第9章--刚体的平面运动Word版

第九章 刚体的平面运动§9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动在工程中是常见的。

例如 （1）行星齿轮机构中动齿轮B 的运动（2）曲柄连杆机构中连杆的运动； （3）车轮沿直线轨道滚动。

(c)(a)(b)图 1它们的共同运动特点是：在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。

刚体的这种运动称为平面运动。

根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。

设刚体作平面运动，某一固定平面为0P ，如图2所示，过刚体上M 点作一个与固定平面0P 相平行的平面P ，在刚体上截出一个平面图形S ，平面图形S 内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面P 内运动。

过M 点作与固定平面0P 相垂直的直线段21M M ，直线段21M M 的运动为平移，其上各点的运动均与M 点的运动相同。

因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形S 在其自身平面P 内的运动即可。

如图3所示，在平面图形S 内建立平面直角坐标系oxy ，来确定平面图形S 的位置。

为确定平面图形S 的位置只需确定其上任意直线段AB 的位置，图8-3yy A图2 图3线段AB 的位置可由点A 的坐标和线段AB 与x 轴或者与y 轴的夹角来确定。

即有⎪⎩⎪⎨⎧===)t (f )t (f y )t (f x A A 321ϕ 上式称为平面图形S 的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。

点A 称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，刚体在任一瞬时的位置和运动规律就可以确定了。

现在来研究平面图形S 的运动。

平面图形在其自身平面内的位置，完全可以由图形内任意一线段O ’M 的位置来确定。

平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动(牵连速度)和绕基点的转动(相对运动)。

即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。

应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。

但是，选取不同的基点A 或B ，则平动的位移是不同的，从而，图形随A 点或B 点平动的速度和加速度也不相同。

因此，图形的平动与基点的选取有关。

然而对于绕不同的基点转过的转角△φ和△φ′的大小及转向却总是相同，即△φ=△φ′，于是ω=ω′，ε=ε′这说明，在任意瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都是相同的。

即图形的转动与基点的选取无关。

§9-2 求平面图形内各点速度的基点法1.基点法平面图形S 运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。

因此，运用速度合成定理求平面图形内各点的速度。

如图4所示，取A 为基点，求平面图形内B 点的速度，设图示瞬时平面图形的角速度为ω，由速度合成定理知，牵连速度A e v v =，相对速度AB ωv v BA r ==A B A B v v v += （*）求平面图形S 内任一点速度的基点法：在任 图4一瞬时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量和。

2.速度投影法已知平面图形S 内任意两点A、B 速度的方位，如图5所示，将式（*）向AB 连线投影为：AB B AB A v v ][][=即得速度投影定理：平面图形S 内任意两点的速度在两点连线上投影相等。

图4例1 如图所示，滑块A 、B 分别在相互垂直的滑槽中滑动，连杆AB 的长度为l =20cm ，在图示瞬时，A v =20cm/s ，水平向左，连杆AB 与水平线的夹角为o 30=ϕ，试求滑块B 的速度和连杆AB 的角速度。

解：连杆AB 作平面运动，因滑块A 的速度是已知的，故选点A 为基点，滑块B 的速度为A B A B v v v +=上式中有三个大小和三个方向，共六个要素，其中B v 的方位是已知的，B v 的大小是未知的；A v 的大小和方位是已知的；点B 相对基点转动的速度A B v 的大小是未知的，AB ωv A =B ，方位是已知的，垂直于连杆AB 。

在点B 处作速度的平行四边形，应使B v 位于平行四边形对角线的位置，如图a 。

由图中的几何关系得cm/s 6343020.tan tan v v oA B ===ϕ B v 的方向铅直向上。

点B 相对基点转动的速度为cm/s 403020===oA A sin sin v v ϕB则连杆AB 的角速度为rad/s 22040===l v ωBA 转向为顺时针。

(a)(b)本题若采用速度投影法，可以很快速地求出滑块B 的速度。

如图b ，有AB B AB A v v ][][= 即ϕϕsin v cos v B A =则cm/s 6343020.tan tan v v sin cos v oA AB ====ϕϕϕ 但此法不能求出连杆AB 的角速度。

例2 半径为R 的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，如图所示。

已知轮心O 以速度o v 运动，试求轮缘上水平位置和竖直位置处点A 、B 、C 、D 的速度。

解：选轮心O 为基点，先研究点C 的速度。

由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，故点C 的速度为0=c v如图所示，则有0=-=co o C v v v圆轮的角速度为Rv R v ωoco ==各点相对基点的速度为o Do Bo Ao v R ωv v v ====A 的速度为o Ao o A v v v v 2=+=B 、D 的速度为o D B v v v 2==方向如图所示。

ABOCO§9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法一、定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上(或图形的延伸部分)都唯一地存在一个速度为零的点，称为速度瞬心或瞬心。

证明：已知平面图形的角速度为ω，如图所示，已知A 点的速度A v ，过A 点作速度矢量A v 的垂线AB ，沿角速度ω的旋转方向，在直线段AB 上找点P ，使ωv PA A=则相对速度A PA v PA ωv ==，则点P 的速度，0=+=PA A P v v v （证毕）例3 发动机的曲柄连杆机构如图所示。

