第二章 第一节 函数及其表示
2015届高考数学总复习第二章 第一节函数及其表示精讲课件 文
点评：判断一条曲线是否是函数的图象，要看通过曲线
得到的x与y的取值范围是否与题设一致以及对应关系是否满 足函数的定义．
变式探究 2 ． (2012· 南昌模拟 ) 下图①②③④四个图象各表示两个 变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有 ________．
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函 数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－ 1≤a≤1 时， 直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直
(2)已知f(x)为二次函数，且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则 f(x)的解析式为____________________________． 解析：(1)用换元法(略)． (2)用待定系数法．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c， 则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
第二章
第一节 函数及其表示
对函数概念的准确理解 【例1】 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝
与y＝x＋1
1 2
B．y＝lg x与y＝ lg x2 C．y＝ －1与y＝x－1
D．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
思路点拨： 从函数的三要素的角度来判断是否
为同一个函数，只有定义域和对应法则都相同的函数
解析：(1)(法一)设u＝
＋1，则
＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)． 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (法二)∵x＋2 由于x≥0，所以 ∴f( ＋1)＝( ＝( ＋1)2－1， ＋1≥1. ＋1)2－1，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
第二章 第一节 函数及其表示
A. 0,
5 2
C. -
1 2
,2
B.[-1,4] D.[-5,5]
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数y=f(x)的定义域为
.
答案 (1)C (2)[-1,2]
解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],
∴-2≤2x-1≤3,即- 1 ≤x≤2,
2
即函数y=f(2x-1)的定义域为
x2
D.f(x)=x,g(x)=
x
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4.函数f(x)= 2x -1+ 1 的定义域为 ( C )
x-2
A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
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5.已知f
1 2
x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于
(
A
)
A. 7 B.- 7
|
1 2
a
N*
,B=
b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1
;
a
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③ C.①④
考点二 函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域 考法一 已知函数解析式,求函数定义域 典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] (2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示配套课件 理 新人教A版
【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一 函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实 数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x， 则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在 元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是 同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关， 可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换 元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求 解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
第1讲 函数及其表示
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24
(3)(解方程组法)因为 2f(x)＋f(－x)＝2x，① 将 x 换成－x 得 2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去 f(－x)，得 3f(x)＝6x， 所以 f(x)＝2x. 【答案】 (1)f(x)＝lgx－2 1(x＞1) (2)f(x)＝x2－x＋3 (3)f(x)＝2x
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第二章 函数概念与基本初等函数
7
二、教材衍化 1．下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是( )
答案：C
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第二章 函数概念与基本初等函数
8
2．下列哪个函数与 y＝x 相等 A．y＝xx2
C．y＝ x2 答案：D
() B．y＝2log2x D．y＝(3 x)3
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第二章 函数概念与基本初等函数
13
函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域
(2020·陕西汉中一模)函数 f(x)＝ 4－1 x2＋ln(2x＋1)的定义域为
A.－12，2 C.－12，2
B.－12，2 D.－12，2
【解析】 由题意可得 mx2＋mx＋1≥0 对 x∈R 恒成立． 当 m＝0 时，1≥0 恒成立；
当 m≠0 时，则mΔ>＝0，m2－4m≤0，
解得 0<m≤4. 综上可得 0≤m≤4. 【答案】 [0，4]
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第二章 函数概念与基本初等函数
18
已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式 恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．
