§2.3.2 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
3.2初等变换与初等矩阵
三、实验材料
1、对一个四阶单位矩阵施行初等行（或列） 变换，先计算其行列式，再求它们的逆矩阵， 最后比较初等矩阵与初等矩阵的逆矩阵。
2、对一个矩阵（例如 , ） 施行一次初等行变换， 再用一个相应的初等矩阵左乘这个矩阵， 比较两次运算结果。同样地，对一个矩阵施行 一次初等列变换，再用一个相应的初等矩阵右 乘这个矩阵，比较两次运算结果。
1．2实验思路 例3.2.1 对于四阶单位矩阵 E4 ，写出经一次初等 变换的初等矩阵，分别计算各初等矩阵的 行列式及逆矩阵，并把初等矩阵和它的逆 矩阵比较。 再对三阶单位矩阵、五阶单位矩阵进行同 样的实验。
2、初等变换的初等矩阵表示及应用 2．1程序 对于矩阵 A和 B，其乘积 AB的Mathematica 程序如下： A=｛｛｝,｛｝,∙∙∙,｛｝｝； B=｛｛｝,｛｝,∙∙∙,｛｝｝； AB=A∙B 计算矩阵 A和 B乘积的Matlab程序如下： AB=A*B
分解为若干初等矩阵的乘积。 5、对一个矩阵（例如
1 3 2 4 3 5 2 1
5 6 7 5
7 9 8 10 9 11 8 4
）
施行若干次初等行（列）变换而化为阶梯 形矩阵，并求出秩。
四、实验解读
本实验主要做两方面的工作：一是理解初等 矩阵的性质。二是理解初等变换的初等矩阵 表示，掌握用初等变换求逆矩阵及初等矩阵 分解、化阶梯形矩阵及求秩的方法。
B 3 4 0 5 6 1
，Hale Waihona Puke 求逆矩阵，并对其进行初等分解。 考虑其它方阵。
1 3 2 4 例3.2.4对矩阵 C 3 5 2 1
5 6 7 5
7 9 8 10 施行若干次 9 11 8 4
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
初等变换与初等矩阵
2.3初等变换与初等矩阵授课题目 2.3初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A为B,通过B的性质来探讨A的性质，这是研究矩阵的重要手段。
为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。
一.初等变换与初等矩阵1.初等变换（1）定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，k为任意数。
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
（2）记法分别用[i,j],[i（k）],[i • j（k）]表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换,写在箭头下面表示列变换。
或者行变换用R.. R j,kR j,R j ■ kR j，列变换用C- C j,kC i,C i kC j例110-12if T10-12100 2A =2312033-203 3 -2-121丿J-121丿-1 3 1丿2.初等矩阵（1 ）初等矩阵的定义定义2由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵(110 1 :11 : 1 0 1i 行二 Di（k ）i 行= T j (k) j 行1 k+ .a1j 列(1i 行 = T j (k) j 行 bR j 、D j (k)、T ij (k)分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。
* T j (k)是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。
二. 初等变换与初等矩阵的关系1、 问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
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三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
初等变换与初等矩阵
解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表
2 x1 x2 4 x1 2 x2
3 x3 5 x3
1 4
→
2 1 3 1
4
2
5
4
2 x1
2 x3 6
2 0 2 6
增广矩阵
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
2 0 2 6
0
0
3
1
8
0 1 1 5
把第2行与第3行互换位置
2 x1
2 x3 6 x2 x3 5
3x3 18
→
2 0 2 6
0
1
1
5
0 0 3 1 8
高等代数
分别把第1个方程和第3个
方程乘以 1
2
和
1 3
x1
x3 3 x2 x3 5
→
x3 6
分别用 1
r 3 2r 0 1
2
0
r 3 3r20
1
2
0
0 3 8 3
0 0 2 3
高等代数
1 0 0 c 3 2c2 0 1 0
1
0
r3(2) 3
1 0 0 0
0 c 42 c3 0 1 0 0
0 0 2 3
0 0 1 0
对B施行一系列初等变换得
1 2 1 0 1 2 1 0 B1 3 0 20 1 1 2
高等代数
教学目的 理解初等矩阵的概念，理解矩阵的等价和 标准形，掌握初等变换和初等矩阵的关系，熟练掌握 矩阵等价的充要条件和初等变换法求逆矩阵. 教学重点 初等变换法求逆矩阵；初等变换 和初等矩阵的关系. 教学难 点 初等变换和初等矩阵的关系.
