初三数学二次函数拔高题及答案

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初中数学二次函数小题拔高训练

初中数学二次函数小题拔高训练一．选择题（共30小题）1．（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣2．Cx=（，的增大而增大，其最大值为当≤的增大而减小，最大值为的最大值是2．（2013•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）﹣﹣3．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）﹣∴4．（2013•鞍山一模）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则ax2+bx+c＞0的解集为（）5．（2013•南开区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）x=∵6．（2012•金东区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）x=7．（2012•高淳县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①c=2；②b2﹣4ac＞0；③2a+b=0；④a ﹣b+c＜0．其中正确的为（）==19．（2010•秀洲区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上，若x1＜x2，x1+x2=110．（2010•邢台一模）如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）．C D．|m|11．（2009•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c＜0，②abc＜0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b=0．你认为其中正确的有（）＞=12．（2009•鸡西）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则2b+c的值是（）2．CD ．14．（2009•随州）如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax 2+bx+c（a ≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a ＞0；（2）c ＜0；（3）2a ﹣b=0；（4）a+b+c ＞0．==15．（2008•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）＜﹣2，）x=x=y=；∴17．（2007•河池）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）x=18．（2006•梧州）二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）．C D．＜﹣19．（2006•辽宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c=0和9a﹣3b+c=0，则该二次函数图x=21．（2005•茂名）下列四个函数：①y=kx（k为常数，k＞0）②y=kx+b（k，b为常数，k＞0）③y=（k为常数，k＞0，x＞0）④y=ax2（a为常数，a＞0）y=（22．（2005•丰台区）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c＜0；（2）a﹣b+c＞0；（3）abc＞0；（4）b=2a．其中正确的结论有（）=2x=，24．（2004•武汉）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为x=﹣则对称轴﹣＜﹣＜＜﹣25．（2004•日照）己知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a﹣b+c＞0②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于零③y随x的增大而增大④一次函数y=ax+bc的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（）x==26．（2003•资阳）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=bx+c的图象在（）＜27．（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；2228．（2002•泰州）下面四个命题中，正确的命题有（）①函数y=（2x+1）2+3中，当x＞﹣1时，y随x增大而增大；②如果不等式的解集为空集，则a＞1；③圆内接正方形面积为8cm2，则该圆周长为4πcm；，因此当，＞＞﹣时，如果不等式29．（2002•哈尔滨）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）x=30．（2002•海南）已知二次函数y=a（x+1）2+c的图象如图所示，则函数y=ax+c的图象只可能是（）．C D．。

人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》拔高练习

《二次函数的图象和性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣22．（5分）若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所以满足条件的整数a的是（）A．﹣2B．1C．0D．33．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．4a﹣2b+c＞04．（5分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间．下列判断中，正确的是（）A．b2＜4ac B．2a+b＝0C．a﹣3b+c＞0D．＜b＜25．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知二次函数y＝﹣+m的图象上有三点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（请用“＜”连接）．7．（5分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2mx+2上．当2＜x1＜x2时，满足y1＜y2，则m的取值范围为．8．（5分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是．9．（5分）把抛物线y＝3x2沿y轴向下平移2个单位后，所得新抛物线的函数表达式是．10．（5分）过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（1，0），（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．12．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．13．（10分）已知一抛物线y＝ax2+bx和抛物线y＝﹣2x2的形状及开口方向完全相同，且经过点（1，6）（1）求此抛物线解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．14．（10分）（1）解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；（2）用配方法求抛物线y＝x2+2x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标．15．（10分）将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），求a、b的值．《二次函数的图象和性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该函数图象开口向下，故选项A错误，顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．（5分）若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所以满足条件的整数a的是（）A．﹣2B．1C．0D．3【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【解答】解：解分式方程+＝2可得y＝，∵分式方程+＝2的解是非负实数，∴a≥﹣2，∵y＝x2+（a﹣1）x+b，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴≤﹣1，解得a≥3，综上可知满足条件的a的值为3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a的值是解题的关键．3．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．4a﹣2b+c＞0【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵c＝﹣3，∴abc＞0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（2，0），∴对称轴方程为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，故C错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故D正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．4．（5分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间．下列判断中，正确的是（）A．b2＜4ac B．2a+b＝0C．a﹣3b+c＞0D．＜b＜2【分析】根据抛物线与x轴有两个交点故得到b2＞4ac，故A选项错误；根据对称轴方程得到2a﹣b＝0，故B选项错误；由抛物线的开口向上，得到a＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，得到a﹣3b+c＜0，故C选项错误；由于抛物线与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间，得到﹣3＜c＜﹣2，当x＝1时，a+b+c＝0，求得c＝﹣a﹣b，得到a ＝b，解不等式组得到＜b＜2，故D选项正确．【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，经过点（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴△＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故A选项错误；∵﹣＝﹣1，∴2a＝b，∴2a﹣b＝0，故B选项错误；∵抛物线的开口向上，∴a＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，∴﹣3b+c＜﹣9a，∴a﹣3b+c＜﹣9a+a＝﹣8a＜0，∴a﹣3b+c＜0，故C选项错误；∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间，∴﹣3＜c＜﹣2，当x＝1时，a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＝b，∴c＝﹣b，∴﹣3＜﹣b＜﹣2，∴＜b＜2，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故①正确；②当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，故②错误；③由对称轴可知：＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；④由图象可知：a＜0，c＞0，对称轴可知：＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故④正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知二次函数y＝﹣+m的图象上有三点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2（请用“＜”连接）．【分析】分别计算自变量为﹣1，0，3对应的函数值得到y1，y2，y3的值，然后比较它们的大小．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣+m＝﹣+m；当x＝0时，y2＝﹣+m＝m；当x＝3时，y3＝﹣+m＝﹣+m；所以y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．（5分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2mx+2上．当2＜x1＜x2时，满足y1＜y2，则m的取值范围为m≥﹣2．【分析】根据二次函数图象的对称轴和二次函数图象的增减性解答．【解答】解：如图，当2＜x1＜x2时，满足y1＜y2，此时点A、B均在直线x＝2的右侧．而y＝x2+2mx+2＝（x+m）2+2﹣m2，对称轴是直线x＝﹣m，所以﹣m≤2，所以m≥﹣2．故答案是：m≥﹣2．【点评】考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，解题时，需要掌握二次函数图象的增减性和二次函数图象的对称性质．8．（5分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是﹣3．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（2，﹣3），也就是当x＝2时，函数有最大值﹣3．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴此函数的顶点坐标是（2，﹣3），且抛物线开口方向向下，即当x＝2时，函数有最大值﹣3．故答案是：﹣3．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．9．（5分）把抛物线y＝3x2沿y轴向下平移2个单位后，所得新抛物线的函数表达式是y ＝3x2﹣2．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝3x2向下平移1个单位，所得的新抛物线的函数表达式为：y ＝3x2﹣2．故答案为：y＝3x2﹣2．【点评】本题考查主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．（5分）过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+2．【分析】本题可以根据三点坐标来设二次函数的一般式y＝ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组解出a、b、c，但是本题所给条件很特殊，因为（﹣1，0）、（3，0）都在x轴上，很容易看出对称轴是直线x＝1，再看到第三个点坐标正好是（1，2），由此可知，这一点肯定是抛物线的顶点，所以也可以设顶点式来解决这一题更方便．【解答】解：由于抛物线过（﹣1，0）、（3，0）可知抛物线对称轴是直线x＝1，而又因抛物线过（1，2），所以（1，2）是抛物线顶点于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+2得a＝﹣故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2【点评】本题考查的是根据条件用待定系数法求二次函数的解析式，掌握解析式的三种基本形式是重点，关键要学会分析条件选取合理设法，才能使问题简单化．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（1，0），（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，3）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y＝2x2﹣5x+3；（2）抛物线解析式为y＝2x2﹣5x+3＝2（x﹣）2﹣，将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，解析式变为y＝2x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．12．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）由题意得，，解得，，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，由勾股定理得，BC＝＝5，设直线BC的解析是为y＝kx+b，则，解得，，∴直线BC的解析是为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（a，﹣a+3），DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴＝，即＝，解得，DE＝DM∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，当a＝2时，DE取最大值，最大值是．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．13．（10分）已知一抛物线y＝ax2+bx和抛物线y＝﹣2x2的形状及开口方向完全相同，且经过点（1，6）（1）求此抛物线解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【分析】（1）先求出a，再把点的坐标代入解析式，即可求出b；（2）先化成顶点式，即可求出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的形状和开口方向与y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2+bx∵图象经过点（1，6）代入得：6＝﹣2+b，解得：b＝8，∴抛物线的解析式是y＝﹣2x2+8x；（2）y＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，即抛物线的顶点坐标是（2，8）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．14．（10分）（1）解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；（2）用配方法求抛物线y＝x2+2x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标．【分析】（1）先把方程变形得到x2﹣2x＝，再利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：（1）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．（2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，2）．【点评】此题考查了二次方程的解法和二次函数的性质，关键是根据配方法和直接开平方法解方程．15．（10分）将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），求a、b的值．【分析】根据抛物线平移后经过点（0，3）、（2，﹣5），可得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5），利用方程组求得a，b的值即可．【解答】解：二次函数图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），可得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5），得，解得a＝﹣2，b＝4．【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线平移规律求得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5）是解题的关键．。

二次函数拔高题专项训练(含答案)

