第九章梁的弯曲(2)应力.
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梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
第九章梁的弯曲变形
a xl
在 x l / 2处
y 0.5l
Fb
(3l 2 4b 2 ) 48 EI
yqx(l32lx2x3) 2E 4 I
A
B
ql3 24EI
x
l 2
ymax
5ql4 384EI
梁的简图
第九章 梁的弯曲变形
挠曲线方程
y6M EI(xllx)2(lx)
yC1
aB
qa4 2EI
yC2
qa4 8EI
3）叠加 y C y C 1 y C 2 2 q E 4a 8 I q E 4a I 5 8 q E 4( a I)
第九章 梁的弯曲变形
例9-5 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。
挠曲线方程 y f (x)
第九章 梁的弯曲变形
二、挠度和转角
挠度：截面形心线位 移的垂直分量称为该 截面的挠度，用 y 表 示，一般用 ymax 表示 全梁的最大挠度。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tanydy
1
(x)
M(x) EI
曲线 y f(x)的曲率
1
(x)
(1yy2)3/2
二阶小量
y (1y2)3/2
M(x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M(x) EI
第九章 梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
y
第九章 梁的应力
38
第二节 梁的切应力、切应力强度条件
◆例题
例 7 ： FS = 15 b = 120 mm，d 20 mm， yC
= 45 mm。试求 ：tmax ；腹板与翼
缘交接处切应力 ta
解：
Sz ,max
d (d
b 2
yC )2
9.03 105
b(h02 h2 ) 2d (h2 4 y2 )
第九章
37
第二节 梁的切应力、切应力强度条件 ◆ 梁的正应力与梁的剪应力比较
s max
Fl bh2
6Fl bh2
6
t max
3F 2 bh
s max t max
6Fl bh2
2bh 3F
4
l h
第九章
当 l >> h 时，smax >> tmax
E
ymax
2. 应力计算
第九章
D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
s max
E
ymax
285 MPa
10
第一节 梁的正应力、正应力强度条件
静力学方面
ysdA M
A
联立求解得：
E y2dA M
A
1
M EI z
结 论:
中性层曲率：
22
ymax
d
2
1.0 103 m
s max
E
ymax
285 MPa
3. 弯矩计算
1 M
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
第9章 梁的应力
中性层
中 性 轴
6
3.假设和推论 (1)平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生
转动.
(2)假设纵向纤维之间无挤压，各条纤维仅发生简单的拉伸
或压缩。材料服从虎克定律σ=Eε。
推论： (1）距中性轴等高处，变形相等。 (2) 横截面上只有正应力。
F
F
m
n
4、梁的正应力公式推导
m
n
中性轴
B
L 2 L 2
A
F
h 6
a
b
C
h 2
h
c
b
3
FL
1
a
M B ya IZ
FL
h
MB
1 2
FL
IZ
bh
12
2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h
b 0
c
M B yc IZ
FL
2 3 2 bh 12
2.47MPa
（压）
12
例题2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
F A
F
cos
2
同一点在斜截面上时：
2
sin 2
即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同
45
3、梁上任一点应力状态的分析
符号规定： 正应力：拉应力为正，压应力为负 切应力:使单元体顺时针方向转动为正；反之为负 α自x轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负
第九章 梁的应力
1
概
述
钢筋混凝土梁拉裂破坏 1、弯曲构件横截面上的应力 剪力V 内力 剪应力τ
梁的应力
ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图：
第九章梁的应力
的过渡层--------称为中 性层 。
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转
动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
A1B1 AB
AB
A1B1 OO1 OO1
(y)dd d
y
y (1)
——横截面上各点的纵向线应变 与它到中性轴的距离成正比
三、纯弯曲理论的推广
纯弯曲时梁横截面上 My
正应力的计算公式
Iz
横力弯曲时
1、由于切应力的存在，梁 的横截面发生翘曲；
2、横向力还使各纵向线之 间发生挤压。
A
B
1m
2m
平面假设和纵向线之 间无挤压的假设实际上都 不再成立。
实验和弹性理论的研究结果表明：