曲柄OA 长r =30cm ，以等角速度ω=2rad/s 绕O 点转动；连杆AB 长为l =40cm 。

试求当∠OAB =90°时，滑块B 的速度及连杆AB 的角速度。

解 (1) 运动分析，选研究对象曲柄OA 绕O 轴转动，滑块B 沿水平方向运动，连杆AB 作平面运动，因ωAv Av Av PA此，选AB杆为研究对象。

(2) 选基点由于连杆上A点速度已知，所以选A为基点。

这样，B点的运动，可以视为随基点A的平动与绕基点A的转动的合成运动。

(3) 根据基点法求未知量由公式得：v B =v A +v BA已知v A=rω=30×2=60cm/s，方向垂直于OA。

B点相对A点的转动速度v BA垂直于AB，指向和大小未知。

B点的绝对速度v B沿水平方向。

这样，即可作出速度平行四边形。

最后由几何关系得v=v A/cosα=60×5/4=75cm/sB其方向为水平方向v=v A tgα=60×3/4=45cm/sBA方向如图所示。

求出了v BA以后，就可求出连杆AB的角速度为ω=v BA/AB=45/40=1.13rad/s （顺时针转向）AB例4 用速度投影法求解上例中滑块B的速度。

解如图所示。

因为A点的速度大小及方向为已知，而B点速度方向已知，沿水平方向。

根据速度投影定理，即vcosα=v A cos0°B将 cosα=4/5及v A=60cm/s代入上式得v=60×5/4=75cm/sB二、平面图形内各点速度及其分布平面图形上各点的速度大小与该点至速度瞬心的距离成正比，方向与该点和速度瞬心的连线相垂直，指向顺着该瞬时的ω转向。

应用速度瞬心求平面图形上各点的速度的方法，称速度瞬心法简称瞬心法。

应该注意的是，在不同瞬时，瞬心的位置不同。

P(a)(b)确定速度瞬心的位置的方法：（1）平面图形沿某一固定平面作无滑动的滚动时，图形与固定面的接触点C 就是图形的速度瞬心。

（2）速度瞬心的位置必在通过平面图形上一点并与该点的速度相垂直的直线上。

因此，一般只要知道图形上任意两点的速度方向，过这两点分别作垂直于其速度的两条直线，则这两条直线的交点便是速度瞬心，(瞬心也可能位于图形的延伸部分)。

(b)(c)(a)（3）如果平面图形上A 、B 两点的速度矢量A v 和B v 同时垂直于这两点的连线，则瞬心必在连线AB 与速度矢量A v 和B v 端点连线的交点上。

（4）某瞬时，图形上A 、B 两点速度相等，即A v =B v , 此时瞬心在无穷远处，这种情形称为瞬时平动。

例5 用速度瞬心法求例题2各点的速度。

解：由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，圆轮与轨道接触点的速度为零，故点C 为速度瞬心。

圆轮的角速度为Rv ωo=圆轮上各点速度为o oA v R Rv AC ωv 22=== o D B v R ωv v 22===0=c v各点速度的方向如图所示。

例6、图示四连杆机构中，OA = O 1B =AB /2 ，曲柄OA 的角速度ω= 3 rad/s 。

求：当φ =90˚且曲柄O 1B 与OO 1的延长线重合时，AB 杆和曲柄O 1B 的角速度。

解：（1）分析运动，选AB 杆为研究对象 （2）根据瞬心法求未知量速度瞬心在O 点v A =OA ω由几何关系得ωAB = v A /OA = v B /OB =ω v B = OB ωωOA 3=ω1 = v B /O 1B = 3ω = 5.2rad/sBODv Aωv Ov B例7 图示的四连杆机构中，O1A=r , AB=O2B=3r,曲柄以等角速度ω1绕O1轴转动。

在图示位置时，O1A⊥AB,∠O2BA=60°。

求此瞬时连杆AB的角速度ωAB和杆O2B的角速度ω2 。

解杆O1A和O2B作定轴转动，连杆AB作平面运动，且AB两点的速度方向已知。

v A⊥O1A , v B⊥O2B，因此，过A、B两点作v A、v B的垂线，其交点C 就是连杆AB的瞬心。

设连杆AB的角速度为ωAB，根据瞬心法，在图示瞬时，连杆AB绕瞬心C 作瞬时转动，故vA=ωAB×PA v B=ωAB×PB所以ωAB=v A/PA= 0.192ω1vB=ωAB×PB=1.152rω1ω2=vB/O2B=1.152rω1/3r =0.384ω1例8 图示机构中，曲柄OA 以匀角速度ω=4rad/s 绕O 轴转动。

当θ=45°时连杆AB 处于水平位置，BD 铅垂。

设OA =20cm ，AB =40cm ，BD =15cm 。

求该瞬时连杆AB 和构件BD 的角速度。

解 选AB 杆为研究对象 先找到速度瞬心C 由几何关系ωωOA v BD v A BD B ==OA OA v v A B 222222===ω s rad BDv s rad ABvBC v B BDB B AB /77.3/414.1=====ωω§9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度由于平面图形的运动看成随着基点的平移和相对基点的转动的合成，因此根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，便可求平面图形内各点的加速度。