重庆备战中考数学压轴题专题一元二次方程的经典综合题

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221
6
k k k -+-的值．
【答案】0. 【解析】 【分析】
由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2
则12123940x x x x a a +-⎧⎪
⎨⎪-≥⎩
＝＝＝ ， 由条件，知12
1212
11x x x x x x ++==3， 即
33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，
则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221
06
k k k -=+-.
Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17
8
k ≤
， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221
6k k k -+-无意义.
综上，代数式221
6
k k k -+-的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1． 【答案】x 1
x 2=1
【解析】
试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.
试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，
解得：x1=1+3，x2=1﹣3．
3．已知：关于的方程有两个不相等实数根．
（1）用含的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
∴即（﹡）
解之，得
经检验是方程（﹡）的根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映
了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.
请你解答下列问题：
4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、
五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.
月份
用水量（吨）
水费（元）
四月
35
59.5
五月
80
151
【答案】
5．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;
(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．
当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形； 故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.
【答案】(1)()2
243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x 1=3
m
，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，
∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程， ∴△=（m -3）2-4m ×（-3） =（m +3）2，
∵（m +3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x =()()
332m m m
--±+ ，
∴x 1=-
3
m
，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m =-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
7．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元． 【解析】 【分析】
（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【详解】
解：（1）设每次降价的百分率为 x ．
40×（1﹣x ）2＝32.4
x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得
()4030y (448)5100.5
y
--⨯
+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5， ∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
8．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【答案】共有35名同学参加了研学游活动． 【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，
整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动． 考点：一元二次方程的应用．
9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，
AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点
Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，
Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.
（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；
（2）若四边形
ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或16
3
. 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】
解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.
∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，
则1
S QB PM 2=
⨯=12
×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,
即212t 16t -=-： 解得：t 5=
∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.
（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：
①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得
()2
221216t t +=- 解得：7
t 2
=
；
②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()2
22PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得
()()22
2 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，
此时，()2
32431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；
③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2
222 12162t 12t +=-+ , 得 116
3
t =
，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或16
3
时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】
本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.
10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．
()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；
() 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有
多少名员工参加旅游？ 【答案】（1）2280；（2）15 【解析】 【分析】
对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；
对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】 （1）2280
()2因为1020020002625⨯=<．
因此参加人比10人多， 设在10人基础上再增加x 人，
由题意得：()()1020052625x x +-=． 解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥，
∴010x <≤，
经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．
1010515x +=+=
答：该单位共有15名员工参加旅游． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。