大学物理 第二章 薛定谔方程
薛定谔公式方程
薛定谔公式方程
薛定谔公式是量子力学中的一条重要方程，描述了微观粒子的波动性质。
它的形式如下：
iħ ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ
其中，ħ代表约化的普朗克常数，i代表虚数单位，∂Ψ/∂t表示波函数Ψ对时间的偏导数，∇²Ψ表示波函数Ψ的拉普拉斯算子，m代表粒子的质量，V表示势能。
这个方程的意义在于描述了微观粒子的量子态随时间的演化规律。
它由两部分组成：动能项-ħ²/2m ∇²Ψ和势能项VΨ。
动能项-ħ²/2m ∇²Ψ描述了微观粒子波函数Ψ的空间变化对其动能的影响。
负号表示了粒子的波函数Ψ在动能项中是负相干的，也就是说波函数Ψ在此区域传播的波动性质。
ħ²/2m表示了波动性和粒子质量之间的关系，质量越大，波动性越小。
势能项VΨ描述了微观粒子波函数Ψ在势场中的行为。
势能项的形式取决于具体的势场，比如自由空间中没有势能项，而在外部场中，势能项可以描述粒子对外部场的响应。
整个方程描述了量子粒子的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在不同的时间点的波函数分布，从而描绘了粒子在空间中运动的概率分布。
当然，在具体的情况下，薛定谔公式还需要结合边界条件和初
值条件来解决。
这些条件可以通过实验数据或者物理假设来确定，从而得到粒子的具体运动规律。
总的来说，薛定谔公式是量子力学中描述微观粒子波动性质的重要方程。
它描绘了波函数随时间的演变规律，通过求解可以得到粒子在空间中的概率分布。
这对于研究微观粒子的行为有着重要的意义。
【大学物理】第二讲 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
大学物理-第二章-薛定谔方程
的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
3.第二章薛定谔方程
i − Et h
令：
h2 2 ∇ ψ ( x, y, z) + U( x, y, z)ψ ( x, y, z) = Eψ ( x, y, z) 得：− 2m 2 h 2 定态薛定谔方程： 即定态薛定谔方程： − ∇ ψ + Uψ = Eψ 2m
解出定态波函数 后可得总波函数 总波函数为 解出定态波函数 ψ ( x, y, z)后可得总波函数为：
薛定谔方程（ 学时 学时） 第二章 薛定谔方程（4学时）
(Schrödinger Equation)
§2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子
§2.1 薛定谔得出的波动方程
(Wave equation of Schrödinger ) 一、波函数
i − ( Et − px) h
p2 Ψ ∂2 =− 2Ψ 2 h ∂x
（1） ） （2） ）
i ∂Ψ = − EΨ h ∂t
Ψ p2 ∂Ψ ∂2 ∂Ψ h = 代入(1)式 代入 式 由(2)式可得Ψ = − 式可得 2 iEh ∂t ∂x ∂t iE
p h ∂Ψ ∂Ψ 由 E= = ih 可得薛定谔方程 可得薛定谔方程 − 2 2m 2m ∂x ∂t
r 的概率解释, 由于波函数 ψ (r , t )的概率解释 粒子在整个空间出 现的概率为1， 应该满足波函数的归一化条件 波函数的归一化条件： 现的概率为 ，所以ψ 应该满足波函数的归一化条件：
r 是未归一化的波函数， 已知 ϕ(r , t ) 是未归一化的波函数，则令 ψ = Aφ， ，
它们描述同一个状态，有 它们描述同一个状态，
问题的提出： 问题的提出：
德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲De 德拜 问他的学生薛定谔能不能讲一讲 Broglie的 问他的学生薛定谔能不能讲一讲 的 那篇学位论文呢？ 那篇学位论文呢？ 一月以后： 一月以后：薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 介绍了德布罗意的论文。
大学物理-薛定谔方程
1.势能
若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能
零点， 则一维线性谐振子的势能可以表示为：
U( x) 1 kx2 1 m 2 x2
2
2
m — 粒子的质量 k — 谐振子劲度系数
谐振子的角频率 k
m
2. 谐振子的定态薛定谔方程
由
d2
d x2
2m 2
[E
U
(
x)]
0
和 U(x) 1 m2x2
2
“有限”要求 D = 0，
2 C ek2x
E
（E U ,是衰减解）
U (x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！ 按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
n 所以有 o Asin a x,
n e Acos a x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
称为定态薛定谔方程。
对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（2）式，再乘上（1）式
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
薛定谔方程
薛定谔方程
奥地利著名物理学家埃尔温·薛定谔是著名的量子力学奠基者之一，前两年，他因为“薛定谔的猫”大火了一把。
但必须说明的是，首先薛定谔不姓薛，他是奥地利物理学家，其次“薛定谔的猫”说的也不是猫的事。
事实上，压根儿就没有这么一只“猫”，这里的猫是代指，指的是一个理论实验。
好了，下面我们来说说正题——薛定谔方程。
薛定谔方程是薛定谔于1926年提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动。
每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
