规律探索与代数式求值
第2课时 代数式与整式(含规律探索)
命题点 3 整式的运算（10年10考，近5年连续考查）
11. (2013徐州2题3分)下列运算结果为x6的是( A )
A. x9÷x3
B. (x3)3
C. x2·x3
12. (2019徐州2题3分)下列计算正确的是( C )
A. a2＋a2＝a4 B. (a＋b)2＝a2＋b2
C. (a3)3＝a9
(am)n=___a_m_n__
把积的每一个因式分别 积的乘方 _乘__方__再__把__所__得__的__幂__相__乘__
(ab)n=____a_nb_n_
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名称
运算法则
字母表示
整乘 式法 的运 运算
算
系数、相同字母的幂分别相乘，对于 单项式乘
只在一个单项式里含有的字母，则连 单项式
运算法则
公式表示(a 0,b0,m,n是整数)
整 式 的 运 算
幂 的 运 算
同底数幂 的乘法
同底数幂 的除法
幂的乘方
底数不变，指数相加 __底__数__不__变__，__指__数__相__减__ __底__数__不__变__，__指__数__相__乘__
am∙an=__a_m_+_n__
am÷an=__a_m_-n___
a12，的第值3幅为图__形_12_76中_54_“__·．”的个数为a3，…，以此类推，则
1 ＋1 ＋1
a1 a2 a3
＋…＋
a10
第5题图
命题点 2 代数式求值（10年6考）
6. (2018徐州13题3分)若2m＋n＝4，则代数式6－2m－n的值为____2____． 7. (2019徐州12题3分)若a＝b＋2，则代数式a2－2ab＋b2的值为____4____． 8. (2017徐州14题3分)已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝___8_0____． 9. (2012徐州14题3分)若a2＋2a＝1，则2a2＋4a－1＝____1____． 10. (2014徐州12题3分)若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于 ____-2____．
专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。
代数式的值
代数式的值一、主要内容：1．代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
注：1）字母的取值不能使代数式本身失去意义，如分母不能为零；2）不能使它所表示的实际问题失去意义，如求路程公式S＝vt中，v，t不能取负数。
2．求代数式的值的方法：先代入后计算：注：1）代入时，只将相应的字换成相应的数，其它符号不变。
2）代数式中原来省略的乘号代入数值以后一定要还原。
3）对于已知一个比较复杂的代数式的值，求另一个代数式的常用的方法有整体代入法，代换法。
4）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则，计算出结果。
二、主要数学思想：代数式的值是由字母所取的值确定的，当代数式中的字母每取一个值时，代数式就表示一个确定的（数）值。
因此，求代数式的值是由一般（式）到特殊（数）的问题，通过求代数式的值，可进一步理解代数式的意义和作用。
三、例题讲解：例1 求下列代数式的值：(1) a2- +2 其中a=4, b=12,(2) 其中a= , b= .解：(1)当a=4, b=12时,a2- +2=42- +2=16-3+2=15(2)当a= ，b= 时，= = = 。
点评：（1）求代数式的值的解题步骤是：①指出代数式中的字母所取的值；②抄写原代数式；③把字母的值代入代数式中；④按规定的运算顺序进行计算。
（2）代数式的值是由代数式里字母所取的数的大小来确定的，代数式里的字母可取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量有意义。
（1）题中的a不能取0，因为当a取0时，的分母为零，代数式无意义。
（2）题中a+b不能为0。
例2当a＝－1，b＝2，c＝3时，求下列各代数式的值。
（1）（2）(a2＋b2－c2)2（3）分析：求代数式在a＝－1，b＝2，c＝3时的值，就是把代数式中的字a、b、c，分别用－1，2，3代替，按原来的运算顺序进行运算即可。
（1）（2）(a 2＋b 2－c 2)2＝[(－1)2＋22－32]2＝[－4]2＝16（3）例3 已知a － ＝2，求代数(a － )2－ ＋6＋a 的值。
初二数学：上册第三章用字母表示数3.3代数式的值与代数式求值有关的创新题例析
与代数式求值有关的创新题例析代数式求值是一个从数到式，再从式到数的再认识过程，学好这一部分有助于加深对代数式的理解，有利于符号化思想的形成.在近年来中考中出现了一些与之相关的中考题，这类试题题材新颖，形式灵活，可考查学生多角度思考问题的能力和创新意识，现将这类问题加以总结，供参考.一、程序运算型例1、（2006聊城）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：当输入数据是时，输出的数是（ ） Ａ．861 Ｂ．865 Ｃ．867Ｄ．869解析：观察输入数与输出数之间的关系，可以发现：211211=+，222521=+，2331031=+，…故本题实际上是求代数式21x x +的值，当输入数据是8时，输出的数是2888165=+，选B. 评注：解决这类问题的一般思路是对各个数据进行适当的“加”、“减”、“乘”、“除”，等形式的拆分，探究其中的规律.二、规律探索型①3-x-1x (x>0)的值随着I 的增大越来越小； ②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2； ③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2． 则推测正确的有( )A.0个B.1个 C ．2个 D. 3个解析：从代数式的值的变化可以看出，3-x-1x(x>0)的值随着I 的增大越来越小，且越来越接近于2，选C.评注：本例通过对代数式求值，研究代数式的性质，四、新符号型例4、（2006年内江市）对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f（13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f（2004）+ f （2005）+ f （2006）= .解析:由符号f(x)的定义f （x ）= x 1x+可得： 32)2(=f ，31)21(=f ，1)21()2(=+f f ； 43)3(=f ，41)31(=f 所以1)31()3(=+f f ， …… ……从而发现f （x ）+ f(x1)=1. 所以f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f（13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f（2004）+ f （2005）+ f （2006）=[f （12006）+ f （2006）]+[ f （12005）+ f （2005）]+[ f （12004）+ f （2004）] + …[f（1）+ f （1）]=2006.评注：解决符号信息迁移题的关键是要准确理解新符号的数学意义，主要考查符号语言、文字语言、图形图象语言间的转译能力及推理运算能力.本题关键是发现f(x)+f(1x)=1. 五、应用型例5、（2006台州）日常生活中，“老人”是一个模糊概念．有人想用“老人系数”来表示一个人的老年岁的人的“老人系数”为 ．解析：从表格可以看出x=70在60和80之间，所以212060702060=-=-x . 评注：在日常生产生活中，我们会碰到各种各样的公式，我们应当根据具体的情境选择合适的公式进行计算.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列命题中，假命题是（ ）A ．-的立方根是-2B ．0的平方根是0C ．无理数是无限小数D ．相等的角是对顶角 【答案】D【解析】根据立方根的定义、平方根的定义、无理数的定义及对顶角的性质对各选项分析判断后即可解答．【详解】选项A ， -的立方根是-2，正确；选项B ， 0的平方根是0，正确；选项C ， 无理数是无限小数，正确；选项D ， 相等的角是对顶角，错误.故选D.【点睛】本题考查了立方根的定义、平方根的定义、无理数的定义及对顶角的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.2．