§7.1对称与守恒量子力学中的对称性

并且，由于对称性操作 Rˆ 作用于体系不会改变体系的任何物理性质，因此一定有
x Dˆ
2
2
2
2
E xE xE
R
R
2
1 R
i
e
R
7.1.3
E 如果是简并态，并将属于具有相同能量 E 的不同本征态记为 E , i ，那么一般
而言
Dˆ E , i R
C ( Rˆ ) E , j j ,i
i
7.1.4
以上加和中所需考虑的态的数目决定了能量为 E 时体系的简并度。由此可见，对
称性与能级简并度之间存在非常密切的关系。我们总是可以通过对 E , i 的幺正
变化使得能量本征态同时也是对称操作算符 Dˆ 的本征态，从而能量本征态可以标 R
记为 E , Rˆ 。
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量子力学中的守恒量
海森堡表象中，力学量算符随时间变化满足如下海森堡方程
n
III. 时间平移与能量守恒
时间平移的算符就是时间演化算符，相应的产生算符是哈密顿算符本身，因
此能量守恒本身是时间平移对称性的结果。这些在第五章已经介绍, 故不再讨论。
IV. 宇称与宇称守恒
宇称操作，也称空间反演操作，记为Yˆ ，是将体系的所有惯性坐标由 r 变为-r
的操作，用算符的形式表示意味着，
Uˆ ( t ) TˆUˆ ( t ) Tˆ
对于经典的运动反演操作而言，显然有Tˆ 2 1ˆ（注意：在量子力学中，这个关系并 不总是成立），因此上式等价于
TˆUˆ ( t ) Uˆ ( t ) Tˆ
7.2.1
后面我们会看到，在量子力学中，上式同样成立。这一节的重点就是讨论时间
反演对称性在量子力学中意味着什么。
换下不变， Dˆ † Hˆ Dˆ Hˆ （即 Hˆ , Dˆ 0 ），则必有 Hˆ , Gˆ 0 ，因此 Gˆ 对应的力学
量算符为守恒量。
I. 空间平移与动量守恒
将一个体系刚性地平移一段距离 s 的操作 Dˆ 是用如下幺正算符表示的:
i pˆ s
Dˆ ( s ) e
7.1.8
式中pˆ 为总动量算符。如果体系具有空间平移对称性，那么相应的动量就是一个
对称操作时，意味着 Dˆ R 与 Hˆ
对易， Dˆ , Hˆ
R
0 ，这意味着对于能量本征态
E
，
我们有
Hˆ Dˆ E Dˆ Hˆ E E Dˆ E
R
R
R
7.1.1
即 Dˆ R
E
也是一个能量为 E 的本征态。如果
E
是非简并态，那么 E
同时也是算
符 Dˆ R 的本征态
Dˆ E E
R
R
7.1.2
§7.1 对称与守恒
量子力学中的对称性
首先我们来看如何在量子力学的框架里定义对称性。对物理体系在空间或时
间施加一定的操作 Rˆ
，该操作对体系微观状态的作用可以用算符 Dˆ 来表示，如果 R
操作之后的体系和原来的体系在物理上完全等价，我们就说 Rˆ 是个对称操作。在
量子力学中，体系的哈密顿算符 Hˆ 决定了体系的全部性质，因此当我们说 Rˆ 是个
因此和哈密顿算符对易的物理量是守恒量。
7.1.5 7.1.6 7.1.7
守恒量与对称性的关系
守恒量总是和对称性联系在一起的。对于一个连续性的对称性操作，对应于
无穷小的变换操作 Rˆ ( ) ，其对应的算符 Dˆ ( ) 由于其幺正性，一定可以写成
Dˆ ( ) 1 i Gˆ
其中厄米算符 Gˆ 称为该对称操作的产生算符。显然，如果哈密顿算符在该对称变
Yˆ † xˆ Yˆ xˆ , o r xˆ Yˆ Yˆxˆ
7.1.10
与平移、旋转不同，宇称操作不是连续的。设宇称操作的本征方程为：
Yˆ
由于连续两次宇称操作后体系恢复原来状态，所以
7.1.11
Yˆ 2 Yˆ 2
7.1.12
也就是说，宇称操作的本征值只有两个：+1 或-1。如果体Biblioteka Baidu具有宇称对称性，即
Yˆ , Hˆ 0 ，则体系的宇称是守恒量。
时间反演对称性
下面讨论一种比较特殊的对称性，即时间反演对称性。首先，值得指出的是， “时间反演”这个术语听起来有着浓重的科幻色彩，会让人联想到时间机器、时 光穿梭这些奇幻的图像，实际上“时间反演”并不像听起来那样的神秘。对于时 间反演操作，更为确切的应该是最初 Wigner 讨论这个概念时所用的表述，即“运 动反转”。在经典力学的图像下，这意味着将所有粒子的动量都改变符号，即将所 粒子的运动都反转过来。在没有耗散力的条件下，牛顿运动方程所描述的经典体 系满足时间反演对称性，这意味着，如果 x ( t ) 是满足方程的一条经典轨迹的话，
幺正算符和反幺正算符
空间和时间的平移，空间的旋转，以及宇称操作都有共同的特点：它们都是
幺正算符Uˆ ，即它们都满足：
Uˆ †Uˆ Uˆ Uˆ † 1
7.1.13a
Uˆ a b a Uˆ b Uˆ
7.1.13b
其中 a, b 为任意的复数， 和 是任意两个态矢。这些性质是从客观运动规律 的要求衍生出来的。在量子力学中，最基本的对易关系是
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x ( t ) 也是满足该方程的一条合理的经典轨迹。更明确的说，当体系具有时间反演
对称性时，如下两个过程对一个经典体系的状态有等价的效果：1）从 t=0 时刻， 在时间上向前演化到 t 时刻得到状态经典状态 x(t)；2）在 t=0 时刻将所有粒子的 动量反转，即对体系施加时间（运动）反演操作，然后在在时间上向后演化到-t 时刻，再对体系做时间反演操作；如果借用前面时间演化算符的表示，这意味着
守恒量。 II. 旋转与角动量守恒
在量子力学中，与旋转操作 Rˆ ( ) 对应的旋转算符由下式表达： n
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i Jˆ nˆ
Dˆ ( ) e n
7.1.9
式中 n 为旋转轴，为旋转角， Jˆ 为总角动量算符。体系如果具有旋转对称性，
即 Dˆ ( ), Hˆ 0 ，这时相应的角动量在任何方向上的分量就是守恒量。
d Oˆ ( t )
H
1
Oˆ
( t ) , Hˆ
dt
i H
如果 Oˆ , Hˆ 0 ，这等价于在薛定谔表象中 Oˆ , Hˆ 0 ，这时
H
d Oˆ ( t )
H
0
dt
Oˆ ( t ) Oˆ ( t 0 )
H
H
因此，对于给定初始状态 ，在任意时刻都有
Oˆ ( t ) Oˆ ( t ) Oˆ c o n s t a n t H