八年级上教案全等三角形辅助线作法

全等三角形常用辅助线作法

一、倍长中线（或类中线）法：

若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

1、基本模型：

（1）

△ABC中AD是BC边中线

方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE

E

D F C

B

A

D C B

A

方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD

经典例题

例1、（核心母题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

A

E

D C

B

变式练习

1、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

2、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

求证：AF=EF。

B

4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。

二、截长补短法

截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

例1、（核心母题）如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ， 求证：AB=AD+BC ．

例2、已知：如图，ABC ∆是等边三角形，120BDC ο

∠=， 求证：AD BD CD =+

.

第 1 题图

A

B

F

D

E

C

A

例3、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。

变式练习

1、已知四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ο

∠=°，P 为四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且120APD ο

∠=，求证：PA PD PC BD ++=

2、如图，在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：

AC=AE+CD

P

B

D

C

A

A

B C

D

E

O

3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB

4、已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－2

1

∠BDC ，求证：AB=BD ＋DC 。

三、角平分线、中垂线法

角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

例1、（核心母题）

在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点． 求证：AB AC PB PC ->-．

C

D B P

A

例2、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线， 过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF=CG ．

例3、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD=2CE ．

变式练习

1、如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．

D

P

C B A

2、如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，BE 平分∠ABC 交AC 于E 、AD ⊥BE 于D ，求证： （1）AC-BE=AE ； （2）AC=2BD ．

3、如图，在ABC

∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF AD

∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG CF

=，求证：AD为BAC

∠的角平分线．

F

G

E D C

B

A

四、角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法

角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。例1、（核心母题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.

例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，

（1）求证：EF=BE+FD

（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明