金优课高中数学北师大选修21课时作业：3 椭圆及其标准方程1 含解析

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【测控设计】2021-2022学年高二数学北师大版选修2-1课后作业：3.1.1 椭圆及其标准方程

第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程课后作业提升1.设P 是椭圆x 225+y 216=1上的点,若F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF 2|等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 解析:由椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=2a=10. 答案:D2.已知椭圆x 210-m +y 2m -2=1,长轴在y 轴上.若焦距为4,则m 等于( )A.4B.5C.7D.8 解析:由题意,得m-2>10-m,且10-m>0,于是6<m<10.再由(m-2)-(10-m)=22,得m=8. 答案:D3.“m>n>0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:把椭圆方程化成x 21m+y 21n=1.若m>n>0,则1n >1m >0,所以焦点在y 轴上.反之,亦成立.答案:C4.已知动圆P 过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y 2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P 的轨迹是( )A.线段B.直线C.圆D.椭圆解析:如图,设动圆P 和定圆B 内切于点M,则动圆的圆心P 到定点A(-3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆B 的半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6.所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆. 答案:D5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A,B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1解析:如图,|AF 2|=12|AB|=32,|F 1F 2|=2,由椭圆定义,得|AF 1|=2a-32.①在Rt △AF 1F 2中,|AF 1|2=|AF 2|2+|F 1F 2|2=(32)2+22.②由①②,得a=2,∴b 2=a 2-c 2=3.∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,应选C .答案:C6.已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b=.解析:由题意,得{12|PF 1||PF 2|=9,|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2,|PF 1|+|PF 2|=2a ,解得a 2-c 2=9,即b 2=9,所以b=3. 答案:37.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由题设知a=3,b=√2,所以c=√7.由椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=6,则|PF 2|=2.又|F 1F 2|=2√7,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=-12,所以∠F 1PF 2=120°.答案:2 120°8.求经过点(2,-3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同焦点的椭圆方程.分析:椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为(0,±√5),因而可设所求椭圆的方程为x 2λ+y 2λ+5=1(λ>0),由题设确定λ即可. 解:椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为(0,±√5),则可设所求椭圆的方程为x 2λ+y 2λ+5=1(λ>0). 把x=2,y=-3代入,得4λ+9λ+5=1,解得λ=10或λ=-2(舍去). 故所求椭圆的方程为x 210+y 215=1.9.已知x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:把方程化为标准形式,依据焦点位置,得关于α的三角不等式,进而求解.解:原方程化为x 21sinα+y 2-1cosα=1.由于焦点在x 轴上,所以1sinα>-1cosα>0.又0≤α≤π,所以3π4<α<π, 即α的取值范围是(3π4,π).。

高中数学北师大版选修2-1课时练课件-第三章-(共12份打包)

求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)、(0，2)，经过点(4，3 2)； (2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆y2 ＋x2＝1 有相同的焦点；
25 9 (3)经过两点(2，－ 2)和(－1， 14)．
2 (链接教材第三章 1.1 例 2)
[解] (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，可设其标准方程为ya22 ＋xb22＝ 1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知 2a ＝（4－0）2＋（3 2＋2）2 ＋
（4－0）2＋（3 2－2）2＝12，∴a＝6. 又 c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，所以椭圆的标准方程为y2 ＋x2 ＝1.
36 32
法二：由于椭圆过点(4，3 2)，∴1a82 ＋1b62 ＝1①.
又 c＝2，∴a2－b2＝4②，由①②解得 a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为y2 ＋x2 ＝
相垂直，则△PF1F2 的面积为( D ) A．20
B．22
C．28
D．24
[解析] (1)2c＝|F1F2|＝8，c＝4，a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，a
＝ 41，
故△ABF2 的周长为|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝4 41. (2)c2＝ a2－ b2＝ 49－ 24＝ 25，c＝ 5，|F1 F2 |＝ 10，设 |PF1|＝ r1，|PF2 | ＝ r2，由题意知 r21＋r22＝100，① 又根据椭圆定义，知 r1＋r2＝14，② 由①②易得 r1r2＝48.故 S△PF1F2＝12r1r2＝24.
(3)已知椭圆的标准方程为2x52 ＋my22＝1(m>0)，并且焦距为 6，则
实数 m 为__4__或___3_4_____．

北师版数学高二北师大选修2-1学案高中数学椭圆及其标准方程

3.1.1
椭圆及其标准方程
学习目标
1.使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
2.通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。

3.通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
学习重点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
学习难点：
椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．
1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动一周，观察画出的图形．
一．椭圆的定义：
思考：这里的常数有什么限制吗？
二．椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
(1)建立坐标系，(2)设点 (3)列式（4）化简椭圆的标准方程：
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是（—3，0）（3，0），椭圆上一点P与两交点的距离的和等于8.
（2）两个焦点的坐标分别是（0，—4）（4，0），并且椭圆经过点（3，—5）。

3.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标
（1）
1
24
36
2
2
=
+
y
x
；（2）24
3
82
2=
+y
x
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
5. 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．。

