高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(原卷版)

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第五篇解析几何

专题10 解析几何中两类曲线相结合问题

【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，

离心率为

2

，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=.

（1）求椭圆C 和圆O 的标准方程；

（2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动

点，过动点P 作的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF PQ PF ⋅+=u u u v u u u v u u u v

．

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）若直线m 与（1）中的轨迹C 相切于点0(N x ，00)(0)y y >，且m 与圆心为M 的圆22

(3)16x y -+=，

相交于A ，B 两点，当AMB ∆的面积最大时，求点N 的坐标. 【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】

如图，已知椭圆

22

221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点

的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B 、A 和C D 、.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·

1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·

AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图1C ：()22

2210x y

a b a b

+=>>的右顶点与抛物

线2C ：()2

20y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为

1

2

，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线

截抛物线所得的弦长为（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；

（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.

【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线22441

3

x

y -=的一个焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；

（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为N ，试问是否存在常数λ∈R ，使得AF FB λ=u u u r u u u r

且22

85

||4

NA NB +=都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

1.【浙江省杭州市学军中学2020届月考】已知点(1,0)N -，点P 是圆22:(1)16M x y -+=上的动点，A 为线段PN 的中点，G 为线段PM 上点，且0GA PN ⋅=u u u r u u u r

，设动点G 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）直线PN 与曲线C 相交于E 、F 两点，与圆M 相交于另一点Q ，且点P 、E 位于点N 的同侧，当

PMN ∆面积最大时，求||||PE FQ +的值.

2.【2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考】已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，

恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，双曲线C 过点．

（1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；

（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，

Q ，求PMQ ∠的最大值．

3.【上海市建平中学2019届高三下学期3月月考】设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是

以直线20x =与20x +=的渐近线，以为一个焦点的双曲线.

（1）求双曲线2C 的标准方程；

（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB ⋅u u u r u u u r

的最大值；

（3）是否存在正数p ，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由.

4.【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C 截得的弦长为1. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为()1,M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，试问直线m 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

5.【黑龙江省2020届仿真模拟】设直线l 与抛物线2

2x y =交于A ，B 两点，与椭圆22

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x y +=交于C ，

D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥.

（1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （2）求OCD ∆面积的最大值.

6【广东省广州市2020届高三模拟】已知双曲线22

15x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的顶

点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.