21章《一元二次方程》复习优秀教学设计
人教版九年级上册 第21章 一元二次方程 期末复习教案
第21章《一元二次方程》期末复习教学设计时间：第16周周四上午第三节（12月15日）班级：初三（6）班授课教师：林鹏瑶一．教学分析一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其他高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。
二．三维目标1.知识与技能：能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，了解一元二次方程的定义及相关概念，理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数学系数的一元二次方程，知道判断一元二次方程根的情况的标准。
2.过程与方法：学生主动回忆已学过的一元二次方程相关知识，通过本节的练习巩固学过的知识，小结解一元二次方程的方法。
3.情感、态度和价值观：在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。
三．重、难点：重点：一元二次方程的定义、解法和根的判别式；难点：根的判别式及与解法有关的应用。
教学过程：一．专题一 一元二次方程的定义问题1：一元二次方程的定义是什么？它的一般式是什么？有什么要注意的？配套练习：1.下列方程是一元二次方程的有（1）0512=-+x x (2) 0732=+-xy x (3) 0323=-+x x (4) 62=+bx ax (5) 02=x (6)022=-x x 2．已知关于x 的方程02)2(2=-++x x m ，当m 时，方程为一元二次方程，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； 当m = 时，方程为一元一次方程。
二．专题二 一元二次方程的解问题2：什么是一元二次方程的解？怎么检验x 的值是一元二次方程的解？配套练习：1. 已知关于x 的方程0)4(3)2(22=-++-m x x m 有一个解是x = 0，则m =2. 若关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根是x = 1，则下列说法正确的是（ ）A ．1=++c b a B. 0=+-c b a C. 0=++c b a D. 1-=+-c b a三．专题三 一元二次方程的解法问题3：一元二次方程的解法有哪些？应该注意什么？配套练习：1. 解下列一元二次方程：（1）092=-x (2) 04)1(2=-+x(3) 0322=--x x （4）0542=-+x x(5) 052=+-x x (6) 01232=-+x x(7) 062=-x x （8）63)2(+=+x x x四．专题四 一元二次方程根的判别式问题4：一元二次方程的求根公式是什么？根的判别式是什么？应该注意什么？不求根，能否判断根的情况吗？有几种情况？配套练习1. 一元二次方程022=-x x 根的情况是2. 一元二次方程0442=++x x 根的情况是3. 一元二次方程022=++x x 根的情况是4. 已知关于x的方程x2―2x―2n＝0有两个不相等的实数根．(1)求n的取值范围；(2)若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．五．小结今天我们复习了一元二次方程的什么知识？你收获了什么？六．板书设计七．作业1 .下列方程是一元二次方程( ) A.0112=+xB. 0122=-+xy xC. 033=-y yD.02=+-x x 2. 已知关于x 的方程0432=--x x 的一次项系数是（ ）A ．1 B. – 3 C. 3 D. – 43. 若关于x 的方程032=+-k x x 有一个根是x = 1，则下列说法正确的是（ ）A ．0=k B. 1=k C. 2=k D. 3=k4. 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等．．．的实数根，则ac b 42-满足的 条件是 （ ）Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0Ｄ．ac b 42-≥0 5. 方程112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ）A ．121-<<-xB ．011<<-xC ．101<<xD ．211<<x 6. 将一元方程()x x 6532=+-化成一般形式是7. 方程2x x =的解是8. 已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．9. 不解方程，判断方程2+2= -4x x 根的情况：10. 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k =11.解方程：（1）0252=-x (2) 01)2(2=--x(3) 0362=-+x x （4）0542=--x x(5) 0962=+-x x(6) 0232=++x x(7) 052=+x x（8）042)1(2=+--x x。
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案
今天在教授九年级的一元二次方程时，我发现学生们对这一章节的内容充满了好奇，但也存在一些理解上的困难。在课堂上，我尝试了多种方法来引导学生理解和掌握一元二次方程的核心知识，以下是我的一些观察和思考。
首先，我发现通过引入日常生活中的实际问题来激发学生的兴趣是非常有效的。学生们能够直观地感受到数学知识在解决实际问题中的应用，这有助于提高他们的学习积极性。例如，当我提出一个关于面积的问题时，学生们马上就能联想到一元二次方程，这说明他们已经开始尝试将数学知识应用到实际情境中。
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案
一、教学内容
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案：
1.理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.掌握一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法；
3.能够运用一元二次方程解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，掌握判别式和根与系数的关系，能够分析并解决相关问题；
4.培养学生的数学抽象素养，理解一元二次方程的数学本质，提高对数学概念的理解和抽象能力；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在解决一元二次方程问题时，运用不同的方法和策略，激发创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的定义及其一般形式，这是后续求解各种一元二次方程的基础。
4.了解一元二次方程的根的判别式，掌握判别式的应用；
5.掌握一元二次方程根与系数的关系，了解其几何意义。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分析一元二次方程的定义和求解过程，提高学生的逻辑思维和推理能力；
2.培养学生的数学建模能力，学会将现实问题抽象为一元二次方程，通过求解方程解决实际问题；
人教版九年级数学上册《一元二次方程(复习课)》教学设计
环节
内 容（或 知 识 点）
时间
纵轴
师 生 活 动
设计意图
创设情景引课
知
识
梳
理
这节课我们系统的复习一元二次方程的概念，解法及一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。
知识清单
知识结构
（1）
（2）
（3）
1
4
师：口述提出问题引入新课.