某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x 张甲种票，y 张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）A ．351824750x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．352418750x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．352418750x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．351824750x y x y -=⎧⎨-=⎩【答案】B 【解析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式求出答案．【详解】解：设买了x 张甲种票，y 张乙种票，根据题意可得：352418750x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选择：B.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．3．点P 的坐标为236()a a -+，，且到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为( )A ．(33)， B ．(33)，- C ． (66)，- D ．(33)， 或(66)，-【答案】D 【解析】根据点P 到两坐标轴的距离相等可得其点的横坐标与纵坐标的绝对值相等，据此进一步求解即可.【详解】∵点P 到两坐标轴的距离相等， ∴236a a -=+，即：236a a -=+或()236a a -=-+，∴1a =-或4a =-，∴P 点坐标为：(33)， 或(66)，-故选：D.【点睛】本题主要考查了坐标系中点的坐标的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．要测量河岸相对两点A 、B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C 、D ，使CD=CB ，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A 、C 、E 在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB 的长是（ ）A ．2.5B ．10C ．5D ．以上都不对【答案】C 【解析】∵AB ⊥BD ，ED ⊥AB ，∴∠ABC=∠EDC=90∘，在△ABC 和△EDC 中,90{ABC EDC BC DCACB ECD︒∠=∠==∠=∠， ∴△ABC ≌△EDC(ASA)，∴AB=ED=5.故选C.5．王老师有一个实际容量为()201.8GB 1GB 2KB =的U 盘，内有三个文件夹.已知课件文件夹占用了0.8GB的内存，照片文件夹内有32张大小都是112KB的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是152KB的音乐.若该U盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐()首.A．28 B．30 C．32 D．34【答案】B【解析】根据同底数幂的乘除法法则，进行计算即可．【详解】解：（1.8−0.8）×220＝220（KB），32×211＝25×211＝216（KB），（220−216）÷215＝25−2＝30（首），故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．如图，利用直尺圆规作∠AOB的角平分线OP.则图中△OCP≌△ODP的理由是A．边边边B．边角边C．角角边D．斜边直角边【答案】A【解析】根据角平分线的作图方法解答．【详解】解：根据角平分线的作法可知，OC=OD，CP=DP，又∵OP是公共边，∴△OCP≌△ODP的根据是“SSS”．故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．，则四边形ABFD的周长为7．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到DEF（）A ．8B ．10C ．12D ．16【答案】B 【解析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC 即可得出答案．根据题意，将周长为8个单位的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ；又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．故选C ．“点睛”本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD ，DF=AC 是解题的关键．8．在绘制频数分布直方图时，一个容量为80的样本最大值是143，最小值是50，取组距为10，则可以分成（ ）组；A ．10B ．9C ．8D ．不能确定【答案】A【解析】最大值减去最小值，再除以组距即可求解．【详解】()14350109.3-÷=故可以分成10组故答案为：A ．【点睛】本题考查了频数分布直方图的问题，掌握求组数的方法是解题的关键．9．如图，下列条件：①13∠=∠，②24180∠+∠=︒，③45∠=∠，④23∠∠=，能判断直线12l l //的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【解析】根据平行线的判定方法：同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行；逐一判定即可.【详解】①13∠=∠，∠1和∠3是内错角，故可判定直线12l l //；②24180∠+∠=︒，∠2和∠4是同旁内角，故可判定直线12l l //；③45∠=∠，∠4和∠5是同位角，故可判定直线12l l //；④23∠∠=，∠2和∠3既不是同位角也不是内错角，故不能判定直线12l l //；故选：B.【点睛】此题主要考查平行线的判定，熟练掌握，即可解题.10．若m n <，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．11m n -<-B ．22m n <C ．33m n ->-D ．22m n < 【答案】D【解析】本题主要考查不等式的基本性质.基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.【详解】A ：不等式两边同时减去1，不等式成立，即m-1<n-1B ：不等式两边同时乘2，不等式成立，即2m<2nC ：不等式两边同时乘以13-，不等号方向改变，即33m n ->- D ：当m<n ，且m n >时，22m n >，故22m n <不成立故正确答案为D【点睛】此题主要考查不等式的基本性质，基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.二、填空题题11．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ .以下五个结论：①AD ＝BE;②PQ∥AE;③AP＝BQ;④DE＝DP;⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有_____；(填序号）.【答案】①②③⑤【解析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA （ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，即∠AOE=180°-60°=120°可知⑤正确．【详解】∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴①正确，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE②正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ③正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴∠AOE=180°-60°=120°∴⑤正确．故正确的有：①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．