对于细长梁（跨高比 l / h > 5 ），剪力的影响可以忽 略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结
a
c
o
o1
AＢ
b
d
dx
中性层
y
中
性
层
曲
率
d
半
径
y
A1
B1
E Ey
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
梁弯曲时横截面上正应力分布图： M
中性层
σmax
Z
σmax
y
中性轴的位置？
梁变形后中性层的曲率 1 ？
M Z
M
E
Ey
y
（三）、静力平衡条件
zdAdA x 由横截面上的弯矩和正应力的关系
只是相对转动了一个角度
且仍与纵向线正交。 3、假设：
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转
动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
A1B1 AB
AB
A1B1 OO1 OO1
(y)dd d
y
y (1)
——横截面上各点的纵向线应变 与它到中性轴的距离成正比
三、纯弯曲理论的推广
纯弯曲时梁横截面上 My
正应力的计算公式
Iz
横力弯曲时
1、由于切应力的存在，梁 的横截面发生翘曲；
2、横向力还使各纵向线之 间发生挤压。
A
B
1m
2m
平面假设和纵向线之 间无挤压的假设实际上都 不再成立。
实验和弹性理论的研究结果表明：
对于细长梁（跨高比 l / h > 5 ），剪力的影响可以忽 略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结
a
c
o
o1
AＢ
b
d
dx
中性层
y
中
性
层
曲
率
d
半
径
y
A1
B1
E Ey
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
梁弯曲时横截面上正应力分布图： M
中性层
σmax
Z
σmax
y
中性轴的位置？
梁变形后中性层的曲率 1 ？
M Z
M
E
Ey
y
（三）、静力平衡条件
zdAdA x 由横截面上的弯矩和正应力的关系
只是相对转动了一个角度
且仍与纵向线正交。 3、假设：
材料力学：第九章 应力状态分析
Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
第九章 梁的平面弯曲
x
左顺右逆，M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动 向上凹
内力图
剪力图—以杆件轴线为基线,Q为纵坐标,作出的反映Q沿
杆件轴线的变化规律的曲线
弯矩图—以杆件轴线为基线,M为纵坐标,作出的反映M 沿杆件轴线的变化规律的曲线
内力图作法:
以坐标x表示横截面的位置,通过平衡方程求出内力与x 的关系,称为内力方程,根据内力方程作图
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截 面上内力按相同的规律变化；
控制截面的概念： 外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分 布载荷的起点和终点处的横截面,支座
。
截面法，确定各段Q、M 分布规律，以此列出各 段的内力方程（剪力方程、弯矩方程）。以此 作出剪力图和弯矩图。
q
A
FA
FQ qa
2a
B
2L
FB
qa
q(L-a) q(L-a)
M
qLa-qL2/2
q(L-a)2/2
根据给定的剪力图和弯矩图能否确定梁的受
力，能否确定梁的支承性质与支承位置？由给
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
P1
例如：
P2
纵向对称面
aP
Pa
A
P FS P
B P
x
P Pa M
x
3、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。
纯弯曲：AB段
三.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
x
t max
1.5
FS max A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
x
s max M max 2 A L 16.7
t max Wz 3FS h
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m RA
1m 1m RB
2.5kNm
x
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
(sdA)z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz 0
A
（对称面）
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y2dA
A
EI z
MZ
A y2dA I Z
• IZ—横截面对中性轴的惯性矩
1 Mz
EI z
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
M(x)+d M(x) 在梁上取微段如图b；
z
t1
x
在微段上取一块如图c，平衡
sI
t
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第九章：复杂应力状态及强度理论
杆在周向截面上没有应力。又由切应力互等定理可知， 杆在径向截面上 B 点处应该有与相等的切应力。于是 此单元体各侧面上的应力如图.