生：认真倾听后，带着问题进入新课的学习和探究.
师： 布置任务：让学生在组内交流自主学习情况，并组织学生展示收获，提出困惑。 检查学生存在问题，并给予指导.
生：在组内交流学习，并展示收获提出困惑.同时积极参与对其他小组收获给予补充，困惑给予解答。
师:进一步明确本节课复习的知识结构，展示结构图
激发学生的学习兴趣和探究的欲望.
培养学生的自主学习能力,主动学习的意识,、合作交流的意识及互帮学习的热情，勇于质疑的精神。
教学
环节
内容（或知识点）
时间
纵轴
师 生 活 动
难点：一元二次方程的解法及其简单的应用
设计意图
典
型
例
题
检
测
训
练
小结归纳
布置作业
例1
例2
例3
例4
一、针对训练
二、矫正训练
通过今天的学习，你学会了哪些知识？还有哪些困惑？
练习册21页1—7题
6
20
10
3
师：组织学生先独立完成后
组内再合作探究，并让各小组提出存在的问题。
生：组内合作探究，展示结果，或对某些问题质疑，对其他小组的展示给予补充或提出质疑。
组织学生组独立完成， 1—5题找代表说答案，并简要说明理由。师给予必要的补充。6题找各小组不同层次学生展示过程。师生共同评价，最后对不同题型解法进行总结。7题小组内交流结果，师生评价。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
人教版九年级数学上册21章 一元二次方程复习公开课优质教案
一元二次方程【知识与技能】进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.【过程与方法】经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.【情感态度】进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.【教学重点】理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.【教学难点】综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.思考 若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-3m+2=0有一根为0，则常数m 的值为.（参考答案：m=2）2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b 2-4ac 与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b 2-4ac ＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根为x 1,x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b 2-4ac 是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意.三、典例精析，复习新知例1已知关于x 的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n 的值为 .分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n ≠1,从而可知m+n=-1.例2已知a 是方程x 2-2014x+1=0的一个根，求代数式a 2-2013a+220141a +的值. 解：根据方程根的定义有a 2-2014a+1=0,从而a 2-2013a=a-1.a 2+1=2014a,故原式=a-1+1a =21a a a -+ =2014a a a - =2013.在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出a 的值再代入计算的做法，解释这种解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧.例3已知关于x 的方程x 2-2（m+1）x+m 2=0有两个实数根，试求m 的最小整数值.解：由题意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m 2=8m+4≥0，∴m ≥-1/2,故m 的最小整数值为0. 例4已知关于x 的方程x 2-2x-a=0.（1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根为x 1,x 2，则1211x x 的值能等于23吗？如果可以，请求出a 的值；如果不能，请说明理由.例5某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y （件）是价格x 的一次函数.（1）试求y 与x 之间的关系式；（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？解：在（1）中，设y=kx+b ，把(20,360),(25,210)代入，可得y=-30x+960(16≤x ≤32);在（2）中，设获利为w(元)，则w=(x-16)(-30x+960),当w=1800时，有（x-16）(-30x+960)=1800，解得x 1=22,x 2=26,故销售价定为22元或26元时，每月可获得1800元利润；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得3x 2-144x+1736=0,此时Δ=b 2-4ac=（-144）2-4×3×1736=-96＜0，原方程无解，即每月利润不可能为2000元.【教学说明】在具体教学时，教师可根据自己的设想设置例题，对所选例题的处理仍应先让学生自主探究，尝试着独立完成，让学生边回顾边思考，加深对本章知识的掌握.四、复习训练，巩固提高1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？【教学说明】这4个小题的设置旨在帮助学生复习知识，其中第1、2题较简单，由学生自主完成，第3、4题可由师生共同完成.【答案】1.m= 2.4 3.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0或a=14.每件降价20元.五、师生互动，课堂小结通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？【教学说明】师生共同进行小结反思，让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟，积累解题方法和经验，完善知识体系.1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.2.完成本课的热点专题训练.1.本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.2.本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.。
21章《一元二次方程》复习优秀教学设计
练习2：解方程○1018)1(22=--x ○2162=+x x ○3)3(2)3(2x x -=- ○4342-=-x x （问题预设：○3小题学生可能会出现如下问题：简单问题复杂化——去括号化简解方程；等式两边同时除以3-x 从而漏根。
○4小题学生可能没发现十字相乘法。
） 念；练习2考查学生的计算能力，能用适当的方法解方程，同时比较归纳一般步骤。
教师发现问题，学生及时自主纠正问题，培养学生的运算能力和发现、分析、解决问题的能力，同时培养学生观察力和总结归纳的能力。
合作互助 一、 合作练习小组内合作交流，解决问题合作练习1：解方程()3)1(412-=+-+x x（问题预设：有学生可能会按照去括号—合并同类项—化一般式的步骤解方程。
） 变式：解方程3424-=-x x合作练习2： 已知一等腰．．三角形的两边长是方程 0342=+-x x 的两根，求这个三角形的周长。
合作练习3： 已知一直角．．三角形的两边长是方程 0342=+-x x 的两根，求这个三角形的周长。
练习1：是有上一环节解方程中的方程○4变形而来，培养学生的观察力和灵活解决问题的能力。
从“一题多解”中总结最优方法。
主要让学生掌握代数中的“换元”思想。
变式解方程：继续变式训练，让学生学会知识迁移，从做一道题到会一类题。
练习2、3：方程和三角形的综合题，旨在培养学生掌握数学中的“分类讨论”思想。
从练习2到练习3的迁移，让学生进一步熟练掌握和运用知识，同时总结三角形中的分类讨论。
