高等数学第六版同济大学 下册 空间解析几何与向量代数

一
平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距
离及公垂线方程 .
ห้องสมุดไป่ตู้
解：s1
{1,1,2}, s 2
{1,3,4},
L1与L
不
2
平行
M1(1,0,1) L1 ,M 2 (0,1,2) L2 ,M1M2 {1,1,1}
1 1 1
(M1M2 s1 ) s2 1
1
2
2
0
,
L1与L
异
2
面
134
s1 s2 {2,2,2},公垂线的方向向量s {1,1,1}
所求投影直线方程为
3x y
x
2
y
z z
1 0
0 .
例5 直线 L : x 1 y z 绕 z 轴旋转一周, 0 11
求旋转曲面的方程.
解 设直线上一点 M1(1, y1, z1 ) 有 y1 z1, 旋转后 M1(1, y1, z1 ) 到达 M ( x, y, z) 位置 由于高度不变, 有 z z1,
i
1
j
2
k ).
333
例2
求过直线:
x x
5 z
y 4
z0 0,
且与平面
x
4
y
8z 12 0 组成 角的平面方程. 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4) 0,
即 (1 )x 5 y (1 )z 4 0,
其法向量
n
{1
,5,1
d prj M1M2 M1M2 s0
s
3 3
过L1与公垂线的平面法线向量 n s1 s {3,3,0}
平面方程：
(x
1)
y
0,
平面与L
的交
2
点p在公垂线上
(x 1) y 0
x 1
y
3
1
z
4
2
p(1,2,6)
公垂线方程为： x 1 y 2 z 6
1
1 1
测验题
一、选择题：
1、若a ，b 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b
（ ）.
（A） 1；
（B）-1；
（C） 0；
（D）cos(a, b) .
2、向量a b 与二向量a 及b 的位置关系是（ ）.
（A） 共面；
（B）共线；
（C） 垂直；
（D）斜交 .
3、设向量Q 与三轴正向夹角依次为 , , ，当
又 M 和 M1 到 z 轴的距离 r 不因旋转而改变,
故 r 2 1 y12 x2 y2 , 由于 z z1 y1, 故所求旋转曲面方程为
x2 y2 z2 1.
例 6：判断下列两直线
L1
:
x1 1
y 1
z
1, 2
L2
:
x 1
y 1 3
z 2 ,是否在同一平面上，在同 4
第五章 习题课
一.主要内容 二.典型例题
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
混合积
向量积
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
(2x y z 1)
( x y z 1) 0,
L
即 (2 )x ( 1) y (1 )z ( 1) 0.
又垂直于平面 ,
(2 ) 1 ( 1) 2 (1 ) (1) 0. 即 4 1 0, 故 1
4
将 代入平面束方程, 得 3x y z 1 0.
cos 0时，有（ ）
( A) Q‖ xoy面； (B) Q‖ yoz面;
(C ) Q‖ xoz面; ( D) Qxoz面
4、设向量Q 与三轴正向夹角依次为 , , 当 cos 1时有（ ）
( A) Qxoy面； (B) Q yoz面;
(C ) Qxoz面; ( D) Q‖ xoy面
5、( )2 （ ）
2 2
（A） ；
2
2
（B） 2 ；
2 2
2
2
（C） ； （D） 2 .
6、设平面方程为Bx Cz D 0，且B , C , D 0， 则 平面（ ）.
（A） 平行于 x 轴； （B） 平行于 y 轴 ； （C） 经过 y 轴； （D） 垂直于 y 轴 .
}.
又已知平面的法向量
n
{1,4,8}.
由题设知
cos n n1 4 n n1
(1 ) 1 5 (4) (1 ) (8)
12 (4)2 (8)2 (1 )2 52 (1 )2
即 2 3 , 由此解得 3 .
2 22 27
4
代回平面束方程为 x 20 y 7z 12 0.
解之得 t1 0, t2 0,
A(0,0,1), B(2,2,3)
点 M0(1,1,1) 和 B(2,2,3)同在直线 L 上, 故 L 的方程为
x 1 y 1 z 1.
1
1
2
例4
求直线
L
:
2x
x
y
y z
z1 0 1 0
在平面
:
x 2 y z 0 上的投影直线的方程.
解 过直线 L 的平面束方程为
A(t1,2t1, t1 1) 和 B(t2 ,3t2 4,2t2 1). M0(1,1,1) 与 A, B 三点共线,
故 M0 A M0B ( 为实数).
于是 M0 A, M0B 对应坐标成比例, 即有 t1 1 2t1 1 (t1 1) 1 , t2 1 (3t2 4) 1 (2t2 1) 1
例3
求过点
M 0 (1,1,1)
且与两直线
L1
:
y z
2x x
, 1
L2
:
y z
3x 4 2x 1
都相交的直线
L.
解 将两已知直线方程化为参数方程为
x t1 L1 : y 2t1 ,
z t1 1
x t2 L2 : y 3t2 4
z 2t2 1
设所求直线 L 与 L1, L2 的交点分别为
二、典型例题
例1
已知
a
i ，b
求一单位向量
j 2k, c 2i 2 j n0，使 n0c，且 n0 ,
a,
k , b 共面．
解
设
n0
xi
yj
zk ,
由题设条件得
n0 1
x2 y2 z2 1
n0c
n0a
b
2x 2 y z 0 2 y z 0
解得
n0
(2
7、设直线方程为
A1 B2
x y
B1 y C1 z D2 0
D1
0且
A1 , B1 , C1 , D1 , B2 , D2 0 ,则直线（ ）.
（A） 过原点；
（B）平行于 z 轴 ；
（C）垂直于 y 轴 ； （D）平行于 x 轴 .