2020中考数学二次函数拔高题专项训练（含答案）例题1.（1）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，图象过点(3,0)A -，对称轴为直线1x =-．给出四个结论：①0c >；②24b ac >；③2b a =-；④0a b c ++=，其中正确结论的序号是________________．（2）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)-、1(,0)x ，112x <<，与y 轴正半轴交于(0,2)下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．正确的结论有__________（只填序号）．（3）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示．对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=．以下结论：①0abc <；②420a b c -+<；③关于x 不等式220ax ax c -+->的解集：13x -<<；④3c a >-；⑤2(1)(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⑥若点1(,)B m y ，2(2,)C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误．．的结论是__________．【解析】（1）①②④；（2）①②③④；（3）③④⑤．例题2.（1）如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是______________．（2）函数y ax b =+（其中a ，b 是整数）的图象与三条抛物线23y x =+，267y x x =++，245y x x =++分别有2、l 、0个交点，则(,)a b =_____________．【解析】（1）122k -＜＜；（2）(2,3)．例题3. 已知如图3-1，二次函数2344y ax ax =++的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），过A 点的直线134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭交该二次函数的图象于另一点11)(C x y ,，交y 轴于M ．（1）直接写出A 点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）设(1,2)P --，图3-2中连CP 交二次函数的图象于另一点22(,)E x y ，连AE 交y 轴于N ，请你探究OM ON ⋅的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．图3-1 图3-2【解析】（1）∵直线134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭过点A ，∴0y =时，03kx k =+，解得：3x =-， ∴(3,0)A -，把点A 的坐标代入2344y ax ax =++，得391204a a -+=，解得：14a =，抛物线的解析式为21344y x x =++；（2）直线PC 解析式为2y ax a =+-，与抛物线21344y x x =++，联立消去y 得：24(1)1140x a x a --+-=，∴1244x x a +=-，12114x x a =-，法一：（表示出直线斜率） ∵1212A AOM ON y y OA OA x x x x ⋅=⋅-- 11221211(3)(+3)(1)(3)44(3)(3)x x x x x x +⨯++=++121(1)(1)16x x =++ 11(114441)162a a =-+-+=， ∴21922OM ON OA ⋅==．法二：（韦达定理表示，此法更容易想到，推荐学生掌握！）直线PC 解析式为2y ax a =+-，与抛物线21344y x x =++，联立消去y 得：24(1)1140x a x a --+-=， ∴1244x x a +=-，12114x x a =-，∵直线11(3)3:A x C yy x =++，∴点M 为1133y x +，即：1133y OM x =+，∵直线22:(3)3yAE y x x =++，∴点N 为2233y x +，即：2233y OM x =+，∴12123333y y OM ON x x ⋅=⋅++， ∴将1244x x a +=-，12114x x a =-代入，求得92OM ON ⋅=．例题4.（1）若实数x ，y 满足条件22260x x y -+=，则222x y x ++的最大值是__________．（2）二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为__________．【解析】（1）15，；（2）5．例题5.（1）关于x的方程()())x m n x m n --=<的两根为1x 、212()x x x <，则关于实数1x 、2x 、m 、n 的大小关系的判断中，正确的是（） A ．12x m n x <<< B ．12x m x n <<< C ．12m x x n <<<D ．12m x n x <<<（2）函数2|23|y x x =+-图象的草图如图所示，则关于x 的方程2|23|x x a +-=（a 为常数）的根的情况，描述错误．．的是（） A ．方程可能没有实数根B ．方程可能有三个互不相等的实数根C ．若方程只有两个实数根，则a 的取值范围为：0a =D ．若方程有四个实数根，记为1x 、2x 、3x 、4x ，则12344x x x x +++=-（3）关于x 的方程2(2)90ax a x a +++=，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且121x x <<，那么实数a 的取值范围是（）A ．211a <-B ．2275a -<<C ．25a >D ．2011a -<<【解析】（1）A ；（2）C ；（3）D ，区间根问题，令2()(2)9f x ax a x a =+++，由题意可知>0∆，2275a -<<，①当0a >时开口向上，(1)0f <，解得无解；②当0a <时开口向下，(1)0f >，2011a -<<．例题6. 如图，抛物线的顶点A 的坐标(0,2)，对称轴为y 轴，且经过点(4,4)-．（1）求抛物线的表达式．（2）若点B 的坐标为(0,4)，P 为抛物线上一点（如图），过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连接PB ．求证：PQ PB =．（3）若点(2,4)C -，利用（2）的结论.判断抛物线上是否存在一点K ，使K B C △的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设抛物线表达式为：22y ax =+，又抛物线经过点(4,4)-，∴24(4)2a =⋅-+，∴18a =， ∴抛物线表达式为：2128y x =+．（2）证明：过点B 作BD PQ ⊥于点D ，∵点P 在2128y x =+，故设点P 的坐标为21,28m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0)m <∴2128PQ m =+， ∴点D 的坐标为(,4)m ∴||DB m m ==∴，∴在中，，又，∴．（3）过点C 作轴点E ，交抛物线于点K ，连结KB ，PC ，CQ ，则的周长，又∵，(2,4)C -， ∴，点的坐标为，对于抛物线上不同于点的点，总有的周，又，∴，221124288PD m m =+-=-Rt PDB△2128PB m =+2128PQ m =+PQ PB =CE x ⊥KBC △l KC CB KB =++KB KE =426l CE CB =+=+=K 522⎛⎫- ⎪⎝⎭，K P PCB △l PC PB CB =++′PB PQ =61l PC PQ CB CQ BC CE BC =++>+>+==′∴抛物线上存在点52,2K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使的周长最小，最小值为6．例题7. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？（2）(F -；如图，动点M 运动的路径为折线AF FG +，运动时间为12t AF DF AF FG =+=+，所以由垂线段最短可知，AF FG +的长度最小为DK 与x轴之间的垂线段，即AH ，而AH 与抛物线的交点即为所求的F 点，所以(2,F -．KBC △（1）对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220162016A B A B A B +++…的值是______________．（2）已知实数x 、y 满足2245x x y -+=，则2x y +的最大值为_________．【解析】（1）20162017；（2）92．例题9.（1）若m ，n ()m n <是关于x 的方程2()()0x a x b ---=的两个根，且a b <，则a ，b ，m ，n 的大小关系是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<（2）若方程2|43|x x m -+=有两个相异的实数解，则m 的取值范围是_____________．（3）已知关于x 的方程2230x x m -+=的一根大于2-且小于1-，另一根大于2且小于3，求m 的取值范围为______________．【解析】（1）A ；（2）0m =或1m >；（3）95m -<<-，由题意得到开口向上，令2()23f x x x m =-+， (2)0f ->，(1)0f -<，(2)0f <，(3)0f >，解得95m -<<-．（1）二次函数223y x =的图像如图所示，点0A 位于坐标原点，1A ，2A ，3A ，…，2012A 在y 轴的正半轴上，1B ，2B ，3B ，…，2012B 在函数223y x =第一象限的图像上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201120122012A B A △都为等边三角形，则201120122012A B A △的边长为____________．（2）已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<；（2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤124b a -<．【解析】（1）2012；（2）①②③⑤．例题11.已知抛物线2111:12C y x x =-+，点(1,1)F ，（1）若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+=；（2）抛物线1C 上任意一点()P P P x y ,(01)P x <<，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点()Q Q Q x y ,，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由．【解析】（1）根据题意，可得点(0,1)A ，∵(1,1)F ，∴AB//x ，B 轴．得1AF BF ==，112AF BF+=；（2）112PF QF +=成立．设过点F 的直线:l y kx b =+，则有11k b =⋅+，即1b k =-，于是:1l y kx k =+-，由21112y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得2222(1)10y k y k -+++=，此时方程有两个根p y 、q y ，由根系关系定理，112p q p q p qy y y y y y ++==⋅．例题12. 已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点(2,1)B ．（1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）【解析】（1）由题意：311421a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得24a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．（2）点(1,3)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是(1,3)-，点(2,1)B 关于x 轴的对称点B '的坐标是(2,1)-．由对称性可知AB BC CD DA AB B C CD DA AB A B ''''+++=+++≥+，由勾股定理可求AB ，5A B ''=．所以，四边形ABCD周长的最小值是5AB A B ''+= （3）确定F 点位置的方法：如图，过点E 作直线EG 使对称轴与直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点．设对称轴与x 轴交于点H ，在Rt HEF △中，由1HE =，90FHE ∠=︒，45EFH ∠=︒，得1HF =．所以点F 的坐标是(1,1)．。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案(1)

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为（32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）．【解析】【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标．【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为（32528，-）．（2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2．当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（32528，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．3．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.4．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】（1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式；（2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元．（1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.6．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣32）2+94，当n=32时，PM最大=94；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①23．①P1（122），P2（16，74）．【解析】【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221b ba -⨯＝＝1 ∴b=-2∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩，∴13k m ⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC 的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34AB ， ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得PM=32， ∵对称轴是直线x=1， ∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−12， ∴P （−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（1-62-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-62，或1+62，∵点P在第三象限．∴P2（1-6，-52）．综上所述：满足条件为P1（1-2，-2），P2（1-62，-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得30 4233 a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得12 ab=⎧⎨=-⎩∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2． ∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62bx a=-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过（3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

专题22.1 二次函数的图形和性质(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年九年级数学上册真题汇编

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题22.1 二次函数的图形和性质（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.59姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•青岛二模）二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2分）（2022秋•大安市期末）在二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≥13．（2分）（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣44．（2分）（2022秋•连云港期末）在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2）、Q（m，n2﹣1），其中m≥0，则下列函数的图象可能同时经过P、Q两点的是（）A．y＝2x+b B．y＝ax2+2ax+c（a＞0）C．y＝ax+2（a＞0）D．y＝﹣x2﹣2x+c（c＞0）5．（2分）（2023秋•金安区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+5上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y26．（2分）（2022秋•恩施市期末）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．（2分）（2022秋•江汉区校级期末）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y1），B（m，y2），C（n，y3），且|m﹣3|＜|n﹣3|＜2，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）（2023•青秀区校级开学）若y＝（m﹣2）﹣x+1是二次函数，则m的值是（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．（2分）（2023•呼和浩特）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞时，＜0．③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣＜m≤﹣或≤m＜．④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2分）（2023•新建区校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+k与y＝kx+a（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•越城区期末）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的最小值是．12．（2分）（2023•东洲区模拟）已A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则yy2，y3的大小关系为．1，13．（2分）（2022秋•泗阳县期末）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是．14．（2分）（2022秋•雁塔区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），，（2，y3）在该函数图象上，y2＜y3＜y1，其中正确结论有．（填序号）15．（2分）（2023•新市区校级开学）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，D（0，1），若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．16．（2分）（2023•长乐区校级开学）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下表格：x… 1 2 3 4 …y＝ax2+bx+c…0 ﹣1 0 3 …那么该二次函数在x＝0时，y＝．17．（2分）（2023•仓山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E 分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为．18．（2分）（2023•盘龙区校级开学）已知点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝﹣x2+2的图象上，那么y1y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．19．（2分）（2023•鼓楼区校级开学）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是．20．（2分）（2023•沭阳县二模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣4x图象x轴下方的部分关于x 轴翻折，得到函数y＝|x2﹣4x|的图象，已知直线y＝x+m（m为常数）与该图象有三个交点，则m的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•工业园区校级二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m．（1）当m＝3时，求二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”；（2）若二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．22．（6分）（2023•海淀区校级开学）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1 ﹣0 1 2 3 …y…m﹣1 ﹣﹣2 ﹣﹣1 2 …（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当0≤x≤3时，y的取值范围是．23．（8分）（2023•深圳模拟）小明对函数y1＝的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为1时，函数值为4；当自变量x的值为2时，函数值为3；探究过程如下，请补充完整：（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝3x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式y1≤y2的解集：．24．（8分）（2023•柘城县模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A（0，2）和B（4，6）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线AC向上平移，在平移的过程中，直线AC与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若5≤DE≤8，求点D的纵坐标y D的取值范围．25．（8分）（2023•南明区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y 轴交于点C．抛物线y＝﹣+bx+c经过点A、C．（1）求抛物线解析式及顶点M坐标；（2）P为抛物线第一象限内一点，使得△PAC面积最大，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）当m≤x≤m+1时，（1）中二次函数有最大值为﹣2，求m的值．26．（8分）（2023•海淀区校级开学）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A．（1）求二次函数的对称轴；（2）当A（﹣1，0）时，①求此时二次函数的表达式；②把y＝ax2﹣2ax﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．。

二次函数拔高综合题全集（含答案）

1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线)0(22¹+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。