重点强化例1：若012=-+n n ，则2008223++n n =教师PPT 中展示分析过程：从已知——未知（升次） 例2：如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，求a 的取值范围。
例1是代数部分的难点，要求学生能对式子进行正确的变形，代入求值。
教师分析解题思路，示范解题步骤。
鼓励学生用其它方法解决问题，并进行方法分享。
例2：考查根的判别式，同时为下一环节“展示效果”做铺垫。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
21章-一元二次方程复习教案
智考一对一教育学科辅导讲义7.总结知识框架)~真题在线1.（2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为．2．（2011·天水）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．3.（2011•德州）若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22= ．；变式训练一元二次方程的定义：1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2.下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.02=++c bx axB.x x ax -=+221C.0)1()1(222=--+x a x aD.0312=-+=a x x :3.关于x 的一元二次方程（a 2—1）x 2+x —2=0是一元二次方程，则a 满足（ ）A. a ≠1B. a ≠—1C. a ≠±1D.为任意实数4.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
5.关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。
6.关于x 的方程0232=+-m x x 的一个根为-1，则方程的另一个根为______，______。
—7.已知m 是方程2250x x --=的一个根，则22m m -=______________。
8.关于的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则的值为（ ）A. 1B.1-C.1或1-解一元二次方程： 1.选用合适的方法解下列方程)4(5)4(2+=+x x x x 4)1(2=+ 22)21()3(x x -=+ !^112122=+-+x x x x 31022=-x x 32x ＝2x?x （3x －1）＝3－x 4（x －2）2－（3x －1）2＝0 （2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0|32x 32--x ＝0 x （2x+3）=4x+6￥*2.配方法解方程x 2—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）A ．B ．C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 3.解方程（5x —1）2=3（5x —1）的适当方法是（ ）A ．开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 4.等腰三角形的底和腰分别是方程的两个根，则这个三角形的周长是（ ） A ．8B ．10C ．8或10D ． 不能确定5.若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） <A. 1，0 ，0 ，-1 D.无法确定 6.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠57. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )A.2(2)2x -=B.2(2)2x +=C.2(2)2x -=-D.2(2)6x -=8. x 2+3x+ =（x+ ）2 ；x 2— +2=（x ）2 ()22_____________23-=+-x x x 9.若8)2)((=+++b a b a ，则b a +=10.当=n _________时，方程n nx x +=-72的一个根是2）11. 代数式522+-x x 的最小值是__________12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程_______________________13.如果x 2－2(m +1)x + m 2+ 5=0是一个完全平方公式，则m .14.当m 为 时，关于x 的方程(x －p )2+m =0有实数解.根与系数的关系： 注意：一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．1. 关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是( )A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数根*C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根2．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜－23.关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4± 2D ．0或84.已知三角形的两边长是方程x 2—5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L 的取值范围是（ ）A. 1＜L ＜5B. 2＜L ＜6C. 5＜L ＜9D. 6＜L ＜105.方程x 2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长为（ ）;A. 12B. 12或 15C. 15D. 不能确定6.若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－37.若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（ ） A. 1- B. 1 C.21-D.21 8.设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ） A. —4 B. —3 C. 1 D. 2'9.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．;10.~11.已知方程(1)求证方程必有相异实根。
21.1 一元二次方程(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
21.1 一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.1一元二次方程，内容包括：一元二次方程的概念及其一般式。
2.内容解析一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得到一元二次方程的概念。
根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。
二、目标和目标解析1.目标1）通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；2）掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。
2.目标解析通过7年级上册的学习，我们已经掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特点为：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1(次)，且方程两边都是等式。
本节课我们根据实际问题列方程，用方程的思想建立数学模型，观察化简后的方程与一元一次方程的结构有相似的地方，它们都只含有一个未知数（元），且方程两边都是等式，但未知数的次数是2(次)。
由此学生通过观察，根据一元一次方程的概念尝试类比，归纳总结得出一元二次方程的概念。
在探索的过程中，提高学生类比、归纳、总结的能力。
一元二次方程的一般形式有两个易错点：1）忽略二次项系数≠02）判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题。