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
初等矩阵与初等变换的关系
初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。
初等变换指的是对矩阵进行三种基本操作：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。
这篇文章将以生动的方式介绍初等矩阵与初等变换之间的关系，并解释它们在数学和实际中的重要性。
让我们从一个简单的例子开始，考虑一个3x3的单位矩阵：I = [1 0 0][0 1 0][0 0 1]现在，我们进行一次交换第一行和第二行的初等变换，得到矩阵：E1 = [0 1 0][1 0 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E1是通过单位矩阵在第一行和第二行进行交换得到的。
这就是初等矩阵与初等变换之间的关系：初等变换通过对单位矩阵的某些行（列）进行操作，得到对应的初等矩阵。
接下来，让我们考虑另外两种初等变换：第一行乘以一个非零常数和第一行的倍数加到第二行上。
首先，我们将第一行乘以2，得到矩阵：E2 = [2 0 0][0 1 0][0 0 1]再将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵：E3 = [1 0 0][2 1 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E2和E3分别由单位矩阵通过第一行乘以2和第一行的2倍加到第二行上得到。
这再次验证了初等矩阵与初等变换之间的关系。
初等矩阵与初等变换在数学中扮演着重要角色。
它们可以用于求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。
通过将初等变换应用于矩阵，我们可以通过初等矩阵的乘积来实现这些操作，简化计算过程。
在实际应用中，初等矩阵与初等变换也非常有用。
它们可以用于图像处理、数据压缩、机器学习等领域。
例如，在图像处理中，我们可以通过初等变换来调整图像的亮度、对比度或色彩饱和度。
在数据压缩中，我们可以使用初等矩阵表示矩阵的近似，从而减少存储空间和计算复杂度。
总结起来，初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。
初等变换是对矩阵进行交换行（列）、乘以一个非零常数或行（列）的倍数加到另一行（列）上的基本操作。
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵
~
3 0 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 9 4 0 2 3
3 0 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 r3 9 r2 0 0 1 9 4 6 3 0 0 18 9 12 r1 2 r3 0 2 0 8 4 6 ~ r2 r3 0 0 1 9 4 6
4 1 2 1
00 00 11 00
0 0 10 20 30 00 00 00 00
9 4 6 0 0 0 2 0 8 3 0 00
矩 阵 A 的 标 准 型
例4.2
设
1 1 2 1 A 1 1 1 0 2 0 1 1
的等价标准形.
求
A
注:
1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；
3.任一矩阵都可经初等变换r
Er 0, E r 都是 0
0 的特殊情况. 0
O Er 。 O O
行阶梯形矩阵
也就是指可以画一条阶梯折线，
折线的下方元素全为零；并且每个阶梯只有一行，
阶梯数即为非零行的行数，阶梯线每一竖线后面第
一个元素为非零元.
3 3 2 1 0 1 0 , B 0 0 1 2 5 如: A 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 0 8 0 0 2 5 0 0 5 2 4 0 2 1 0 4 , C 0 3 0 0
0 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 8 1 3 0 0
为行阶梯矩阵.
行最简形矩阵
是指行阶梯形矩阵中除每一竖线后面的第一个
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
矩阵初等变换与初等
且所有 r1阶子式 (如果存在的 )全话 等于 0,那么 D称为矩A阵 的最高阶非零,数子 r称式为矩A阵 的秩 ,记作 R(A).并规定零矩阵的0秩 . 等于
1
0 5 3 0
2 2 1 1
0 0 1 0
~ 0
2 1 0
r 2 1
r 2 2r 3
r
4
r
1
1 1 2 0
0 1 3 0
1 0 1 0
0 2 1 0
0 0 1
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0
从而得到方程组的通解 为
x 1 0
x
x2
x x
3 4
k
1 0
,
1
k为任意常数 .
解法二 用初等行变换把系数矩阵 A化为阶梯形
1 1 1 1
A
1 1
2 1 2 1 a 1
3 2 3 a
二、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则．
例２ 求非齐次线性方程组的通解．
x1 2 x2 3 x3 x4 1,
3 2
x1 x1
第二章 矩阵代数 S3_2矩阵的初等变换
1
i列
j列
1
i列
j列
i行
0
1
0
1
E
j行
1
0
1
0
1
1
因此： 类似可得:
(Eij )1 Eij
初等矩阵是可
( Eii
(k ))1
Eii
( 1 ),(k k
0)
逆矩阵，而且 它们的逆矩阵
(Eij (k))1 Eij (k)
也是初等矩阵.
16
几个定理性结论
1. 矩阵A与B等价
有初等矩阵
0
0
mn
17
4. n 阶矩阵A为可逆的 等矩阵的乘积
A Q1Q2 Qt .
它能表成一些初
5. 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单 位矩阵.
【可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成 单位矩阵.】
18
三、用初等变换求逆矩阵
设An可逆，则存在一系列初等矩阵 P1 ,
使
E Pm P1 A
所以 于是 Pm
1 2
1 0
0
0
1
1
0
1
2
2
0
0
1
1
0
1
2
2
29
5 1
即
2 A 1
1
1 2
0
易求得 |A|=1/2, 故
1 2 0 1 2
5 1 1 5 2 1
A
1
|
A A|
2
2 1
1 2
1 0
2 0 1
2
2 1
2 0
0
1
30
§2.4.1转置矩阵
2.3.2--初等矩阵
一、矩阵的初等变换
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2 x1 x1
x2 x2
2 x3 2 x3
4, 1,
(1)
4 x1 x2 4 x3 2.
