高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案
《平均变化率》教案及教案说明
平均变化率江苏省南京外国语学校严青一、教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书（选修2—2）·数学》第1章。
二、地位和作用：《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
通过本章的学习，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），从而进一步发展学生的数学思维能力。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
三、教学目标✧通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；✧理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；✧感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。
四、教学重点平均变化率概念教学难点平均变化率概念的形成过程五、教学方法与教学手段✧启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性。
教师在教学中应遵循五“W”原则（who，what，why，when，how），尤其要关注其中的三个原则,即“谁在学？为什么要学？怎么学？”✧利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。
函数的平均变化率
(或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且
x0+△x≠0).
1 解：函数 y x 的平均变化率为
1 1 f ( x0 x) f ( x0 ) x0 x x0 1 x x ( x0 x) x0
练习题 1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到 x0+△x时，函数的改变量为（ D ）
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或 [x0+△x，x0])的平均变化率。
进一步理解： 1.式子中△x 、△y的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △y 的值可以为0； 2.若函数f (x)为常函数时， △y=0； 3. 变式: f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
移与水平位移之比
y 的绝对值 现在摆在我们面前的问题是：山路是 弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭 程度呢？
一个很自然的想法是将弯曲的山路分 成许多小段，每一小段的山坡可视为平直 的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE， 再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段 山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。
2 x0 x
思考 由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 均变化率也不一样。
例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。
1 例2．求函数 y x 在区间[x0，x0+△x]
由此我们引出函数平均变化率的概念。
函数平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 函数的平均变化率教案 新人教B版2新人教B版数学教案
函数的平均变化率3. 做、议讲、评（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf--表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12xxx-=∆,)()(12xfxff-=∆(这里x∆看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x∆代替x2,同样)()(12xfxfyf-=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xfxyxx fxx fxxx fx f∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f(x)的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(xxxfxf--表示什么?学生在笔记本上计算学生在黑板上计算计算时互相交流适当引入讨论通过具体实例做题，加深对变化率公式的记忆和计算。
印象深刻。
计算时，适当引入讨论，让更多的学生参与其中。
学生进一步讨论，上黑板计算，小组讨论计算步骤，得出最佳书写格式。
10分钟。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版
湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.3 导数的几何意义导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.3 导数的几何意义导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1。
3 导数的几何意义【学习目标】1、了解导函数的概念；理解导数的几何意义。
2、会求导函数。
3、根椐导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.重点难点重点：利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程。
易混点：准确理解在某点处与过某点的切线方程。
【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P6—9内容.并完成书本上练习题及导学案上的问题导学。
2。
独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。
【问题导学】1．导数的几何意义(1）切线：如图,当点(,())(1,2,3,4)P x f x n 沿着曲线f（x)趋近于点P（x0，f（x0））时，n n n割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，显然割线PP n的斜率k n 趋当无限趋近于点P时,k n无限趋近于切线PT的斜率。
(2）几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x)在点P(x0,f(x0)）处的切线的，也就是曲线y=f（x）在点P（x0,f(x0））处的切线斜率k= = , 相应地，切线方程为。
2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率学案新人教B版选修