当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

的坐标；若不存在，请说明理由。

．解：（1）由题意，得01684a a c c =-+ìí=î，．···································································· （1分）分）解得124a c ì=-ïíï=î，． ················································································································ （2分）分） \所求抛物线的解析式为：2142y x x =-++． ························································ （3分）分）（2）设点Q 的坐标为(0)m ，，过点E 作EG x ^轴于点G ．由21402x x -++=，得12x =-，24x =． \点B 的坐标为(20)-，． ······························································································ （4分）分） 6AB \=，2BQ m =+．QE AC ∥，BQE BAC \△∽△．EG BQCO BA\=，即246EG m +=．243m EG +\=． ············· （5分）分） CQECBQEBQ S S S\=-△△△YXECA DQBO28题图题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +æö=+-ç÷èø 2128333m m =-++··························· （6分）分） 21(1)33m =--+．又24m -≤≤，\当1m =时，CQE S △有最大值3，此时(10)Q ，． ······················································· （7分）分）（3）存在．）存在．在ODF △中．中．（ⅰ）若DO DF =，(40)(20)A D ，，，，2AD OD DF \===．又在Rt AOC △中，4OA OC ==，45OAC \Ð=．45DFA OAC \Ð=Ð=．90ADF \Ð=．此时，点F 的坐标为(22)，．由21422x x -++=，得115x =+，215x =-．此时，点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，． ················································· （8分）分）（ⅱ）若FO FD =，过点F 作FM x ^轴于点M ，由等腰三角形的性质得：112OM OD ==，3AM \=， \在等腰直角AMF △中，3MF AM ==．(13)F \，．由21432x x -++=，得113x =+，213x =-．此时，点P 的坐标为：(133)P +，或(133)P -，． ················································· （9分）分）（ⅲ）若OD OF =，4OA OC ==，且9042AOC AC Ð=\=，，\点O 到AC 的距离为22，而222OF OD ==<，此时，不存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．是等腰三角形． ······································ （10分）分）综上所述，存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．所求点P 的坐标为：的坐标为：(152)P +，或(152)P -，或(133)P +，或(133)P -，2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，速运动，运动的速度为每秒运动的速度为每秒1个单位长度，个单位长度，设运动的时间为设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，的对称轴，\在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．2222543BE AE AB \=-=-=．2CE \=．E \点坐标为（2，4）． ································································································· 2分在Rt DCE △中，222DC CE DE +=，又DE OD =．222(4)2OD OD \-+= ．解得：52CD =．D \点坐标为502æöç÷èø，······································································································· 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED \△∽△．PM AP ED AE \=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM \=´=，又5PE t =-．而显然四边形PMNE 为矩形．为矩形．215(5)222PMNEtS PM PE t t t\==´-=-+矩形 ························································· 5分 21525228PMNES t æö\=--+ç÷èø四边形，又5052<<\当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ········································································ 6分（3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ^，P \为AE 的中点，的中点， 1522t AP AE \===．yx B C O AD E 图5-1 y x BC OADE 图5-2 PMNyxB C OADE P M NF又PM ED ∥，M \为AD 的中点．的中点．过点M 作MF OA ^，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，的中位线，1524MF OD \==，1522OF OA ==，\当52t =时，5052æö<<ç÷èø，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524æöç÷èø，． · 8分（ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）（如图②）在Rt AOD △中，2222555522AD OD AO æö=+=+=ç÷èø．过点M 作MF OA ^，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED \△∽△． AP AMAE AD\=． 5525552AM AE t AP AD´\====，152PM t \==． 5MF MP \==，525OF OA AF OA AP =-=-=-，\当25t =时，（0255<<），此时M 点坐标为(5255)-，． ····················· 11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或25t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524æöç÷èø，或(5255)-，．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

二次函数拔高试题1

二次函数拔高试题11、如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．2、如图，已知直角坐标系中，A 、B 、D 三点的坐标分别为A （8，0），B （0，4），D （﹣1，0），点C 与点B 关于x 轴对称，连接AB 、AC ．（1）求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交线段CA 于点M ，连接PA 、PB ，设点E 运动的时间为t （0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式，并求出四边形PBCA 的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使得△ABH 是直角三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．212y x bx c =++3、如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线A，且B为线段AO的中点．（1）求abC2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．5、如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．6、如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．7、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．9、抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (m ，0)，与y 轴交于C . (1) 若m ＝－3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；(2) 如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使S △ACE ＝ 10 3S △ACD ，求E 点的坐标； (3) 如图2，设F (－1，－4)，FG ⊥y 轴于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使 ∠OBP ＝∠FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10、已知如图，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．若A (－1，0)，且OC ＝3OA ；(1) 求抛物线的解析式；(2) 若M 点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC 、CM 、MB ，求四边形MBAC 面积的最大值；(3) 将直线BC 沿x 轴翻折交y 轴于N 点，过B 点的直线l 交y 轴、抛物线分别于D 、E ，且D 在N 的上方．将A 点绕O 顺时针旋转90°得M ，若∠NBD ＝∠MBO ，试求E 点的坐标。

九年级数学上二次函数经典拔高题型汇总50题(后附答案详解)