当二次项系数a≠0时，方程为ax2+bx+c=0（一元二次方程）。
当二次项系数 a=0时，方程为bx+c=0（一元一次方程）。
达成目标（1）的标志是：能正确判断一元二次方程。
人教版数学九年级上册第二十一章《第二十一章章末复习》名师教案
第21章一元二次方程章末回忆〔胡雯雯〕一.本章思维导图.二.典型例题.例1.用适当方法解以下一元二次方程.1.〔2x＋1〕2=2x＋1．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：∵〔2x＋1〕2－〔2x＋1〕=0，∴〔2x＋1〕〔2x＋1－1〕=0，即2x〔2x＋1〕=0，那么x=0或2x＋1=0，解得：x1=0或x2=12 -．【思路点拨】因式分解法求解可得．【答案】x1=0或x2=12 -．2. x2－4x＋1=0【知识点】解一元二次方程－配方法. 【解题过程】解：∵x2－4x＋1=0，∴x2－4x=－1，∴x 2－4x ＋4=4－1，⇒〔x －2〕2=3，⇒2x -=∴2x =±解得122x x ==【思路点拨】此题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【答案】122x x ==3. 4x 2－3=12x【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：原方程整理为：4x 2－12x －3=0，∵a=4，b=－12，c=－3，∴∆=144－4×4×〔－3〕=192＞0，那么x=123=82±±． 【思路点拨】利用公式法求解可得．【答案】32x ±= 4. x 2＋x －2=0．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：分解因式得：〔x －1〕〔x ＋2〕=0，可得x －1=0或x ＋2=0，解得：x 1=1，x 2=－2．【思路点拨】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】x 1=1，x 2=－2．例2.关于x 的一元二次方程〔a ＋c 〕x 2＋2bx ＋〔a －c 〕=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．〔1〕如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；〔2〕如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【知识点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理.【解题过程】解：〔1〕∵方程有两个相等的实数根，∴〔2b〕2－4〔a＋c〕〔a－c〕=0，∴4b2－4a2＋4c2=0，∴a2=b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；〔2〕∵当△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∵〔a＋c〕x2＋2bx＋〔a－c〕=0，∴2ax2＋2ax=0，∴x1=0，x2=－1．【思路点拨】〔1〕利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；〔2〕利用△ABC是等边三角形，那么a=b=c，进而代入方程求出即可．【答案】〔1〕△ABC是直角三角形；〔2〕x1=0，x2=－1．例3. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克到达一定的单价时，政府将投入储藏猪肉以平抑猪肉价格．〔1〕从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购置2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？〔2〕5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储藏猪肉并规定其销售价在每千克40元的根底上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储藏猪肉，该超市在非储藏猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储藏猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：〔1〕设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×〔1+60%〕x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；〔2〕设5月20日猪肉总销量为1，那么5月21日两种猪肉的总销量为1+a%.根据题意得：40〔1﹣a%〕×34〔1+a%〕+40×14〔1+a%〕=40〔1+110a%〕， 令a%=y ，原方程化为：40〔1﹣y 〕×34〔1+y 〕+40×14〔1+y 〕=40〔1+110y 〕， 整理得：5y 2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0〔舍去〕，那么a%=0.2，∴a=20；【思路点拨】〔1〕设今年年初猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；〔2〕设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【答案】〔1〕25元；〔2〕20.章末检测题一．选择题1．有以下关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c=0，②3x 〔x －4〕=0，③x 2＋y －3=0，④21x ＋x=2，⑤x 3－3x ＋8=0，⑥12x 2－5x ＋7=0，⑦〔x －2〕〔x ＋5〕=x 2－1．其中是一元二次方程的有〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4D ．5 【知识点】一元二次方程的定义.【解题过程】解：一元二次方程有②⑥，共2个，【思路点拨】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【答案】A ．2．假设m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，那么2021－m 2＋5m 的值是〔 〕A ．2021B ．2021C ．2021D ．2021【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，∴m 2－5m=2，∴2021－m 2＋5m=2021－〔m 2－5m 〕=2021－2=2021．【思路点拨】把m 代入方程得出m 2－5m=2，再代入到2021－m 2＋5m 即可求解．【答案】B ．3．一元二次方程4x2－2x＋14=0的根的情况是〔〕A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【知识点】根的判别式.【解题过程】解：在方程4x2－2x＋14=0中，∆=〔－2〕2－4×4×14=0，∴一元二次方程4x2－2x＋14=0有两个相等的实数根．【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∆=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【答案】B．4．一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为〔〕A．〔x－3〕2=15 B．〔x－3〕2=3 C．〔x＋3〕2=15 D．〔x＋3〕2=3【知识点】解一元二次方程－配方法.【解题过程】解：方程整理得：x2－6x=6，配方得：x2－6x＋9=15，即〔x－3〕2=15，【思路点拨】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【答案】A.5．x=2是关于x的方程x2－〔m＋4〕x＋4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，那么△ABC的周长为〔〕A．6 B．8 C．10 D．8或10【知识点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.