【K12教育学习资料】高中数学 3.1.1 椭圆及其标准方程课后作业北师大版选修2-1

1.1 椭圆及其标准方程1.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点的轨迹是椭圆的.这是因为:仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹.∴甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.答案:B2.线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中点,当P点在同一平面内运动时,|PM|的最小值是( )A.2B.C.D.5解析:由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点,A、B为焦点的椭圆,且a=3,c=2,∴b=.于是|PM|的最小值是b=.答案:C3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且经过点(,-),则椭圆的标准方程是( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为=1(a>b>0).由已知得c=4,又c2=a2-b2,故a2=16+b2.①因为点(,-)在椭圆上,所以=1,即=1.②将①代入②,解得b2=4(b2=-12舍去),a2=20.所以所求椭圆的方程为=1.答案:A4.焦点在坐标轴上,且经过A(,-2)和B(-2,1)两点的椭圆的标准方程是( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:(方法1)(1)当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得所以所求椭圆的方程为=1.(2)当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得因为a<b,所以方程无解.故所求椭圆的方程为=1.(方法2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).依题意,有解得所以所求椭圆的方程为=1.答案:D5.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=( )A.3B.9C.D.12解析:由题意,得解得a2-c2=9,即b2=9,所以b=3.答案:A6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=( )A.12B.8C.25D.9解析:如图所示,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20,又|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8.答案:B7.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为.解析:椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆的方程为=1(λ>0).把x=2,y=-3代入,得=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).∴所求椭圆的方程为=1.答案:=18.=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.解析:如图所示,∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=6-|PF1|=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.答案:2 120°9.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析:设动圆M和定圆B内切于点C,动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径,即|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,且8>|AB|=6,所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,并且2a=8,2c=6,所以b=.所以椭圆的方程是=1.答案:=110.在△ABC中,已知点B(-6,0),C(0,8),且sin B,sin A,sin C成等差数列.(1)求证:顶点A在一个椭圆上运动;(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距.(1)证明:由题意,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理,得sin B=,sin C=,sin A=,所以有b+c=2a,即|AC|+|AB|=2|BC|(大于|BC|).所以顶点A到定点B,C的距离的和是常数(大于|BC|),即顶点A在一个椭圆上运动.(2)解:这个椭圆的焦点坐标分别是(-6,0),(0,8),焦距是10.11.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).解:(1)由于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).∴2a==10.∴a=5.又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.故所求椭圆的方程为=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴解得故所求椭圆的方程为+x2=1.12.如图所示,已知椭圆的方程为=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.解:由已知,得a=2,b=,所以c==1.所以|F1F2|=2c=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.②②代入①,解得|PF1|=.所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°=×2×,即△PF1F2的面积是.备选习题1.已知B,C是两个定点,且BC=8,则到这两个定点的距离的和是8的点的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.线段D.射线解析:本题容易简单依据椭圆的定义而得出错误结果,主要是对椭圆的定义中常数的约束条件忽视所致.由于动点到这两个定点的距离的和是8,恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条线段.答案:C2.已知F1,F2是椭圆=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|-|BF2|=.解析:由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|=8.两式相加,得|AF1|+(|AF2|+|BF2|)+|BF1|=16.又|AF2|+|BF2|=|AB|=5,所以|AF1|+|BF1|=11.所以|AF1|=11-|BF1|.所以|AF1|-|BF2|=(11-|BF1|)-|BF2|=11-(|BF2|+|BF1|)=11-8=3.答案:33.在等腰直角△ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.解:设椭圆的另一个焦点为M,以MC所在直线为x轴,MC的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系(如图).设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,两式相加,得8+4=4a.∴a=2+.∴|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.在Rt△AMC中,∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,且|MC|=2c,∴c2=6.∴b2=a2-c2=4.故所求椭圆的标准方程为=1.4.已知点P在中心是原点、坐标轴为对称轴的椭圆上,且点P到两个焦点的距离分别为,过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.解:设两焦点为F1,F2,且|PF1|=,|PF2|=,由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|==2,∴a=.∵|PF1|>|PF2|,∴由题意知△PF1F2为直角三角形.在△PF1F2中,sin∠PF1F2=,∴∠PF1F2=,∴2c=|PF1|·cos,∴c=,∴b2=a2-c2=.∵焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,∴椭圆的方程为=1或=1.。

高中数学选修2-1课时作业4：2.2.1 椭圆及其标准方程(一)

2.2.1 椭圆及其标准方程（一）1.设椭圆22221xy m m +-=1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1,则m =( ). A .6B .3C .2D .4[答案]:C [解析]:根据题意,椭圆焦点在x 轴上,则2m =3+1,所以m =2.2.椭圆22x y 259+=1上一点M 到椭圆焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON |=( ). A .2B .4C .8D .32[答案]:B[解析]:由椭圆方程可知2A=10,|MF 1|=2,则|MF 2|=8.又∵O 为F 1F 2中点,N 为MF 1中点, ∴|ON |=12|MF 2|=4. 3.已知椭圆的方程为222x y 8m +=1,焦点在x 轴上,其焦距为( ).A .B ..D .[答案]:A[解析]:因为焦点在x 轴上,所以c 2=8-m 2,故2c 4.过点(-3,2)且与22x y 94+=1有相同焦点的椭圆的方程是( ). A .22x y 1510+=1 B.22x y 225100+=1C .22x y 1015+=1D .22x y 100225+=1 [答案]:A[解析]:∵c 2=9-4=5, ∴设椭圆的方程为2222x y a a 5+-=1.∵点(-3,2)在椭圆上,∴2294a a 5+-=1,A 2=15. ∴所求椭圆的方程为22x y 1510+=1. 5.设P 是椭圆22x y 1612+=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是( ). A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形[答案]:B [解析]:由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2A=8.不妨设|PF 1|>|PF 2|,∵|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3.又|F 1F 2|=2c ∴△PF 1F 2为直角三角形.6.已知点椭圆2x 4+y 2=1与直线交于点A,B,则△ABM 的周长为( ). A .4B .8C .12D .16[答案]:B[解析]:直线y=k (x 过定点N 而M ,N 恰为椭圆2x 4+y 2=1的两个焦点,由椭圆的定义知△ABM 的周长为4A=4×2=8.7.椭圆22x y 92+=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ;∠F 1PF 2的大小为 .[答案]:2 120°[解析]:由于A=3,∴2A=6,从而|PF 2|=6-|PF 1|=2.又∴|F 1F 2由余弦定理可得cos ∠F 1PF 212,所以 ∠F 1PF 2=120°.8.椭圆22x y 94+=1的两焦点为F 1,F 2,过F 1作直线交椭圆于A,B 两点,则△ABF 2的周长为 . [答案]:12[解析]:△ABF 2的周长等于|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4A=12.9.已知圆A:x 2+(y +6)2=400,圆A 内有一定点B(0,6),动圆C 过点B 且与圆A 内切,求动圆圆心C 的轨迹方程.解:设动圆C 的半径为r ,则|CB|=r .因为圆C 与圆A 内切,所以|CA|=20-r ,所以|CA|+|CB|=20,所以点C 的轨迹是以A,B 两点为焦点的椭圆.因为2A=20,2c =|AB|=12,所以A=10,c =6,b 2=64.因为点A,B 在y 轴上,所以点C 的轨迹方程为22y x 10064+=1. 10.已知椭圆2222yx a b +=1(A>b>0)的焦点分别是F 1(0,-1),F 2(0,1),且3A 2=4b 2. (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在这个椭圆上,且|PF 1|-|PF 2|=1,求∠F 1PF 2的余弦值.解:(1)依题意知c =1,又c 2=A 2-b 2,且3A 2=4b 2,所以A 2-34A 2=1,即14A 2=1.所以A 2=4. 因此b 2=3.从而椭圆方程为22y x 43+=1. (2)由于点P 在椭圆上,所以|PF 1|+|PF 2|=2A=2×2=4,因为|PF 1|-|PF 2|=1,所以|PF 1|=52,|PF 2|=32.又|F 1F 2|=2c =2,所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2=222121212|PF ||PF |-|FF |2|PF ||PF |+⋅=222532322535222⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯⨯,即∠F 1PF 2的余弦值等于35.。