1. 1.1 函数的平均变化率【明目标、知重点】1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.填要点•记疑点1 •函数的平均变化率已知函数y = f(x), x o, X1是其定义域内不同的两点，记△ x = X1 —x o, △ y = y1 —y o= f(x"「亠f X o+△ x —f x o △ y—f (x o) = f (x o + △ x) —f (x o)，则当△ x^0 时，商^x =^x叫做函数y=f ( x)在x o到X o+ △ x(或［X o+ △ x, x o］)之间的平均变化率.X2 —f X1X2—X1 表示函数y=f(x)图象上过两点(X1, f(xd) ,(X2, f(X2))的割线的斜2 •函数y=f(x)的平均变化率的几何意义率.探要点•究所然［情境导学］某市2013年5月30日最高气温是33.4 C,而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4 C和18.6 C,短短两天时间，气温“陡增”14.8 C,闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2o13年4月28日最高气温3. 5C和5月28日最高气温18.6 C进行比较，可以发现二者温差为15.1 C，甚至超过了14.8 C,而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.(3)得平均变化率f X2 —f X iX2 —X i如用比值M近似量化B C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在［X B, X C］上的平均变化率.思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y = f (x)表示，那么问题中的变化率可用式子化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.思考3平均变化率有什么几何意义？答设A(X I, f(X i)) , B(X2, f(X2))是曲线y = f (X)上任意不同的两点，函数y = f (X)的平均X i, X2是定义域内不同的两点，因此△ x丰0,但△ x可正也可负；△ y = f(X2)—f (X i)是相应△ X = X2—X i的改变量，△ y的值可正可负，也可为零.因此，平均变化率可正可负，也可为零.例i某婴儿从出生到第i2个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6 个月到第i2个月该婴儿体重的平均变化率.解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为从第6个月到第i2个月，婴儿体重平均变化率为反思与感悟求平均变化率的主要步骤:(i)先计算函数值的改变量△ y= f (X2) —f (x i).⑵再计算自变量的改变量△ X= X2 —X i.f X2 —f X iX2—X i 表示，我们把这个式子称为函数y= f(x)从X i到X2的平均变化率，平均变X2 —f X iX2—X i为割线AB的斜率.6.5 —3.53 —0 =i(千克/月)ii—8.6 i2—6 2.46=0.4(千克/月).X i+ △ X —f X i£ + △ x⑷函数f(x)在［1,1.001］上的平均变化率为f 13 —f 1 侦宀12= 2.001.1.001 —10.001反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量△ x取值越小，越能准确体现函数的变化情况.跟踪训练2 求函数y = x2在x = 1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大?解在x=1附近的平均变化率为1+ △x△x2一12 + △在x=2附近的平均变化率为2探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x) = x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3] ；(2)[1,2] ; (3)[1,1.1] ; (4)[1,1.001]解(1)函数f (x)在［1,3］上的平均变化率为f —fl 32—12厂=4；⑵函数f(x)在［1,2］上的平均变化率为fl—fl 22—12厂=3；⑶函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为f —f 1.12—12---------------------- -- = ------------ =2 1 -1.1 —1 0.1跟踪训练1如图是函数y=f(x)的图象，则:(1)函数f(x)在⑵函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为1 3答案⑴2 (2) 4解析(1)函数f (x)在区间［—1,1］上的平均变化率为2 2' (2)由函数f(x)的图象知,x + 3,—1W x W1f(x) = 2x+ 1, 1<x <3所以函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为f ' —f °33 —2 3~2~ = 4.在x=3附近的平均变化率为^~^2 = 6+A x；△x对任意A x有，k i<k2<k3,•••在x= 3附近的平均变化率最大.思考一次函数y= kx + b(k^0)在区间［m n］上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k,即一次函数的平均变化率是定值.探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s i(t) , S2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解由图象可知S1 ( t 0)= S2(t 0), S l(0)> S2(0),£ + △ xS2 t 0 —S2<t 0所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.反思与感悟平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？10 10 1 一2 一解甲赚钱的平均速度为丙2 =矿6(万元/月)，乙赚钱的平均速度为5(万元/月)- 因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数, 所以乙的经营成果比甲的好.当堂测•查疑缺怎样的变化趋势？解⑴••• △ y= h(1 + △ x) - h(1)2=—4.9( △ x) — 3.3 △ x,—4.9 △ x — 3.3.△y①当△ x = 2 时，「=— 4.9 △ x— 3.3 =—13.1 ;△x△y②当△ x = 1 时，」=—4.9 △ x— 3.3 =—8.2 ;△x△y③当△ x = 0.1 时，严=—4.9 △ x — 3.3 = — 3.79 ;△x△y④当△ x = 0.01 时，」=—4.9 △ x — 3.3 =— 3.349.△x⑵当I △ x|越来越小时，函数 f (x)在区间［1,1 + △ x］上的平均变化率逐渐变大，并接近于—3.3.［呈重点、现规律］1 •函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢.2.求函数f (x)的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量△ y= f(X2)—f(x” ;⑵再计算自变量的改变量△ x= X2 —X1 ；、,,△y f X2 —f X1⑶得平均变化率—= - —.△x X2—X11. 如果质点M按规律S = 3 + t1 2 3运动，则在一小段时间［2 ,2.1］中相应的平均速度是()A. 4 B . 4.1 C . 0.41 D . 3答案B+ 2.1 2— :〕+ 22解析v = 0 1 = 4.1.2. 一物体的运动方程是S= 3+ 2t，则在［2,2.1］这段时间内的平均速度为___________ .答案23. 已知函数h( x) = —4.9 x + 6.5 x + 10.(1)计算从x= 1到x= 1 + A x的平均变化率，其中A x的值为①2;②1;③0.1 :④0.01.⑵根据(1)中的计算，当|A x|越来越小时，函数h(x)在区间［1,1 + A x］上的平均变化率有。
部编版2020高中数学第1章导数及其应用1.1导数学案新人教B版选修2-2