第一节：应力状态概念
三、主平面、主应力、应力状态的分类
主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的应力单元体在其各个表面上同时 存在有正应力和切应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的各个单元体中， 必有一个特殊的单元体，在这个单元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的 单元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。
sin 2 cos 2
当 450 时， max
当 00 时， max
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力低于其抗拉能力。 铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。
第二节：二向应力状态分析
例 9-3 图示单元体，x =100MPa，x = – 20MPa， y =30MPa。试求：1） =40º的斜截面上的 和 ；2）确定 A 点处的max、max 和它们所在的
由单向应力状态胡克定律可知：主应力 1、 2和 3 单独作用时，分别对 应的纵向线应变为1/E、2/E和 3/E；令横向变形系数 ，则主应力 2 将引起 1 方向相应的线应变为 – 2 /E；其它同理。故 1 由1 的纵向线 应变与 2、3 分别引起的 1 方向相应的横向线应变三项叠加而成。
主应力表示的 广义胡克定律
第三节：三向应力状态分析
第三节：三向应力状态分析
复杂应力状态下一点处的最大应力 1、一点处的最大正应力
设一点处的主应力单元体如图 a 所示，研究证明，当主应力按 1 2 3
排列时，则有
max 1
min 3
第三节：三向应力状态分析
2、一点处的最大切应力
梁的应力及强度计算
Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max
M maxy1 IZ
1106 15.2 25.6 104
59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax
M maxy2 IZ
1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压
23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论：矩形截面最省料；圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上：在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法：
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围： ①弹性范围—正应力小于比例极限； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算
由结果知，梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式： τ沿截面高度按抛物线规律变化：
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解：(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
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例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm， h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解：1.求剪力：QA=3kN
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第九章 梁的弯曲
§9-1 平面弯曲 §9-2 梁的弯曲内力——剪力和弯矩 §9-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 §9-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 §9-5 用叠加法画弯矩图 §9-6 梁弯曲时的应力及强度计算 §9-7 梁的变形
§9-8 梁的应力状态
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
一、梁横截面上的正应力
1、弯曲正应力强度条件： 2.剪（切）应力强度条件：Байду номын сангаас
max
Mmax [ ] Wz
max
* Vmax Sz max [ ] Iz b
在梁的强度计算中，必须同时满足正应 力和剪（切）应力两个强度条件。通常先按 正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪 （切）应力强度条件进行校核。
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
实验现象
1 c a 1 1 c c M
a
与正应力强度条件相似，也可以进行有关强度方面的 三类计算：
1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载
但通常用于校核。 特殊的： 1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
三、梁的强度条件
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
下边伸长
长度保持 不变的纵 向纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层：既不伸长也不缩短 的一层纤维层。
1．正应力分布规律
M
中性轴通过截面形心
min
max
梁弯曲时横截 面上的正应力 沿截面高度呈 线性分布规律 变化
2．正应力计算公式
距中性层为 y 处的正应力:
My Iz
M
min
M
1
2
2 d
假设
b
2 2
d
①
②
d b b M M
a
平 截 面 假 设
M
1
1
2 2
单 向 受 力 假 设
1．正应力分布规律
M 上边缩短 M
（1）平截面假设 各横向线代表横截面， 变形前后都是直线，表 明横截面变形后仍保持 平面，且仍垂直于弯曲 后的梁轴线。 （2）单向受力假设 将梁看成由无数纤维组 成，各纤维只受到轴向 拉伸或压缩，不存在相 互挤压。 结论: 纯弯曲梁段横 截面上只有正应力无 剪应力
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
1.矩形截面
2.实心圆截面 3.截面为外径D、内 径d(a=d/D)的空心圆:
D z b
z
d
h
z
Iz
d
z
d (a ) D
bh3 Iz 12 Iz bh2 Wz h/ 2 6
d4
64 Iz d4 Wz d / 2 64
64 Iz D3 Wz (1a4 ) D/ 2 32
Iz
D4
(1a4 )
5.横截面上正应力的画法
M
min
M
min
max
max
My Iz
6.公式适用范围
①线弹性范围—正应力小于比例极限p；
M ②精确适用于纯弯曲梁； EI z 1
EIz ——抗弯刚度。
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 l / h >5) ，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截 面上的弯矩，即为截面位置的函数。
z
M
y
x
max
3.横截面上最大正应力
梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为：
max
M M ymax M I z / ymax Wz Iz
M M | | max ( I z / ymax ) Wz
Iz Wz ymax