北师大数学选修21课时分层作业椭圆及其标准方程含解析

课时分层作业(十四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x2169＋y225＝1的焦点坐标为()A．(5，0)，(－5，0)B．(12，0)，(－12，0)C．(0，12)，(0，－12) D．(13，0)，(－13，0)B[∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12，0)，(－12，0)．]2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件B[mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”]3．过点(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程是()A.x215＋y210＝1 B.x2225＋y2100＝1C.x210＋y215＝1 D.x2100＋y2225＝1A[椭圆x29＋y24＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(3，－2)代入方程得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为x215＋y210＝1.]4．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()A.x24＋y23＝1(x≠±2) B.y24＋x23＝1(y≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D.y 24＋x 23＝1(y ≠0)B [∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．]5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D.1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________． 3或5 [当m ＞4时，m －4＝1，∴m ＝5. 当0＜m ＜4时，4－m ＝1，∴m ＝3.]7．若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．(2，4)∪(4，6) [若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆．则⎩⎪⎨⎪⎧6－k ＞0k －2＞06－k ≠k －2， ∴2＜k ＜6且k ≠4.]8．在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(－4，0)，且sin A＋sin Bsin C＝54，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．x2 25＋y29＝1(y≠0)[由正弦定理，得|BC|＋|AC||AB|＝54，又|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆．又∵a＝12×10＝5，c＝12×8＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.又∵点A，B，C不共线，∴点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．]三、解答题9．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为45 3和253，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．[解]设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取|PF1|＝453，|PF2|＝253，由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2 5.即a＝ 5.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝609，∴c2＝53，∴b2＝a2－c2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x2 10＋y25＝1.10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解] 设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3，0)，B (3，0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且2a ＝8，2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7，∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.[能力提升练]1．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C [由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4.故选C.]2．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形B [根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 而|F 1F 2|＝4，所以|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2，所以△PF 1F 2是直角三角形，故选B.]3．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．15 [由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.]4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．8 [由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20. 又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.]5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∴F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

高中数学北师大版选修2-1课时作业3.1.1 椭圆及其标准方程(1) Word版含解析

第三章§课时作业一、选择题．已知命题甲：动点到两定点，的距离之和＋＝，其中为大于的常数；命题乙：点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分且必要条件．既不充分又不必要条件解析：若点的轨迹是椭圆，则一定有＋＝(>，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若＋＝(>，为常数)，点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．答案：．设是椭圆＋＝上一点，到两焦点，的距离之差为，则△是( )．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知＋＝＝.又－＝，∴＝，＝.又＝＝＝，∴△为直角三角形．答案：．[·西安交大附中月考]椭圆＋＝的焦点坐标是( )．(±) ．(±，)．(±，) ．(，±)解析：椭圆的标准方程为＋＝，故焦点在轴上，其中＝，＝，所以＝－＝－＝，故＝.所以所求焦点坐标为(，±)．答案：．若方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )．(，) ．[，)．(，) ．[，)解析：∵方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，∴α>，α>.∵α为锐角，∴<α<.答案：二、填空题．一个焦点坐标是()，过点(，)的椭圆的标准方程为．解析：设椭圆的标准方程为＋＝(>>)，∴－＝，①又过点(，)，∴＋＝，②∴由①②知，＝，＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.答案：＋＝．[·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为，焦距为，则此椭圆的标准方程为．解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，＝＝，∴＝，＝，∴＝－＝－＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.答案：＋＝．已知椭圆的标准方程为＋＝(>)并且焦距为，则实数的值为．解析：∵＝，∴＝.当焦点在轴上时，＝，∴＝.当焦点在轴上时，＝，∴＝.答案：或三、解答题．求经过点(，－)和点(－，)的椭圆的标准方程．解：法一：()当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝(>>)．依题意有错误!解得(\\(＝，＝.))所以所求椭圆的方程为＋＝.()当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝(>>)．依题意有错误!解得错误!因为<，所以方程无解．故所求椭圆的方程为＋＝.法二：设所求椭圆的方程为＋＝(>，>，≠)，依题意有(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝()，＝().))所以所求椭圆的方程为＋＝.．如图，圆：(＋)＋＝及点()，为圆上一点，的垂直平分线交于，求点的轨迹方程．。

金优课高中数学北师大选修21课时作业：331 双曲线及其标准方程1 含解析

第三章 §3 课时作业28一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.答案：D2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 224＝1B ．y 225－x 224＝1C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D ．x 225－y 249＝1或y 225－x 249＝1解析：因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1. 答案：C3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a的值为( )A ． 2B ．10C ．4D ．34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为__________．解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33. 答案：337．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为__________．解析：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·y x －6＝94，化简，得x 236－y 281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)．答案：x 236－y 281＝1(x ≠±6)三、解答题8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2 ＝⎪⎪⎪⎪(414)2－(94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝18116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.9．已知曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线是椭圆时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线是双曲线时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标．解：(1)曲线为椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0－m >016－m ≠－m⇔⎩⎨⎧m <16m <0⇔m <0.即实数m 的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．(2)曲线为双曲线⇔(16－m )m >0⇔0<m <16.即实数m 的取值范围是(0,16)．此时，双曲线的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．。

高中数学选修2-1课时作业(椭圆及其标准方程1)附解析

1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y236+x235=1C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=12.椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.83.如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24.已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为则这个椭圆的方程为()A.x 212+y29=1B.x29+y212=1C.x212+y29=1或x29+y212=1D.以上都不对6.椭圆x 29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.7.已知F1,F2是椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.8.已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.9.已知椭圆x 24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,求|PF2|的长.1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y 235=1B.y 236+x 235=1C.x 236+y 21=1D.x 236+y 235=1或y 236+x 235=12.椭圆x 225+y 2=1上的一个点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.8a 2=25,∴a=5,2a=10.设P 到另一个焦点的距离为d ,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=83.如果方程x 2a +y 2a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数a 的取值范围是( )A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.85.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( )A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1D.6.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1PF 2|=-12.故∠F 1PF 2=120°.120°7.已知F1,F2是椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.,有|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|·|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.8.已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.椭圆的焦点在x轴上,∴可设标准方程为x 2a +y2b=1(a>b>0).∵2a=52+22+-322+52-22+-322=210,∴a=10,a2=10.∵c=2,∴c2=4,∴b2=a2-c2=6.故椭圆方程为x 210+y26=1.9.已知椭圆x 24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,求|PF2|的长.F1的坐标为(-3,0).设P(-3,y),把P(-3,y)代入椭圆的方程中,得|y|=12,即|PF1|=12.根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,故|PF2|=4-|PF1|=4-12=72.。

2020-2021学年北师大版数学选修2-1学案：3.1.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析