1.1 导数1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率． 2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．Δx ，Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0.若函数f (x )为常数函数，则Δy ＝0.【做一做1－1】已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【做一做1－2】在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )．A ．④ B．③ C．② D．① 2．瞬时变化率与导数(1)设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的__________．(2)“当Δx 趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →l ”，或记作“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝l ”，符号“→”读作“趋近于”．函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率，通常称为f (x )在点x 0处的______，并记作f′(x 0)．这时又称f (x )在点x 0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →________”或“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝________”．(3)如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )______．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的______，记为f′(x )或y′(或yx′)．导函数通常简称为______．(1)Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0，而Δy 是函数值的改变量，可以是零． (2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：y′＝0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；y′＝0limx ∆→f (x )－f (x ＋Δx )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x －Δx )－f (x )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x )－f (x 0)x －x 0.【做一做2－1】若质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )． A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【做一做2－2】已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( )．A ．与Δx ，x 0都有关B ．仅与x 0有关而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关 3．导数的几何意义设函数y =f (x )的图象如图所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0+Δx ，f (x 0+Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋近于在点A的切线AD 的斜率，即0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于________．【做一做3－1】曲线y ＝－3x 2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为( )． A ．－6 B ．6 C ．0 D ．不存在 【做一做3－2】下面说法正确的是( )．A ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在C ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在1．“函数f (x )在点x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？ 剖析：(1)函数在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)是一个数值，不是变量． (2)导函数也简称导数，所以(3)函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)就是导函数f′(x )在点x ＝x 0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C ，直线l 1虽然与曲线C 有唯一的公共点M ，但我们不能说直线l 1与曲线C 相切；而直线l 2尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线l 2是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．一般地，过曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)作曲线的割线PQ ，当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．在这里，要注意，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线：(1)与点P 的位置有关；(2)要依据割线PQ 是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．题型一 求瞬时速度【例题1】已知物体的运动方程如下：()223 1 (1<3),233 (3)t t s t t ⎧+≤⎪=⎨+-≥⎪⎩求此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m ，时间的单位：s )分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度． 题型二 导数定义的应用【例题2】过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx ,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．分析：割线PQ 的斜率即为函数f (x )在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率ΔyΔx.反思：一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线上的定点，点Q (x 0＋Δx ，y 0＋Δy )是C 上与点P 邻近的点，有y 0＝f (x 0)，y 0＋Δy ＝f (x 0＋Δx )， Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)， 割线PQ 的斜率为tan β＝Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，曲线C 在点P 处的斜率为tan α＝0limx yx ∆→∆∆＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆.题型三 求切线方程【例题3】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：①求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求割线的斜率tan β＝ΔyΔx；③求极限0limx ∆→yx ∆∆＝0lim x ∆→00()()f x x f x x+∆-∆；④若极限存在，则切线的斜率0lim x yk x∆→∆=∆.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤： ①先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f′(x 0)； ②根据点斜式得切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 题型四 易错辨析易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．【例题4】试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．