九年级数学上二次函数经典拔高题型汇总50题（后附答案详解）一、单选题（共4题；共8分）1.已知函数y1=ax2+bx+c，（a、b、c为常数），如图所示，y2=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误．．的一个结论为（）A. a<0,b>0,c>0B. 当x＞3时，ax+b＜0C. 当x＞2时，y1＞y2.D. ax2+bx+c=ax+b有两个不同的解2.已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④a＜12；⑤b＞1，其中正确结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC,则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0 ② 4ac－b2＞0 ③ a－b＋c＞0 ④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0)，(2,0)，其中0<x1<1.下列四个结论：① abc<0；② 2a−c>0；③ a+2b+4c>0；④ 4ab +ba<−4，正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5题；共14分）5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x-8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N （x3，y3），若x1<x2<x3，记s=x1+x2+x3，则s的取值范围为________．6.将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为________.7.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是________．8.已知抛物线y=(x−2)(x−b)，其中b>2，该抛物线与y轴交于点A．b,0)在该抛物线上，求b的值；（1）若点(12（2）过点A作平行于x轴的直线l，记抛物线在直线l与x轴之间的部分（含端点）为图象L．点M，N在直线l上，点P，Q在图象L上，且P在抛物线对称轴的左侧．设点P的横m+1的正方形？若存在，坐标为m，是否存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为12求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．9.已知抛物线y=−x2+6x−5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点．M (m,n)在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C．当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是：________．（“变化”是指增减情况及相应m的取值范围）三、综合题（共41题；共575分）10.在平面直角坐标系内，设二次函数y1=(x−a)2+a−1（a为常数）.（1）若函数y1的图像经过点（1,2），求函数y1的表达式；（2）若y1的图像与一次函数y2=x+b（b为常数）的图像有且仅有一个交点，求b值；.（3）已知(x0,n)（x0>0）在函数y1的图像上，当x0>2a时，求证：n>−5411.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.12.直线y=−3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过B，C 两点，与x轴的另一交点为A，连接AC，点P为AC上方的抛物线上一动点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BP，交线段AC于点D，若PD:BD=5:16，求此时点P的坐标；（3）如图②，连接PC.过点P作PE//y轴，交线段AC于点E，若△PCE与△ABC相似，求出点P的横坐标及线段PE长.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标.14.已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求使△ADC面积最大时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，15.如图，抛物线y＝120），点C的坐标为（0，﹣6）.（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q.使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由.16.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−(x−m)2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D （点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P(1,n)在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ=3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．17.已知二次函数y=ax2−2ax+a+4(a<0)的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点D．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC=1，求该二次函数的解析式；3（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为t(t>1)，如果ΔACM的面积是25，求点M的坐标．818.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP相似时，求点M的坐标．19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(8,0)两点，与y 轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP=11S△ABC，求m的值；2020.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（6，0），点B（0，6），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点.（1）圆心M的坐标为________；（2）抛物线经过点B，且以圆心M为顶点，求抛物线的解析式；（3）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（4）若（2）中的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交（3）中的直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.求EF的最小值.21.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过x轴上A(−1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，点D是其顶点，连接BD.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.22.女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中，某女生在O 处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→ C2→ C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米.如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（32，38），点B的横坐标为- 32，抛物线C1和C3的表达式分别为y = ax2- 2ax 和y = 2ax2 + bx （a≠ 0）.（1）求抛物线C1的函数表达式.（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？23.王大伯有一条渔船用于捕鱼和捕蟹作业，一年共安排20次出海作业，其中x次捕鱼，t次捕蟹(x，t 均为正整数，且x+t=20).每次捕鱼的平均收入y(单位:万元)与捕鱼次数x的关系为y={ x+4,1≤x≤10−12x+19,10<x≤19 ，每次捕蟹的平均收入p(单位:万元)与捕蟹次数t的关系如图所示.（1）求p关于t的函数解析式.（2）设王大伯捕鱼和捕蟹的年总收入为W(单位:万元)①若x=8，W的值为________;②求W关于x的函数解析式.________（3）王大伯一年的收入能否超过216万元? 若能，请写出如何安排捕鱼和捕蟹次数；若不能，请说明理由.24.如图，抛物线y=ax2+4ax+c与x轴负半轴交于点A(−6,0)，与x轴正半轴交于点B，与y 轴交于点C(0,−2√3)，直线l与x轴交于点B，与y轴交于点D，点D为点C关于x轴的对称点.（1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；（2）直线以每秒2个单位的速度沿x轴的负方向平移，平移t（t>0）秒后，直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点B关于直线l的对称点为B′.①请直接写出点E的横坐标为________（用含字母t的代数式表示）②当点B′落在抛物线上时，请直接写出此时t为________秒，点B′的坐标为________；③点G是第二象限内一点，当四边形EGAB′为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时t为________秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为________.25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1)，并且经过点(4,2)，直线y=12x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1)，直线m上每一点的纵坐标都等于1.（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值.（或者求BEMF的值）26.如图，直线y=−12x+c与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点C，拋物线y=12x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B(1,0)，连接BC.（1）求抛物线的函数解析式.（2）M为x轴的下方的拋物线上一动点，求△ABM的面积的最大值.（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标.27.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)，B(1,0)两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x轴交于点H.（1）求该抛物线的解析式；（2）求△DBC的周长；（3）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值.28.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.29.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标.30.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C.（平面直角坐标系内两点间距离公式：点(x1,y1)与点(x2,y2)的距离为√(x1−x2)2+(y1−y2)2.）（1）求抛物线的解析式；（2）若−2≤x≤0时，画出函数图像，并根据图像直接写出函数的最大值与最小值；（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求当四边形BOCE面积取最大值时，求E点的坐标.31.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上.（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值；（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.32.如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB//x轴，交抛物线于点B，连结OB.点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q.（1）求AB的长；（2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标；（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点p的坐标.33.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A(6,0),C(0,3)，直线y=−34x+92与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A,D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与ΔABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．34.在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．35.二次函数y＝x2﹣4mx+5（m为常数）．（1）当m＝1时，①直接写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．②若点（b，5）在这个抛物线上，求出b的值．③当0≤x≤3时，求这个二次函数的最大值和最小值．（2）过点C（0，2）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线有一个公共点时，求m的值．②当x≥m时，抛物线y＝x2﹣4mx+5（m为常数）的最低点到直线l的距离为1，请直接写出m的值．36.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果如果有根号均保留根号）37.已知抛物线y=mx2−2mx+n经过点(−1,2)，且直线y=kx−1（k≠0）过抛物线的顶点P．（1）求k与m之间的函数关系式；（2）求证：直线与抛物线有两个交点；（3）直线与抛物线的另一个交点记为Q，当m>0时，求点Q纵坐标的最小值．38.在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y=x2−2mx+m2（m≥0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m＋1①若m的值等于1，求抛物线与线段AB的交点个数；②若抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．x+ √3与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上39.如图，直线y= √33x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B，一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－√33（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．40.已知二次函数y=−x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）已知函数过点(2,3)，求出b和c满足的关系式；（2）若c=1−b，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当x=0时，y=5；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是x=2；丁发现x=4是方程−x2+bx+c=0的一个根.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写岀错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式. 41.如图，抛物线C1:y=ax2−3x+c与x轴交于A、B，与y轴交于C(0,4)，其顶点D的横坐标为3.（1）求抛物线C1的表达式；（2）将抛物线C1向上平移2个单位长度，得到抛物线C2，且C2的顶点为F，交y轴于N，则在抛物线C2上是否存在点M，使S△MNC=2S△MFD？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.42.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−kx−2k（k为常数）的顶点为N.（1）如图，若此抛物线过点A(3,−1)，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，①求∠ABO的度数________；②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作CD//x轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∼△BNA时，线段CD的长为________.（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为(2,0)，当∠MHN=90°时，请直接写出k 的值.43.如图，一次函数y=−12x+2分别交y轴、x轴于A,B两点，抛物线y=−x2+bx+c过A,B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）作直线x=t垂直于x轴，在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，交x轴于点E(t,0).求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A,M,N,D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的坐标.44.如图，已知抛物线y= a x2+bx+2经过B(2，0)、C（6，0) 二点，与直线y= 23x+2交于A、D两点，且点A为直线y= 23x+2和抛物线y= a x2+bx+2与y轴的交点，点G为直线y= 23x+2与x轴的交点.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；45.如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.x2−2x−2的顶点为A，直线y=−x−2与y轴相交于点46.在平面直角坐标系中，抛物线y=−12B，点C是抛物线对称轴上的一点.（1）求A，B的坐标；（2）点D在抛物线上，若以C.D.A为顶点的三角形与△AOB全等，求点D的坐标；（3）点D在平面上，是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出它的坐标；若不存在，说明理由.47.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3，6)，与y轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与x轴的交点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.48.如图，已知抛物线y＝a x2＋bx－3（a ≠0）的对称轴为直线x＝1，交x轴于D，且抛物线交x轴于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式（2）设点P为第四象限抛物线上的一个动点，求使ΔCPB面积最大的点P的坐标（3）点Q是对称轴x＝1上的一点，是否存在点Q，使得ΔDCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由49.综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(−2,0)和点B(4,0)，与y轴相交于点C；连接BC，点P为BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E．（1）求抛物线的表达式（2）设点P的横坐标为m(0<m<4)，试用含m的代数式表示线段PE的长；并求出PE长度的最大值．（3）连接AC，点M是x轴上的一个动点，点N是平面内任意一点；是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．50.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，3），该抛物线与BE交于另2一点F，连接BC．（1）求点A，B，C的坐标；（2）动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM，BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C二、填空题5.【答案】10<s< 2126.【答案】0<b<947.【答案】-158.【答案】（1）解：把点(12b,0)代入y=(x−2)(x−b)，得(12b−2)(12b−b)=0，解得b1=0，b2=4．因为b>2，所以b=4（2）解：如图解法一：解：当x=0时，y=(0−2)(0−b)=2b．所以点A坐标为(0,2b)．在正方形PQNM中，PQ//MN//x轴，PM//QN//y轴．可设点M坐标为(m,2b)．又因为正方形PQNM边长为12m+1，即MP=PQ=12m+1，所以点P的坐标为(m,2b−12m−1)，且0≤m≤2，x Q=m+12m+1．因为抛物线的对称轴为x=b+22，所以x Q=b+2−m．所以b+2−m=m+12m+1．所以b=52m−1．所以点P的坐标为(m,92m−3)．因为点P在抛物线上，把(m,92m−3)代入y=(x−2)(x−b)，得(m−2)(m−52m+1)=92m−3．解得m1=23，m2=−1．因为0≤m≤2，所以m1=23．当m=23时，b=52m−1=52×23−1=23<2．所以不存在边长为12m+1的正方形PQNM．解法二：解：当x=0时，y=(0−2)(0−b)=2b，所以点A坐标为(0,2b)．在正方形PQNM中，PQ//MN//x轴，PM//QN//y轴．可设点M坐标为(m,2b)．又因为正方形PQNM边长为12m+1，即MP=PQ=12m+1，所以点P的坐标为(m,2b−12m−1)，且0≤m≤2，x Q=m+12m+1．因为抛物线的对称轴为x=b+22，所以x Q=b+2−m．所以b+2−m=m+12m+1．所以m=25b+25．所以点P的坐标为(25b+25,95b−65)．因为点P在抛物线上，把点P的坐标代入y=(x−2)(x−b)，得(2 5b+25−2)(25b+25−b)=95b−65．解得b1=23<2，b2=−72<2．所以不存在边长为 12m +1 的正方形 PQNM ．同理，当M 、N 两点的位置互换后，也不存在边长为 12m +1 的正方形．【分析】9.【答案】当 1≤m <3−√2 时， BC 的长随 m 的增大而减小；当 3−√2<m ≤3 时， BC 的长随 m 的增大而增大．三、综合题10.【答案】（1）解：将（1,2）代入 y 1=(x −a)2+a −1 ，得到 (1−a)2+a −1=2 ，解得 a 1=−1,a 2=2∴ y 1=(x +1)2−2 或 y 1=(x −2)2+1（2）解：①∵ y 1 的图像与一次函数 y 2=x +b （ b 为常数）的图像有且仅有一个交点 ∴ (x −a)2+a −1=x +b 有两个相等的实数根，即 x 2−(2a +1)x +a 2+a −b −1=0 有两个相等的实数根，∴ Δ=(2a +1)2−4(a 2+a −b −1)=0∴ 4b +5=0 ，解得 b =−54 （3）（ x 0>0 ）在函数 y 1 的图像上，当 x 0>2a 时，求证：n >−54 .（3）解：∵ x 0>2a ，∴ x 0+02>a结合函数图像，可得 |a −0|<|a −x 0|∴ y x=0<y x=x 0 ，即 n >a 2+a −1∴ n >(a +12)2−54∵(a +12)2−54≥−54 ，∴ n >(a +12)2−54≥−54 ，即 n >−5411.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax 2 +bx+c ( a≠0 )与x 轴交于点A(1 ,0)和点B( -3,0) , ∵OB=3，∴OC=OB=3 ,∴c=3，{9a −3b +3=0a +b +3=0 ) ，解得：{a =−1b =−2),∴所求抛物线解析式为: y=-x 2-2x+3 ;（2）解：如图2，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ,设E(a, -a 2-2a+3 ) ( -3<a<0)，∴EF=-a 2-2a+3 , BF=a+3 , OF=-a ,∴S 四边形BOCE = 12BF·EF+12(OC+EF )OF=12(a+3)(-a 2-2a+3)+12(-a 2 -2a+6)(-a)=-32a 2-92a+92=-32(a+32)2+638,∴当a=-32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638 ，此时，点E 的坐标为（-32 ， 154）；（3）解：∵抛物线y=-x 2 - 2x+3的对称轴为x=-1，点P 在抛物线的对称轴上，设P(-1,m)，∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后点A 的对应点A 恰好也落在此抛物线上，如图3，∴PA=PA 1 ， ∠APA'=90°，①当m≥0时，如图3，过A 作A 1N1对称轴于N ，设对称轴与x 轴交于点M ，∴∠NPA 1+∠MPA=∠NA 1P+∠NPA 1=90°，∴∠NA 1P=∠MPA ，在△A 1NP 与△APM 中,{∠A 1NP = ∠AMP =90°∠NA 1P =∠MPAPA 1=AP )∴△A 1NP ≌△PMA ，∴A 1N=PM=m ，PN=AM=2，∴A 1(m-1，m+2)，代入y=-x 2-2x+3得: m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3，解得：m=1，m=-2（舍）,②当m<0时，要使P 2A=P 2A 2 ，由图可知，A 2点与点B 重合，∵∠AP 2A 2=90°，∴MP 2=MA=2，∴P 2（-1,-2），∴P(-1,1)，(-1，-2) .12.【答案】（1）解：直线 y =−3x +3 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，令 x =0 ，则 y =3 ；令 y =0 ，则 x =1 ，∴ B （1,0），C （0,3）∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 B ， C 两点，将B 、C 的坐标代入解析式可得{−1+b +c =0c =3解得 {b =−2c =3∴ 抛物线解析式为： y =−x 2−2x +3 ；（2）解：令抛物线 y =−x 2−2x +3=0 ，可得 x =1 或 x =−3 ∴ A （-3,0）∵ C （0,3）∴ 设直线AC 的解析式为： y =kx +b 1将A （-3,0），C （0,3）代入直线 y =kx +b 1 ，得{−3k +b 1=0b 1=3解得： {k =1b 1=3∴ 直线AC 的解析式为： y =x +3设P 点坐标为（ m , −m 2−2m +3 ）设直线BP 的解析式为： y =ax +n将B （1,0），P （ m , −m 2−2m +3 ）代入解析式 y =ax +n 中，得{a +n =0am +n =−m 2−2m +3解得： {a =−m −3n =m +3∴ 直线BP 的解析式为： y =−(m +3)x +m +3联立直线BP 与直线AC{y =−(m +3)x +m +3y =x +3解得 x =m m+4如图过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，作DG ⊥x 轴于点G∵DG//PH∴∠BDG =∠BPH ， ∠BGD =∠BHP =90°又 ∵∠DBG =∠PBH∴△BDG ∼△BPH∵ PD ：BD=5:16∴ BG ：BH=16:21∵ BG= x B −x D =1−m m+4 ，BH= x B −x P =1−m∴1−m m+41−m =1621解得： m =−12 或 m =−52 ，经检验， m =−12 ， m =−52 都是方程的根，∴ 当 m =−12 时， −m 2−2m +3=154 ；当 m =−52 时， −m 2−2m +3=74故点P 的坐标为（ −12 ，154 ），（ −52 ， 74 ）；（3）解：设P 点坐标为 (a,−a 2−2a +3)∴E(a,a +3)∴PE =−a 2−2a +3−(a +3)=−a 2−3a ， AC =√AO 2+OC 2=√32+32=3√2 , EC =√2(3−a −3)=−a √2 ,∵PE//y 轴∴∠PEC =∠ACO又 ∵OA =OA =3，OC ⊥OA ,∴∠CAB =∠ACO =45°∴∠PEC =∠CAB①当 △ABC ∼△EPC 时AC EC =AB EP即 √2−a √2=4−a 2−2a+3−a−3解得： a =−53 或 a =0经检验 a =0 不是方程的根，应舍去，∴PE =−a 2−3a =209 ；②当 △ABC ∼△ECP 时ABEC =ACEP即 −a 2=3√2−a 2−2a+3−a−3解得： a =−32 或 a =0经检验 a =0 不是方程的根，应舍去，∴PE =−a 2−3a =9413.【答案】（1）解：将点A(-4，0)和点B(2，0)代入抛物线y=ax 2+bx-4可得 {16a −4b −4=04a +2b −4=0解得:a= 12 ，b=1∴抛物线的解析式为 y =12x 2+x −4当x=0时，y=-4，∴C(0，-4)（2）解：如图1,过D 作DE ⊥AC 交CA 延长线于E,∵C(0，-4)，点A(-4，0),∴OA=OC=4,∴AC= 4√2∵∠EAD=∠OAC,∠DEA=∠COA∴△EAD∼△OAC∴DECO=EAOA=DACA=44√2∴DE4=EA4=4√2∴DE=2√2,EA=2√2∴EC=6√2∴tan∠ACD=DEEC=√26√2=13（3）解：如图2，过点P作PF上x轴于F，设P(t, 12t2+t-4)∴∠OCD=∠CAP ,∴∠OCA+∠ACD=∠CAB＋∠BAP∴45°+∠ACD=45°十∠BAP ,∴∠ACD=∠BAP∴tan∠BAP=tan∠ACD= 13,∴tan ∠BAP =PF AF =12t 2+t −4t +4=13∴t =83 或t=-4（舍去）∴P(83,209) 14.【答案】（1）解：把B （1，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+2x+c 则有 {c =−3a +2+c =0，解得 {a =1c =−3， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3（2）解：如图1中连接AD ，CD.∵△DAC 的面积最大，设直线AC 解析式为：y ＝kx+b ，∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），∴ {b =−3−3k +b =0 ，解得， {k =−1b =−3，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），∵点D 在第三象限，∴DG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x+3＝﹣x 2﹣3x ，∴S △ACD ＝ 12 •DG•OA ＝ 12 （﹣x 2﹣3x ）×3＝﹣ 32 x 2﹣ 92 x ＝﹣ 32 （x+ 32 ）2+ 278 ， ∴当x ＝﹣ 32 时，S 最大＝278 ，点D （﹣ 32 ，﹣ 154 ）（3）解：满足条件的点N 的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）15.【答案】（1）解：将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得： {12×36+6b +c =0c =−6，解得： {b =−2c =−6，故抛物线的表达式为：y ＝ 12 x 2﹣2x ﹣6，令y ＝0，则x ＝﹣2或6，则点A （﹣2，0），则函数的对称轴x ＝2；（2）解：①当∠BCD ＝90°时，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式得：直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣6，则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；②当∠DBC＝90°时，同理可得点D（2，4），故点D（2，﹣8）或（2，4）；（3）解：①当CE为菱形的一条边时，则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），m2﹣2m﹣6…①，则n＝12由题意得：CP＝PQ，即√2m＝m﹣6﹣n…②，联立①②并解得：m＝6﹣2 √2，n＝4﹣8 √2，则点Q（6﹣2 √2，4﹣8 √2）；②当CE为菱形的对角线时，则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），s2﹣2s﹣6…③，其中m﹣6＝12则PC＝﹣√2m，CQ2＝s2+m2，由题意得：CQ＝CP，即：（﹣√2m）2＝s2+m2…④，联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故点（2，﹣8）；综上，点Q（6﹣2 √2，4﹣8 √2）或（2，﹣8）.16.【答案】（1）解：如图1，∵抛物线与x轴相交于C点，∴−(x−m)2+4=0，(x−m)2=4，x−m=±2，x=m±2，∵C点在D点的左侧，∴C（m-2，0），又∵点P与点C重合，P(1,n)，∴ m-2=1，m=3，∴y=−(x−3)2+4，∴A（3，4），P（1，0），∴AP=√22+42=2√5；（2）解：如果抛物线经过原点，将（0，0）代入，得−m2+4=0，m=±2，∵顶点A在第一象限，∴m=2，∴y=−(x−2)2+4= −x2+4x，当x=1时，y=3，∴P（1，3），如图2，连接OP，PQ，作OE⊥PQ于E点，PF⊥x轴于F点，∵ tan ∠OPQ =3 ， tan ∠POF =PF OF =3 ，∴∠OPQ =∠POF ，设PQ 延长线与x 轴交于点G （x ，0），又 ∵ OG=PG ， ∴ x =√(x −1)2+32 ，解得x=5，检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，∴ G （5,0），设直线PG 的解析式为：y=kx+b ，∴ 将P ，G 两点坐标代入得 {5k +b =0k +b =3 ，求得 {k =−34b =154 ， ∴ PG 所在直线的解析式为 y =−34x +154 ，联立直线PG 和抛物线解析式可得 {y =−x 2+4x y =−34x +154，解得 {x =1y =3 或 {x =154y =1516， ∴ Q (154，1516) ；（3）解：如图3， ∵ 点 P(1,n) 在该抛物线上，代入 y =−(x −m)2+4 中，∴ n =−(1−m)2+4=−m 2+2m +3 ， ∴ P(1，−m 2+2m +3) ，又 ∵ 抛物线与y 轴交于点B ， ∴ B （0， −m 2+4 ），设直线BP 的解析式为：y=kx+b ，代入B 、P 两点， {k +b =−m 2+2m +3b =−m 2+4，则 {k =2m −1b =−m 2+4，直线BP 的解析式为： y =(2m −1)x −m 2+4 ，令y=0， x =m 2−42m−1=(m+2)(m−2)2m−1 ，∵ 直线 PB 与x 轴的负半轴相交，∴ (m+2)(m−2)2m−1<0 ， {(m +2)(m −2)>02m −1<0 或 {(m +2)(m −2)<02m −1>0，解得m<-2或 12 <m<2，又 ∵ 顶点A 在第一象限， ∴ m>0,∵ 点A 与点P 不重合， ∴ m ≠1 ，综上所述， 12<m <2 且 m ≠1 ．17.【答案】（1）解：∵ a <0 ，∴抛物线开口向下，根据对称轴公式可得： x =−2a −2a =1 ，当 x =1 时， y =4 ，则顶点 D(1,4) ，∴抛物线开口向下，对称轴为直线 x =1 ，顶点 D(1,4)（2）解：如图所示，作DE ⊥y 轴，由（1）可知顶点D(1,4)，则OA=ED=1，∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCO=90°，又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCO，∴△CDE∽△BCO，∴EDOC =CDBC，∵tan∠DBC=13，∴CDBC =13当x=0时，y=a+4，即点C的坐标为(0,a+4)∴OC=a+4，则：1a+4=13，解得：a=−1，经检验a=-1是方程的解，∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；（3）解：在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为(t,−t2+2t+3)，此时设直线CM的解析式为：y=kx+b，将C ，M 的坐标代入得：{b =3tk +b =−t 2+2t +3 ，解得： {k =−t +2b =3，即：直线CM 的解析式为： y =(−t +2)x +3 ，设直线CM 与对称轴交于P 点，则P 的坐标为 (1,−t +5) ， AP =−t +5 ，∴ S △AMC =12AP ·(x M ̅̅̅̅−x C ̅̅̅)=12t(−t +5)=258 ，解得： t =52 ，将 t =52 代入抛物线解析式得： y =74 ，∴点M 的坐标为 (52,74) ． 18.【答案】（1）解：由题意设： y =ax(x −5),把 A(2，4) 代入 y =ax(x −5),∴2a ×(2−5)=4,∴−6a =4,∴a =−23,∴ 抛物线为： y =−23x(x −5)=−23x 2+103x（2）解：由抛物线： y =−23x 2+103x,∴ 抛物线的对称轴方程为： x =−b 2a =−1032×(−23)=52,∵A(2，4)，O(0，0)，B(5，0)，∴AO =√22+42=2√5，AB =√(5−2)2+(0−4)2=5，BO =5，∴BA =BO, BC ⊥AO,∴ C 为 AO 的中点，∴C(1，2)， AC =CO =√5,设 BC 为 y =kx +b ，∴{k +b =25k +b =0,解得： {k =−12b =52∴y =−12x +52,当 x =52 时， y =54,∴P(52,54),∴PA =√(2−52)2+(4−54)2=54√5，PB =√(52−5)2+(54−0)2=54√5，∴PA =PB,∴∠PAB =∠PBA,∵B(5，0)，C(1，2)，∴BC =√(5−1)2+(0−2)2=2√5，∴cot ∠PAB =cot ∠PBA =BC AC =√5√5=2（3）解：如图，当 △ABP ∽△AOM 时，则 AB AO =APAM ,∵AP =PB =5√54，OA =2√5，AB =5，∴2√55√54AM ,∴AM =52，经检验符合题意，∴4−52=32,∴M(2，32).当△ABP∽△AMO时，又△ABP是等腰三角形，∴△AMO为等腰三角形，且AO=MO，∵AM⊥x轴，且与x轴交于G，∴AG=MG=4，∴M(2，−4).所以：M(2，−4)或M(2，32).19.【答案】（1）解：∵A(−2,0)，B(8,0)∴OA=2，OB=8，∵OC=2OA，∴OC=4，∴点C(0,4)∵设y=a(x+2)(x−8)经过点C，∴4=−16a，∴a=−14，∴抛物线解析式为：y=−14(x+2)(x−8)=−14x2+32x+4；（2）解：如图1，由题意：点D(3,0)，∴OD=3，设P(m,−14m2+32m+4)，(m>0,−14m2+32m+4>0)∵C(0,4)，∴直线PC的解析式可表示为：y=(−14m+32)x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E(3,−34m+172)，∴DE=−34m+172，∵S△ABC=12×AB×OC，∴S△ABC=12×10×4=20，∵S△CDP=1120S△ABC，∴12×(−34m+172)×m=1120×20，∴m1=4或m2=223；(3)K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由.解：若BC为边，∠CBK=90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC"∴BC=BC"，∠CBC"=90°，∴∠CBO+∠C"=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠OCB=∠EBC"，且BC=BC"，∠BEC"=∠BOC=90°，∴△BCO≌△BC"E(AAS)∴BE=OC=4，OB=EC"=8，∴点C"(4,−8)，且B(8,0)∴直线BC"解析式为：y=2x−16，∴2x−16=−14x2+32x+4，∴x1=−10，x2=8，。