Wz—抗弯截面模量
4.典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
2．矩形截面梁的剪（切）应力计算公式
yc
h
b c y z
y
z
max
VS Iz b
* z
矩形截面梁横截面上 的最大剪（切）应力
max
3V V 1.5 2bh A
3．工字形截面梁的剪应力
b
翼缘
d
z 腹板 y
y
max
V S Izd
二、梁横截面上的剪（切）应 力 三、梁的强度条件
四、提高弯曲强度的一些措施(了解)
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
梁的内力：
V M
梁的应力：
M
V
M
梁弯曲时横截面上的应力
V
正应力 ——弯曲正应力 剪（切）应力 ——弯曲剪（切）应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
（1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ],可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
2.弯曲剪（切）应力强度条件： * Vmax Szmax max [ ] Iz b
M (x ) y 1 M (x ) ， Iz (x ) EI z
注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪 个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截 面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点
的正应力，并确定该点到中性轴的距离。
（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性 分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处
§9-1 平面弯曲 §9-2 梁的弯曲内力——剪力和弯矩 §9-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 §9-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 §9-5 用叠加法画弯矩图 §9-6 梁弯曲时的应力及强度计算 §9-7 梁的变形
§9-8 梁的应力状态
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
一、梁横截面上的正应力
1、弯曲正应力强度条件： 2.剪（切）应力强度条件：Байду номын сангаас
max
Mmax [ ] Wz
max
* Vmax Sz max [ ] Iz b
在梁的强度计算中，必须同时满足正应 力和剪（切）应力两个强度条件。通常先按 正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪 （切）应力强度条件进行校核。
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
实验现象
1 c a 1 1 c c M
a
与正应力强度条件相似，也可以进行有关强度方面的 三类计算：
1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载
但通常用于校核。 特殊的： 1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
三、梁的强度条件
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
下边伸长
长度保持 不变的纵 向纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层：既不伸长也不缩短 的一层纤维层。
1．正应力分布规律
M
中性轴通过截面形心
min
max
梁弯曲时横截 面上的正应力 沿截面高度呈 线性分布规律 变化
2．正应力计算公式
距中性层为 y 处的正应力:
My Iz
M
min
M
1
2
2 d
假设
b
2 2
d
①
②
d b b M M
a
平 截 面 假 设
M
1
1
2 2
单 向 受 力 假 设
1．正应力分布规律
M 上边缩短 M
（1）平截面假设 各横向线代表横截面， 变形前后都是直线，表 明横截面变形后仍保持 平面，且仍垂直于弯曲 后的梁轴线。 （2）单向受力假设 将梁看成由无数纤维组 成，各纤维只受到轴向 拉伸或压缩，不存在相 互挤压。 结论: 纯弯曲梁段横 截面上只有正应力无 剪应力
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
1.矩形截面
2.实心圆截面 3.截面为外径D、内 径d(a=d/D)的空心圆:
D z b
z
d
h
z
Iz
d
z
d (a ) D
bh3 Iz 12 Iz bh2 Wz h/ 2 6
d4
64 Iz d4 Wz d / 2 64
64 Iz D3 Wz (1a4 ) D/ 2 32
Iz
D4
(1a4 )
5.横截面上正应力的画法
M
min
M
min
max
max
My Iz
6.公式适用范围
①线弹性范围—正应力小于比例极限p；
M ②精确适用于纯弯曲梁； EI z 1
EIz ——抗弯刚度。
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 l / h >5) ，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截 面上的弯矩，即为截面位置的函数。
z
M
y
x
max
3.横截面上最大正应力
梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为：
max
M M ymax M I z / ymax Wz Iz
M M | | max ( I z / ymax ) Wz
Iz Wz ymax
Wz—抗弯截面模量
4.典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
2．矩形截面梁的剪（切）应力计算公式
yc
h
b c y z
y
z
max
VS Iz b
* z
矩形截面梁横截面上 的最大剪（切）应力
max
3V V 1.5 2bh A
3．工字形截面梁的剪应力
b
翼缘
d
z 腹板 y
y
max
V S Izd
二、梁横截面上的剪（切）应 力 三、梁的强度条件
四、提高弯曲强度的一些措施(了解)
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
梁的内力：
V M
梁的应力：
M
V
M
梁弯曲时横截面上的应力
V
正应力 ——弯曲正应力 剪（切）应力 ——弯曲剪（切）应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
（1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ],可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
2.弯曲剪（切）应力强度条件： * Vmax Szmax max [ ] Iz b
M (x ) y 1 M (x ) ， Iz (x ) EI z
注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪 个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截 面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点
的正应力，并确定该点到中性轴的距离。
（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性 分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处