第二章2.1 函数及其表示ppt课件
(5)y＝tan x 的定义域为
__x_|x_∈__R__且__x_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_____.
(6)函数 f(x)＝xa的定义域为{x|x∈
R 且 x≠0}．
3.函数的定义域
(1)解决函数问题，函数的定义域 必须优先考虑； (2)求复合函数 y＝f(t)，t＝q(x) 的定义域的方法： ①若 y＝f(t)的定义域为(a，b)， 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求 出 y＝f(q(x))的定义域； ②若 y＝f(g(x))的定义域为(a， b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t) 的定义域．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
根底知识·自主学习
根底自测
题号
答案
解析
1
-1
2
①②
3 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
4
D
5
B
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度分析
题型一
函数的概念
【例 1】 有以下判断： (1)f(x)＝|xx|与 g(x)＝1－1
x≥0 x<0
表示同一函数； (2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1
＝1－1
x≥0 x<0 的定义域是 R，
所以二者不是同一函数；
的交点最多有 1 个；
对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义
(3)f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋ 域的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)
1 是同一函数；
【例 2】 (1)已知 f2x＋1＝lg x， 思想启迪
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第1节：函数及其表示(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第1节函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．1.函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.(3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法和解析法.2.分段函数(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像至多有1交点.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y ＝tan x x |x ≠k π＋π2，k ∈Z1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数.()(2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .()(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是()3.(2021·贵阳诊断)已知函数f (x )3x（x ≤0），log 3x （x >0），则f 12＝()A.－1B.2C.3D.124.(2020·北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是__________.5.(易错题)已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.6.已知函数f (x )x 2＋2，x ≤1，1x，x >1，则f (x )的值域为________.考点一函数的定义域1.函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________.2.函数f(x)＝12－x＋ln(x＋1)的定义域为()A.(2，＋∞)B.(－1，2)∪(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－1，2]3.(2021·西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝f（2x＋1）x＋2的定义域是()A.(－∞，－2)∪(－2，3]B.(－8，－2)∪(－2，1]C.－92，－2(－2，0]D.－92，－24.已知函数f(2x－1)的定义域为[0，1]，则f（2x＋1）log2（x＋1）的定义域是() A.(－1，0) B.(－1，0]C.[－1，0)D.[－1，0]考点二求函数解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知x＋1x x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.训练1(1)已知2x＋1lg x，则f(x)＝________；(2)(2021·黄冈检测)已知x2＋1x2＝x4＋1x4，则f(x)＝________.(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.考点三分段函数角度1分段函数的求值例2(1)已知函数f(x)2－x，x≥－1，log2（1－x），x<－1，则f(0)－f(－3)＝________.(2)设函数f(x)a x，x≥0，f x＋4a），x<0(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2023)＝________.角度2分段函数与方程例3(1)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)x2－4，x>2，|－3|＋a，x≤2.若f(f(6))＝3，则a＝________.(2)(2022·长沙质检)已知函数f(x)log2（3－x），x≤0，2x－1，x>0，若f(a－1)＝12a＝________.角度3分段函数与不等式例4(2021·合肥模拟)已知函数f(x)log2x，x>1，x2－1，x≤1，则f(x)<f(x＋1)的解集为()A.(－1，＋∞)B.(－1，1)C.－12，＋∞ D.－12，1训练2(1)函数f(x)e x－3，x<1，ln x，x≥1，则关于函数f(x)的说法不正确的是()A.定义域为RB.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点(2)(2021·郑州调研)已知函数f(x)2x－1，x>0，a x＋1，x≤0，若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为()A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]函数的值域求函数值域的一般方法：(1)单调性法；(2)不等式法；(3)配方法；(4)换元法；(5)数形结合法；(6)分离常数法；(7)导数法.一、单调性法例1已知a>0，设函数f(x)＝2023x＋1＋20222023x＋1＋2023x3(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为()A.2023B.2024C.4045D.4046二、不等式法主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数).例2设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________.配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的最值问题，可以考虑用配方法.例3已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.例4(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________；(2)函数y＝x－4－x2的值域为________.五、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法.例5对a，b∈R，记max{a，b}，a≥b，，a<b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________.六、分离常数法例6已知f(x)＝2x＋1x－3，求此函数的值域.例7已知f (x )＝2x －ln x ，求f (x )的值域.1.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图像.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2.下列所给图像是函数图像的个数为()A.1B.2C.3D.43.已知函数f (x )x ＋1，x ≤0，－log 2x ，x >0，则f (f (8))等于()A.－1B.－12C.12D.24.设函数x ，则f (x )的表达式为()A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1)C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1)5.已知函数f (x )x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为()A.－1B.1C.－1或1D.－1或－136.(2021·兰州质检)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是()A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]7.(2021·成都检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f (x )＝12×4x －3×2x ＋4(0<x <2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为()A.－12，B.{－1，0，1}C.{－1，0，1，2}D.{0，1，2}8.已知函数f (x )2＋x ，x ≥0，3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为()A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)9.函数f (x )＝＋1－x 2的定义域为________.10.(2022·西安质检)已知函数f(x)x2－2x＋1，x<0，x，x≥0，则满足f(a)>1的实数a的取值范围是________.11.已知函数f(x)满足1xf(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，________.12.具有性质：f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是________.①y＝x－1x；②y＝ln1－x1＋x；③y＝e1－xx；④f(x)，0<x<1，，x＝1，－1x，x>1.13.(2022·河南名校联考)已知函数f(x)＋x2，x≤0，，x>0，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是()A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(－1，4)D.(－∞，1)14.已知函数f(x)1－2a）x＋3a，x<1，x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________.15.若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列四个函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos(πx).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为________.16.已知函数f(x)＝x2.1＋x2(1)求f(2)与f(3)与(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f(3)求f(2)＋f(3)＋f(2022)＋f.。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
高考数学练习：第2章 第1讲 函数及其表示分层演练直击高考
