高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc

数列求和例题精讲

1． 公式法求和

（1）等差数列前 n 项和公式

S n n(a 1 a n )

n(a k 1

a n k )

n( n 1)

d

2

2

na 1

2

（2）等比数列前 n 项和公式

q 1 时 S n na 1

q 1 时 S n

a 1 (1 q n ) a 1 a n q

1 q 1 q

（3）前 n 个正整数的和

1 2 3

n(n 1)

n

2

前 n 个正整数的平方和

12

22 32

n 2

n(n

1)(2n 1)

6 前 n 个正整数的立方和

13

23 33 n 3

[ n(n

1) ] 2

（ 1）弄准求和项数 n 的值； 2

公式法求和注意事项

（ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。

例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和

例 2．求和 1 x x 2

x n 2 ( n 2, x

0 )

2．分组法求和

例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。

5n 1 (n为奇数 )

例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。

( 2) n (n为偶数 )

3．并项法求和

例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。

例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。

4．错位相减法求和

若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项

b n 的公比。

和，可由S n qS n求 S n，其中q

为

例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。

5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例 8．求和

1 1 1 1

。

1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)

例 9．求和

1 1 1 1

2 1

3 2 23 。

n 1n

［练习］

1 1 1

1

1 2 3 2 3 n

1 2 1

a n S n 2

1

n 1

6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S n a 1 a 2

a

n 1

a

n

S n a n

a

n 1

a 2 a 1

2S n a 1 a n

a 2

a

n 1

a 1

a n

［

练

习

］

已知 f ( x)

x

2

，则 f (1) f ( 2) f 1 f (3) f

1 f (4) f

1

1 x 2

2

3

4

1 2

x 2

x 2

f ( x)

f

1

x

1 1

x

1 x

2

1 2

1 x

2

1 x

2

1

x

∴原式 f (1)

f (2) 1

f (3)

f

1

1

f

f (4)

f

2

3

4

1 1 1 1 3 1

2

2

专题训练

数列求和练习

1 、 数 列 { a n } 的 通 项 a n

1

， 则 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为

1

2 3 n (

)

A ．

2n

B ．

2n

C ．

n

2 D ．

n

2n 1

n 1

n 1

2n 1

2 、 数 列 11,21,31,4 1

,

的 前 n

项和可能为

2 4

8 16

(

)

A ． 1

(n

2

n 2)

1

B ． 1

(n 2

n) 1 1

2 2n

2

2n 1

C ． 1 2

n 2)

1

D ． 1 ( n 2

n) 2(1

1

) (n 2 n

2

n

2

2

3 、 已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 S n

2n

1 ， 则 a 1

2 a 22

a n 2 等 于

(

)

A ． (2

n

1)

2

B ． 1

(2

n

1)

C ． 4

n

1

D ． 1

( 4n 1)

3

3