§1 椭圆1．1 椭圆及其标准方程授课提示：对应学生用书第31页一、椭圆的定义我们把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的焦距．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 焦点坐标 (±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系 a 2＝b 2＋c 2[疑难提示]求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a 2、b 2的具体数值，常用待定系数法．(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0且m ≠n )，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，这种形式在解题中较为方便．[练一练]1．已知在平面直角坐标系中，点A (－3,0)，B (3,0)，点P 为一动点，且|P A |＋|PB |＝2a (a ≥0)，给出下列说法：①当a ＝2时，点P 的轨迹不存在；②当a ＝4时，点P 的轨迹是椭圆，且焦距为3； ③当a ＝4时，点P 的轨迹是椭圆，且焦距为6； ④当a ＝3时，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆．其中正确的说法是__________(填序号)．解析：当a ＝2时，2a ＝4<|AB |，故点P 的轨迹不存在，①正确；当a ＝4时，2a ＝8>|AB |，故点P 的轨迹是椭圆，且焦距为|AB |＝6，②错误；③正确；当a ＝3时，点P 的轨迹为线段AB ，④错误．答案：①③2．若方程x 2k －5＋y 210－k ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由10－k >k －5>0，得5<k <152.答案：(5，152)授课提示：对应学生用书第31页探究一椭圆的定义[典例1] 点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝4，点M 的轨迹是什么曲线？写出它的方程．[解析]x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝4.即为(x －0)2＋(y －1)2＋(x －0)2＋(y ＋1)2＝4，设F 1(0，1)，F 2(0，－1)，则上式即为|MF 1|＋|MF 2|＝4，即动点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为定值2a ＝4，且2a >|F 1F 2|＝2.∴点M 的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F 1(0,1)和F 2(0，－1)．∴2c ＝2，c ＝1,2a ＝4，a ＝2. ∴点M 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1.到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆．特别注意焦点的位置及a ，b ，c 的关系．1.已知椭圆C 上任意一点P (x ，y )都满足关系式(x －1)2＋y 2＋(x ＋1)2＋y 2＝4，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 216＋y 215＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：由题设可知椭圆C 的焦点在x 轴上，且2a ＝4，c ＝1，故a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：B2．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆的标准方程．解析：解法一若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意，有⎩⎨⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1.解得a 2＝4，b 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 矛盾．故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.解法二设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋34m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.探究二椭圆定义的应用[典例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解析] 由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.② ②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝3 35，即△PF 1F 2的面积是35 3.椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C ，把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．3．点P 在椭圆 x 24＋y 2＝1上，且PF 1⊥PF 2，求S △PF 1F 2.解析：∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16，又PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，∴|PF 1||PF 2|＝2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.4.如图所示，已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长．(2)如果直线AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？解析：(1)由题意知，A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，故有|AF 2|＋|AF 1|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，|AF 2|＋|BF 2|＝AB ，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝4×5＝20.∴△AF 1B 的周长为20.(2)如果直线AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长仍为20不变，因为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a 与直线AB 是否与x 轴垂直无关，所以△AF 1B 的周长没有变化．探究三椭圆的标准方程及其应用椭程圆及的其标应准用方—⎪⎪⎪⎪—已知两个焦点坐标，求椭圆标准方程—已知椭圆经过两点，求椭圆标准方程—求与已知椭圆共焦点的椭圆方程—参数a ，b ，c 的范围问题5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)a ＝5，c ＝2；(2)经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点；(3)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)．解析：(1)由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝25－4＝21. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 221＝1或y 225＋x 221＝1.(2)解法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知，得⎩⎨⎧ 6a 2＋1b 2＝13a 2＋2b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝3，即所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，由已知，得⎩⎨⎧6b 2＋1a 2＝13b 2＋2a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9a 2＝3，与a >b >0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.解法二由已知，设椭圆的方程是Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，故⎩⎪⎨⎪⎧6A ＋B ＝13A ＋2B ＝1⇒⎩⎨⎧A ＝19B ＝13，即所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.(3)解法一方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1，则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵点M 在椭圆上， ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2| ＝(2－0)2＋(6－2)2＋ (2－0)2＋(6＋2)2＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，∴a ＝23，即a 2＝12， ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8，∴所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.解法二由题意，知焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，设所求椭圆的方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ>0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.6.如图，已知定点A (－2,0)，动点B 是圆F ：(x －2)2＋y 2＝64上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．解析：连接P A (图略)，圆F ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心为F (2,0)，半径R ＝8. ∵线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，∴|P A |＝|PB |， ∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝R ＝8>|AF |＝4. 由椭圆的定义，知点P 的轨迹是椭圆．依题意，有2a ＝8，c ＝2，∴b 2＝12， ∴动点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.7．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆标准方程．解析：由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1，其焦点为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵点M (2，6)在椭圆上，∴6a 2＋4b 2＝1.①又a 2－b 2＝4，②由②得a 2＝b 2＋4，代入①得b 4－6b 2－16＝0，可解得b 2＝8或b 2＝－2(舍去)，所以a 2＝12. 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.求解椭圆问题的四种常见错误[典例] (1)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段(2)若方程x 27－k ＋y 2k －5＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．(3)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，则实数m 为________．[解析] (1)因为|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2. (2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧7－k >0，k －5>0，7－k ≠k －5，所以k ∈(5,6)∪(6,7)．(3)因为2c ＝6，所以c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2，由a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，所以m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25，a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34.[答案] (1)D (2)(5,6)∪(6,7) (3)4或34[错因与防范] 在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误： (1)忽略椭圆定义中的条件2a >|F 1F 2|；(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a >0，b >0，a ≠b )； (3)主观认为焦点在x 轴上而忽略讨论焦点在y 轴上的情况； (4)忽略对方程加限制条件．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

金优课高中数学北师大选修21课时作业：341 曲线与方程1 含解析

第三章 §4 课时作业32一、选择题1．[2014·广东省中山一中期中考试]方程(2x －y ＋2)x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )A ．一个点与一条直线B ．两条射线或一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆解析：本题主要考查曲线与方程的关系．原方程等价于x 2＋y 2－1＝0即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B. 答案：B2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在圆(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A ．π3B ．5π3C ．π3或5π3D ．π3或π6 解析：依题意得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，化简得cos α＝12， ∵0≤α<2π，∴α的值为π3或5π3. 答案：C3．方程x 2＋6xy ＋9y 2＋3x ＋9y －4＝0表示的图形是( )A ．两条重合的直线B ．两条互相平行的直线C ．两条相交的直线D ．两条互相垂直的直线解析：方程可化为(x ＋3y ＋4)(x ＋3y －1)＝0，即x ＋3y ＋4＝0或x ＋3y －1＝0，所以原方程表示的图形是直线x ＋3y ＋4＝0和x ＋3y －1＝0，这是两条互相平行的直线．故选B.答案：B4．已知曲线ax 2＋by 2＝2经过点A (0,2)和B (1,1)，则a 、b 的值为( )A ．12，32B ．32，12C ．－32，32D ．12，－32解析：∵A (0,2)和B (1,1)都在曲线ax 2＋by 2＝2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·0＋4b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.答案：B二、填空题5．点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，则a 的值是__________．解析：∵点P 在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，∴a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，解之得a ＝－1或a ＝－5.答案：－1或－56．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1. 答案：17．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：数形结合如图：当a >1时，两条曲线有两个交点．答案：a >1三、解答题8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上？(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， ∴(m 2)2＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185. 故m 的值为2或－185. 9．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π. 所以，所求图形的面积为2π.。