【解题过程】解：把x=2代入方程x2－〔m＋4〕x＋4m=0得4－2〔m＋4〕＋4m=0，解得m=2，方程化为x2－6x＋8=0，解得x1=4，x2=2，因为2＋2=4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．【思路点拨】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2－〔m＋4〕x＋4m=0得m=2，那么方程化为x2－6x＋8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．【答案】C．6. 新年里，一个小组有假设干人，假设每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，那么全组送贺卡共72张，此小组人数为〔〕A．7 B．8 C．9 D．10【考点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设这个小组有x人，那么根据题意可列方程为：〔x﹣1〕x=72，解得：x1=9，x2=﹣8〔舍去〕．【思路点拨】设这个小组的人数为x个，那么每个人要送其他〔x﹣1〕个人贺卡，那么共有〔x﹣1〕x张贺卡，等于72张，由此可列方程．【答案】C．7.如图，是用4个一样的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，假设用x，y表示小矩形的两边长〔x＞y〕，请观察图案，指出以下关系式中不正确的选项是〔〕A．x+y=7 B．x﹣y=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用〔x+y〕来表示，故x+y=7正确；B、因为矩形长和宽的差为中间小正方形的边长，即x﹣y=2，故B选项是正确的；C、x2+y2=〔x+y〕2﹣2xy=49﹣2×454=532，故x2+y2=25是错误的；D、由B可知4xy+4=49．应选C．【思路点拨】此题中正方形图案的边长7，同时还可用〔x+y〕来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是〔x+y〕2，还可以是〔4xy+4〕，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．【答案】C8．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2021年为10.8万人次，2021年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，那么〔〕A．10.8〔1＋x〕=16.8 BC．10.8〔1＋x〕2=16.8 D．10.8[〔1＋x〕＋〔1＋x〕2【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8〔1＋x〕2=16.8，【思路点拨】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×〔1＋增长率〕2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．【答案】C．9．中国古代数学家杨辉的?田亩比类乘除捷法?有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？〞意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多〔〕A．12步B．24步C．36步D．48步【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设矩形田地的长为x步〔x＞30〕，那么宽为〔60－x〕步，根据题意得：x〔60－x〕=864，整理得：x2－60x＋864=0，解得：x=36或x=24〔舍去〕，∴x－〔60－x〕=12．【思路点拨】设矩形田地的长为x步〔x＞30〕，那么宽为〔60－x〕步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x－〔60－x〕中，即可求出结论．【答案】A．10．假设关于x的方程kx2－3x－94=0有实数根，那么实数k的取值范围是〔〕A．k=0 B．k≥－1且k≠0C．k≥－1 D．k＞－1【知识点】根的判别式.【解题过程】解：当k=0时，方程化为－3x－94=0，解得x=34；当k≠0时，Δ=〔－3〕2－4k•〔－94〕≥0，解得k≥－1，所以k的范围为k≥－1．【思路点拨】讨论：当k=0时，方程化为－3x－94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=〔－3〕2－4k•〔－94〕≥0，然后求出两个中情况下的k的公共局部即可．【答案】C．11．关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么a－b的值为〔〕. A．3 B.1 C .－1 D.2【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，∴b2－ab＋b=0，∵－b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b－a＋1=0，∴a－b=1．【思路点拨】由于关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么代入方程中即可得到b2－ab＋b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【答案】B．2－4x＋1=0的两根是x1，x2，那么x1〔1＋x2〕＋x2的值为〔〕．A．4 B.5 C .6 D.7【知识点】根与系数的关系.【解题过程】解：根据题意得x1＋x2=4，x1x2=1，所以x1〔1＋x2〕＋x2=x1＋x1x2＋x2=x1＋x2＋x1x2=4＋1=5．【思路点拨】先根据根与系数的关系得到x1＋x2=4，x1x2=1，然后把x1〔1＋x2〕＋x2展开得到x1＋x2＋x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．【答案】B．二．填空题13．一元二次方程－12x2＋4x=3的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为．【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】解：－12x2＋4x=3，－12x2＋4x－3=0，∵二次项系数是-12，一次项系数是4，常数项是-3，∴-12×4×〔－3〕=6，【思路点拨】移项，化成一元二次方程的一般形式，找出各个项系数，即可得出答案．【答案】6．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20－20×2x－30x＋2x•x=532，整理，得：x2－35x＋34=0．【思路点拨】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【答案】x2－35x＋34=0．15．假设方程3x2－5x－2=0有一根是a，那么6a2－10a=．【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：由题意，把是a的根代入3x2－5x－2=0，得：3a2－5a=2，∴2×〔3a2－5a〕=2×2，∴6a2－10a=4．【思路点拨】将a代入方程3x2－5x－2=0，得到3a2－5a=2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．【答案】4.16．整数k＜5，假设△ABC的边长均满足关于x的方程x2－x＋8=0，那么△ABC的周长是．【知识点】根的判别式；解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系.【解题过程】解：根据题意得k≥0且〔3〕2－4×8≥0，解得k≥329，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．【思路点拨】根据题意得k≥0且〔2－4×8≥0，而整数k＜5，那么k=4，方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【答案】6或12或10．17．现定义运算“☆〞，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2－3a＋b，假设x☆2=6，那么实数x 的值是．