错解：Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx ＝3x (Δx )2＋3x 2Δx ＋(Δx )3Δx ＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，0lim x ∆→Δy Δx＝3x 2，因此y ′＝3x 2，所以切线在x ＝1处的斜率k ＝3.故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.1一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为( )． A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －62设函数f (x )＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝( )．A ．－1B ．12C ．1D ．133设f(x)为可导函数且满足0(1)(12)lim=12x f f x x→---,则过曲线y ＝f (x )上的点(1，f (1))的切线的斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－24一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (m)与时间t (s)之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为______ m/s.5已知函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线方程为____________________．答案：基础知识·梳理【做一做1－1】B ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝0.41.【做一做1－2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.2．(1)瞬时变化率 (2)导数 f′(x 0) f′(x 0) (3)可导 导函数 导数【做一做2－1】B 瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s 3＋Δt －s 3Δt ＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18.【做一做2－2】B 由导数的定义，对给定的可导函数f (x )有limx ∆→∞f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f′(x 0)．显然，f′(x 0)仅与x 0有关而与Δx 无关．3．f′(x 0)【做一做3－1】C f′(0)＝0lim x ∆→∞－30＋Δx2＋2－0＋2Δx＝0lim x ∆→∞(－3Δx )＝0.【做一做3－2】C 函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是y ＝f (x )在这一点处切线的斜率，但f′(x 0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f (x )在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．典型例题·领悟【例题1】解：当t ＝1时，s ＝3t 2＋1，v ＝0limt ∆→∞Δs Δt ＝0limt ∆→∞s t ＋Δt －s tΔt＝0limt ∆→∞31＋Δt2＋1－3×12－1Δt＝0limt ∆→∞6Δt ＋3Δt2Δt ＝6(m/s)．当t ＝3时，s ＝2＋3(t －3)2，v ＝0lim t ∆→∞s t ＋Δt －s t Δt ＝0limt ∆→∞2＋33＋Δt －32－2－33－32Δt＝0limt ∆→∞3Δt 2Δt＝0lim t ∆→∞3Δt ＝0 (m/s)．∴物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度分别为6 m/s 和0 m/s.【例题2】解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3. ∴割线PQ 的斜率 Δy Δx＝Δx3＋3Δx 2＋3ΔxΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3.当Δx ＝0.1时，设割线PQ 的斜率为k ， 则k ＝Δy Δx ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.【例题3】解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程， 得y ＝1，所以切点为P (1,1)． 因为y′＝0lim x ∆→∞ΔyΔx ＝0limx ∆→∞x ＋Δx 3－x 3Δx ＝0limx ∆→∞3x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx ＝lim x ∆→∞[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，所以1'|3x y ==.所以过点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝3x －1，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝x 2＝1，x 3＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．【例题4】错因分析：错解中将点M (1,1)当成了曲线y ＝x 3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．正解：由错解可知y′＝3x 2，因为点M (1,1)不在曲线y ＝x 2＋1上，所以设过点M (1,1)的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 2①，过点M (1,1)的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1②，由①＝②得，3x 20＝x 30x 0－1，解之得x 0＝0或x 0＝32，所以k ＝0或k ＝274，因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274(x －1)和y ＝1，即27x －4y －23＝0和y ＝1.随堂练习·巩固 1．D v ＝5－31＋Δt2－5－3×12Δt＝－3Δt －6.2．C ∵f′(－1)＝0lim x ∆→∞f －1＋Δx －f －1Δx ＝0lim x ∆→∞[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]＝3a ＝3，∴a ＝1.3．Blimx ∆→∞f 1－f 1－2x 2x＝limx ∆→∞f 1－2x －f 1－2x＝20limx -→f [1＋－2x ]－f 1－2x ＝f′(1)＝－1.4．12 t ＝2 s 时瞬时速度为lim Δt →0182＋Δt 2－18×22Δt ＝lim Δt →018(4＋Δt )＝12. 5．2x －y ＋2＝0和2x －y －2＝0 令x －1x＝0，得x ＝±1，∴曲线与x 轴的交点坐标为(±1,0)，又f′(x )＝1＋1x2，∴f′(±1)＝2，∴所求切线方程为y ＝2(x ±1)，即2x －y ±2＝0.。
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率学案苏教版选修2_