高中北师大版数学选修2-1学案：3.1.1 椭圆及其标准方程含答案

学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题．为此建议在学习中做到以下几个方面：
1．搞清概念，对概念定义应“咬文嚼字”地学习. 2．熟悉曲线，能“速写”出符合题目数量特征要求的曲线． 3．熟练运用代数、三角、几何和向量等知识． 4．处理问题时要在“大处着眼”，即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想；在“小处着手”，即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法．
33
2
【思路探究】利用椭圆定义直接求 a，b 或利用待定系数法求 a，
b. x2
【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为＋ a2
y2 ＝1(a>b>0)．
b2 方法 1：由椭圆的定义及两点间的距离公式知
1
35
1
2a＝
＋1 2
2＋ 4
＋－0 2 2
35
－1 4
2＋
＝4，－0 2
F2(c,0)，焦距|F1F2|＝2c. y2 x2
② ＋＝1(a>b>0)，焦点在 y 轴上，焦点坐标为 F1(0，－c)， a2 b2
F2(0，c)，焦距|F1F2|＝2c. 在问题中没有明确说明焦点位置时，两种情况都应注意． 3．关于求椭圆的标准方程的几个注意点： (1)求椭圆方程，一般先定型，再定量．“定型”即判定焦点位置，
c)．它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中 b2＝a2－c2. a2 b2
[答一答]
1．如何用几何图形解释 b2＝a2－c2？a，b，c 在椭圆中分别表示哪些线段的长？
提示：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离之和的一半，可借助右图帮助记忆．a，b，c 恰构成一个直角三角形的三条边， a 是斜边，所以 a>b，a>c，且 a2＝b2＋c2，其中 c 是焦距的一半．

高中数学北师大版选修2-1练习：第三章1.1 椭圆及其标准方程 1 含解析

[基础达标] [^%~@*]1.椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) [^*&#%]A ．(±2，0)B ．(0，±2)C ．(±23，0)D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆x 225＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m 的值为( ) [^~@*#]A ．－16B ．－4C ．16D ．4解析：选C.焦点在x 轴且c ＝3，由25＝m ＋9，∴m ＝16. 3.已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R)表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k<1或k>3B ．1<k<3 [#*&~^]C ．k>1D ．k<3解析：选B.由题意知k ＋1>3－k>0，∴1<k<3.4.过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215＋y 210＝1 B ．x 2225＋y 2100＝1 [^@*#&]C.x210＋y215＝1 D．x2100＋y2225＝1解析：选A.c2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x2b2＋5＋y2b2＝1，代入(－3，2)得9b2＋5＋4b2＝1，∴b2＝10，椭圆方程为x215＋y210＝1.5.如图，椭圆x225＋y29＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )A．8 B．2C．4 D．32[*@%#~]解析：选C.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8，由于N为MF1的中点，ON为中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝4.6.已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|＝2，[~@^%#] ∴动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，轨迹方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝17.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝________． [#*&^@]解析：由于|AB|＋|F 2A|＋|F 2B|＝4a ＝20，∴|AB|＝20－(|F 2A|＋|F 2B|)＝20－12＝8.答案：88.若方程x 2k －2＋y 25－k ＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________． [^&@%#]解析：由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆， [&#^~*]可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k>0，k －2≠5－k ，解得2<k<5且k ≠72.即当2<k<72或72<k<5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．答案：(2，72)∪(72，5)9.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．(2)当∠F 1PF 2为钝角时，|PF 2|的取值范围．解：(1)∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6，[%&^@*] 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. [~%^&#] ∵∠F 1PF 2为钝角，∴cos ∠F 1PF 2<0. [~@#^*]又∵cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，∴r 21＋r 22<20，∴r 1r 2>8，∴(6－r 2)r 2>8，∴2<r 2<4. [*&^%@]即|PF 2|的取值范围是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程． [@#~*^](2)在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC|＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c>a>b 的顶点A 的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，有|AM|＋|AC|＝2a ，|BM|＋|BC|＝2a ， [~@%&#] 两式相加，得8＋42＝4a ， [%&@~^]∴a ＝2＋2，|AM|＝2a －|AC|＝4＋22－4＝22.在直角三角形AMC 中，∵|MC|2＝|AM|2＋|AC|2＝8＋16＝24，∴c 2＝6，b 2＝4 2. [&^%#*]故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1.(2)由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n2＝1(m>n>0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y 23＝1.又c>a>b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x>0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x>0，y ≠0)．[能力提升]1.设过点P(x ，y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P点的轨迹方程是( ) [^@&*#]A.32x 2＋3y 2＝1(x>0，y>0) B.32x 2－3y 2＝1(x>0，y>0)C ．3x 2－32y 2＝1(x>0，y>0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x>0，y>0) [~^%#@]解析：选A.由题意Q 坐标为(－x ，y)(x>0，y>0)，设A(x 0，0)，B(0，y 0)，由BP →＝2PA →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2x y －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x . 由OQ →·AB →＝1得(－x ，y)·(－x 0，y 0)＝1，∴x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x 代入上述得32x 2＋3y 2＝1(x>0，y>0)．2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2.答案：(π4，π2)3.已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积； [#*~&^](2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值．解：(1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n(m>0，n>0)． [@~^#&]根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122， [&@*#%]∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n)2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20.∵|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2022＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d. [*%~^&] (1)证明：d ，b ，a 成等比数列； [@#%~&](2)若M 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，1，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的椭圆中，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ， ∴c 2a 2＋d 2b 2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，∴d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列．(2)由条件知c ＝2，d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1a 2＝b 2＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2， [%@#^*]∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(3)设点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，当l ⊥x 轴时，A(－2，－1)、B(－2，1)，所以OA→·OB →≠0.设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)， [^#*@%]代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－42k 21＋2k2，x 1·x 2＝4k 2－41＋2k 2，由OA →·OB →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， [@~#&^]x 1·x 2＋k 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(1＋k 2)x 1·x 2＋2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0，代入得（1＋k 2）（4k 2－4）1＋2k 2－42k 2·2k 21＋2k 2＋2k2＝0，解得k ＝± 2. [*@%&~]所以直线l 的方程为y ＝±2(x ＋2)．[&~@#*] [%^&@#]。

2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章圆锥曲线

1.1椭圆及其标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程. 解方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积. 解 (1)依题意知|F 1F 2|＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>2＝|F 1F 2|， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则m ＋n ＝2a ＝4. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos120°)，解得mn ＝12. ∴12∆PF F S ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin120°＝3 3.反思与感悟在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理.跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点.求△AF 1B 的周长.解如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10， |AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2| ＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程.解以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示.由|BC |＝8可知点B (－4,0)，C (4,0).由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上. 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0).反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程.解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ，∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|P A |＝10－r ，即|P A |＋|PB |＝10(大于|AB |＝6).∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆. ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆B.直线C.圆D.线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段.2.已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B解析由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.3.设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 而|F 1F 2|＝4，所以|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2，所以△PF 1F 2是直角三角形，故选B.4.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆.若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， |F 1F 2|＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100，即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.。

