全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题及答案

全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题

1、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.

解:（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，

所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.

因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠，

所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.

（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，

22222222()2222()aS

l y a x y a ax x a ax a a x y

=++=+++=+=+=

.因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以

BD BO AB AC =

，即2r a l y =，故2al

r y

=.

所以2222

3222()4422a l a aS S a S

r y y y y ==⋅=⋅≥

，即r ≥

其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r .2、如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．

解法1：结论是DF EG =．下面给出证明．

因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽Rt △EAB ．于是可得

CD DF BE AB =⋅

．同理可得CE

EG AD AB

=⋅．又因为tan AD BE

ACB CD CE ∠==

，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得DF EG =．

解法2：结论是DF EG =．下面给出证明连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=°，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠．

又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠．所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．

3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．

解：存在满足条件的三角形．

当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．………………5分

如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以

D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形．

又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是

BD

CD

CD AD =

，即c

b a

a b +=

，所以

()c b b a +=2．

而264(45)=×+，所以此三角形满足题设条件，

故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．

若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2

．有如下三种情形：

（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2

，得()()()2

1121n n n +=−−，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；

（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2

，得()n n n 212⋅−=，

解得2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；

（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1−=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2

，得()()1212

−=+n n n ，即0132

=−−n n ，此方程无整数解．

所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．

4、△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数，且,a b 的最大公约数是2.

点G

和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90o

GIC ∠=，求△ABC 的周长.

解：如图，连结GA ，GB ，过G ，I 作直线交BC 、AC 于点E 、F ，作△ABC 的内切圆I ，切BC 边于点D 。记△ABC 的半周长为P ，内切圆半径为r ，BC ，AC 边上的高线长为,a b

h h

ABC S rp ∆==

∵r ∴=

易知：CD p c =−,在Rt CIE ∆中，2

r DE p c

=

−即()()

p a p b DE

p

−−=

∴()()()p a p b ab

CE CD DE p c p p

−−=+=−+=

又∵,CI EF CI ACB ⊥∠平分，所以CE ＝CF 由G EG FG FE ABC

AB B A C S S S S S ∆∆∆∆∆=+++　

得：ABC S 111))2323232a b ABC h h ab ab ab

S r

p p p

∆∆+×−×+×−×+×××＝（a （b 即ABC 2S 11()()32323ABC a b p b p a ab S h h rp p p p

∆∆−−+×××+×××+×＝a b 整理得

223p cp ab −=，即232(2)()

ab p cp p p c P a b =−=−=+设△ABC 的周长为m ，则62ab

m p a b

==

+为整数。由已知(,)2a b =，设2,2,(,)1,,a s b t s t s t ===且都是正整数，

代入上式，得12st

m

s t

=

+∵(,)1,(,)1s s t t s t +=+=，∴s t +是12的约数，即s t +＝1，2，3，4，6，12

不妨设s t ≥，则1s t （，）＝，得12351171,1,1,1,1,5

689101135s s s s s s t t t t t t m m m m m m ======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

======⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪======⎩⎩⎩⎩⎩⎩经检验，只有7

535s t m =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

符合题意，