高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案

§1.1.1平均变化率

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

(一)、探究新知，揭示概念

教学过程设计

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

(二)、探究新知，揭示概念

实例一：气温的变化问题

现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：

（注：3月18日

为第一天）

1、你从图中获得了哪些信息？

2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这

样的感觉，这是什么原因呢?

3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结：

分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，

当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o

C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“

18.6 3.5

0.5321

-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考：

1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？

2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。

【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）

18.6 3.50.5

321

-≈-33.418.6

7.4

3432-≈-

（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）

3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 讨论得出：

实例三：高台跳水运动

【学生思考】： 在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度是h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10

。 1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。

3、当时间从t 1到t 2时，运动员的平均速度是多少？ （三）、分析归纳，抽象概括

【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运动员的平均速度”。（幻灯出示） 1、 实例一:在气温的变化问题中，当时间从t 1到t 2时,气温的平均变化率=

2121

()()

f t f t t t --

2、实例二: 在气球的半径变化问题中，当体积从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率=

2121

r()()

v r v v v --

2、 实例三：在高台跳水问题中，当时间从t 1到t 2时，运动员的平均速度=2121

()h()

h t t t t --

【学生思考】 ：

1. 上述三个问题，有什么共同特征?

2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

3. 下图中函数从x 1到x 2的平均变化率怎样计算？

1

212)()(r v v v r v --

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：

1．上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为

=

∆∆=∆∆x f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111

212 （四）、知识应用，深化理解

例1．已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则

=∆∆x

y

． 解：)1()1(22

x x y ∆+-+∆+--=∆+-，

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2

x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2

02

0)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2

020)(x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02

0202022 所以2

x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02

四．课堂练习

1．质点运动规律为32

+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2

+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.