高二数学北师大版选修2-1教师用书第3章 1.1 椭圆及其标准方程 Word版含答案

§椭圆
．椭圆及其标准方程
．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点)
．掌握、推导椭圆标准方程的过程．(难点)
．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点)
教材整理椭圆的定义
阅读教材上半部分，完成下列问题．
(
等于常数
两个定点
平面内到
，的
距离之和
大于
两个定点
，叫
的点的集合叫作椭圆，这
)
作椭圆的焦点，两个焦点，间的
叫作椭圆的焦距．
距离
平面内有一个动点及两定点，.设：＋为定值，：点的轨迹是以，为焦点的椭圆．那么( )
．是的充分不必要条件
．是的必要不充分条件
．是的充要条件
．既不是的充分条件，又不是的必要条件【解析】若＋为定值，只有定值＞时，点轨迹才是椭圆．故为的必要不充分条件．
【答案】
教材整理椭圆的标准方程
阅读教材下半部分，完成下列问题.
．＝，＝，焦点在轴上的椭圆标准方程为．【导学号：】
【解析】∵焦点在轴上，＝－＝，∴标准方程为＋＝.
【答案】＋＝
．求方程＋＝的焦点坐标．
【解】＋＝可化为＋＝，
∴＝，＝，
∴＝－＝－＝，
∴＝，
∴焦点坐标为，
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
()( ) ．．
．．
【自主解答】设′为椭圆的另一焦点则＋′＝＝，。

金优课高中数学北师大选修21课时作业：第3章习题课3 含解析

习题课(3)一、选择题1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线解析：由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线．答案：D2．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分解析：依题意：x ≥0，方程可化为：3y 2－x 2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.答案：C3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B ．13C ．3D ．－13解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21＋y 21k＝1，故离心率e ＝1－1k 1＝2，解得k ＝－13，故选D. 答案：D4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A ．233B ． 3C ．2D ．233或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋(b a )2，所以结果为2或233，故选D.答案：D5． [2014·山东高考]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a，e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.答案：A6．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是( ) A ．35B ．45C ．53D ．54解析：由已知得2b ＝a ＋c ， ∴2b a ＝1＋c a . ∴2e 2－1＝1＋e .平方得4(e 2－1)＝e 2＋2e ＋1即3e 2－2e －5＝0.∴e ＝53.答案：C 二、填空题7．[2013·陕西高考]双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54. 答案：548．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．解析：|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.答案：89．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中命题正确的序号为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得1<k <52或52<k <4，此时方程表示椭圆，且1<k <52时表示焦点在x 轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(4－k )(k －1)<0得k <1或k >4，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案：③④ 三、解答题10．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为16，离心率为2；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．解：(1)由题意知b ＝8，且为等轴双曲线， ∴双曲线标准方程为x 264－y 264＝1或y 264－x 264＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94，当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k (k ≠0)，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：F 1M →·F 2M →＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)， ∵(4，－10)在双曲线上， ∴n ＝42－(－10)2＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)∵M (3，m )在双曲线上，则M (3，±3)，即m ＝±3，∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴F 1M →·F 2M →＝0.12．如图所示，已知梯形ABCD 中，|AB |＝2|CD |，点E 满足AE →＝λEC →，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解：法一：以线段AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴，因为双曲线过点C 、D 且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性可知C 、D 关于y 轴对称．设A (－c,0)、C ⎝⎛⎭⎫c2，h 、 E (x 0，y 0)，其中c ＝12|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由AE →＝λEC →，即(x 0＋c ，y 0)＝λ⎝⎛⎭⎫c2－x 0，h －y 0，得x 0＝(λ－2)c 2(1＋λ)，y 0＝λh 1＋λ.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则离心率为e ＝ca.由点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和e ＝ca，代入双曲线方程，得⎩⎨⎧e 24－h 2b 2＝1， ①e 24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－2λ＋12－⎝⎛⎭⎫λλ＋12h2b2＝1. ②由①得h 2b 2＝e 24－1.③将③代入②式中，整理得e 24(4－4λ)＝1＋2λ.∴λ＝1－3e 2＋2.又∵23≤λ≤34，∴23≤1－3e 2＋2≤34.∴7≤e ≤10.∴双曲线的离心率的取值范围为[7，10]．法二：前面部分同法一．可求得直线AC 的方程为y ＝2h3c(x ＋c )，将其代入双曲线方程b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2中，得 (9b 2c 2－4a 2h 2)x 2－8a 2h 2cx －(4a 2h 2＋9a 2b 2)c 2＝0. 又∵x 0、c2为上述二次方程的两根，∴c2·x 0＝(4a 2h 2＋9a 2b 2)c 24a 2h 2－9b 2c 2.①又∵C ⎝⎛⎭⎫c 2，h 在双曲线上， ∴4h 2＝b 2(e 2－4)． ② ∵x 0＝(λ－2)c 2(λ＋1)，③将②③代入①中，得(λ－2)c 2(λ＋1)·c 2＝a 2(e 2－4)b 2＋9a 2b 2a 2(e 2－4)b 2－9b 2c ·c 2. ∵e ＝c a ，∴λ＝1－3e 2＋2，以下同法一．。