1.1.1 平均变化率2．会求平均变化率.平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________． 预习交流1在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx ______0. 预习交流2已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝__________.预习交流3函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x )在(x 1，x 2)上没有变化或一定为常数？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1预习交流1：≠预习交流2：提示：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 预习交流3：提示：函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x 1)＝f (x 2)；平均变化率等于0，不能说f (x )在区间(x 1，x 2)上没有变化，也不能说明f (x )一定为常数，例如f (x )＝x 2－1在区间(－2,2)上．一、求函数在某区间内的平均变化率某物体做自由落体运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝12gt 2(单位：m)，计算t 从3 s 到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各时间段内s (t )的平均变化率．思路分析：求各时间段内s 的平均变化率，即求相应的平均速度，就是求s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1，即ΔsΔt，为此需求出Δs ，Δt .1．若质点的运动方程为s ＝－t 2，则该质点在t ＝1到t ＝3时的平均速度为________．2．求函数f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)，(1,3)，(4,4＋Δx )上的平均变化率．求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ＝f (x 2)－f (x 1)Δx.二、求函数在某点附近的平均变化率求函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率．思路分析：∵函数f (x )＝y ＝5x 2＋6， ∴f (2)＝5×4＋6＝26.当x 由2变化到2＋Δx 时，f (2＋Δx )＝5(2＋Δx )2＋6，则Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)．1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx＝__________. 2．当x 0＝2，Δx ＝14时，求y ＝1x在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)是函数的自变量由x 0改变到x 0＋Δx 时的变化量，而平均变化率就是ΔyΔx .1．函数f (x )＝x 3在区间(－1,3)上的平均变化率为__________．2．已知某质点的运动规律为s (t )＝5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为__________．3．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为__________．4．函数y ＝2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为__________．5．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为__________．答案：活动与探究1：解：设t 在[3,3.1]上的平均变化率为v 1，则Δt 1＝3.1－3＝0.1(s)，Δs 1＝s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g (m)，∴Δs 1Δt 1＝0.305g 0.1＝3.05g (m/s)． 同理Δs 2Δt 2＝0.030 05g 0.01＝3.005g (m/s)，Δs 3Δt 3＝0.003 000 5g0.001＝3.000 5g (m/s)． 迁移与应用：1．－4 解析：平均速度为Δs Δt ＝－32－(－1)23－1＝－4.2．解：f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (0)－f (－1)0－(－1)＝12－11＝－12； f (x )＝1x ＋2在区间(1,3)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝15－132＝－115； f (x )＝1x ＋2在区间(4,4＋Δx )上的平均变化率为Δy Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)(4＋Δx )－4＝16＋Δx －16Δx ＝－16(6＋Δx ). 活动与探究2：解：∵f (x )＝y ＝5x 2＋6，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝5(2＋Δx )2＋6－26＝5[4＋4Δx ＋(Δx )2]－20＝20Δx ＋5(Δx )2.∴Δy Δx ＝20Δx ＋5(Δx )2Δx ＝20＋5Δx . 迁移与应用：1．2Δx ＋4 解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2(Δx )2＋4Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4.2．解：x 0＝2，Δx ＝14时，Δy ＝12＋14－12＝－118，∴平均变化率为Δy Δx ＝－11814＝－29.当堂检测1．7 解析：Δy Δx ＝f (3)－f (－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.2．20 m/s3．4＋2Δt 解析：Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .4．8＋2Δx 解析：Δy Δx ＝2(2＋Δx )2＋5－(2×22＋5)Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx . 5．0.4π 解析：∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π.。
教学设计5：1.1.1变化率问题
说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。
一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。
而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。
而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。
二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。
于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。
根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。
三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
2020版高中数学第一章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选修2_2
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
x1 x2
x
f 2
x2 x
2
,f
x1
x1
x2 x1
x1 x2
【自我总结】 1.对平均变化率的两点说明 (1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x) 在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程 度是平均变化率的“视觉化”.
【解析】函数f(x)=-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化
率为f
x0
x
f
x0
x0
x 2
x
2 0
x
x
2x0x x
(x)2
,
2x0
x
同函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率相同,
故结论不变.