2 1 2 4
增广矩阵 A 1 1 2 1
4 1 4 2
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二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.对调两行或两列； 2.以数 k0乘某行或某列； 3.以数 k乘某行（列）行 加（ 到列 另） 一上
1、对调两行或两列
对E 调 中i,第 j两行 (ri， rj)， 即得初
1
1
0
1
第i
行
1
E (i, j)
1
1
0
第j
行
1
1
用 m 阶初 E m (i,等 j)左 A 矩 乘 (a i) jm n 阵 ，得
推论：mn矩阵A~ B等价的充分必要条件 是存在m阶初等矩P阵1, P2,, Pl及n阶初等 矩阵Q1,Q2,Qt ,使得 Pl P2P1AQ1,Q2,Qt B
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ai1
kaj1
Em(ij(k))A
aj1
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵发布时间：2023-02-03T06:52:33.822Z 来源：《教学与研究》2022年第18期第9月作者：蔡新华[导读] 由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,蔡新华内蒙古机电职业技术学院内蒙古呼和浩特 010070摘要由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,所以非常容易将二者混为一谈.此文的目的在于解释这两个概念的区别,同时也介绍它们的关系.在对矩阵进行运算时,我们可对其进行类似于行列式的行（列）变换或数乘运算等,即矩阵的初等变换.为了搞清楚变换后的矩阵所具有的特性,也为了说明矩阵的初等变换的意义,我们引入初等矩阵的概念.其实初等矩阵就是单位矩阵经矩阵的初等变换后所得的矩阵.具体内容见下文简述.关键词矩阵的初等变换初等矩阵单位矩阵逆矩阵矩阵就是将多个数按某种规则人为排列为m行n列所形成的一个数阵（具体学科的行与列都有确定的含义）。
它实际上记述着客观事件的因果关系，一个结果在多个原因的不同作用水平下的数量特征（这个矩阵的元素间没有因果关系），所以我们对其行（列）的运算实质是一种人为处理，但是我们知道，在建立矩阵时,我们确实纪录了某个（些）客观事实，这些数据有其内在的必然规律。
为了寻找这个（些）客观规律，我们必须对所得矩阵进行运算，又由于我们在建立矩阵时所记行（列）遵循一定的规则，所以我们只能对不同的行（列）展开运算。
也就是说同一行（列）中的数据前后上下的元素不能调整。
对不同行（列）间对应元素的对调、同一行（列）的数乘和数乘后与其它行（列）对应元素的代数和的运算也就没有改变事件内在规律（实为事物自身的线性性）。
这种对矩阵的处理就是矩阵的初等变换。
现在，我们给出矩阵的初等变换的定义：（1）：互换矩阵的两行（列）；（2）：用一个非零实数乘矩阵的某行（列）的所有元素；（3）：将某行（列）的所有元素实数k倍后加到另一行（列）的对应元素上去。
对于这个定义，我们要理解在如下三个层面上：（1）对矩阵实施某行（列）所有元素与另一行（列）对应元素的对调.（2）实施了矩阵的初等变换后得到了一个新的矩阵。
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Eij ( ) A
A 的第 j 行乘以 加到第 i 行 ; ：
AEij ( ) ：A的第 i 列乘以 加到第 j 列．
§4.6 初等矩阵
思考：初等变换是否改变矩阵的可逆性？ n 级方阵A可逆
A可经过有限次初等行（列）变换
化为E.
n 级方阵A可逆 A可以表示成一些初等矩阵的积,
即 A Q1Q2
3 2 1 0 0 1 3 2 1 3 3 5 5 1 3 0 1 0 A 3 . 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1 B .
§4.6 初等矩阵
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r2 2r1 r1 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 ( 0) 乘某行或某列； 3. 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
即
A1 ( A B) ( E A1 B)
( A B)
初等行变换
E A 1 B
§4.6 初等矩阵
1 Eij ( )
§4.6 初等矩阵
1
1
第i行 第j行 1
二、 初等矩阵的性质
(1) 初等矩阵皆可逆，且 Eii ( ),
1
1
Eij ( ) Eij ( ).
§4.6 初等矩阵
1 0 2 1 1 0 r1 r2 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 r3 r2 r2 5r3 0 0 1 1 1 1
r1 2r3
r2 5r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
1
§4.6 初等矩阵
(2) 定理 对任一矩阵 A 进行一次一初等行(列)变换 相当于对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
Eij A : 对换 A 的 i , j 两行；
AE ij : 对换 A 的 i , j 两列．
Eii ( ) A ：用非零数 乘 A 的第 i 列；
AEii ( ) ：用非零数 乘 A 的第 i 列．
§4.6 初等矩阵
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i, j(i j) 两行，即 (ri rj ) ，得初等方阵
1 Eij
1
0
1 1
1
1
0
1
1
第i 行
第 j 行
§4.6 初等矩阵
2、以数 λ( 0) 乘某行或某列
Qt .
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理:
当 A 0时，由 PP 1 2 PA l =E，有
P l P l 1
Pl Pl 1
1 P E A 1
Pl Pl 1 P E 1 A ，
P 1 A P l P l 1
P 1 E
E
A
1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
以数 0 乘单位矩阵的第 i 行 ( ri ), 得初等矩阵
1 Eii ( )
1
1
1
第i 行
§4.6 初等矩阵
3、以数乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri rj ) [或以 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j ci ) ，