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：x☆2=6，x 2－3x ＋2=6，x 2－3x －4=0，〔x －4〕〔x ＋1〕=0，x －4=0，x ＋1=0，x 1=4，x 2=－1，【思路点拨】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【答案】4或－1．18．x=2b -b 2－4c ＞0〕，那么x 2＋bx ＋c 的值为 ． 【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：∵b 2－4c ＞0〕， ∴x 2＋bx ＋c=2＋b ＋c=22244b b c --＋22b -+ c=222242244b bc b c ---+ =0．【思路点拨】把x 的值代入代数式，再进展计算即可．【答案】0．三．解答题以下方程：〔1〕〔2x －1〕2=25．【知识点】解一元二次方程－直接开平方法.【解题过程】解：〔2x －1〕2=25开方得：2x －1=5或2x －1=－5，解得：x 1=3或x 2=－2．【思路点拨】方程利用平方根定义开方即可求出解．【答案】x 1=3或x 2=－2．〔2〕2x 2－x=1【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】2x 2－x －1=0，〔2x ＋1〕〔x －1〕=0，2x ＋1=0或x －1=0，所以x 1=－12，x 2=1； 【思路点拨】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；【答案】x 1=－12，x 2=1. 〔3〕x 2＋4x ＋2=0．【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】∆=42－4×2=8，x=42-±=－所以x 1=－2，x 2=－2．【思路点拨】利用求根公式法解方程．【答案】x 1=－2，x 2=－2．20.根据以下问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式〔1〕有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．〔2〕如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm ，面积为24cm 2，求它的两条直角边的长．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕设十位数字为x ，那么个位数字为x+3，百位数字为x+2，根据题意得：[100〔x+2〕+10x+〔x+3〕]﹣9[〔x+3〕2+x 2+〔x+2〕2]=20，化简为27x 2-21x ﹣66=0；〔2〕设其中一条直角边的长为x ，那么另一条直角边为〔14﹣x 〕，根据题意得：12x 〔14﹣x 〕=24，整理得：x2﹣14x+48=0．【思路点拨】〔1〕个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；〔2〕设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．【答案】〔1〕27x2-21x﹣66=0；〔2〕x2﹣14x+48=0．21. 如图，为美化环境，某校方案在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．〔1〕用含a的式子表示花圃的面积；〔2〕如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕由图可知，花圃的面积为〔40﹣2a〕〔60﹣2a〕；〔2〕由可列式：60×40﹣〔40﹣2a〕〔60﹣2a〕=38×60×40，解得：a1=5，a2=45〔舍去〕．答：所以通道的宽为5米．【思路点拨】〔1〕用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；〔2〕根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进展计算即可；【答案】〔1〕〔40﹣2a〕〔60﹣2a〕；〔2〕通道的宽为5米．22.为创立和谐社会，大力开展民生工程，其中一项就是拓展市民视野，增加农民生活科技含量．为此市财政部门于2021年投资160万创立社区书屋和农村阅读室，并方案2021年投资360万元．假设每年投资增长率不变，那么年投资增长率应为多少？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设年投资增长率为x，由题意得：160×〔1+x〕2=360，解得：x1==50%，x2=﹣2.2〔不合题意舍去〕．【思路点拨】首先设年投资增长率为x，2021年的投资×〔1+增长率〕2=2021年投资，把相关数值代入求解即可．【答案】年投资增长率为50%．23. 随着柴静纪录片?穹顶之下?的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数一样．〔1〕求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？〔2〕在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢送．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进展降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此根底上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为〔x+300〕元，由题意得，60007500300x x=+，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，那么x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；〔2〕设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；〔x﹣1200〕〔4+180050x-〕=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【思路点拨】〔1〕设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为〔x+300〕元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量一样，列方程求解；〔2〕根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【答案】〔1〕1500元，1200元；〔2〕1600元.24.关于x的一元二次方程〔m－2〕x2＋2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【知识点】根的判别式.【解题过程】解：〔1〕根据题意得m－2≠0且△=4m2－4〔m－2〕〔m＋3〕＞0，解得m＜6且m≠2；〔2〕m满足条件的最大整数为5，那么原方程化为3x2＋10x＋8=0，∴〔3x＋4〕〔x＋2〕=0，∴x1=－43，x2=－2．【思路点拨】〔1〕根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m－2≠0且△=4m2－4〔m－2〕〔m＋3〕＞0，然后解不等式即可；〔2〕根据〔1〕的结论得到m满足条件的最大整数为5，那么原方程化为3x2＋10x＋8=0，然后利用因式分解法解方程．【答案】〔1〕m＜6且m≠2；〔2〕x1=－43，x2=－2．25. 某校初2021届学生会进展了爱心义卖活动，准备将义卖获得的利润全部用于易书吧购置图书，免费借阅给全校学生，首次购进的义卖商品单价为25元，共卖出120件，第二次购进的义卖商品的单价是20元，共卖出150件．首次义卖的每件售价比第二次多20元，但第二次比第一次少获得600元．〔1〕求第二次义卖的商品每件售价是多少元？〔2〕为了让全校更多同学借阅到图书，初2021届学生会决定再进展一次义卖活动，此次义卖购进的商品单价为15元，每件售价比第二次上调了a%，那么卖出的件数比第二次减少2a%，假设第三次获利4500元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕设第二次义卖的商品每件售价为x元，那么第一次义卖的商品每件售价为〔x+20〕元，根据题意得：120〔x+20﹣25〕=150〔x﹣20〕+600，解得：x=60．