2.(改变问法)比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平
均变化率最大? 【解析】因为 7 13 19，
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
第一章 导数及其应用 1.1 导 数
1.1.1 函数的平均变化率
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.1 平均变化率学案 苏教版选修2-2(2021年整理)
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1章导数及其应用1.1.1 平均变化率学案苏教版选修2-2的全部内容。
1.1.1 平均变化率1．通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．（重点）2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义．（难点）3．平均变化率的正负．(易混点）[基础·初探］教材整理函数的平均变化率阅读教材P5~P7，完成下列问题．1．函数平均变化一般地，函数f（x)在区间[x1，x2］上的平均变化率为错误!.2．平均变化率的意义平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f（x）上两点P(x1,y1），Q（x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化"．1．判断正误：(1）函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．（）（2）自变量的改变量x2－x1取值越小，越能准确体现函数的变化率．( ）（3)对山坡的上、下两点A，B中，错误!可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．( ）【答案】(1)×(2）√（3）√2．函数y＝2x＋2在［1,2]上的平均变化率是________。
【导学号：01580000】【解析】2×2＋2－2×1＋22－1＝2.【答案】2［质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑:_______________________________________________[小组合作型]求函数的平均变化率（1)已知函数y＝f（x)＝x2＋1,则在x＝2,Δx＝0。
高中数学第一章导数及其应用1.1导数的概念1.1.1导数的概念平均变化率教学案苏教版选修2_220180302183
1．1.1 平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0.问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用ΔyΔx 来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？提示：Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0表示直线AB 的斜率．问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.ΔyΔx的值越大，山路越陡峭．1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2 －f x 1x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：(1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子f x 2 －f x 1x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．[对应学生用书P3][例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．[精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：f 2.1 －f 2 2.1－2＝3×2.12＋2 － 3×22＋20.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g －1 －g －2－1 － －2＝[3× －1 －2]－[3× －2 －2]－1 － －2＝－5 － －8－1＋2＝3.[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率f x 2 －f x 1x 2－x 1.1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g 4 －g 24－2＝－3×4－ －3 ×24－2＝－12＋62＝－3.答案：－32.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f 1 －f －1 1－ －1＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f 2 －f 02－0＝3－322＝34.答案：：(1)12 (2)343．本例条件不变，分别计算f (x )与g (x )在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小．解：(1)f 2 －f 1 2－1＝3×22＋2－ 3×12＋22－1＝9.(2)g 2 －g 1 2－1＝3×2－2－ 3×1－22－1＝3.f (x )比g (x )在[1,2]上的平均变化率大．[例2] t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值．[精解详析] 物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为S 1＋Δt －S 1 1＋Δt －1＝ 1＋Δt ＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt ＝ 2＋Δt －2 2＋Δt ＋2Δt 2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2(m/s)．即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．4．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 解析：∵S ＝πr 2，∴圆的半径r 从0.1变化到0.3时， 圆的面积S 的平均变化率为S 0.3 －S 0.1 0.3－0.1＝π×0.32－π×0.120.2＝0.4π.答案：0.4π5．在F 1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系S ＝10t ＋5t 2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为S 20.1 －S 2020.1－20＝10×20.1＋5×20.12－ 10×20＋5×20220.1－20＝21.050.1＝210.5(m/s)．[例3] 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．[精解详析] 在t 0处s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1 t 0 －s 1 t 0－Δt Δt <s 2 t 0 －s 2 t 0－ΔtΔt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是________．解析：v 1＝s t 1 －s t 0t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s t 2 －s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3 －s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．