12．东方旅行社，某天有空客房10间，当天接待了一个旅游团，当每个房间住3人时，只有一个房间不空也不满，试问旅游团共有__________人．【答案】28或29【解析】分析：根据有空客房10间，每个房间住3人时，只有一个房间不空也不满，即：9间客房住满了，而最后一个房间不空也不满即这间客房住了1个人或2个人，分两种情况列出算式即可求出旅客的总人数．详解：由题可知，前9个房间住的人数是9×3=27人；最后1间客房（不空也不满的房间）的人数有两种情况：（1）当有1个人时：游客总数为：27+1=28人；（2）当有2个人时：游客总数为：27+2=29人，所以旅游团共有28或29人.故答案为：28或29.点睛：本题考查了一元一次不等式的应用.根据题中的不等关系确定不空也不满的房间人数是解题的关键. 13．已知方程2x 2n-1-3y 3m-1+1=0是二元一次方程,则m+n= ______ 【答案】53 【解析】根据二元一次方程的定义，x 、y 的次数都是1.【详解】解：∵方程2x 2n-1-3y 3m-1=0是关于x 、y 的二元一次方程，211311n m -=⎧⎨-=⎩解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴m+n=53故答案为53． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解答此题，关键是利用指数为1建立方程组．14．如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，那么∠DAE =______度．【答案】10【解析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD 中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD -∠CAE=50°-40°=10°【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度15．三个连续的正整数的和大于333，则满足条件的最小的三个正整数是_______．【答案】111，112，113【解析】设出三个连续的正整数中间一个为x ，表示另外两个，列出不等式求解即可．【详解】解：设这个三连整数是1x -，x ，1x +，则11333x x x -+++>，解得111x >．112x ∴=，故最小的三个正整数是111，112，113．故答案为：111，112，113【点睛】本题考查的是不等式的简单应用，根据题意列出正确的不等式是解题关键．16．若5a =，29b =，且ab ＜0，则-a b 等于_____________．【答案】8±【解析】根据题意首先得出5a =±，3b =±，然后利用有理数乘法法则结合题意可知a 、b 两数异号，据此进一步分类讨论即可. 【详解】∵5a =，29b =，∴5a =±，3b =±，∵ab ＜0，∴a 、b 两数异号，∴当5a =，3b =-时，8a b -=，当5a =-，3b =时，8a b -=-，综上所述，a b -的值为8±，故答案为：8±.【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用以及代数式的求值，熟练掌握相关概念是解题关键.17．已知关于x 的不等式组1x x m ＞＜-⎧⎨⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是_____． 【答案】1＜m ≤2【解析】首先确定不等式组的整数解，即可确定m 的范围．【详解】解：关于x 的不等式组1x x m ＞＜-⎧⎨⎩的解集是：﹣1＜x ＜m ， 则2个整数解是：0，1，1．故m 的范围是：1＜m≤2．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，正确理解m 与1和2的大小关系是关键．三、解答题18．关于x 的方程5264x k k x -=+-的解是负数，求字母k 的值．【答案】 1.k -＜【解析】解一元一次方程可得+1.x k =，再根据解是负数，即可求字母k 的值．【详解】由5264x k k x -=+-，得66x k =+6，解得+1.x k =∵方程的解是负数，∴+10.k ＜∴ 1.k -＜【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．19．在△ABC 中，点D 在边BA 或BA 的延长线上，过点D 作DE ∥BC ，交∠ABC 的角平分线于点E ． （1）如图1，当点D 在边BA 上时，点E 恰好在边AC 上，求证：∠ADE=2∠DEB ；（2）如图2，当点D 在BA 的延长线上时，请直接写出∠ADE 与∠DEB 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）∠ADE+2∠DEB=180°.【解析】（1）由角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；（2）由角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．【详解】证明：（1）∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∵DE∥BC，∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，∴∠ABE=∠DEB，∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．（2）∠ADE+2∠DEB=180°．∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE．∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，∴∠ABC=2∠DEB，∴∠ADE+2∠DEB=180°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ADE+2∠DEB=180°．20．（1）计算：32564|12|-+-.（2）解不等式2223x x x +--＜，并把解集在数轴上表示出来.（3）解方程组：521123x y y x +⎧⎪-⎨-⎪⎩＝＝． 【答案】（12（2）x ＜2，（3）12x y ＝＝⎧⎨-⎩【解析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得答案；再按照不等式解集的表示方法在数轴上表示即可；（3）先把②两边同时乘以6可得6x-2y=10③，再利用加减消元法解方程即可求出x 的值，代入①求出y 值即可得答案.【详解】（1）原式22（2）去分母，得6x-3（x+2）＜2（2-x ），去括号，得6x-3x-6＜4-2x，移项，合并得5x＜10，系数化为1，得x＜2，不等式的解集在数轴上表示如下：（3）521123x yyx+⎧⎪⎨--⎪⎩＝①＝②②×6得：6x-2y=10③，①+③得：11x=11，即x=1，将x=1代入①，得y=-2，则方程组的解为12 xy＝＝⎧⎨-⎩．【点睛】本题考查了实数的运算、解一元一次不等式及解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则及一元一次不等式、二元一次方程组的解法是解题关键.21．分解因式(1)－3m3＋12m(2)2x2y－8xy＋8y(3)a4＋3a2－4【答案】(1) -3m（m+2）（m-2），(2)2y(x-2)2，(3)(a2+4) (a+1) (a-1)【解析】（1）提取-3m后，再根据平方差公式因式分解；（2）先提取2y，再根据完全平方公式因式分解；（3）先利用十字相乘法因式分解，再用公式法因式分解.【详解】(1)－3m3＋12m=-3m（m2-4）=-3m（m+2）（m-2）(2)2x2y－8xy＋8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2(3)a4＋3a2－4=(a2-1) (a2+4)= (a2+4) (a+1) (a-1)【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.22．已知点M（3a﹣2，a+6），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点N的坐标为（2，5），且直线MN∥x轴；（3）点M到x轴、y轴的距离相等．