答：第二次义卖的商品每件售价是60元．〔2〕第三次义卖的商品每件售价为60〔1+a%〕元，售出的件数为150〔1-2a%〕，根据题意得：150〔1﹣2a%〕[60〔1+a%〕﹣15]=4500，解得：a=25或a=﹣50〔舍去〕．答：a的值为25．【思路点拨】〔1〕设第二次义卖的商品每件售价为x元，那么第一次义卖的商品每件售价为〔x+20〕元，根据总利润=单件利润×销售数量结合第二次比第一次少获得600元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；〔2〕第三次义卖的商品每件售价为60〔1+a%〕元，售出的件数为150〔1+2a%〕，根据总利润=单件利润×销售数量即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【答案】〔1〕60元；〔2〕25.26. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿．在一样时间内，假设BQ=xcm〔x≠0〕，那么AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．〔1〕当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形；〔2〕当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：〔1〕当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1211，x2=211〔舍去〕．因为BQ+CM=x+3x=421﹣1〕＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=21﹣1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x211．〔2〕由〔1〕知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20﹣〔x+3x〕=20﹣〔2x+x2〕，解得x1=0〔舍去〕，x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20﹣〔x+3x〕=〔2x+x2〕﹣20，解得x1=﹣10〔舍去〕，x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．〔3〕过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．假设以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，那么点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x﹣x=x2﹣3x．解得x1=0〔舍去〕，x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【思路点拨】〔1〕以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．〔2〕以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．〔3〕如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，那么必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【答案】〔11；〔2〕x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕不能.。
部编人教版九年级数学上册 第21章一元二次方程复习课 教案
一元二次方程单元复习教案复习目标1．知识与技能．（1）了解一元二次方程的有关概念．（2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程．（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．（4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题．（5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题．（6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．2．过程与方法．（1）经历运用知识、技能解决问题的过程．（2）发展学生的独立思考能力和创新精神．3．情感、态度与价值观．（1）初步了解数学与人类生活的密切联系．（2）培养学生对数学的好奇心与求知欲．（3）养成质疑和独立思考的学习习惯．重难点、关键1．重点：运用知识、技能解决问题．2．难点：解题分析能力的提高．3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流．复习过程一、复习联想，温故知新基础训练．1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：（1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-54．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______．例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______．5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=•_______，•x1·x2=________．二、范例学习，加深理解例：解下列方程．（1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-2 x+2=0（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．三、合作交流，探索新知1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．3．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A•处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/小时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/•小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间能赶上？4．某工厂一月份生产零件2万个，一季度共生产零件7．98万个，•若每月的增长率相同，求每月产量的平均增长率．5．已知x=1是一元二次方程（a-2）x2+（a2-3）x-a+1=0的一个根，求a的值．四、归纳总结，提高认识1．综述本节课的主要内容．2．谈谈本节课的收获与体会．五、布置作业，专题突破1．课本P38复习题第1．（1）、（3）、（5）、（6），2．（1），3．5．6．9．（4），10．（1）题．2．选用课时作业设计．3．预习作业：本章复习提纲．六、课后反思（略）课时作业设计1．一元二次方程3x2+x=0的根是________．2．一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：________，•二次项系数为：________，一次项系数为：________，常数项为：________．3．方程2x2=4x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．以上都不对4．某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为m元，则原价是（）A．D．0.8m2元5．解下列方程．（1）3x2-x=4 （2）（x+3）（x-4）=6（3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2+5x-2=0（5）x2+2 x-4=06．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是_________．7．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽．又问：能否折成面积是32cm2的矩形呢？为什么？8．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．。