A 、B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W 1(t )、W 2(t )分别表示A 、B 两机关的用电量与时间第t 天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好； ②A 机关比B 机关节能效果好；③A 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率比B 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率大； ④A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t ＝0时，W 1(0)>W 2(0)， 当t ＝t 0时，W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 所以W 1 t 0 －W 1 0 t 0<W 2 t 0 －W 2 0t 0，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1 t 0 －W 1 0 t 0>⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2 t 0 －W 2 0 t 0.故只有②正确． 答案：②1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f mn －m＝kn ＋b － km ＋bn －m ＝k .由上述计算可知，一次函数y ＝kx ＋b ，在区间[m ，n ]上的变化率与m ，n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．3．平均变化率的几何意义 (1)平均变化率f x 2 －f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．[对应课时跟踪训练(一)]一、填空题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 解析：f 1.1 －f 1 1.1－1＝1.12－1 － 12－1 1.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.12．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 解析：f b －f a b －a ＝ 2b ＋4 － 2a ＋4 b －a ＝2 b －ab －a＝2.答案：23．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：c 70 －c 30 70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．解析：由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．答案：等于 大于5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 解析： a 3＋2 － 13＋2 a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解之得a ＝4或a ＝－5. 又∵a >1，∴a ＝4. 答案：4 二、解答题6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． 解：函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率为2×2.012＋1－2×22－12.01－2＝8.02.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小． 解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝3 2－3 π.∵2－3<1，∴3π>3 2－3π，∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3 2－3 π，故在0到π6之间的平均变化率较大．8．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2.求：(1)气球表面积S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时的平均膨胀率． 解：根据函数的增量来证明．由S (r )＝4πr 2，r >0，把r 表示成表面积S 的函数：r (S )＝12ππS .(1)当S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝12π(20π－10π)≈0.37(cm)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.3710＝0.037.(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.23910＝0.023 9.。
高中数学第一章导数及其应用第1课时平均变化率教案苏教版选修2
平均变化率【教学目标】1. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程；2. 理解平均变化率的意义，会求函数在指定区间的平均变化率 【教学难点、重点】平均变化率的实际意义和数学意义 【教学过程】 一、问题情境1. 情境：现有南京市某年3月和4月某日最高气温记载：观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化曲线的陡峭程度？ 2. 学生活动① 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.② 由点B 上升到C 点，必须考察C B y y -的大小，但仅仅注意C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？③ 在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变. 二、知识要点1. 平均变化率的概念：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为1212)()(x x x f x f --，平均变化率是曲线的陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2. 令)()(12x f x f f -=∆或)(),()(1211x x x x f x x f f -=∆-∆+=∆，则)(x f 在],[21x x 上的平均变化率可简记为xf∆∆，即x x f x x f x x x f x f x f ∆-∆+=--=∆∆)()()()(111212，式中f x ∆∆,可正可负，但x ∆不可为0，f ∆可以为0.(d) 20月)3. 函数的平均变化率可以表现函数的变化趋势，x ∆越小，就越能准确的体现函数的变化情况.xf∆∆=0，并不一定表示)(x f 没有变化，应取更小的x ∆进行研究. 4.xx f x x f x f∆-∆+=∆∆)()(11的几何意义：表示)(x f 图象上))(,()),(,(1111x x f x x Q x f x P ∆+∆+ 两点割线的斜率，其符号表示变化的方向，其绝对值大小表示变化的快慢.5. 物理意义：非匀速直线运动的物体，路程S 与时间t 之间的规律为)(t S S =，则0t 到t t ∆+0这段时间内，)(t S 的平均变化率为tSv ∆∆=即为平均速度. 6. 求)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率的步骤： （1）求自变量的增量12x x x -=∆； （2）求函数的增量)()(12x f x f f -=∆； （3）求平均变化率1212)()(x x x f x f x f --=∆∆. 三、例题分析例1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.例2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积t e t V 1.05)(-=（单位：3cm ）计算第一个10s 内V 的平均变化率.（注：是液态分子间引力与位能差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处）例3. 已知函数2)(x x f =，分别计算)(x f 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]例 4. 已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上)()(x g x f 及的平均变化率.思考：一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？四、回顾小结：1．平均变化率的概念2．函数的平均变化率可以表现函数的变化趋势 3．