这样的解释同学们能接受吗？接受不了就先了解一下吧！总而言之，薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式之一。
意义：薛定谔方程在量子力学中的意义与牛顿第二定律在经典力学中的意义一样，它揭示了微观物理世界物质运动的基本規律。
由于对量子力学做出了杰出贡献，薛定谔获得了1933年诺贝尔物理学奖。
知识点：什么是薛定谔的猫？
相比薛定谔和薛定谔方程，可能同学们更熟悉“薛定谔的猫”，可大家真的知道“薛定谔的猫”指的是什么吗？
“薛定谔的猫”的官方称呼应该是——薛定谔猫佯谬，是薛定谔为了反驳哥本哈根学派（一个科学流派）的一种科学理论而设计的一个理论实验。
也就是说，“薛定谔的猫”是理论上的，这个实验实际上没有完成，所以也不存在这只猫。
第二章 薛定谔方程 习题知识讲解
第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t r可以写作，Et i r t rex p )(),(于是便有，Et i r t rex p )(),(**根据概率流密度的定义式(2.4-4)有，t iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2****** 即有，)(2)(2**** mi m i J显然，在定态中概率流密度与时间无关。
从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。
2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(11ikr r，⑵ )exp(12ikr r。
从所得结果说明1 表示向外传播的球面波，2 表示向内(即向原点)传播的球面波。
解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1 的概率流密度r ikrikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111可见，概率流密度1J 与r 同号，这便意味着1J的指向是向外的，即1 表示向外传播的球面波。
⑵ 同理，可以得到2 的概率流密度r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike r e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22222*2*222这里的负号，即为概率流密度2J 与r的符号相反，意味着概率流密度2J 的指向是向内的，即波函数2 表示向内传播的球面波。
第二章薛定谔方程
第二章薛定谔方程本章介绍：本章将系统介绍波动力学。
波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。
薛定谔方程是波动力学的核心。
在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。
§2.1 波函数的统计解释§2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。
怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。
b5E2RGbCAP2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。
如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。
p1EanqFDPw能否认为粒子是由波组成？比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾DXDiTa9E3d经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系：◆一类是实物粒子◆另一类是相互作用场<波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。
粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。
RTCrpUDGiT经典波动则是以场量<振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。
薛定谔方程μ
薛定谔方程μ1. 薛定谔方程的基本原理薛定谔方程描述的是微观粒子的波函数随时间和空间的演化规律。
在经典力学中，描述粒子运动的是牛顿第二定律，即F=ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。
而在量子力学中，由于粒子具有波粒二象性，其运动的描述需要借助波函数。
波函数Ψ(x,t)是一个复数函数，描述了粒子在空间的分布和运动状态。
薛定谔方程的基本原理可以用量子力学的双缝实验来解释。
在双缝实验中，一束光通过两个狭缝后形成干涉条纹，表现出波动性。
而当实验重复，只有一个光子通过时，同样会出现干涉条纹，说明光子也具有波动性。
波函数Ψ描述了粒子的波动性质，根据薛定谔方程，波函数的演化规律可以用来描述粒子的运动和行为。
2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约简形式，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
哈密顿算符是描述系统总能量的算符，在不同的系统中可以具有不同的形式。
薛定谔方程的解可以用来确定波函数Ψ随时间和空间的变化。
在实际应用中，可以通过解薛定谔方程来研究原子、分子、凝聚态物质等微观粒子的性质和行为。
薛定谔方程的数学形式提供了量子力学描述微观世界的基本工具，是理解量子力学的重要途径。
3. 薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间和空间的演化规律，具有深刻的物理意义。
在量子力学的框架下，粒子的位置、动量等物理量都可以用波函数Ψ来描述，通过解薛定谔方程可以确定这些物理量的演化规律。
薛定谔方程的物理意义在于揭示了微观粒子的波粒二象性和量子统计规律。
