第九章梁的弯曲(2)应力.

1
2
2 d
假设
b
2 2
d
①
②
d b b M M
a
平 截 面 假 设
M
1
1
2 2
单 向 受 力 假 设
1．正应力分布规律
M 上边缩短 M
（1）平截面假设 各横向线代表横截面， 变形前后都是直线，表 明横截面变形后仍保持 平面，且仍垂直于弯曲 后的梁轴线。 （2）单向受力假设 将梁看成由无数纤维组 成，各纤维只受到轴向 拉伸或压缩，不存在相 互挤压。 结论: 纯弯曲梁段横 截面上只有正应力无 剪应力
与正应力强度条件相似，也可以进行有关强度方面的 三类计算：
1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载
但通常用于校核。 特殊的： 1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
三、梁的强度条件
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
ຫໍສະໝຸດ Baidu
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
实验现象
1 c a 1 1 c c M
a
z
M

y
x
max

3.横截面上最大正应力
梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为：
max
M M ymax M I z / ymax Wz Iz
M M | | max ( I z / ymax ) Wz
Iz Wz ymax
Wz—抗弯截面模量
4.典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量
下边伸长
长度保持 不变的纵 向纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层：既不伸长也不缩短 的一层纤维层。
1．正应力分布规律
M
中性轴通过截面形心
min
max
梁弯曲时横截 面上的正应力 沿截面高度呈 线性分布规律 变化
2．正应力计算公式
距中性层为 y 处的正应力:
My Iz
M
min
M

第九章 梁的弯曲
§9-1 平面弯曲 §9-2 梁的弯曲内力——剪力和弯矩 §9-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 §9-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 §9-5 用叠加法画弯矩图 §9-6 梁弯曲时的应力及强度计算 §9-7 梁的变形
§9-8 梁的应力状态
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
一、梁横截面上的正应力
二、梁横截面上的剪（切）应 力 三、梁的强度条件
四、提高弯曲强度的一些措施(了解)
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
梁的内力：
V M
梁的应力：
M
V

M
梁弯曲时横截面上的应力
V

正应力 ——弯曲正应力 剪（切）应力 ——弯曲剪（切）应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*

2．矩形截面梁的剪（切）应力计算公式
yc
h
b c y z
y

z
max
VS Iz b
* z
矩形截面梁横截面上 的最大剪（切）应力
max
3V V 1.5 2bh A
3．工字形截面梁的剪应力
b

翼缘
d
z 腹板 y
y
max
V S Izd
Iz
D4
(1a4 )
5.横截面上正应力的画法
M
min
M
min
max
max
My Iz
6.公式适用范围
①线弹性范围—正应力小于比例极限p；
M ②精确适用于纯弯曲梁； EI z 1
EIz ——抗弯刚度。
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 l / h >5) ，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截 面上的弯矩，即为截面位置的函数。
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*

（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
（1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ],可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
2.弯曲剪（切）应力强度条件： * Vmax Szmax max [ ] Iz b
1、弯曲正应力强度条件： 2.剪（切）应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
max
* Vmax Sz max [ ] Iz b
在梁的强度计算中，必须同时满足正应 力和剪（切）应力两个强度条件。通常先按 正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪 （切）应力强度条件进行校核。
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
1.矩形截面
2.实心圆截面 3.截面为外径D、内 径d(a=d/D)的空心圆:
D z b
z
d
h
z
Iz
d
z
d (a ) D
bh3 Iz 12 Iz bh2 Wz h/ 2 6
d4
64 Iz d4 Wz d / 2 64
64 Iz D3 Wz (1a4 ) D/ 2 32
M (x ) y 1 M (x ) ， Iz (x ) EI z
注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪 个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截 面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点
的正应力，并确定该点到中性轴的距离。
（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性 分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处