部编人教版九年级数学上册 第21章一元二次方程复习课 教案
一元二次方程单元复习教案复习目标1．知识与技能．（1）了解一元二次方程的有关概念．（2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程．（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．（4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题．（5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题．（6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．2．过程与方法．（1）经历运用知识、技能解决问题的过程．（2）发展学生的独立思考能力和创新精神．3．情感、态度与价值观．（1）初步了解数学与人类生活的密切联系．（2）培养学生对数学的好奇心与求知欲．（3）养成质疑和独立思考的学习习惯．重难点、关键1．重点：运用知识、技能解决问题．2．难点：解题分析能力的提高．3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流．复习过程一、复习联想，温故知新基础训练．1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：（1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-54．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______．例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______．5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=•_______，•x1·x2=________．二、范例学习，加深理解例：解下列方程．（1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-2 x+2=0（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．三、合作交流，探索新知1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．3．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A•处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/小时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/•小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间能赶上？4．某工厂一月份生产零件2万个，一季度共生产零件7．98万个，•若每月的增长率相同，求每月产量的平均增长率．5．已知x=1是一元二次方程（a-2）x2+（a2-3）x-a+1=0的一个根，求a的值．四、归纳总结，提高认识1．综述本节课的主要内容．2．谈谈本节课的收获与体会．五、布置作业，专题突破1．课本P38复习题第1．（1）、（3）、（5）、（6），2．（1），3．5．6．9．（4），10．（1）题．2．选用课时作业设计．3．预习作业：本章复习提纲．六、课后反思（略）课时作业设计1．一元二次方程3x2+x=0的根是________．2．一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：________，•二次项系数为：________，一次项系数为：________，常数项为：________．3．方程2x2=4x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．以上都不对4．某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为m元，则原价是（）A．D．0.8m2元5．解下列方程．（1）3x2-x=4 （2）（x+3）（x-4）=6（3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2+5x-2=0（5）x2+2 x-4=06．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是_________．7．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽．又问：能否折成面积是32cm2的矩形呢？为什么？8．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．。
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练习2：解方程
○
1018)1(22=--x ○2162=+x x ○
3)3(2)3(2x x -=- ○4342-=-x x （问题预设：○3小题学生可能会出现如下问题：简单问题复杂化——去括号化简解方程；等式两边同时除以3-x 从而漏根。
○4小题学生可能没发现十字相乘法。
） 念；练习2考查学生的计算能力，能用适当的方法解方程，同时比较归纳一般步骤。
教师发现问题，学
生及时自主纠正问题，培养学生的运算能力和发现、分析、解决问题的能力，同时培养学生观察力和总结归纳
的能力。
合作互助 一、 合作练习
小组内合作交流，解决问题
合作练习1：解方程()3)1(412-=+-+x x
（问题预设：有学生可能会按照去括号—合并同类项—化一般式的步骤解方程。
） 变式：解方程3424-=-x x
合作练习2： 已知一等腰．．
三角形的两边长是方程 0342=+-x x 的两根，求这个三角形的周长。
合作练习3： 已知一直角．．
三角形的两边长是方程 0342
=+-x x 的两根，求这个三角形的周长。
练习1：是有上一环节解方程中的方程
○4变形而来，培养学生的观察力和灵活解决
问题的能力。
从“一题多解”中总结最优方
法。
主要让学生掌握代数中的“换元”思想。
变式解方程：继续
变式训练，让学生学会知识迁移，从做一道题
到会一类题。
练习2、3：方程和三角形的综合题，旨在培养学生掌握数学中的“分类讨论”思想。
从练习2到练习3的迁
移，让学生进一步熟练掌握和运用知识，同时总结三角形中的分类
讨论。
重点
强化
例1：若012=-+n n ，则2008223++n n =
教师PPT 中展示分析过程：从已知——未知（升次） 例2：如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，求a 的取值范围。
例1是代数部分的
难点，要求学生能对式子进行正确的变形，代
入求值。
教师分析解题
思路，示范解题步骤。
鼓励学生用其它方法解决问题，并进行方法分享。
例2：考查根的判
别式，同时为下一环节“展示效果”做铺垫。
展示
效果
小组交流，展示合作成果
练习1：已知关于x 的一元二次方程
2(31)30
kx k x
+++=(0)
k≠
求证：无论k取何值，方程总有实数根
（问题预设：学生可能会第一步就写成△大于等于0）
补充问题：
总结比较：
（2）你能解出这两个根吗？
（3）若两根均为整数，且k为整数，求k的值．
练习2：已知，在Rt△ABC中，直角边a、b是方程
7
8
22=
+
-x
x的两根，求斜边c的值.
（问题预设：有的学生可能会按照解方程—勾股定理的
步骤求解。
）
练习1：区别于上
一环节例2，让学生能
对多项式进行正确变
形，判断△的符号。
设
置问题（2）和（3）主
要是让学生熟练掌握
含参数的方程，也体现
了从特殊到一般的转
化，让学生的数学学习
能力得到提升。
练习2：考查韦达
定理，学生要熟练地将
韦达定理在式子的变
形求值中加以运用。
并
能总结归纳出其它结
构，进行分享。
总结
提升
一、完善思维导图
二、通过本节课的学习，谈谈你的收获
学生自主对自己的
思维导图进行完善，形
成本章的知识体系，并
布置作业（进行好题收
集、分享），让学生进
一步巩固运用知识，同
时培养学生的独立学
习能力和总结归纳的
能力。
板书
设计
思维导图。