九年级数学函数专题之二次函数压轴篇(二次函数)拔高练习(含答案)

九年级数学函数专题之二次函数压轴篇(二次函数)拔高练习试卷简介:二次函数压轴题综合测试，考查二次函数压轴题中求面积的正确方法；学习建议:结合视频课一起学习，对二次函数压轴题有一个系统的分类，能够了解二次函数压轴题解题的一般方法；一、解答题(共1道，每道100分)1.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．答案：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），把点A（0，4）代入上式得：,∴，∴抛物线的对称轴是：x=3．（2）由已知，可求得P（6，4）．提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）（3）法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：；把x=t代入得：，则G，此时：∴∴当时，△CAN面积的最大值为，由，得：，∴N（，-3）法二：提示：过点N作x轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）解题思路：1．在第二问中要确定P点坐标，考虑到AO=4、OM=3，所以可以初步对剩下两条边的范围做一个限制，又由于MP＞2,AP＞2,那么必然只能是3、4、5、6这唯一的一种情况；2．在表达△NAC面积时，虽然不是一个特殊的三角形，但是A、C两点是固定的，也就是说这条直线是固定的，要在抛物线上找一个点使三角形面积最大，那么就可以做对称轴的垂线，把三角形分割成两个易求的三角形的面积进行表达，进而求出面积的最大值；易错点：1．在第二问中对于题目理解不清楚，不知道连续4个正整数如何去做，也就是不能找到固定线段的长度；2．确定范围之后不能很好判定范围，主要根据已有线段进行判断；3．在最后一问求面积的时候，对于非特殊三角形的面积，不能转化为特殊三角形的面积．试题难度：四颗星知识点：二次函数综合题。