高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准方程课时作业(含解析)北师大版选修2-1-

课时作业12 椭圆及其标准方程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．平面直角坐标系中，已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝3，则动点P 的集合是( D )A ．线段F 1F 2B ．直线F 1F 2C ．以F 1，F 2为直径的圆D ．以F 1，F 2为焦点的椭圆解析：由题知，|F 1F 2|＝2，因为|PF 1|＋|PF 2|＝3>2，所以动点P 的集合是以F 1，F 2为焦点的椭圆．2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为( A )A ．5B ．6C ．4D ．1 解析：由椭圆的标准方程知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以点P 到另一个焦点的距离为10－5＝5.3．方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( D )A ．(3,7)B ．(3,5)∪(5,7)C ．(3,5)D ．(5,7)解析：m 满足⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m <m －3，解得5<m <7.4．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点是(0，－4)，则实数k 的值是( C ) A.18 B ．8 C.132 D ．32 解析：方程为x 212k ＋y21k ＝1，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1k >12k >0，1k －12k ＝16，解得k ＝132.5．已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为( A )A ．9或917B.34或32 C ．9或34D.917或32解析：方程化为标准方程为x 28a ＋y 28＝1，x 21009＋y 24＝1，则8a －8＝1009－4或8－8a ＝1009－4.∴a ＝917或a ＝9.6．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝4，故满足|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝|PF 1|2，故△PF 1F 2为直角三角形．7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12.又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.8．如图，椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上有一点P 到F 1的距离为6，线段PF 1的中点为E ，O 为坐标原点，则|EO |等于( A )A ．2B ．4C ．3D ．5解析：如图，连接PF 2，PE ＝EF 1，F 1O ＝OF 2，则|OE |＝12|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，且|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝4，∴|EO |＝2.二、填空题9．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是x 215＋y 210＝1.解析：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上，知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.10．若椭圆4x 2＋my 2＝4m 的焦距为2，则实数m ＝3或5.解析：由题意知m >0，椭圆方程4x 2＋my 2＝4m 可化为标准方程x 2m ＋y 24＝1.当焦点在x 轴上时，m －4＝1，得m ＝5；当焦点在y 轴上时，4－m ＝1，得m ＝3，所以m ＝3或5.11．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则Γ3解析：不妨设椭圆Γ的标准方程为x 24＋y 2b2＝1，C (x C ，y C )，于是可算得|x C |＝1，|y C |＝1，取C (1,1)，得b 2＝43，2c ＝463.三、解答题12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的标准方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，则a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos30°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(2＋3)|PF 1||PF 2|，∴4＝42－(2＋3)|PF 1||PF 2|＝16－(2＋3)|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12(2－3)， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin30°＝12×12(2－3)×12＝6－3 3. 13．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解析：(1)由已知得c ＝1，则a 2－b 2＝1.又3a 2＝4b 2，故a 2＝4，b 2＝3.所求椭圆方程为x 23＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝1，解得|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2，于是在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝254＋94－42×52×32＝35.——能力提升类——14．椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆周长为4π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则|y 2－y 1|的值为5.解析：由椭圆的定义可知△ABF 2的周长为4a ＝4×5＝20，由内切圆的周长为4π，得内切圆的半径r ＝2，所以S △ABF 2＝12×20×2＝20.又S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 2－y 1|，|F 1F 2|＝8，所以|y 2－y 1|＝5.15．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴为短轴的3倍，直线y ＝x 与椭圆交于A ，B 两点，点C 为椭圆的右顶点，OA →·OC →＝32，求椭圆方程．解：根据题意，得a ＝3b ，C (a,0)．设A (t ，t )(t >0)，则t 2a 2＋t 2b2＝1，∴t ＝32b ，∴OA →＝(32b ，32b )，OC →＝(a,0)． ∵OA →·OC →＝32ab ＝32b 2＝32，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.。

金优课高中数学北师大选修21课时作业：3 椭圆的简单性质1 含解析

第三章 §1 课时作业23一、选择题1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)解析：方程化为标准形式为x 2＋y 26＝1，其焦点在y 轴上，由于a 2＝6，∴a ＝ 6.∴长轴的端点坐标为(0，±6)，故选D.答案：D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x 轴上，前者焦距2c ＝225－9＝8，后者焦距2c ＝2(25－k )－(9－k )＝8.答案：D3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝1解析：由2a ＝12，c a ＝13，解得a ＝6，c ＝2，∴b 2＝62－22＝32. ∵焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.答案：D4．[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A 、B 和C 、D ，则|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．8解析：本题考查椭圆定义的应用．如图，设F 1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1为平行四边形，∴|AF 1|＝|FD |，同理|BF 1|＝|CF |，∴|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝|AF |＋|BF |＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.答案：D 二、填空题5．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率e ＝32，则其标准方程为__________．解析：依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的标准方程为：y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝16．已知点P (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则以P 为顶点的椭圆的内接矩形P ABC 的面积是__________．解析：由对称性知矩形P ABC 的长与宽分别为6,8，故S ＝48. 答案：487．[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：本题主要考查椭圆的离心率．由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3.即|PF 1|＝2c3，|PF 2|＝4c 3.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33.答案：33三、解答题8．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝35，焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 9．如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b2)．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。

金优课高中数学北师大选修21课时作业：第3章习题课2 含解析

习题课(2)一、选择题1．将抛物线y ＝4x 2绕焦点逆时针方向旋转90°后，所得抛物线的准线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝－2 C ．x ＝18D ．x ＝116解析：化成标准式x 2＝14y ，则p ＝18，设准线方程为x ＝m ，则m ＝18.答案：C2．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2，所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 答案：A3．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p解析：∵|OA |＝|OB |，∴A ，B 两点关于x 轴对称，由于垂心是焦点，则垂心为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，由题意，得k F A ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－1，则y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2. ∵y 20＝2px 0(x 0>0，p >0)，∴2px 0＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2.∴x 0＝52p . ∴直线AB 的方程为x ＝52p .答案：D4．抛物线x 2＝－4y 的通径为线段AB ，O 为抛物线的顶点，则( ) A ．通径长为8，△AOB 的面积为4 B ．通径长为8，△AOB 的面积为2 C ．通径长为4，△AOB 的面积为4 D ．通径长为4，△AOB 的面积为2解析：在抛物线x 2＝－4y 中，因为2p ＝4，所以通径的长为4，△AOB 的面积为12·2p ·p2＝12×4×1＝2. 答案：D5．过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a解析：可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x p ＋a 4＝a 4＋a 4＝a2， |QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .答案：D6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y ＝x 2－1上一定点B (－1,0)和两个动点P ，Q ，当BP ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)B ．[－3,1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P (t ，t 2－1)，Q (s ，s 2－1)，∵BP ⊥PQ ，∴t 2－1t ＋1·(s 2－1)－(t 2－1)s －t ＝－1，即t 2＋(s －1)t －s ＋1＝0，∵t ∈R ，P ，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s －1)2＋4(s －1)≥0，即s 2＋2s －3≥0，解得s ≤－3或s ≥1.∴点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.答案：D 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值是__________．解析：抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1ay ，由于其准线方程为y ＝1，故a <0，且|14a |＝1，解得a ＝－14.答案：－148．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案：29．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________.解析：∵直线AF 的斜率为－3， ∴∠P AF ＝60°. 又|P A |＝|PF |，∴△P AF 为正三角形，作FM ⊥P A ，则M 为P A 中点，|MA |＝p ， ∴|P A |＝2p .∴|PF |＝|AP |＝2p ＝8. 答案：8 三、解答题10．(1)求过点(－p 2，0)(p >0)且与直线x ＝p2相切的动圆圆心M 的轨迹方程；(2)平面上动点M 到定点F (0,3)的距离比M 到直线y ＝－1的距离大2，求动点M 满足的方程，并画出相应的草图．解：(1)根据抛物线的定义知，圆心M 的轨迹是以点(－p2，0)为焦点，直线x ＝p2为准线的抛物线，其方程为y 2＝－2px (p >0)．(2)因为动点M 到定点F (0,3)的距离比点M 到直线y ＝－1的距离大2，所以动点M 到定点F (0,3)的距离等于点M 到直线y ＝－3的距离，由抛物线的定义得动点M 的轨迹是以定点F (0,3)为焦点，定直线y ＝－3为准线的抛物线，故动点M 的轨迹方程为x 2＝12y ，草图如上图所示．11．已知抛物线方程y 2＝2x ，设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离最小值d ，并写出关系式d ＝f (a )．解：设B (x ，y )是抛物线y 2＝2x 上任意一点，则|AB |2＝(x －a )2＋y 2＝[x －(a －1)]2－1＋2a . 当a >1时，此时当x ＝a －1时，|AB |取最小值， d ＝2a －1；当a ≤1时，此时当x ＝0时，|AB |取最小值，d ＝|a |.综上所述，d ＝⎩⎨⎧2a －1(a >1)，|a |(a ≤1).12．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．即曲线C 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，所以不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0 ⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0，③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。