根据薛定谔方程，波函数Ψ在时间演化过程中会发生干涉和叠加，波函数的模长的平方|Ψ|²表示了粒子出现在不同位置的概率分布。
这种概率性描述不仅解释了微观粒子的行为特性，还为量子力学的统计解释提供了基础。
4. 薛定谔方程的应用薛定谔方程在物理学中有着广泛的应用，可以用来解释原子、分子、凝聚态物质等微观粒子的性质和行为。
2-薛定谔方程
二、薛定鄂方程的性质与求解方法对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。
体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：ˆiH t∂ψ=ψ∂ 其中哈密顿算苻（能量算苻）222ˆˆ22p H V V m m=+=-∇+ 2222222x y z∂∂∂∇=++∂∂∂（直角系）2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（球坐标系）薛定鄂方程的性质与特点：1. 方程是线性的，满足态叠加原理，如果1ψ和2ψ都是方程的解，那么它们的线性叠加21ψ+ψb a 也是方程的解。
2. 方程是非相对论的，时间t 和坐标xyz 地位不等价，t 是作为一个参数，而坐标是算符。
3. 如果定义几率流密度()ψ∇ψ-ψ∇ψ=**2mi J 可以得到连续性方程0J =⋅∇+∂ψ∂t2这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。
4.波函数的归一化性质不随时间改变。
（这一点非常关键，如果波函数在0t时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂=方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）5. 如果两个波函数ψ1和ψ2在0t时刻是正交的，则在以后任意时=刻也是正交的。
求解薛定鄂方程的一般方法：如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分离变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）ˆH E ψ=ψ 由此解出一组能量本征函数{}n ψ和能量本征值{}n E ，能量本征函数组成正交归一系。
*mn mn d ψψτ=δ⎰ 分立谱*'(')d λλψψτ=δλ-λ⎰ 连续谱分立谱是物理上可实现的态，而连续谱不是，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
定态解为/(,)()n iE t n ne -ψ=ψr tr 薛定鄂方程的一般解为)/ex p()(),( t iE c n n n -=ψ∑r t r nψ （分立谱）dE iEt c E E )/exp(),( -=ψ⎰ψt r （连续谱）叠加系数由t=0时刻的初始条件定。
F(二章4讲)薛定谔方程
(1)+(2)
2 2 p2 E i 0 2 t 2
2 2 得方程：i p r , t p r , t t 2
(3)
根据态叠加原理：一般性的波函数可展开到平面波基函数上
两周后……
Dear Debye，I find one…
--薛定谔
但是，我不明白，为什么要用“i”去操作才行
方程的建立：
对于自由粒子平面单色波
Ae
i ( p r Et )/
p r, t ~ e
i E (1) t
i k r t
Ae
这就是薛定谔方程，简称波动方程
(2)
对于多粒子体系，其能量为：
pi 2 E U r1 , r2 ,..., rN i 2i
一样可求得对应的薛定谔方程：
2 i (r1 , r2 ,..., rn , t ) ( i 2 U ) (r1 , r2 ,..., rn , t ) t i 2i
2 2 ˆ＝E i ( U (r )) H t 2
薛定谔竟然发现了波函数的一个具有决定性意义的用途！
（2）薛定谔方程含有守恒定律
粒子的空间几率密度及其变化率
进一步计算变化率
计算细节：
这是某个矢量的散度
定义这个矢量 ：
1 * * ˆ ˆ p p 2
r, t
c p e 2
3/2
1
i pr Et / 3
d p
对它求微商，一样可以得到：
i 1 i pr Et / 3 c p E e d p 3/2 t 2
大学物理 第二章 薛定谔方程(1)
pˆ
r
r
____坐标算符
i____动量算符
Eˆ i t Lrp
——称为能量算符 ____角动量算符
i
[
2
2 U(r , t)]
一般的薛定谔方程
t 2m
2 2 2 2 拉普拉斯算符
x 2 y 2 z 2
2
x
2
)
0
E.n
(n
1 )
2
(n 1)h
2
n 0,1,2,3,
“零点能量”
E0
1 2
h
——完全静止的粒子是不存在的！
例2.4
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2mE k2
2m dx2
2
d 2( x) k 2( x) 0 dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
U(x)=0
0
ax
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
(0) (a) 0 Asin 0 0;
Asin ka 0
n 得：( x) Asin a x n ( x)
k n a
n 1,2,3,称为量子数（quantum number）
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
薛定谔方程
3
Hˆ E (r ) E E (r ),
所以它也就是能量本征方程，而波函数 E (r ) 也就是能量值为 E 的能量本征函数。
可以证明：在定态（也就是波函数具有 (r ,t) ei Et / (r ) 的形式）时，体系的各种力学性质都
不随时间而改变，这是“定态”这个名词的本来含义。
2.2.5 非定态 Schrödinger 方程的一般解 必须注意，定态波函数只是含时间的 Schrödinger 方程的特解，而 Schrödinger 方程的一般解是定态 波函数的线性组合，即
.