(完整)二次函数经典拔高题

二次函数经典拔高题1、已知：关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.2、已知：如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与轴交于A 、两点，点A 的坐标为(1,0)-．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标；（3）求APD ∆的面积．3、已知：如图，等边△A BC 中，AB=1，P 是AB 边上一动点，作PE ⊥BC ，垂足为E ；作EF ⊥AC ，垂足为F ；作FQ ⊥AB ，垂足为Q.（1）设BP=x ，AQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长；已知：关于x 的一元二次方程012)1(22=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根；x B（2）设0<m ，且方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x <），若y 是关于m 的函数，且y ＝1216x x -，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程02=-+m y 的解．4、已知如图，ABC ∆中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.5、已知抛物线C ：()112++-=x m x y 的顶点在坐标轴．．．上．（1）求m 的值；（2）0>m 时，抛物线C 向下平移()0>n n 个单位后与抛物线1C ：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点()3,n ，求1C 的函数关系式；（3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点()0,1y P ．问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．6、已知关于的一元二次方程．（1）若此一元二次方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若关于x 的二次函数和的图象都经过x 轴上的点（n ，0），求m 的值；（3）在（2）的条件下，将二次函数的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数的图象．请你直接写出二次函数的解析式，并结合函数的图象回答：当x 取何值时，这个新的二次函数的值大于二次函数的值．7、在平面直角坐标系xOy 中，关于y 轴对称的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是这条抛物线上的一点（点P 不在坐标轴上），且点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，D （0，3）是y 轴上的一点．（1）求抛物线的解析式及点P 的坐标；x 2(2)210m x x +--=21(2)21y m x x =+--22(2)1y m x mx m =++++21(2)21y m x x =+--3y 3y 3y21(2)473m y x m x m -=-+-+-x8、如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点C （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标。

九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)

二次函数常考题型与解析一．选择题（共12小题）1．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=72．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y33．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．108．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜110．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧11．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=1212．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0二．填空题（共9小题）13．已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．14．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．16．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．17．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．18．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．19．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB 时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．21．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．三．解答题（共12小题）22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．23．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．24．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．25．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．26．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．28．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．29．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．30．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．32．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．33．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？2017年03月20日初中数学3的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•荆门）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．3．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．4．（2016•临沂）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c 中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．5．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．7．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．8．（2016•泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，∴﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数，∴2a﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的值和a、b的符号，难度中等．9．（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜1【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函数的对称轴为x=﹣=﹣=﹣＜，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．【解答】解：由已知可知：，消去b得：c=3﹣2a＜3，消去c得：b=1﹣a＜1，对称轴：m=x=﹣=﹣=﹣＜，∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，∴n≤2，故B错．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．10．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．11．（2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=12【分析】由直角三角形相似得，得x=•（24﹣y），化简矩形面积S=xy 的解析式为S=﹣（y﹣12）2+180，再利用二次函数的性质求出S 的最大值，以及取得最大值时x、y的值．【解答】解：以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系，过点D作DE⊥x轴于点E，∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴=，∵CH=24﹣y，CE=24﹣8，DE=OA=20，NH=x，∴，得x=•（24﹣y），∴矩形面积S=xy=﹣（y﹣12）2+180，∴当y=12时，S有最大值，此时x=15．故选D．【点评】本题考查的是直角梯形以及矩形的性质的相关知识点．12．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0【分析】把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．【解答】解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，∴顶点（﹣，﹣），把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，∴a＜0，∴a＜k＜0，故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二．填空题（共9小题）13．（2016•厦门）已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是﹣≤a＜0．【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得：，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．14．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．15．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．16．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．17．（2014•宁德）如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．=6，．∴当x=1时，C最大值即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．18．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．19．（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两根之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=，化简，得x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD根据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，△BCD∵﹣＜0，∴S有最大值，最大值为15，△BCD故答案为15．【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．21．（2016•自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=，∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，∵a＞1，∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．三．解答题（共12小题）22．（2016•黔南州）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．【解答】解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．∴y=（x﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．∵a＞0，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．23．（2016•无锡）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B 且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．【分析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a 的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．【解答】解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，∵y=ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的对称轴为：x=1，∴OE=1∵OC∥BD，∴CP：PD=OE：EB，∴OE：EB=2：3，∴EB=，∴OB=OE+EB=，∴B（，0）∵A与B关于直线x=1对称，∴A（﹣，0）；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c﹣a，令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c∴PG=a，∵CF=OB=，∴tan∠PDB=，∴FD=2，∵PG∥BD∴△CPG∽△CDF，∴==∴PG=，∴a=，∴y=x2﹣x+c，把A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c，∴解得：c=﹣1，∴该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣1．【点评】本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．24．（2016•淄博）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题．（2）设M（t，t2），Q（m，），根据K OM=K OQ，求出t、m的关系，根据QO=QM 列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF 即可解决问题．【解答】解：（1）∵圆心Q的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数动态几何问题

