考研数学三必背知识点：线性代数

线性代数必考知识点

一、行列式

1、逆序数

一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质

(1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A

(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。

(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。

(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。

(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理

(1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式

33211232231131221332211331231233221133

32

3123222113

1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵

1、矩阵运算

(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。

(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。

(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式

(1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置

(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A

4、伴随矩阵

(1) *1*****11*2

****1*)(,)(,)()(,)(,,A k kA A B AB A A A A

A E A A A AA A A A n n

(2) 1

)(0)(1)(1)()()(*** n A r A r n A r A r n

A r n A r

5、逆矩阵 (1) 1111*1

11111*1)(,1)(,,)(,,1

A B AB A A

A A A A A E A A AA A A A (2) 分块矩阵的逆矩阵

① 1

11

A O A O O

B O

B （主对角分块）② 1

11O A O B B O A

O

（副对角分块） ③ 1

1111A C A A CB O B O

B

（拉普拉斯）④ 1

1111A O A O C B B CA B

（拉普拉斯） 6、矩阵初等变换

(1) 交换矩阵两行或两列 (2) 矩阵某行或某列乘以k

(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵 7、矩阵其他考点

(1) 行列矩阵相乘： 为行矩阵),,(21n a a a ， 为列矩阵),,(21n b b b ， 则 1)()()()())(()( k k

(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有 AP P 1，于是1 P P A n n (3) 若n B r m A r )(,)(，则有m A r B A r )()(且n B r B A r )()(

三、向量

1、向量运算： k k k )(),()(,

2、线性表示

对于向量组s ,,21和向量 ，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k 2211 (1) 若s s k k k 2211有唯一解，则 能由向量组s ,,21唯一线性表示。 (2) 若s s k k k 2211有无穷解，则 能由向量组s ,,21不唯一线性表示。 (3) 若s s k k k 2211无解，则 不能由向量组s ,,21线性表示。

3、线性相关性

(1) 方程02211 s s k k k 中有021 s k k k 时线性相关，不全为零则线性无关。 (2) 一组向量线性无关，则在每个向量相同位置添加分量后仍然线性无关。 (3) 一组向量线性相关，则减少其中某些分量后仍然线性无关。

(4) 设有m 个n 维列向量组),,(21m A ，m A r )(时线性无关，m A r )(时线性相关。 (5) 设有n 个n 维列向量组),,(21m A ，0 A 时时线性无关，0 A 时线性相关。

4、向量内积：向量的对应元素之积（常数），即 n n T n T n b a b a b a b b a a 221111,),(,),(

5、施密特正交化（三阶向量组）

一线性无关向量组321,, 所对应的正交向量组321,, 为：

222231111333111122211)

,(),(),(),(,),()

,(,

四、线性方程组

1、克莱姆法则

方程组n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

22112

22221211

1212111中，系数行列式021222

21112

11 nn

n n n

n a a a a a a a a a D

时，方程有唯一解，且 D

D x D D

x D D x n n

,,2211，其中j D 是将行列式D 中第j 列元素用n b b b ,,21来代替 (1) 当021 n b b b 时，对应方程组称为n 元齐次线性方程组。

(2) 克莱姆法则只适用于方程个数和未知量个数相等的线性方程组，若0 D 时法则失效。 2、齐次线性方程组0 Ax

(1) 0 Ax 一定有解，当n r A r )(（即0 A ）时有非零解，当n A r )(（即0 A ）时仅有零解。 (2) 0 Ax 的基础解系不是唯一的，且基础解系中所含向量个数r n k (3) 若21, 为0 Ax 的解，则2211 k k 为0 Ax 的解，其中21,k k 为常数 (4) 若0 Ax 和0 Bx 同解)()(B r A r

(5) 若0 Ax 和0 Bx 有公共解，则两方程组联立的新方程组0 Cx 有非零解，即0 C 3、非齐次线性方程组b Ax

(1) n

b A r A r b Ax n b A r A r b Ax b A r A r b Ax )()()()()

()( 有无穷解有唯一解无解

(2) 若21, 为b Ax 的解，则21 为0 Ax 的解

(3) 若 为b Ax 的解，且 为对应0 Ax 的解，则 为b Ax 的解 (4) 若* 为b Ax 的特解，且 为对应0 Ax 的通解，则* 为b Ax 的通解

(5) 若r A r )(，则0 Ax 有r n k 1个线性无关解，且b Ax 有12 r n k 个线性无关解。 (6) 若1b Ax 和2b Bx 同解)()(21b B r b A r

五、特征值与特征向量

1、基本定义

(1) 特征值和特征向量：对于n 阶方阵A ，有非零向量x 使得x Ax 成立，则 为特征值，对应的x 为特征向量 (2) 特征方程和特征多项式：求特征值时0 A E 为特征方程，而A E 为特征多项式。 2、特征值的性质

(1) n A 21 n nn a a a A tr 212211)(

(2) 不同特征值对应的特征向量 特征向量线性无关

(3) 一个特征值可能对应多个特征向量，一个特征向量有且仅有一个对应特征值 (4) 若i 为k 重特征值（k 重根）i 对应的线性无关特征向量个数k

(5) 若n 阶矩阵有n 个线性无关特征向量 每个特征值重根数 对应线性无关特征向量个数 3、相似矩阵

(1) 定义：若B AP P 1，则A 与B 相似。