若n为奇数，可设n＝2k－1(k∈Z)， 则x＝4k－1. 若n为偶数，可设n＝2k(k∈Z)，则x＝4k＋1. ∴X＝Y. 答案：X＝Y
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[一点通] (1)用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素 与元素之间用“，”隔开． (2)用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代 表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖 线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
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5．选择适当的方法表示下列集合： (1)x2－1 的一次因式组成的集合； (2)“Welcome to Beijing”中的所有字母组成的集合； (3)以 A 为圆心，r 为半径的圆上的所有点组成的集合．
们的特征表示出来．
提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.
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问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？ 提示：(2)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全 相同，所以是相等集合，可表示为A＝B.
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1．集合的表示法
将集合的元素 一一列举 出来，并置于花括号
返回
解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确 定性，不能作为元素来组成集合． (2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的， 即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由三个 元素组成的． (3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同 一个集合.
解：(1)正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)要使 y 有意义，必须使分母不为 0，即 x2＋x－6≠0，可得 x≠2 且 x≠－3，故集合可表示为{x|x∈R，x≠2，x≠－3}． (3)第一、三象限的角平分线应是直线 y＝x，故集合为{(x，y)|y ＝x，x∈R，y∈R}． (4){x|x2＋(m＋2)x＋m－1＝0，x∈R，m∈R}．＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}之间 的关系是________． 解析：∵若n为奇数，可设n＝2k－1(k∈Z)， 则x＝4k－1. 若n为偶数，可设n＝2k(k∈Z)，则x＝4k＋1. ∴X＝Y. 答案：X＝Y
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[一点通] (1)用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素 与元素之间用“，”隔开． (2)用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代 表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖 线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
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5．选择适当的方法表示下列集合： (1)x2－1 的一次因式组成的集合； (2)“Welcome to Beijing”中的所有字母组成的集合； (3)以 A 为圆心，r 为半径的圆上的所有点组成的集合．
们的特征表示出来．
提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.
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问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？ 提示：(2)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全 相同，所以是相等集合，可表示为A＝B.
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1．集合的表示法
将集合的元素 一一列举 出来，并置于花括号
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解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确 定性，不能作为元素来组成集合． (2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的， 即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由三个 元素组成的． (3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同 一个集合.
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1
1 1
2
A
2
即 A 中必还有另外两个元素1和 1 2
（2）如果 A 为单元素集合，则必有a 1 1 a
化简得 a2 a 1 0 ...
1 4 3 0 方程无解 a 1
1 a
故集合 A 不可能是单元素集
GAMEOVER!
常用数集
实数有理数整数负正0 整整数数自然数
分数
:
q p
(
p、q互质)
无理数：2，3， ...
实数：R 有理数： Q 整数：Z 自然数：N 正整数： N 或N，Z 或Z
元素的特征
1.确定性：集合中的元素是确定的，不能含糊不清，模棱两可
元素的特征
【例 4】设集合 A=（x,y,x+y）,B=(0, x 2 ，xy)且 A=B，求实数 x，y 的值
解：根据元素的互异性可得： x 0且y 0
A B
x y 0
当
x
x2，y
xy
时，解得xy
1 1
当
x
xy，y
x2
时，解得
x
y
1 1
⑤高一年级优秀的学生
其⑥中所能有构无成理集数合的组数有( A )
A⑦．大2 组于 2 的整数
B．3 组
C．4 组
（） （） （） （D．5 组）
⑧本学校高一年级学生全体
（）
元素的特征
2.互异性：集合中每两个元素都不相同
【例 3】已知a2 ，2 a ，4 组成一个集合，且集合里有两个元素，则a ____1_或__2_____．
能力拓展
【例 6】设 A 为实数集，且满足条件：若a A ，则 1 Aa 1 ．求证：
1 a
(1)若 2∈A，则 A 中必还有另外两个元素； (2)判断集合 A 是否是单元素集．
解：（1）2 A
1 1 A 1 2
1 A
1
（11）
1 2
A
1A 2
集合的含义与表示
集合与元素的定义
1.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组 成的总体叫做集合（简称为集）
2.集合的表示：我们通常用大写字母（A，B，C...）来表示集 合，小写字母（a，b，c...）来表示元素
3.集合与元素的关系： （1）如果ɑ是集合A的元素，记作: a A ，读作：a属于A （2）如果ɑ不是集合A的元素，记作: a A，读作：a不属于A
解：由题得 a2 4 或2 a 4 或a2 2 a （1）当a2 4 时，a 2 或a 2（舍） （2）当2 a 4 时， a 2 （舍） （3）当a2 2 a 时，a 1或a 2 （舍）
综上： a 1或2
元素的特征
2.互组对象是否能构成集合
【①① ②例接著不近2名超】于歌过下0手列的30各数的组的非对全负象体实；数NO
（） ②比较小的正整数（全体；NO）
③③平直面角上坐到标点平O面的的距横离坐等标于与1纵的坐点标的相全等体的YE；点S ④正三角形的全体；（YES ）
⑤④2的的近近似似值值的全体．NO
【练习】已知集合 A 是由 0， m ，m2－3m＋2 三个元素组成的集合，且 2∈A，则实数 m 为( )
A．2
B．3
C．0 或 3
D．0,2,3 均可
元素的特征
3.无序性：集合中的元素不分顺序，可任意排列
4.集合的相等：如果两个集合元素一样相同，则这两个集合相等
如：A 1，2，3，B 3，2，1，则A B
综上：
x
y
1 或 1
x
y
1 1
能力拓展
x
2
【例 5】（1）由代数式 组成的集合的元素有________个；
x
（2）由代数式 x y z 组成的集合的元素为___—___3__,.—1，1,3
xyz
(3)已知方程ax2 4x 4 0 的根组成的集合只有一个元素，则a =______0__或___1______.