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数动态几何问题1．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交x轴于A(−1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)，直线CD平行于x周，与抛物线另一个交点为D .（1）求函数的解析式；（2）若M是x轴上的动点，N是抛物线上的动点，求使以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的M的横坐标.3．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB 上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并在右图中画出函数的图象；（2）求△PBQ面积的最大值.4．如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b时，函数的解析式不同）．（1）填空：△ABC的面积为；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．5．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以√2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE△y轴，交AB于点E，过点Q作QF△y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF△PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．6．抛物线y=ax2+bc+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y 轴的交点为C，其中A(−1，0)，OC=3．（1）求出抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在一点P，使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标；（3）点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值．7．如图，已知抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，ΔABC的面积为6（1）求抛物线的表达式；（2）过D(−2，0)的直线l交线段BC于点M，l与抛物线右侧的交点为N，求MN DM的最大值．8．如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)．（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．9．已知二次函数y=ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)，且对称轴为直线x=1，过点B,C作直线BC．（1）求二次函数和直线BC的表达式；（2）利用图象求不等式x2−3x≥0的解集；（3）点Р是函数y=ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB,PC，①若ΔPBC面积最大时，求点Р的坐标及ΔPBC面积的最大值；②在x轴上是否存在一点Q，使得以P,C,Q,B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=﹣49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．11．抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3).（1）求抛物线的解析式.（2）如图甲，若P为BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标.（3）如图乙，M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.12．如图，抛物线y=12x2+mx+n与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，已知A（0，3），C（3，0）.（1）抛物线的解析式；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒√2个单位的速度运动到A后停止.若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标.13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQ△x轴于点M，DQ与BC相交于点M．DE△BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值；（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与△CAO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=−12x2+bx+c的图象经过点C(0,2)，交x轴于点A(−1,0)和B，连接BC，直线y=kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）求EFDF的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．（1）填空：b=，c=；（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y=x2+bx+c没有交点？（3）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣32），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．答案解析部分1．【答案】（1）解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，{0=9a −3b −30=a +b −3，解得，{a =1b =2，∴抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3，令x ＝0，则y ＝﹣3， ∴B （0，﹣3），把A （﹣3，0）和B （0，﹣3）代入y ＝kx+b ，得，{0=−3k +b −3=b ，解得，{k =−1b =−3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣3， ∵PE△x 轴， ∴E （x ，﹣x ﹣3）， ∵P 在直线AB 下方，∴PE ＝﹣x ﹣3﹣（ x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x+32）2+94，当x ＝﹣32时，y ＝x 2+2x ﹣3＝−154，∴当PE 最大时，P 点坐标为（﹣32，−154）（3）解：存在，理由如下， ∵x ＝﹣22×1＝-1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝-1，设Q （-1，a ），∵B （0，-3），A （-3，0），①当△QAB ＝90°时，AQ 2+AB 2＝BQ 2， ∴22+a 2+32+32＝12+（3+a ）2，解得：a ＝2，∴Q 1（-1，2），②当△QBA ＝90°时，BQ 2+AB 2＝AQ 2， ∴12+（3+a ）2+32+32＝22+a 2，解得：a ＝﹣4， ∴Q 2（-1，﹣4），③当△AQB ＝90°时，BQ 2+AQ 2＝AB 2， ∴12+（3+a ）2+22+a 2＝32+32，解得：a 1＝−3+√172或a 1＝−3−√172，∴Q 3（-1，−3+√172），Q 4（-1，−3−√172），综上所述：点Q 的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，−3+√172）或（-1，−3−√172）．2．【答案】（1）解： ∵ 二次函数的图象交 x 轴于 A(−1，0) 、 B(3，0) ，∴ 设二次函数的解析式为 y =a(x +1)(x −3) 展开得： y =ax 2−2ax −3a ， ∵ 二次函数的图象交 y 轴于 C(0，3) ， ∴−3a =3 ，得 a =−1∴ 二次函数的解析式为 y =−x 2+2x +3 （2）解：联立方程组得： {y =3y =−x 2+2x +3，解得 {x =0y =3 或 {x =2y =3 ， ∴D 点坐标为 (2，3) ，当以 B 、 D 、 M 、 N 为顶点四边形是平行四边形时，有两类情形； ①BD 是平行四边形的边时，联立方程组 {y =−3y =−x 2+2x +3 ，解得， x N =1±√7如图，此时 x M′=0+1=1 ，或 x M′′=1−√7−1=−√7 或 x M′′′=1+√7−1=√7②BD是平行四边形的对角线时∵B、D两点的中点坐标为(2+32，32)=(52，32)，∴设M′′′′(m，0)，可得N′′′′的坐标为(5−m，3)，将N′′′′的坐标(5−m，3)代入y=−x2+2x+3，得−(5−m)2+2(5−m)+3=3，解得m=3（舍去），m=5，得x M′′′′=53．【答案】（1）解：∵S△PBQ= 12PB·BQ，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y= 12（18－2x）x，即y=－x2+9x（0<x≤4）；函数图象如下图：（2）解：由（1）得：y=－x2+9x=－(x－92）2 + 814，∴顶点坐标为（92，814）∴当0<x≤ 92时，y随x的增大而增大，∵x的取值范围是0<x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2.4．【答案】（1）52（2）解：如图2，过点C作CE△x轴于E，∴△AEC=△BOA=90°．∵△BAC=90°，∴△OAB+△CAE=90°．∵△OAB+△OBA=90°，∴△OBA=△CAE，由旋转知，AB=AC，∴△AOB△△CEA，∴AE=OB，CE=OA，由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，∴OA=2OB，∴AB2=5OB2，由（1）知，S△ABC= 52= 12AB2= 12×5OB2，∴OB=1，∴OA=2，∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB的解析式为y=﹣12x+1；（3）解：由（2）知，AB2=5，∴AB= √5，①当0≤m≤ √5时，如图3．∵△AOB=△AA'F ，△OAB=△A'AF ，∴△AOB△△AA'F ，∴AA ′OA =A ′F OB ，由运动知，AA'=m ，∴m 2=A ′F 1，∴A'F= 12 m ，∴S= 12 AA'×A'F= 14 m 2，②当 √5＜m≤2 √5 时，如图4同①的方法得：A'F= 12 m ，∴C'F= √5 ﹣ 12 m ，过点C 作CE△x 轴于E ，过点B 作BM△CE 于E ，∴BM=3，CM=1，易知，△ACE△△FC'H ，∴AC C ′F =CE CH ，∴√5√5−12m =2C ′H ∴C'H=2√5−m√5 ．在Rt△FHC'中，FH= 12 C'H= 2√5−m √5由平移知，△C'GF=△CBM ．∵△BMC=△GHC'，∴△BMC△△GHC'，∴BM GH =AMC ′H ，∴3GH =12√5−m √5∴GH=3(2√5−m)√5 ，∴GF=GH ﹣FH= 5(2√5−m)√5 ∴S=S △A'B'C '﹣S △C'FG = 52 ﹣ 12 ×√5−m)√5× 2√5−m √5 = 52 ﹣ 14 （2 √5 ﹣m ）2，即：S= {14m 2(0≤m ≤√5)52−14(2√5−m)2(√5<m ≤2√5)． 5．【答案】（1）解：∵y=﹣x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴当y=0时，x=3，即A 点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），将A （3，0），B （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得 {−9+3b +c =0c =3 ，解得 {b =2c =3∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）解：∵OA=OB=3，△BOA=90°，∴△QAP=45°．如图①所示：△PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= √2t，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，QAPA=√22，即：√2t3−t=√22，解得：t=1；如图②所示：△QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= √2t，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，PAQA=√22，即：3−t√2t=√22，解得：t= 32．综上所述，当t=1或t= 32时，△PQA是直角三角形；（3）解：如图③所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2．∵EP△FQ，EF△PQ，∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．（4）解：如图④所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t）√2．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴点M的坐标为（1，4）．∴MB= √12+12= √2．当△BOP△△QBM时，MBOP=BQOB即：√2t=(3−t)√23，整理得：t2﹣3t+3=0，△=32﹣4×1×3＜0，无解：当△BOP△△MBQ时，BMOB=BQOP即：√23=(3−t)√2t，解得t= 94．∴当t= 94时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．6．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为(−1，0)，则点B(3，0)，二次函数表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，∴−3a＝−3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3（2）解：S△BOC＝12OB·OC=12×3×3=92由题意得：S△POC＝2S△BOC=9，设P（x，x2−2x−3）则S△POC=9=12OC·|x|=32·|x|所以|x|=6则x＝±6，所以当x=6时，x2−2x−3=21，当x=−6时，x2−2x−3=45故点P的坐标为(6，21)或(−6，45)；（3）解：如图所示，将点B 、C 坐标代入一次函数y ＝kx +b 得表达式得 {c =−33k +b =0，解得：{k =1b =−3，故直线BC 的表达式为： y ＝x −3，设：点M 坐标为(x ，x −3)，则点D 坐标为(x ，x 2−2x −3)，则MD =x −3−x 2+2x +3=−(x −32)2+94，故MD 长度的最大值为94．7．【答案】（1）解：∵抛物线 y =ax 2−2ax −3 ，∴与 y 轴交点 C(0，−3) ，对称轴为直线 x =1 ， ∴OC =3 ．∵抛物线与 x 轴交于点 A ，B ，且 ΔABC 的面积为6，∴12AB ×3=6 ，则 AB =4 ， ∴点 A(−1，0)，B(3，0) ． ∵抛物线过点 A ， ∴0=a +2a −3 ， ∴a =1 ，∴抛物线的表达式为 y =x 2−2x −3 ．（2）解：如图，过点 D 作 DE ⊥x 轴交 BC 的延长线于点 E ，过点 N 作 NF//y 轴交线段 BC 于点 F ，则 DE//FN ．∵B(3，0)，C(0，−3) ，∴直线 BC 的表达式为 y =x −3 ， ∵D(−2，0) ，∴点 E 的坐标为 (−2，−5) ．设 N(m ，m 2−2m −3) ，则 F(m ，m −3) ． ∵DE//FN ，∴MN DM =FN DE =m−3−m 2+2m+35=−15(m −32)2+920 ， ∴MN DM 的最大值为 920． 8．【答案】（1）解：∵A ，B 两点关于x=1对称，∴B 点坐标为（3，0），根据题意得：{0=9a +3b +c 0=a −b +c −3=c ，解得a=1，b=-2，c=-3． ∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3．（2）解：（3）解：存在一个点P ．C 点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3），令直线AC'的解析式为y=kx+b ∴{−3=2k +b 0=−k +b，∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1．当x=1时，y=-2， ∴P 点坐标为（1，-2）．9．【答案】（1）解： ∵ 抛物线的对称轴为 x =1,B(3,0) ，∴A(−1,0) ．设抛物线的解析式为 y =a(x +1)(x −3) ，将点 C 的坐标代入得： −3a =−3, 解得 a =1,∴ 抛物线的解析式为 y =x 2−2x −3 ．设直线 BC 的解析式为 y =kx +b ，将点 B 和 C 的坐标代入得： {3k +b =0b =−3 ，解得 k =1,b =−3 ，直线 BC 的解析式为 y =x −3（2）解：由 x 2−3x ≥0 可得到 x 2−2x −3≥x −3 ，由函数图象可得到 x ≥3 或 x ≤0（3）解：①作 PM ⊥x 轴，垂足为 M ，交 BC 与点 N ．设 Р(m,m 2−2m −3) ，则 N(m,m −3) ．∴PN =m −3−(m 2−2m −3)=−m 2+3m ．∴S ΔPBC =12PN ⋅(OM +MB)=12PN ·⋅OB =−32m 2+92m =−32(m −32)2+278 ．当 ΔPBC 的面积最大时，点 P 的坐标为 (32,−154) ， ΔPBC 的面积的最大值为 278②∵ 点 B 和点 Q 均在 x 轴，以 P,C,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形， ∴PC//BQ,PC =BQ ，∴ 点 P 与点 C 关于 x =1 对称， ∴ 点 P 的坐标为 (2,−3) ．∴CP =2,∵BQ =PC =2,B(3,0) ，∴ 点 Q 的坐标为 (1,0) 或 (5,0) ．10．【答案】（1）解：将A 、C 两点坐标代入抛物线，得{c =8−49×36+6b +c =0，解得： {b =43c =8，∴抛物线的解析式为y=﹣ 49 x 2+ 43 x+8（2）解：①∵OA=8，OC=6， ∴AC= √OA 2+OC 2 =10，过点Q 作QE△BC 与E 点，则sin△ACB= QE QC = AB AC = 35 ，∴QE 10−m = 35 ， ∴QE= 35（10﹣m ），∴S= 12 •CP•QE= 12 m× 35 （10﹣m ）=﹣ 310m 2+3m ；②∵S= 12 •CP•QE= 12 m× 35 （10﹣m ）=﹣ 310 m 2+3m=﹣ 310 （m ﹣5）2+ 152 ， ∴当m=5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣ 49 x 2+ 43 x+8的对称轴为x= 32 ，D 的坐标为（3，8），Q （3，4），当△FDQ=90°时，F1（32，8），当△FQD=90°时，则F2（32，4），当△DFQ=90°时，设F（32，n），则FD2+FQ2=DQ2，即94+（8﹣n）2+ 94+（n﹣4）2=16，解得：n=6± √72，∴F3（32，6+ √72），F4（32，6﹣√72），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（32，8），F2（32，4），F3（32，6+ √72），F4（32，6﹣√72）．11．【答案】（1）解：由题意得{−9+3b+c=0，c=3.解得{b=2，c=3.∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3（2）解：设点P的坐标为(m，−m2+2m+3)，如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G.∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，∴直线BC的解析式为y=−x+3.∴点G的坐标为(m，−m+3).∴PG=−m2+3m. S△PBC =12PG⋅OB=12(−m2+3m)×3=−32⋅(m−32)2+278∴当m=32时，S△PBC取得最大值，此时点P的坐标为(32，154)（3）解：存在点N满足要求.∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴顶点M的坐标为(1，4).∴直线MC的解析式为y=x+3.设直线MC与x轴交于点E，则点E的坐标为(−3，0).∴DE=DM=4.∴∠CMD=45°.设满足要求的点N坐标为(1，n)，则MN=|4−n|.如图，过点N作NG⊥ME于点G，则NG=√22MN=√22|4−n|.∵NG=NA，∴NG2=NA2.又NA2=n2+4，∴(√22|4−n|)2=n2+4.整理得n2+8n−8=0.解得n=−4±2√6.∴存在点N满足要求，点N的坐标为(1，−4+2√6)或(1，−4−2√6). 12．【答案】（1）y＝12x2﹣52x+3（2）（2，1）13．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入，得：a×（0+1）×（0-3）＝3，解得：a＝-1，∴y＝-（x+1）（x-3）＝-x2+2x+3，∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x+3（2）解：设D （m ，-m 2+2m+3），且0＜m ＜3，如图1，在Rt△BOC 中，BO ＝3，OC ＝3， ∴BC ＝ √BO 2+OC 2=√32+32=3√2 ，设直线BC 的解析式为y ＝kx+n ，将B （3，0），C （0，3）代入，得： {3k +n =0n =3 解得： {k =−1n =3∴直线BC 的解析式为y ＝-x+3， ∴G （m ，-m+3），∴DG ＝-m 2+2m+3-（-m+3）＝-m 2+3m ， ∵DE△BC ，∴△DEG ＝△BOC ＝90°， ∵DG△x 轴， ∴DG△y 轴， ∴△DGE ＝△BCO ， ∴△DGE△△BCO ， ∴DE DG =BO BC ， ∴DE −m 2+3m =33√2，∴DE ＝- √22m 2+3√22m =−√22(m −32)2+9√28∴当m ＝32时，DE 取得最大值，最大值是9√28.（3）解：存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等． ∵点F 是AB 的中点，A （-1，0），B （3，0），C （0，3）， ∴F （1，0），∴OF ＝1，OC ＝3，BC ＝4， ∴tan△CFO ＝OC OF＝3，如图2所示，过点B 作BG△BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH△x 轴于点H ，①若△DCE ＝△CFO ， ∴tan△DCE ＝tan△CFO ＝3， ∵tan△DCE ＝GB BC =3，∴GB ＝12，∵BG△BC ，GH△x 轴，∴△CBG ＝△GHB ＝△BCO ＝90°， ∴△CBO+△GBH ＝△BGH+△GBH ＝90°， ∴△CBO ＝△BGH ， ∴△CBO△△BGH ， ∴GH BO =HB OC =GB BC ， ∴GH ＝9，HB ＝9， ∴OH ＝OB+BH ＝3+9＝12， ∴G （12，9），设直线CG 的解析式为y ＝k 1x+b 1， ∴{12k 1+b 1=9b 1=3，解得： {k 1=12b 1=3， ∴直线CG 的解析式为y ＝12x+3，联立方程组，得：{y =12x +3y =−x 2+2x +3，解得：{x 1=32y 1=154,，,{x 2=0y 2=3（不合题意，舍去），当x ＝32时，y ＝12×32+3＝154，∴D （32，154）；②若△CDE ＝△CFO ， ∴tan△CDE ＝tan△CFO ＝3， ∵BG△BC ，DE△BC ， ∴△CBG ＝△CED ＝90°， ∴GB△DE ， ∴△CDE ＝△CGB ，∴tan△CDE ＝tan△CGB ＝BC GB ＝3，∴GB ＝13BC ＝13×3√2＝√2 ，∵△CBO△△BGH ， ∴GH BO =HB OC =GB BC， ∴GH ＝13BO ＝1，HB ＝13OC ＝1，∴OH ＝OB+BH ＝3+1＝4， ∴G （4，1）；同①方法，易求得直线CG 的解析式为y ＝-12x+3，联立方程组，得 {y =12x +3y =−x 2+2x +3解得：{x 1=52y 1=74,，,{x 2=0y 2=3（不合题意，舍去）， ∴D （52，74），综上所述，存在点D 使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等，点D 的坐标为（32，154）或（52，74）．14．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−12x 2+bx +c 的图象经过点 C(0,2)∴c =2将点 A(−1,0) 代入 y =−12x 2+bx +2 得， 0=−12×(−1)2−b +2解得， b =32；∴抛物线的表达式 y =−12x 2+32x +2 ，当 y =0 时， −12x 2+32x +2=0解得， x 1=−1, x 2=4 ∴点B 的坐标为 (4,0) （2）解：存在，理由如下：由题意知，点E 位于y 轴右侧，作 EG//y 轴，交 BC 于点G ，如图1，∴CD//EG, ∴EF DF =EG CD∵直线 y =kx +1(k >0) 与y 轴交于点D ，则 D(0,1) ． ∴CD =2−1=1 ．∴EFDF =EG ．设 BC 所在直线的解析式为 y =mx +n(m ≠0) ．将 B(4,0),C(0,2) 代入，得 {4m +n =0n =2．解得 {m =−12n =2． ∴直线 BC 的解析式是 y =−12x +2 ．设 E(t,−12t 2+32t +2) ，则 G(t,−12t +2) ，其中 0<t <4 ．∴EG =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12(t −2)2+2 ． ∴EF DF =−12(t −2)2+2 ． ∵−12<0 ，∴当 t =2 时， EF DF存在最大值，最大值为2，此时点E 的坐标是 (2,3)（3）存在， M 1(√342,√34+22), M 2(−√342,−√34+22), M 3(3,4), M 4(176,236)15．【答案】（1）﹣4；3（2）解：∵将直线AB ：y=﹣x+3向下平移h 个单位长度，得直线EF ， ∴可设直线EF 的解析式为y=﹣x+3﹣h ．把y=﹣x+3﹣h 代入y=x 2﹣4x+3，得x 2﹣4x+3=﹣x+3﹣h ．整理得：x 2﹣3x+h=0． ∵直线EF 与抛物线没有交点， ∴△=（﹣3）2﹣4×1×h=9﹣4h ＜0，解得h ＞ 94．∴当h ＞ 94时，直线EF 与抛物线没有交点；（3）解：∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点C （2，﹣1）．设直线AC 的解析式为y=mx+n ．则 {n =32m +n =−1 ，解得 {m =−2n =3 ， ∴直线AC 的解析式为y=﹣2x+3．如图，设直线AC 交x 轴于点D ，则D （ 32 ，0），BD= 32 ．∴S △ABC =S △ABD +S △BCD = 12 × 32 ×3+ 12 × 32×1=3．∵直线x=m 与线段AB 、AC 分别交于M 、N 两点，则0≤m≤2，∴M （m ，﹣m+3），N （m ，﹣2m+3），∴MN=（﹣m+3）﹣（﹣2m+3）=m ．∵直线x=m 把△ABC 的面积分为1：2两部分，∴分两种情况讨论：①当 S △AMN S △ABC = 13 时，即 12m 23 = 13 ，解得 m=± √2 ；②当 S△AMN S △ABC = 23 时，即12m 23= 23，解得 m=±2∵0≤m≤2，∴m= √2 或m=2．∴当m= √2 或2时，直线x=m 把△ABC 的面积分为1：2两部分．16．【答案】（1）解： y =mx 2−2mx −3m =m(x −3)(x +1)，∵m≠0，∴当y=0时， x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1，0)，B(3，0)（2）解：设 C 1：y =ax 2+bx +c ，将A. B. C 三点的坐标代入得：{a−b+c=09a+3b+c=0 c=−32，解得{a=12b=−1c=−32，故C1：y=12x2−x−32.如图：过点P作PQ△y轴，交BC于Q，由B. C的坐标可得直线BC的解析式为：y=12x−32，设P(x，12x2−x−32)，则Q(x，12x−32)，PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716，当x=32时，S△PBC有最大值，S max=2716，12×(32)2−32−32=−158，P(32，−158)；（3）解：y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m，顶点M坐标(1，−4m)，当x=0时，y=−3m，∴D(0，−3m)，B(3，0)，∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1，MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4，BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；DM2+MB2=BD2.时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=−√22( m=√22舍去).综上，m=−1或−√22时，△BDM为直角三角形.。