1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2,＋∞) B ．(3,＋∞) C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C ． 2．已知函数f(x)＝x|x|,x ∈R,若f(x 0)＝4,则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x≥0时,f(x)＝x 2,f(x 0)＝4, 即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f(x)＝－x 2,f(x 0)＝4, 即－x 20＝4,无解． 所以x 0＝2,故选B ．3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f(f(3))＝( )A ．43 B ．23 C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f(3)＝1－log 23＝log 2 23＜0,所以f(f(3))＝f(log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43,故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x 2B ．f(x)＝－2x1＋x 2C ．f(x)＝2x 1＋x2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝(1＋t)2－(1－t)2(1＋t)2＋(1－t)2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C ．5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f(a)＝6,则a 等于( ) A ．－74B ．74 C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,所以f(t)＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f(a)＝4a －1＝6,即a ＝74.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f(a)＋f(1)＝0,则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f(1)＝2,所以f(a)＝－f(1)＝－2, 当a ＞0时,f(a)＝2a＝－2,无解； 当a≤0时,f(a)＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3. 综上,a ＝－3,选A ．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C ．8．若二次函数g(x)满足g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2xD ．g(x)＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法,设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),因为g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g(x)＝3x 2－2x.9．已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2,3],则y ＝f(2x －1)的定义域为( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3], 所以－1≤x＋1≤4.由－1≤2x－1≤4,得0≤x≤52,即y ＝f(2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52. 10．(2019·石家庄质量检测(一))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 11．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1,则f(f(x))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2,＋∞)B ．(－∞,1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B ．因为当x≥1时,f(x)＝x 3＋x≥2,当x ＜1时,f(x)＝2e x －1＜2,所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1,即2ex －1＜1,解得x ＜1－ln 2,所以f(f(x))＜2的解集为(－∞,1－ln 2),故选B ．12．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①,f(x)＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f(x),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f(x),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x),满足． 13．函数f(x),g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：215．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)16．已知函数f(x)满足对任意的x∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：∀x ∈R,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A ．对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x)，f(x)＞0，f 2(x)，f(x)≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A ．3．已知函数f(x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18,则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019的值为( )A ．0B ．504.5C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f(1－x)＝(1－x)3－32(1－x)2＋34(1－x)＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38,所以f(x)＋f(1－x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12,所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ．4．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x≤02|x －2|，0＜x≤4,对任意x∈D ,存在x 1,x 2∈D,使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2),则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D ,f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)知,f(x 1),f(x 2)分别为f(x)的最小值和最大值,由图可知|x 1－x 2|max ＝8,|x 1－x 2|min ＝1,所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0,f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。
05 第二章 第一节 函数及其表示
课时质量评价
考向2 分段函数与方程、不等式
【例3】(1)已知函数f (x)＝ቊ2x+x，1，x>x≤0，0.若f (a)＋f (1)＝0，则实数a的值等于(
)
√A．－3
B．－1
C．1
D．3
A 解析：f (1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，f (a)＝2a，由f
(a)＋f (1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，不满足题意，舍去；当a≤0时，f (a)
B．{x|1<x<3}
C．{x|x<－3}
D．{x|x>3，或－3<x<1}
个函数
对应关系
y＝f (x)，x∈A
三要素
定义域 值域
__x_的取值范围 与x的值相对应的y的值的集合___{_f_(_x_)|_x_∈__A_}_____
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数的表示方法 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__3_．
A．[－5，5]
√B．
－
1 2
，2
C．[－2，3]
D．
1 2
，2
B 解析：因为函数y=f (x)的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x－1≤3，解得－
12≤x≤2，所以函数y=f
(2x－1)的定义域是
－
1 2
，2
.故选B．
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
高职单招数学第二章第一节——函数及其表示
4.1 函数及其表示知识整合[基础知识]1.函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.[微点提醒]1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.[基础训练]1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( )A.98B.94C.92 D ．9 3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A.y ＝(x ＋1)2 B.y ＝33x ＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋14．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________.5．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －1，x >0，则 f (f (0))的值为________；方程 f (－x )＝1的解是________．重难点突破考点1.求函数的定义域1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(2x －1)的定义域为________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________.【变式训练】1．求下列函数的定义域：(1)y ＝12－|x |＋x 2－1； (2)y ＝3xx －2＋lg(3－x )；2．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015]4.若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0,2]5.函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1]考点2.求函数的解析式求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【例2】(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【变式训练】1.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．2.已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；3.定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝(x ＋1)，求f (x )的解析式．考点2.分段函数1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.命题点1 求分段函数的函数值【例3】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝－6，则实数a 的值为________，f (2)＝________.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝________.命题点2 分段函数与方程、不等式问题【例4】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．【变式训练】1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－132.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.113.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－34.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x，x <0，则f (f (－1))＝________.巩固练习一、选择题1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( )A ．(6，＋∞)B ．(－3,6)C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)2.函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞) 2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3.函数y ＝x －1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)4．函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，0] B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0 D.⎝⎛⎦⎤－12，0 5．函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)6．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(1,2)B ．(1，＋∞)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)7．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))等于( )A.43B.23 C ．－43D ．－3 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.10．函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．11．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________. 12. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4|x |，x <0，－2x ＋1，x ≥0，则f (f (0))＝________.。