【答案】（1）点M的坐标是（﹣20，0）；（2）点M的坐标为（﹣5，5）；（3）点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）【解析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列式计算即可得解；（2）根据平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解．（3）根据象限平分线上点到x轴、y轴的距离相等列式计算即可得解．【详解】（1）∵点M在x轴上，∴a+6＝0，∴a＝﹣6，3a﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20，a+6＝0，∴点M的坐标是（﹣20，0）；（2）∵直线MN∥x轴，∴a+6＝5，解得a＝﹣1，3a﹣2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣5，所以，点M的坐标为（﹣5，5）．（3）∵点M到x轴、y轴的距离相等，∴3a﹣2＝a+6，或3a﹣2+a+6＝0解得：a＝4，或a＝﹣1，所以点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了x轴上的点的坐标特征，二四象限平分线上点的坐标特征，第二象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线的上点的坐标特征，需熟记．23．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC="70"o，求∠AGD．解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥DG （）∴∠BAC+ ="180"o（）∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= ．【答案】、两直线平行，同位角相等内错角相等，两直线平行∠AGD两直线平行，同旁内角互补110︒【解析】试题分析：由EF与AD平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DG平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数．试题解析：∵EF∥AD（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠BAC=70°（已知），∴∠AGD=110°．考点：平行线的判定与性质．24．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°，如图1，在ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O.（1）若∠A=70°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=α，求∠BOC的度数；（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∠A=α，求∠BOC的度数.【答案】（1）125°；（2）90°+12α；（3）120°+13α【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；（2）∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-α）=90°-12α，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-12α）=90°+12α；（3）∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=13（∠ABC+∠ACB）=13（180°-α）=60°-13α，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（60°-13α）=120°+13α．【点睛】考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出∠OBC+∠OCB是解此题的关键，求解过程类似．25．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D悦悦是这样做的：过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．【答案】（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.【解析】（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．【详解】证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，∴∠BEG+∠GFD＝90°，∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∴∠EGF＝90°；（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，∵AB∥CD，∴G1H∥CD，由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠3＝∠G2FD，∵FG2平分∠EFD，∴∠4＝∠G2FD，∵∠1＝∠2，∴∠G2＝∠2+∠4，∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠EG1F+∠G2＝180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．将点A（2，-2）向上平移4个单位得到点B，再将点B向左平移4个单位得到点C，则下列说法正确的有（）①点C的坐标为（-2，2）②点C在第二、四象限的角平分线上；③点C的横坐标与纵坐标互为相反数；④点C到x轴与y轴的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】首先根据平移方法可得C(2-4，-2+4)，进而得到C点坐标，再根据C点坐标分析四个说法即可．【详解】解：将点A(2，-2)向上平移4个单位得到点B(2，-2+4)即(2，2)，再将点B向左平移4个单位得到点C(2-4，2)，即(-2，2)，①点C的坐标为(-2，2)说法正确；②点C在第二、四象限的角平分线上，说法正确；③点C的横坐标与纵坐标互为相反数，说法正确；④点C到x轴与y轴的距离相等，说法正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平移变换与坐标变化；关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．2．下列调查中，比较适合用全面调查（普查）方式的是（）A．了解某班同学立定跳远的情况B．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比C．了解一批炮弹的杀伤半径D．了解全国青少年喜欢的电视节目【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据定义判断即可得到答案.【详解】A、了解某班同学立定跳远的情况，适合全面调查；B 、了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比，具有破坏性，适合抽样调查；C 、了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查；D 、了解全国青少年喜欢的电视节目，任务量过大，适合抽样调查；故选择：A.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少40°，则∠α的度数为（ ）A ．20°B ．125°C ．20°或125°D ．35°或110°【答案】C【解析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少40°，可得出答案．【详解】设∠β为x ，则∠α为3x ﹣40°，若两角互补，则x+3x ﹣40°=180°，解得x=55°，∠α=125°；若两角相等，则x=3x ﹣40°，解得x=20°，∠α=20°．故选C ．【点睛】本题考查平行线的性质，关键在于根据两角的两边分别平行打开此题的突破口．4．如图，已知ADB ADC ∠=∠，添加条件后，可得ABD ACD ∆≅∆，则在下列条件中，不能添加的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．BC ∠=∠ C ．