§2.3.2 初等变换与初等矩阵

1
§4.6 初等矩阵
(2) 定理 对任一矩阵 A 进行一次一初等行(列)变换 相当于对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
Eij A : 对换 A 的 i , j 两行；
AE ij : 对换 A 的 i , j 两列．
Eii ( ) A ：用非零数 乘 A 的第 i 列；
AEii ( ) ：用非零数 乘 A 的第 i 列．
§4.6 初等矩阵
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r2 2r1 r1 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2

即
A1 ( A B) ( E A1 B)
( A B)
初等行变换
E A 1 B
§4.6 初等矩阵
以数 0 乘单位矩阵的第 i 行 ( ri ), 得初等矩阵
1 Eii ( )
1

1
1
第i 行
§4.6 初等矩阵
3、以数乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri rj ) [或以 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j ci ) ，
§4.6 初等矩阵
1 0 2 1 1 0 r1 r2 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 r3 r2 r2 5r3 0 0 1 1 1 1
r1 2r3
r2 5r3

1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
Qt .
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理:
当 A 0时，由 PP 1 2 PA l =E，有
P l P l 1
Pl Pl 1
1 P E A 1
Pl Pl 1 P E 1 A ，
P 1 A P l P l 1
P 1 E
E
A
1

即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 Eij ( )
§4.6 初等矩阵
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1
第i行 第j行 1
二、 初等矩阵的性质
(1) 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
Eij 1 Eij ,
Eii ( ) Eii ( ),
1
1

Eij ( ) Eij ( ).

3 2 1 0 0 1 3 2 1 3 3 5 5 1 3 0 1 0 A 3 . 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1 B .
§4.6 初等矩阵
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i, j(i j) 两行，即 (ri rj ) ，得初等方阵
1 Eij
1
0
1 1
1
1
0
1
1
第i 行
第 j 行
§4.6 初等矩阵
2、以数 λ( 0) 乘某行或某列
Eij ( ) A
A 的第 j 行乘以 加到第 i 行 ; ：
AEij ( ) ：A的第 i 列乘以 加到第 j 列．
§4.6 初等矩阵
思考：初等变换是否改变矩阵的可逆性？ n 级方阵A可逆
A可经过有限次初等行（列）变换
化为E.
n 级方阵A可逆 A可以表示成一些初等矩阵的积,
即 A Q1Q2
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 ( 0) 乘某行或某列； 3. 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．