G(r , t; r, t) 称为自由粒子的传播子(propagator)，因为在 r, t 点的波函数借助于 G(r , t; r, t) 对 r , t 点
的波函数做出贡献。不难发现， G(r , t; r, t) 满足对于变量 (r , t) 的自由粒子 Schrödinger 方程
以及初始条件
*2.2.3 初值问题 自由粒子的传播子
对于时间变量而言，Schrödinger 方程是一阶微分方程，所以只要给定初始时刻( t 0 )的波函数，以
大学物理 薛定谔方程
的概率。
解：概率密度为:
n ( x)
2
2 a
sin2 ( nx ),
a
n 1,2,3,
粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒
子的概率:
a/3 0
n ( x) 2 dx
a/3 0
2 sin2( 3x )dx,
a
a
1 a/3
6x
1
a 6x a
(1 cos )dx ( x sin ) 3
U ( x ) = ∞ x < 0 （Ⅰ区 ） U
U ( x ) = 0 0≤ x ≤ a （Ⅱ区） U ( x ) = U0 x > a （Ⅲ区） Uo
x < 0 区域∵U (x) = ∞
Ｅ
0 < x < a 区域∵ U (x) = 0 0
令
ax
x > a 区域∵ U (x) =U0
持恒定，针尖在垂直于样品
原理：
方向的变化，就反映出样品
利用电子的隧道效应。 表面情况。
（扫描隧道显微镜）
STM的横向分辨率已达 0.1n，m 纵向分辨达 0.,01nm STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。
U U0 势
垒
Oa
隧道效应
3.越过势垒的概率与下式成正比：
扫描隧道显微镜(STM)
金属样品外表面有一层电
子云，电子云的密度随着与
表面距离的增大呈指数形式
衰减，将原子线度的极细的
金属探针靠近样品，并在它
们之间加上微小的电压，其
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n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
称为量子数（quantum number） n 1,2,3,
i [ ] 2 t 2m x
2 2
定态薛定谔方程 在稳定的外力场中，微观粒子的势能U与时间t无关，即： U= U(x)
2 2 2 ( x ) ˆ U ( x )]( x ) E( x ) H 2 U 2m 2m x 2
ˆ ( x ) E( x ) H——哈密顿算 Nhomakorabea本征方程
（能量本征方程）
其一维的势能图如下图所示，
其形状与陷阱相似，故称为势阱。 质子在原子核中的势能曲线也是势阱. 为了计算简化，提出了一个理想的势阱模型 ——无限深势阱
§2.2 一维无限深方势阱中的粒子
0 （0＜x＜a) 势函数 U ( x) （ x ≤ 0 或x ≥a)
n 1 时，在
a 3a 当 n 2 时，在 x 和 x 4 4 的概率最大
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）： 由： k
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
2 2 2 2 h2 p 2 E n n Ek 2ma 2 8ma 2 2m
2mE n 2 a
能级图为
n4
E4 16E1
n3
n1
E3 9E1
E2 4E1 E1
h2 En n2 8ma 2
n2
n 1,2,3,
讨论：
a 0 粒子的能量不能连续取值，只能取分立值
讨论：
粒子的能量不能连续取值，只能取分立值 粒子的最小能量不能等于零
h2 En n2 8ma 2
粒子的最小能量状态称为基态 最小能量——零点能
h2 En n2 8ma 2
粒子能量趋于连续分布
n 1,2,3,
3) 在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况： a. 当量子数n足够大时： n 1
b. 当m或a足够大时，同样得到上述结论 当 n 能量的量子 化效应就不显著，可认为能 量是连续，
2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 2 x y z 2
2 ˆ H 2 U 2m
哈密顿算符
上述方程简写
说明 1）薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类 似于经典力学中的牛顿定律； 薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
ˆ i H t
Erwin Schrö dinger
2 i [ U ( r , t )] ——一般形式的薛定谔方程 t 2m
2
2 2 2 x 2 y 2 z 2 2
用“算符”代表物理量、 用求“特征值”的办法 求物理量的具体取值。 ——这是量子力学中处 理问题的基本数学手段。
§ 2.3
U ( x)
E U0 :
势垒穿透
U
U0