BD CD =D ．AB AC =【答案】D 【解析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中D 、AB=AC 与∠ADB=∠ADC 、AD=AD 组成了SSA 是不能由此判定三角形全等的．【详解】A 、∵∠BAD=∠CAD ，∴BAD CAD AD AD ADB ADC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACD （ASA ）；故此选项正确；B 、∵∠B=∠C ，∴ B C ADB ADC AD AD ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACD （AAS ）；故此选项正确；C 、∵BD=CD ，∴BD CD ADB ADC AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）；故此选项正确；D 、AB=AC 与∠ADB=∠ADC 、AD=AD 组成了SSA 不能由此判定三角形全等，故此选项错误． 故选D ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，但SSA 无法证明三角形全等．5．方程组538y x x y =-⎧⎨-=⎩用代入法消y 后所得到的方程，不正确．．．的是（ ） A ．358x x --=B ．385x x -=-C ．()358x x --=D ．358x x -+=【答案】A【解析】把方程组中第一个方程代入第二个方程消去y 即可得到结果． 【详解】解：y x 53x y 8=-⎧⎨-=⎩①② 把①代入②得：()3x x 58--=，去括号得：3x x 58-+=；或移项得：385x x -=-；∴A 错误.故选：A.【点睛】熟练掌握代入消元法解方程组是解题的关键.6．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m-,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ）A ．2x >B ．02x <<C ．8x >-D ．2x <【答案】A【解析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可．【详解】解：∵函数y ＝−4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，−8），∴−8＝−4m ，解得：m ＝1，故A 点坐标为（1，−8），∵kx ＋b ＞−4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0，则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．7．如图，已知，//AB CD ，12∠=∠，EP FP ⊥，则以下结论错误的是（ ）A ．13∠=∠B ．2490∠+∠=C ．1390∠+∠=D ．34∠=∠【答案】A【解析】过点P作PH∥AB，再根据平行线的性质及直角三角形的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠3=∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，∠HPF+∠EPH=90°，∴∠3=∠4，故D正确；∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，故B正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=90∘，∴∠1+∠3=90°，故C正确；故选A.【点睛】本题考查平行线的性质和平行线的判定，在本题中解题关键是构造EP平行AB，形成了截线EP和截线PF，从而得以用平行线的性质解决问题.8．如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1 等于( )A．120︒B．105︒C．60︒D．45︒【答案】B【解析】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选B．点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．9．关于x 的不等式组1x a x ⎧⎨⎩＞＞的解集为x ＞1，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1B ．a ＞1C ．a≤1D ．a ＜1 【答案】C【解析】分析：根据不等式组解集的确定法则：大大取大即可得出答案．详解：∵不等式组的解集为x ＞1，根据大大取大可得：a≤1，故选C ．点睛：本题主要考查的是求不等式组的解集，属于基础题型．理解不等式组的解集与不等式的解之间的关系是解决这个问题的关键．10．若4s t +=，则228s t t -+的值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】根据平方差公式可得228s t t -+=（s+t ）（s-t ）+8t ，把s+t=4代入可得原式=4（s-t ）+8t=4（s+t ），再代入即可求解．【详解】∵s+t=4，∴228s t t -+=(s+t)(s−t)+8t=4(s−t)+8t=4(s+t)=16，故选：C.【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握平方差公式.二、填空题题11．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b ＝a （a+b ）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×（2+5）+1＝2×7+1＝15，那么不等式﹣3⊕x ＜13的解集为____． 【答案】x ＞﹣1．【解析】根据a ⊕b ＝a （a+b ）+1，可得：﹣3⊕x ＝﹣3（﹣3+x ）+1，再根据﹣3⊕x ＜13，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵a ⊕b ＝a （a+b ）+1，∴﹣3⊕x ＝﹣3（﹣3+x ）+1，∵﹣3⊕x ＜13，∴﹣3（﹣3+x ）+1＜13，∴10﹣3x ＜13，解得x ＞﹣1．故答案为：x ＞﹣1．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及一元一次不等式的解法，根据题意把新定义的运算转换成实数运算是解题的关键.12．的倒数是 . 平方等于9的数是__ __【答案】-3；±3 【解析】解：-13的倒数是-3，平方等于9的数是±3. 13．已知23x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程4x+ay=5的一组解，则a 的值为____. 【答案】1 【解析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值．【详解】∵23x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程4x+ay=5的一组解， ∴8－3a=5,∴a=1.故答案是：1.【点睛】考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．14．命题“如果0a b >>a b >_____________命题(填“真”或“假”).【答案】真【解析】根据二次根式的性质进行判断即可．【详解】命题“如果a ＞b ＞0a b >故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次根式的性质，难度不大．15．3﹣2的绝对值是_____． 【答案】2﹣3【解析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0计算即可.【详解】解：32-=2﹣3.故答案为：2﹣3.【点睛】本题考查了绝对值运算，熟练掌握运算法则是解题关键.16．与－3最接近的整数是________；【答案】-2【解析】根据被开方数的取值范围求出二次根式的取值范围即可判断.【详解】∵2.25<3<4∴ 2.2534<<∴1.532<<∴ 1.532->->-所以与－3最接近的整数是-2.故答案为：-2.【点睛】此题考查的实数的比较大小，利用比较大小的方法找到与无理数最接近的整数是解决此题的关键. 17．已知DEC ∆是由CAB ∆平移得到，若2AE cm =，20ECA ∠=︒，AC 平分ECB ∠，则BD =_________，B ∠=_________．【答案】4cm 140︒【解析】根据平移的性质可得BC ＝CD ＝AE ，再根据线段的和差关系即可求解；先根据角平分线的定义可求∠ECB ，根据平角的定义可求∠ECD ，再根据平移的性质可得∠B ．。