二次函数拔高综合题全集(含答案)

1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。

当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

．解：（1）由题意，得01684a a c c =-+⎧⎨=⎩，．···································································· （1分）解得124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．················································································································ （2分） ∴所求抛物线的解析式为：2142y x x =-++． ························································ （3分）（2）设点Q 的坐标为(0)m ，，过点E 作EG x ⊥轴于点G ．由21402x x -++=，得12x =-，24x =． ∴点B 的坐标为(20)-，． ······························································································ （4分） 6AB ∴=，2BQ m =+．QE AC ∥，BQE BAC ∴△∽△．EG BQCO BA∴=，即246EG m +=．243m EG +∴=． ············· （5分） CQE CBQ EBQ S S S ∴=-△△△YXE CA D QB O28题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2128333m m =-++ ··························· （6分）21(1)33m =--+．又24m - ≤≤，∴当1m =时，CQE S △有最大值3，此时(10)Q ，． ······················································· （7分）（3）存在．在ODF △中．（ⅰ）若DO DF =，(40)(20)A D ，，，，2AD OD DF ∴===．又在Rt AOC △中，4OA OC ==，45OAC ∴∠= ．45DFA OAC ∴∠=∠=．90ADF ∴∠= ．此时，点F 的坐标为(22)，．由21422x x -++=，得115x =+，215x =-．此时，点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，． ················································· （8分）（ⅱ）若FO FD =，过点F 作FM x ⊥轴于点M ，由等腰三角形的性质得：112OM OD ==，3AM ∴=， ∴在等腰直角AMF △中，3MF AM ==．(13)F ∴，．由21432x x -++=，得113x =+，213x =-．此时，点P 的坐标为：(133)P +，或(133)P -，． ·················································· （9分）（ⅲ）若OD OF =，4OA OC == ，且9042AOC AC ∠=∴=，， ∴点O 到AC 的距离为22，而222OF OD ==<，此时，不存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形． ······································ （10分）综上所述，存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．所求点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，或(133)P +，或(133)P -，2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．2222543BE AE AB ∴=-=-=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． ·································································································· 2分在Rt DCE △中，222DC CE DE +=，又DE OD = ．222(4)2OD OD ∴-+= ．解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， ······································································································· 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．PM APED AE∴=，又知AP t =，52ED =，5AE =5522t tPM ∴=⨯=，又5PE t =- ．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+ 矩形 ························································· 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ········································································ 6分（3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥ ，P ∴为AE 的中点， 1522t AP AE ∴===．y x B C O AD E 图5-1yxBC OA DE 图5-2PMNyxB C O ADE图①P M NF又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． · 8分（ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）在Rt AOD △中，2222555522AD OD AO ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=． 5525552AM AE t AP AD ⨯∴==== ，152PM t ∴==．5MF MP ∴==，525OF OA AF OA AP =-=-=-，∴当25t =时，（0255<<），此时M 点坐标为(5255)-，． ····················· 11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或25t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5255)-，．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

初三期末拔高试卷数学答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（1，-2），则a、b、c的值分别为（）。

A. a=1，b=2，c=-3B. a=-1，b=-2，c=-3C. a=1，b=-2，c=-3D. a=-1，b=2，c=-3答案：C解析：因为顶点坐标为（1，-2），所以对称轴为x=1，即-b/2a=1，解得b=-2a。

又因为顶点在图象上，所以将顶点坐标代入二次函数解析式，得到-2=a+b+c，代入b=-2a，得到-2=-a-2a+c，解得c=3a。

将b=-2a和c=3a代入a+b+c=0，得到a=1，b=-2，c=3。

2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，S10=100，则第6项a6的值为（）。

A. 15B. 10C. 8D. 12答案：A解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为第n项。

由S5=35，得到5(a1+a5)/2=35，即a1+a5=14。

同理，由S10=100，得到10(a1+a10)/2=100，即a1+a10=20。

因为{an}是等差数列，所以a5=a1+4d，a10=a1+9d，其中d为公差。

将a1+a5=14和a1+a10=20代入，得到2a1+13d=14，2a1+18d=20。

解这个方程组，得到a1=3，d=1。

因此，第6项a6=a1+5d=3+5=8。

3. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，则∠C的度数为（）。

A. 15°C. 135°D. 150°答案：A解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-75°=75°。

但选项中没有75°，因此需要重新检查。

由于∠A=30°，所以∠B=75°，则∠C=180°-30°-75°=75°，这里出现了错误。

专题22.13二次函数的最值问题拔高专练(重难点培优)-【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学

【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.13二次函数的最值问题拔高专练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•亭湖区期末）函数y ＝（x +1）2﹣3的最小值是（）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣32．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y ＝﹣x 2﹣4x +c 的最大值为0，则c 的值等于（）A ．4B ．﹣4C ．﹣16D ．163．（2022秋•绿园区校级期末）已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A ．函数有最小值1，有最大值3B ．函数有最小值﹣1，有最大值3C ．函数有最小值﹣1，有最大值0D ．函数有最小值﹣1，无最大值4．（易错题）（2022春•泰山区校级期末）二次函数y ＝mx 2﹣4x +1有最小值﹣3，则m 等于（）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．±12 5．（易错题）（2022•威海模拟）已知二次函数y ＝（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（）A ．3或5B ．﹣1或1C ．﹣1或5D ．3或16．（易错题）（2022春•东莞市校级期中）已知：如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（点E ，F 不与线段BC ，CD 的端点重合）且BE ＝CF ，连接OE ，OF ，EF ，在点E ，F 运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF 是等腰直角三角形；②△OEF 面积的最小值是12； ③△OEF 面积的最大值是1；④四边形OECF 的面积是1．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④7．（培优题）（2023春•北碚区校级期末）当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或58．（培优题）（2023•宝鸡模拟）乐乐设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数a 2+2b ﹣7，例如把（2，﹣3）放入其中，就会得到22+2×（﹣3）﹣7＝﹣9，现将实数对（m ，﹣4m ）放入其中，得到实数﹣23，则二次函数y ＝mx 2﹣8x +7的最小值为（）A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．49．（培优题）（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2﹣2mx +2（m ≠0）在﹣2≤x ＜2时有最小值﹣2，则m ＝（）A ．﹣4或−12B ．4或−12C ．﹣4或12D ．4或12 10．（压轴题）（2023•杭州）设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•道里区三模）二次函数y ＝﹣x 2+9的最大值是．12．（2022秋•池州期末）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝．13．（易错题）（2022•西湖区校级模拟）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为．14．（压轴题）（2023•白山模拟）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，则m﹣n的最大值等于．15．（易错题）（2023春•碑林区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，EG⊥HF．当四边形EFGH面积的最小值为27时，线段EG的长为．16．（压轴题）（2023•宽城区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x ﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020秋•珠海校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．18．（易错题）（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．19．（易错题）（2022秋•洞头区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．20．（培优题）（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y ＝2x 2﹣bx +c 的图象经过A （1，n ），B （3，n ）．（1）用含n 的代数式表示c ．（2）若二次函数y ＝2x 2﹣bx +c 的最小值为c 281，求n 的值．21．（培优题）（2023•深圳模拟）对于“已知x +y ＝1，求xy 的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ∵x +y ＝1，∴y ＝1﹣x ，∴xy =x(1−x)=x −x 2=−(x −12)2+14；∴xy ≤14，所以xy 的最大值为14．请你按照这种方法计算：当2n +m ＝4（m ＞0，n ＞0）时，2m +1n 的最小值． 22．（培优题）（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，y '）的纵坐标满足y '={x −y(当x ≥y 时)y −x(当x ＜y 时)，点Q 为点P 的“关联点”．（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标；（2）如果点P 在函数y ＝x ﹣2的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标；（3）如果点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y ＝2x 2的图象上，当0≤m ≤2时，求线段MN 的最大值．23．（培优题）（2023•贵阳模拟）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b ，c 的值；（2）当0≤x ≤4时，求y 的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．。