第二章 第一节 函数及其表示

一、选择题

1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．±1

解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.

答案：C

2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x

＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于(

) A.12 B.45

C ．2

D ．9

解析：∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a .

令4＋2a ＝4a ，得a ＝2.

答案：C

3．定义x ⊗y ＝x 3－y ，则h ⊗(h ⊗h )＝( )

A ．－h

B ．0

C ．h

D ．h 3

解析：由定义得h ⊗h ＝h 3－h ，h ⊗(h ⊗h )＝h ⊗(h 3－h )＝h 3－(h 3－h )＝h .

答案：C

4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝(

) A ．－13 B.13

C ．－23 D.23

解析：由函数的图象知f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝13.

答案：B

5．(2012·济南模拟)已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1

x 2，则f (3)＝( )

A ．8

B ．9

C ．11

D ．10

解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭

⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C

二、填空题

6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1

答案：(－1,3)

7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．

解析：设点M (x ，y )在所求函数的图象上，点M ′(x ′，y ′)是M 关于直线x ＝2的对

称点，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝4－x ，y ′＝y ， 又y ′＝2x ′＋1，∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，

即g (x )＝9－2x .

答案：g (x )＝9－2x

三、解答题

8．若函数f (x )＝x ax ＋b

(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． 解：由f (2)＝1得

22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b

＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，

又因方程有唯一解，∴1－b a ＝0，

解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12

， ∴f (x )＝2x x ＋2

. 9．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝

3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．

解：当0

∴g (x )＝3－12

＝1；

当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，

∴g(x)＝

6－1

2＝5 2；

当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，

∴g(x)＝

6－2

2＝2.

故g(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧1，(0

5

2，(1≤x<2)，

2，(x≥2).

其图象如图

10．如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？

(3)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？

(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？

解：(1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．

(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．

(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．

(4)斜率表示票价．