初中数学代数问题
简单代数问题一、代数式求值例1：x 2+2x+1=0 求x 5= 1 .条件方程好解，要求值代数式难以变形，且相对容易求值可以先计算再求值。
例2：a 2+2a-10=0求4a 2+8a= 40 . 例3：设0m >n >，2()m n mn +=，则22m n mn +＝ -1 . 求值代数式与原方程形式相近，或难以求值，或所含未知数较多则可整体代入1、设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭韦达定理 1/a 与b 2是方程的两不等实根2、如果x 2+x-1=0，则x 3+2x 2+3= 4 .3、设0m >n >，224m n mn +=，则22m n mn-＝4、已知0≤x ≤1， （1）若x －2y =6，则y 的最小值是___-3_____． （2）若x 2+y 2=3，xy=1，则x-y= -1 ．∵x 2+y 2=3，xy=1，∴（x-y ）2=x 2+y 2-2xy=3-2=1，∴x-y=±1，∵0≤x ≤1，∴x-y ≤0，注：若所给方程解不唯一，可以暴力代入满足题意的未知数的值。
二、探索规律例1：观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是． 例2：一组按一定规律排列的式子：-，，-，，…，（a ≠0）则第n 个式子是 （n 为正整数） 正确的罗列各项能有效降低探索规律的难度1、观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（C ）A ．0B ．1C ．3D ．72、大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m 3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m 的值是（C ）A ．43B ．44C ．45D ．463、已知依据上述规律，则1009999． 5、观察分析下列方程：①23x x +=，②65x x +=，③127x x +=；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程22n+43n n x x ++=-（n 为正整数）的根，你的答案是：n+3,n+4． ab x a b x+=+232n+4-33n n x x +-+=- 2a 52a 83a 114a 123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯99a =三、方程（不等式）与函数例1：关于x 的分式方程301m x +=+的解是负数，负整数m 可以是 -1，-2 .(m 的取值范围是 ) 例2：如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a 、b 满足2215a 50,1550a b b ---==-,a b ≠求a b b a+的值；-47 （2）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。
代数式的化简求值问题
代数式的化简求值问题 知识定位
初中数学中，全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
知识梳理
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括
整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、
函数等知识打下基础。
例题精讲
【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，
求()[]
m m m m +---45222的值. 【答案】-4
【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零
因为()
()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4
将m=4代人，()[]
44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值
【知识点】代数式的化简求值问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
【答案】-20。
代数式的值(教案)
3.2代数式的值教学设计（1）第n排有多少个座位？（用含n的代数式表示）（2）第10排、第15排、第23排各有多少个座位？解：（1）第2排比第1排多2个座位，第二排的座位数为18+2=20；第3排比第2排多2个座位，第二排的座位数为20+2=22；或者说，第3排是第1排的后2排，它的座位数应该比第1排多2×2个，即为18+2×2=22；类似地，第4排是第1排的后3排，它的座位数应该比第1排多2×3个，即为18+2×3=24；…………一般地，第n排是第1排的后（n-1）排，它的座位数应该比第1排多2(n-1)个，即为18+2(n-1).（2）当n=10时，18+2(n-1)=18+2×9=36；当n=15时，18+2(n-1)=18+2×14=46；当n=23时，18+2(n-1)=18+2×2=62.因此，第10排、第15排、第23排分别有36个、46个、62个座位.一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做学生完成后小组内交流结果。
数式求值可以理解为一个转换过程或算法通过对近似数的学习,感受数学的魅力,体验数学与生活的联系直接将a+b=3代入得a+b-1=3-1=2.（2）变形后整体代入，即对已知变形后方可直接代入或有时要对已知和被求代数式都变形才能整体代入求解.例3 某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10%。
如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值能达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？解：由题意可得，今年的年产值为 a(1+10%)亿元，于是明年的年产值为a (1+10%) (1+10%)=1.21a（亿元）.若去年的年产值为2亿元，即a=2. 当a=2时，1.21a=1.21×2=2.42（亿元）.答：该企业明年的年产值将能达到1.21a 亿元。
2.第二节 代数式与整式(含数式规律探索)
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第二节 代数式与整式（含数式规律探索）
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9. (2011安徽12题5分)根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与震级n的 关系为：E＝10n.那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的 ___1_0_0___倍．
第二节 代数式与整式（含数式规律探索）
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10.(2011安徽14题5分)定玩义转运算安a⊗徽b＝1a0(1年－b中)，考下面真给题出了关于这种运算的几个结
第二节 代数式与整式（含数式规律探索）
考点精讲
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【对接教材】沪科：七上第2章P55－P83；七下第8章P44－P87 人教：七上第二章P53－P76；八上第十四章P94－P125 北师：七上第三章P78－P104；七下第一章P2－P36； 八下第四章P92－P106
第二节 代数式与整式（含数式规律探索）
42)＝2－
1 4
，
第5个等式：79 ×(1＋52 )＝2－15 ，
…
按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_18_1___1___62____2__16__；
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第二节 代数式与整式（含数式规律探索）