方势垒
U0
(0 x a )
( x 0，x a)
0
E
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
经典理论或量子力学，粒子都 可以穿过区域Ⅱ进入区域Ⅲ。
E U0 :
o
a
x
从经典理论看，由于粒子动能必须为正值， 所以不可能进入区域Ⅱ和区域Ⅲ。
但从量子力学分析，粒子仍可以穿过区域Ⅱ进入 区域Ⅲ。
（ 0＜ x＜ a)
（ x ≤ 0 或x ≥a)
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
2 n n ( x) sin x a a
n=1 n=2 n=3
2 2 n n ( x ) sin x a a
2
a
当
a
a x 2
处粒子出现的概率最大 处粒子出现
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
2 n 0 A2 sin2 a xdx 1 A a 2 n n ( x) sin x a a
( x ) dx 1
2
2 n sin x n ( x) a a 0 其中： n 1,2,3,
此结果的物理意义： 1) 势阱中的粒子在各处的概率密度 在0＜x＜a的区域：
§ 2.1 薛定谔得出的波动方程
一、薛定谔方程（Schrö dinger’s equation） 1926年薛定谔提出 “波动力学”理 论 其核心内容: 物质波的波动方程
——称为薛定谔方程
（适用于低速运动粒子的情况） 一个质量为m的微观粒子在外场中
沿x轴方向运动时，其势能U=U(x,t),这
时波动方程为：
U
U0
E
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
2 d 2 ( x) U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 在区域Ⅰ: ( x 0)
设波函数为 1 ( x) 薛定谔方程
在区域Ⅲ: ( x a) 设
a 在区域Ⅱ: (0 x a) 设 2 ( x) 2 2 d 2 U 0 2 E 2 2 2m dx
( x) 0
2 d 2 ( x ) 2 mE E( x ) k 2 2 2m dx 2
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： 势阱内（0＜x＜a) ：
( x) 0
U(x)=0
a x
d 2 ( x ) k 2 ( x ) 0 dx 2
U(x)=0
x
a 0 按照经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意 的有限值，粒子在宽度为 a 的势阱内各处的概率是相等的。 但从量子力学来看，这些问题又是什么样的情况呢？ 由于势能与时间无关，所以只需解一维定态薛定谔方程
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
2
n=1 n=2 n=3
——各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波
a
a
h2 En n2 8ma 2
2
n 1,2,3,
h 2a ——波长量子化 pn pn 2mEn n p n En n 2m
无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于
德布罗意波的一个特定波长的驻波。
ˆ ——称为能量算符 E i t ____角动量算符 Lrp
r r ____坐标算符 ˆ i____动量算符 p
量子力学用“算符”代表物理量
2 2 i [ U ( r , t )] 一般的薛定谔方程 t 2m
2 2 ( x ) U ( x )]( x ) E( x ) 2m x 2
势阱外：（x ≤ 0 或x ≥a）
0
U(x)=0
a
d ( x ) ( x ) E ( x ) 2m dx 2
2 2
x
对于E为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有 势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2 3 E 3 2 2m dx
o
x
d 1 E 1 2 2m dx
2 2
3 ( x)
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
1 Aeik x Ae ik x
1 1
2 Be
k2 x
3 Ce
ik1 x
在粒子总能量低于
势垒壁高 ( E U 0 ) 的情况下 粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
“隧道效应”
2 2 i [ U ( r , t )] t 2m
2)
ˆ i H t
由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理 （量子力学第一原理） 设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2