平均变化率的实际意义和几何含义五、课内练习：1、质点运动规律32+=t S ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度等于2、已知曲线241x y =和这条曲线上的一点)41,1(P ，Q 是点P 附近的一点，则点Q 的坐标为 3、函数xy 1=在0x (00≠x )到x x ∆+0之间的平均变化率是 . 4、若函数c x x f -=2)(在区间[]m ,1上的平均变化率为3，则=m _________.5、某日中午12时整，甲车自A 处以h km /40的速度向正东方向行使，乙车自A 处以h km /60的速度向正西方向行驶，当日12时30分，两车之间的距离对时间的变化率为 .6、甲乙两人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程与时间的关系如图（1）（2），试问： （1）甲乙二人哪个跑的快？（2）甲乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的快？7、过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线，求出当1.0=∆x 时割线的斜率.8、试比较正弦函数x y sin =在)6,0(π之间和)2,3(ππ之间的平均变化率哪一个较大.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率6b22b高二22数学
2；平均变化率是指函数值的“增量(zēnɡ liànɡ)”（即改变量
）给，出y了平与均相变应化的率自的变求量法的，“可增得量平(zēn均ɡ li变ànɡx化)”率可正的，比可，负这，也也 x
可为零。（上下顺序一致）
3；函数y=f(x)平均变化率的几何意义，即曲线割线的斜率
事实上
kA By x B B x y A Af(x x 2 2 ) x f1 (x 1 )x y(x 2x 1 )
第十六页，共二十一页。
•答案
点
•
•1
3
•几何(jǐ hé)意义：
•点（0,0）与 点（1,1）连线的斜率= 1
点（1,1）与点（2,2） 连线的斜率= 3
第十七页，共二十一页。
•知识总结
•1. 函数平均(píngjūn)变化率的定义 •2.函数平均变化率的几何意义 •3.求函数平均变化率的步骤
第十八页，共二十一页。
第十三页，共二十一页。
练习 1 (liànxí)
函数y= x 2 1 在 区间 [ 1,1 ]上x的平均变化率？
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• 答案(dáàn)
2 x
第十五页，共二十一页。
• 练习 2 (liànxí)
• 求函数 y x 2 在区间[0 , 1] ,[1, 2], 的平均变
化率？并讨论其几何意义？
坡越陡，反之(fǎnzhī)越缓。每一小段的 y x
不尽相同，但每一小段山坡的高度的平均 变化率都可用这一比值 来y 度量
x 由此，我们引入了函数平均变化 11 率的概念
第六页，共二十一页。
x x 一般地，已知函数(hánshù)y=f(x) , 0 , 1 其定义域内不同
的两点，记 xx1 ，x0 y y 1 y 0 f(x 1 ) f(x 0 ) f(x 0 x ) f(x 0 )
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§1.1.1平均变化率
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
(一)、探究新知，揭示概念
教学过程设计
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
(二)、探究新知，揭示概念
实例一：气温的变化问题
现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：
（注：3月18日
为第一天）
1、你从图中获得了哪些信息？
2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这
样的感觉，这是什么原因呢?
3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结：
分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，
当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o
C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。
【教师过渡】:“
18.6 3.5
0.5321
-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。
提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。
实例二：气球的平均膨胀率问题。
【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。
假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考：
1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？
2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。
学生讨论，小组交流，教师巡视。
学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。
【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。
” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）
18.6 3.50.5
321
-≈-33.418.6
7.4
3432-≈-
（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）
3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 讨论得出：
实例三：高台跳水运动
【学生思考】： 在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度是h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10。
1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？
2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。
3、当时间从t 1到t 2时，运动员的平均速度是多少？ （三）、分析归纳，抽象概括
【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运动员的平均速度”。
（幻灯出示） 1、 实例一:在气温的变化问题中，当时间从t 1到t 2时,气温的平均变化率=
2121
()()
f t f t t t --
2、实例二: 在气球的半径变化问题中，当体积从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率=
2121
r()()
v r v v v --
2、 实例三：在高台跳水问题中，当时间从t 1到t 2时，运动员的平均速度=2121
()h()
h t t t t --
【学生思考】 ：
1. 上述三个问题，有什么共同特征?
2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？
3. 下图中函数从x 1到x 2的平均变化率怎样计算？
1
212)()(r v v v r v --
4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？
5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：
1．上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为
=
∆∆=∆∆x f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111
212 （四）、知识应用，深化理解
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2
020)(x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022 所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业。