金优课高中数学北师大选修21课时作业：3 椭圆的简单性质2 含解析

第三章 §1 课时作业24一、选择题1．设P (x ，y )是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一个动点，定点M (1,0)，则|PM |2的最大值是( ) A ．23B ．1C ．3D ．9解析：|PM |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋1－x 24＝34x 2－2x ＋2＝34(x －43)2＋23∵－2≤x ≤2，∴当x ＝－2时，|PM |2max＝9. 答案：D2．已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个椭圆的离心率是( )A ．3－1B ．3＋1C ．3－12D ．3＋12解析：由题意可知△PF 1F 2构成直角三角形且∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c ，所以由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，得离心率e ＝ca ＝3－1.故选择A.答案：A3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A ．118B ．536C ．16D ．13解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况，则概率为66×6＝16.故选择C. 答案：C4．如图所示，椭圆中心在坐标原点，离心率为12，F 为椭圆左焦点，直线AB 与FC 交于D 点，则∠BDC 的正切值是( )A ．－3 3B ．3－ 3C ．3 3D ．3＋ 3解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (0，b )，B (－a,0)，C (0，－b )，F (－c,0)．∵k AB ＝b a ，k CF ＝－b c，∴tan ∠BDF ＝k CF －k AB 1＋k CF ·k AB ＝－b c －ba 1－b 2ac ＝b (a ＋c )b 2－ac. ∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b ＝3c ，∴tan ∠BDF ＝33c 23c 2－2c 2＝3 3. 答案：C 二、填空题5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为________．解析：∵椭圆方程为x 216＋y 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝7.若直角三角形的直角顶点为P ，当P 在短轴两个端点位置时，∠F 1PF 2最大，此时cos ∠F 1PF 2＝16＋16－282×4×4＝18>0，即∠F 1PF 2最大时为锐角．∴直角顶点在F 1或F 2上，不妨设F 1P ⊥F 1F 2，设P (－7，y )，则716＋y 29＝1，∴y 2＝8116，∴|y |＝94.答案：946．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1为椭圆的左焦点，A (2,2)为椭圆内的点，P 是椭圆上任意一点，则|P A |－|PF 1|的最大值为________．解析：F 1的坐标为(－4,0)，点P 在椭圆上移动，若P 与A 、F 1不共线，则在△P AF 1中，|P A |－|PF 1|<|AF 1|，当P 点与A 、F 1共线时，且P 点在AF 1的延长线上时，|P A |－|PF 1|＝|AF 1|，此时|P A |－|PF 1|取最大值，即为|AF 1|的值，由A 、F 1的坐标，得|AF 1|＝210.答案：2107．已知点F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两焦点，P 为椭圆上的点，∠F 1PF 2＝α，当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则m ＝________，n ＝________.解析：如图所示，点P 在椭圆上变化时，S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y P|，∴当|y P |取最大时，即P 点为椭圆短轴端点时，S △F 1PF 2最大，则∠F 1PO ＝π3，|OF 1|＝3，a ＝|PF 1|＝3sin π3＝23，b ＝|OP |＝3tan π3＝3，由已知m ＝a ，n ＝b ，解得m ＝12，n ＝3.答案：12 3 三、解答题8．如图所示，已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最小，并求出最小值．解：设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0.由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3.所以与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0.所以最小距离为d ＝|4－3|2＝22.此时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即所求点为P ⎝⎛⎭⎫－83，13. 9．椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到这个椭圆上点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b .① 设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－a 2y 2b2，且d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝a 2－a 2y 2b 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b . (1)如果b <12，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值(7)2＝⎝⎛⎭⎫b ＋322，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．(2)如果b ≥12，则当y ＝－12时，d 2取得最大值(7)2＝4b 2＋3，②由①②可得b ＝1，a ＝2. 故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由y ＝－12可得椭圆上到点P 的距离等于7的点为⎝⎛⎭⎫－3，－12与⎝⎛⎭⎫3，－12.。

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第三章 §1 课时作业21
一、选择题
1．已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：若P 点的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，P 点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P 是椭圆x 216＋y 2
12＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．
答案：B
3．[2014·西安交大附中月考]椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±3,0) B ．(±1
3，0)
C ．(±3
20
，0)
D ．(0，±3
20
)
解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝1
25，所以c 2
＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以所求焦点坐标为(0，±3
20
)．
答案：D
4．若方程x 24＋y 2
8sin α
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A ．(π3，π2)
B ．[π3，π2)
C ．(π6，π2
)
D ．[π6，π2
)
解析：∵方程x 24＋y 2
8sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，
∴8sin α>4，sin α>1
2.
∵α为锐角，∴π6<α<π
2.
答案：C 二、填空题
5．一个焦点坐标是(0,4)，过点B (1，15)的椭圆的标准方程为__________．解析：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，
∴a 2－b 2＝16，① 又过点B (1，15)， ∴15a 2＋1
b
2＝1，② ∴由①②知，a 2＝20，b 2＝4， ∴椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4＝1.
答案：y 220＋x 2
4
＝1
6．[2014·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．
解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为y 2
16＋x 2＝1.
答案：y 2
16
＋x 2＝1
7．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2
m ＝1(m >0)并且焦距为6，则实数m 的值为__________．
解析：∵2c ＝6，∴c ＝3.
当焦点在x 轴上时，a 2＝25，∴m ＝16.
当焦点在y 轴上时，b 2＝25，∴m ＝34. 答案：16或34 三、解答题
8．求经过点A (3，－2)和点B (－23，1)的椭圆的标准方程．
解：法一：(1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2
b
2＝1，(－2
3)2
a
2
＋1
b
2＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝15，
b 2＝5.
所以所求椭圆的方程为x 215＋y 2
5
＝1.
(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
(－2)2a 2＋(3)2
b
2＝1，1a 2
＋(－23)2
b
2
＝1，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2＝5，
b 2＝15.
因为a <b ，所以方程无解．故所求椭圆的方程为x 215＋y 2
5
＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，
依题意有⎩
⎪⎨⎪⎧
3m ＋4n ＝1，
12m ＋n ＝1，解得
⎩⎨⎧
m ＝115
，
n ＝15.
所以所求椭圆的方程为x 215＋y 2
5
＝1.
9．如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知 |MQ |＝|MA |，
∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |，又|CQ |＝4， ∴|CM |＋|MA |＝4.
又|AC |＝2，∴M 点轨迹为椭圆．由椭圆的定义知：a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.
∴所求轨迹方程为：x 24＋y 2
3
＝1.。