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(2)写出你猜想的第n个等式：_2_nn__21___1__n2____2__n1_(用含n的等式表示)，并证明．
第二节 代数式与整式（数式规律探索）
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幂的运算
整式的 运算
（a≠0, b≠0, m,n为
整数）
同底数幂相乘:底数不变，指数相加,即am·an＝___a_m__n___
同底数幂相除：底__数__不__变__，__指__数__相__减__，即am÷an＝__a_m__n __
小升初代数式求值专题
小升初精典专题 代数式求值专题讲义【专题一】：代数式求值的基本类型： 一：直接带入求解例1、当2,1-=-=y x 时，求代数式1)1(22+----y xy x 的值的值二：先化简再求值 例2、先化简再求值：()()1222122+---x x x x ，其中2-=x ．〔巩固〕长方形一边等于b a 23+，另一边比它大b a -，求此长方形的周长．三、消元代入法 例3、已知b a 3=,5a c -=,求cb ac b a 200520062007543-+-++.〔巩固〕1、已知112a b -=，求代数式343232a ab ba ab b-++-- 的值。
〔巩固〕2、已知3a b -=，2b c -=；求代数式()2313a c a c -++-的值。
〔巩固〕3、已知3952=-b a ，156-=-b c ，求代数式c a c a 2120077)3(2-++-的值．〔巩固〕4、已知.8463,22的值求---+=-y x y x y x四、利用“整体思想”求代数式的值例4. 已知a -b=5，ab=-1，求(2a+3b -2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b -2a)的值。
〔巩固〕1、已知2x+3y-2的值为-7，则代数式4x+6y+1的值为 _________. 〔巩固〕2、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.例5． 当4a ba b-=+ 时，则2()4()3()a b a b a b a b -+-+- 的值为 。
〔巩固〕1、x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
〔巩固〕2、已知当2007-=x 时，代数式c bx ax ++24的值为5．当2007=x 时，代数式c bx ax ++24的值为多少？【专题二】：：代数式求值的方法技巧 一、利用有关的概念例1 如果a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x 2+(a +b )x －cd 的值.〔巩固〕1、若132+n b a 与223b a m --是同类项，则=+n m 32___________.〔巩固〕2、若多项式 2123(2)3mm x y xy -+- 是五次二项式，则 m= .二、利用整体思想方法例2 已知代数式x 2+4x －2的值为3，求代数式2x 2+8x －5的值是多少？三、利用分类讨论方法例3 已知x ＝7，y ＝12，求代数式x +y 的值.四、利用数形结合的思想方法例4 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │的值.五、利用非负数的性质b ac1例5 已知(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0.计算2a +b +c 的值六、利用新定义例6 用“★”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝b 2+1.例如，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m 为实数时，m ★(m ★2)＝＿＿＿.七、利用整数的意义例7 四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，如果abcd ＝9，那么a +b +c +d ＝（ ） A.0 B.8 C.4 D.不能确定 八、巧用变形降次例8 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.九、巧妙利用假设例10．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bcbcac ac ab ab c c b b a a x +++++=， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。
代数式及代数式的值
字母表示数与代数式的值◆【学习目标∙知识要点】1、代数式----用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子；注意：单独一个数或字母也是代数式2、代数式的书写规则：①“⨯”的省略；②、系数只写成假分数；③、除法写成分数的形式； ④、括号与单位；3、能根据问题情景列代数式，进行规律探索，用公式表示规律；4、代数式的值----用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出结果，就叫做代数式的值；（代数式的值与字母的取值有关）求代数式的值常用方法：整体思想；字母设元（换元思想）；设k 值法；特例法；◆【典型例题∙方法导航】【考点1】---代数式的概念与列代数式【例1】下列各式，哪些是代数式？①、1-ab （ ）②、yx -1（ ）③、23x =（ ）④、a a ->+3（ ）⑤、π（ ） 【例2】下列代数式中，符合书写规则的有 （填序号） ①、ab 431 ②、20﹪x ③、b a x ÷- ④、3-m ℃ ⑤、21⋅m ⑥、322b a - 【例3】列代数式：设甲数为x ，乙数为y ，用代数式表示下列各题 ①、甲数的31与乙数的一半的差 ；②、甲数与乙数的平方的和 ； ③、甲、乙两数的平方差 ； ④、甲数与乙数的和的倒数 ； ⑤、甲乙两数的平方和 ；◆点拨：列代数式时要抓住题目中表示数量关系的关键词语；【例4】用代数式表示下列图形中阴影部分的面积1、一项工程，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙合作此项工程所需时间为（ ）A 、b a 11+小时B 、ab 1小时C 、b a ab +小时D 、ba +1小时 2、一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数是 ；3、设n 为整数，则能被5整除的数可表示为 ；被3整除余2的数可以表示为 ；4、如图：从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余的部分剪拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）A 、))((22b a b a b a -+=-B 、2222)(b ab a b a +-=-aC 、2222)(b ab a b a ++=+D 、)(2b a a ab a +=+【考点2】----规律探索【例5】观察下面各式的规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+； 2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+则第2005个式子为 ；第n 个式子为 ；【例6】观察下列图形：若第个图形中的阴影部分的面积是1，第个图形中阴影部分的面积为43，第3个图形中阴影部分的面积为169，第4个图形中阴影部分的面积为6427，， 则第n 个图形中阴影部分的面积为 （用字母n 的代数式表示）【例7】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完A ．6B ．5C ．3D ．2◆目标训练2：1、观察下列各式：1553=⨯，而14152-=；3575=⨯，而16352-=； 1431311=⨯，而1121432-=； 请你把猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来为 ； 2、符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）(1)0f =，(2)1f =，(3)2f =，(4)3f =，…（2）122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，…利用以上规律计算：1(2008)2008f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．