2015届高考数学总复习 第二章 第一节函数及其表示课时精练试题 文(含解析)
第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1.函数f (x )＝log 3x的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f (f (－1))＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：B3．(2012·柳州检测) 已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1答案：B4．(2013·济宁模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a等于( )A.12B.45 C ．2 D ． 9解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.故选C.答案：C5. (2013·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ＞3，2x －3＋1，x ≤3，满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D.32或1解析：当a ＞3时，log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，于是f (a －5)＝f (2)＝2－1＋1＝32.当a ≤3时，2a －3＋1＝3，得a ＝4，不符合条件．故选C.答案：C6．(2013·南京盐城三模)记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：因为函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，所以A ＝{x |x ≤3}；因为函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，所以B ＝{x |x ＞1}．所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤3}． 答案：(1,3]7则f (f (2))＝．答案：1 1或38．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝__________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－tan π4＝f (－1)＝2(－1)3＝－2.答案：－29．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解析：(1)由流程图可知，当x ≥1时，y ＝y 21＝(x ＋2)2；当x ＜1时，y ＝y 2＋2＝x 2＋2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11，f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)．若x <1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍去)或x ＝－14.综上所述，x ＝2或x ＝－14.10．(2013·珠海模拟)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2.∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].。
第二章第一节《 函数及其表示》演练知能检测
一、选择题1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x与y ＝e ln xC ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－14解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1， f (1)＝21－2＝12. 4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.5．(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.5．(理)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6.6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足． 二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则函数f (3)＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝________.解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1， ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2 011. 答案：2 0119．(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．解析：由题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－20＝－1. 答案：－19．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1. 11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716x <12.。
第二章 第一节 函数及其表示
3.函数的表示方法 表示函数常用的方法有：_______、_______和_______. 列表法 图像法 解析法 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因_________不同而分别 对应关系 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值
考向 1 求函数的定义域
2 log5 1）的定义 （ 【典例1】(1)(2013·赣州模拟)函数 x f x 1 x 域是( )
(A)(0,1］ (B)［1,2) (C)(0,1) (D)(1,2)
（2）已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为 _______.
x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )
(A)75，25
(C)60,25
(B)75,16
(D)60,16
(2)(2013·唐山模拟）已知函数 则f(x)-f(-x)＞-1的解集为( （A）（-∞,-1）∪(1,+∞) （B）
x 1, 1 x＜0, f x x 1,0＜x 1, )
1 或f(-x)的解析式求f(x). f( ) x 通常用解方程组法，用 1 或(-x)替代x，构造方程，与原方程 x 构成方程组，解方程组可求f(x).
（3）已知关于f(x)与
【变式训练】（1）求下列函数的解析式：
①已知 求f(x); 2 f ( 1) lg x, x ②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 【解析】①令
得 2f x f x lg 1 x ， 2 1 由 f x lg x 1 lg 1 x . 3 得-1＜x＜1, 3 x 1＞0， 1 x＞0 2 1 f x lg x 1 lg 1 x 1＜x＜ . 1 3 3
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
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一、选择题
1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.
答案：C
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x
＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于(
) A.12 B.45
C ．2
D ．9
解析：∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a .
令4＋2a ＝4a ，得a ＝2.
答案：C
3．定义x ⊗y ＝x 3－y ，则h ⊗(h ⊗h )＝( )
A ．－h
B ．0
C ．h
D ．h 3
解析：由定义得h ⊗h ＝h 3－h ，h ⊗(h ⊗h )＝h ⊗(h 3－h )＝h 3－(h 3－h )＝h .
答案：C
4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝(
) A ．－13 B.13
C ．－23 D.23
解析：由函数的图象知f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝13.
答案：B
5．(2012·济南模拟)已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1
x 2，则f (3)＝( )
A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭
⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C
二、填空题
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.
答案：(－1,3)
7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．
解析：设点M (x ，y )在所求函数的图象上，点M ′(x ′，y ′)是M 关于直线x ＝2的对
称点，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝4－x ，y ′＝y ， 又y ′＝2x ′＋1，∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，
即g (x )＝9－2x .
答案：g (x )＝9－2x
三、解答题
8．若函数f (x )＝x ax ＋b
(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． 解：由f (2)＝1得
22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b
＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，
又因方程有唯一解，∴1－b a ＝0，
解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12
， ∴f (x )＝2x x ＋2
. 9．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝
3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．
解：当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，
∴g (x )＝3－12
＝1；
当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，
∴g(x)＝
6－1
2＝5 2；
当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，
∴g(x)＝
6－2
2＝2.
故g(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧1，(0<x<1)，
5
2，(1≤x<2)，
2，(x≥2).
其图象如图
10．如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
解：(1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．
(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．
(4)斜率表示票价．。