第9章--刚体的平面运动Word版

第九章 刚体的平面运动

§9-1 刚体平面运动的概述和运动分解

刚体的平面运动在工程中是常见的。 例如 （1）行星齿轮机构中动齿轮B 的运动

（2）曲柄连杆机构中连杆的运动； （3）车轮沿直线轨道滚动。

(c)

(a)(b)

图 1

它们的共同运动特点是：在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。刚体的这种运动称为平面运动。

根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。

设刚体作平面运动，某一固定平面为0P ，如图2所示，过刚体上M 点作一个与固定平面0P 相平行的平面P ，在刚体上截出一个平面图形S ，平面图形S 内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面P 内运动。过M 点作与固定平面0P 相垂直的直线段21M M ，直线段21M M 的运动为平移，其上各点的运动均与M 点的运动相同。因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形S 在其自身平面P 内的运动即可。

如图3所示，在平面图形S 内建立平面直角坐标系oxy ，来确定平面图形S 的位置。为确定平面图形S 的位置只需确定其上任意直线段AB 的位置，

图8-3

y

y A

图2 图3

线段AB 的位置可由点A 的坐标和线段AB 与x 轴或者与y 轴的夹角来确定。即有

⎪⎩

⎪

⎨⎧===)

t (f )t (f y )

t (f x A A 321ϕ 上式称为平面图形S 的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。点A 称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，刚体在任一瞬时的位置和运动规律就可以确定了。

现在来研究平面图形S 的运动。平面图形在其自身平面内的位置，完全可以由图形内任意一线段O ’M 的位置来确定。

平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动(牵连速度)和绕基点的转动(相对运动)。即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。

应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。但是，选取不同的基点A 或B ，则平动的位移是不同的，从而，图形随A 点或B 点平动的速度和加速度也不相同。因此，图形的平动与基点的选取有关。然而对于绕不同的基点转过的转角△φ和△φ′的大小及转向却总是相同，即△φ=△φ′，于是

ω=ω′，ε=ε′

这说明，在任意瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都是相同的。即图形的转动与基点的选取无关。

§9-2 求平面图形内各点速度的基点法

1.基点法

平面图形S 运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。因此，运用速度合成定理求平面图形内各点的速度。

如图4所示，取A 为基点，求平面图形内B 点的速度，设图示瞬时平面图形的角速度为ω，由速度合成定理知，牵连速度A e v v =，相对速度

AB ωv v BA r ==

A B A B v v v += （*）

求平面图形S 内任一点速度的基点法：在任 图4

一瞬时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量和。

2.速度投影法

已知平面图形S 内任意两点A

、B 速度的方位，如图5所示，将式（*）向AB 连线投影为：

AB B AB A v v ][][=

即得速度投影定理：平面图形S 内任意两点的速度在两点连线上投影相等。 图4

例1 如图所示，滑块A 、B 分别在相互垂直的滑槽中滑动，连杆AB 的长度为

l =20cm ，在图示瞬时，A v =20cm/s ，水平向左，连杆AB 与水平线的夹角为o 30=ϕ，试求滑块B 的速度和连杆AB 的角速度。

解：连杆AB 作平面运动，因滑块A 的速度是已知的，故选点A 为基点，滑块

B 的速度为

A B A B v v v +=

上式中有三个大小和三个方向，共六个要素，其中B v 的方位是已知的，B v 的大小是未知的；A v 的大小和方位是已知的；点B 相对基点转动的速度A B v 的大小是未知的，AB ωv A =B ，方位是已知的，垂直于连杆AB 。在点B 处作速度的平行四边形，应使B v 位于平行四边形对角线的位置，如图a 。由图中的几何关系得

cm/s 6343020

.tan tan v v o

A B ===

ϕ B v 的方向铅直向上。

点B 相对基点转动的速度为

cm/s 403020

===o

A A sin sin v v ϕB

则连杆AB 的角速度为

rad/s 220

40

===

l v ωBA 转向为顺时针。

(a)

(b)

本题若采用速度投影法，可以很快速地求出滑块B 的速度。如图b ，有

AB B AB A v v ][][= 即

ϕϕsin v cos v B A =

则

cm/s 6343020.tan tan v v sin cos v o

A A

B ====

ϕϕϕ 但此法不能求出连杆AB 的角速度。

例2 半径为R 的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，如图所示。已知轮心O 以速度o v 运动，试求轮缘上水平位置和竖直位置处点A 、B 、C 、D 的速度。 解：选轮心O 为基点，先研究点C 的速度。由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，故点C 的速度为

0=c v

如图所示，则有

0=-=co o C v v v

圆轮的角速度为

R

v R v ωo

co =

=

各点相对基点的速度为

o Do Bo Ao v R ωv v v ====

A 的速度为

o Ao o A v v v v 2=+=

B 、D 的速度为

o D B v v v 2==

方向如图所示。

A

B

O

CO