图6-1 图6-2【考点3】---代数式求值【例8】（整体思想）1、已知0122=-+x x ，则代数式_;__________3422=++x x2、已知012=-+a a ，试求：3223++a a 的值；【例9】（分类思想）如果3121231t t t t t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ） A 、1- B 、1 C 、1± D 、不确定【例10】（设k 值法求比值）若32x y t t ==，且t z x 223=+，求tz y x 5234--的值；◆目标训练3：1、当1=x 时，代数式13++qx px 的值为2003，则1-=x 时，13++qx px 的值为（ ） A 、1999- B 、2003- C 、2002- D 、2001-2、当22=-b a ab 时，代数式abb a b a ab )2(223-+-的值________； 3、已知8919+=+=+c b a ，求222()()()a b c b c a -+-+-的值【能力提升∙思维拓展】【例11】3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场)，总的比赛场数应是多少？如果是4个球队参加比赛呢？5个球队呢？写出m 个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式，并计算当8个球队参加比赛时，一共赛了多少场？【例12】如图所示：按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、2、…所对应的点重合。
代数式求值示范课反思
《代数式求值》教学反思一、学情分析本节是在学生学习第二节《代数式》即如何列代数式的基础上，继续学习求代数式的值。
学生在前面学过有理数计算以及用字母和代数式表示运算律和计算公式，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情境中，会求出代数式的值并解释它的实际意义，且形成了初步的符号感。
七年级学生具有思维活跃，好奇心强的特点，已初步形成合作交流、敢于探索和实践的良好学风，学生间相互评价、相互提问的互动气氛较浓。
对于本节课的学习，他们在知识技能上和方法上都已具备良好的契机。
二、教学任务分析用代数式表示数量关系是由特殊到一般的过程，而代数式求值是从一般到特殊的过程。
进一步学习代数式求值，通过代数式求值推断出代数式所反映的规律。
这也为第六节《探索规律》奠定了基础。
因此本节内容在本章中起着承上启下的作用。
即：2、代数式—→3、代数式求值—→6、探索规律一般—→特殊—→一般学会代数式求值，不但可以帮助学生进一步理解代数式的意义和作用，而且也为运用公式解决实际问题，进行有理数运算和解方程等后继知识作好准备。
代数式求值是学习方程、函数等其他后续知识必备的基础，可有效的培养学生的分析问题、解决问题的能力。
根据以上分析,确定本节课的教学目标如下：1、会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法；会利用代数式求值推断代数式所反映的规律；能解释代数式值的实际意义。
（知识与技能）2、经历观察、试验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，形成解决问题的一些基本策略。
（过程与方法）3、通过“做数学”，体会数学活动充满着探索性、创造性，发展学生的实践能力与创新精神。
（情感与态度）教学重点：会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法。
教学难点：会利用代数式求值推断代数式所反映的规律。
三、教学过程分析本节课由五个教学环节组成，它们是：①情境引入②实践探究③随堂练习④练习解析⑤挑战自我⑥师生交流，归纳小结。
七年级数学列代数式、求代数式的值华东师大版知识精讲
七年级数学列代数式、求代数式的值华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：列代数式、求代数式的值［学习要求］1. 让学生经历探索规律并用代数表示规律的过程，使学生学会能用字母和代数式表示实际问题中的一些简单的数量关系，初步形成数学的符号感。
2. 在具体的情境中，理解字母表示数的意义，了解代数式的意义。
3. 通过具体问题的研究以及求代数式的值，了解特殊与一般的关系，初步了解抽象概念的思维方法，发展思维能力。
4. 在问题情境中感受求代数式的值的过程，会求代数式的值。
［知识内容］（一）列代数式上一章“有理数”是本章内容的基础，本章是上一章部分内容的扩展与飞跃，它实现了由特殊到一般的飞跃。
1. 代数式的概念：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方以及以后要学的开方）。
把数、表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
注：单独一个数或一个字母也是代数式；含有等号“＝”不等号“＞、＜、≠”的式子不是代数式。
2. 书写代数式注意事项：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写。
如：v t⨯写在v t⋅或vt；3⨯b 写成3⋅b或3b。
数字与数字相乘，仍用“×”。
（2）数字与字母相乘时，数字应写在字母前面。
如b⨯3应写成3⋅b或3b。
（3）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。
如：213⋅ab应写成73 ab。
（4）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。
如：ab ÷5写成ab 5。
（5）在一些实际问题中，表示某一数量的代数式有单位名称的。
如果代数式是积或商的形式，就直接将单位名称写在式子后面。
如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在括号后面。
如：s t千米/时，c a c b -⎛⎝ ⎫⎭⎪天。
3. 列代数式：在解决实际问题中，往往需要先把问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式。
要正确列出代数式，请注意以下关键：（1）正确理解和、差、积、商、多、少、大、小、倍、分、倒数、平方差、平方、立方、余数、增加等。
华师版七年级数学上册第2章2 代数式的值
2.2 代数式的值
华师版七年级(上)
1. 会求代数式的值，感受代数式求值是一个转换过程. 2. 通过对求代数式的值的探究，初步认识数学与人类
生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造， 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 重点：求代数式的值. 难点：根据代数式求值推断代数式所反映的规律.
思考：当 x = 5 时，(x + 1)2 - 3 = 33 . 实际上是在用具体的数字 5 在代替式子 (x + 1)2 - 3 中的字母 x，然后计算结果 (5 + 1)2 - 3 = 33.
练习：当 x = -5 时，(x + 1)2 - 3 = 13 . (-5 + 1)2 - 3 = 13
பைடு நூலகம்
合作探究 问题：某礼堂第 1 排有 18 个座位，往后每排比前一 排多 2 个座位. 问： (1) 第 n 排有多少个座位？(用含 n 的代数式表示)
第 2 排：18 + 2 = 20 (个) 第 3 排：2108 + 2×= 22=(2个2)(个) 第 4 排：18 + 2×3 = 24 (个) 解：第 n 排：[18 + 2(n -1)] 个座位.
典例精析
例 2 某地积极响应党中央号召，大力推进“美丽中国 建设”工程，去年的投资为 a 亿元，今年的投资比去 年增长了10%. 如果明年的投资还能按这个速度增长， 请你预测一下，该地明年的投资将达到多少亿元？如 果去年的投资为 2 亿元，那么预计明年的投资是多少 亿元？
解：由题意可得，今年的投资为 a·(1 + 10%) 亿元， 于是明年的投资将达到 a·(1 + 10%)·(1 + 10%) = 1.21a (亿元). 如果去年的投资为 2 亿元，即 a = 2，那么当 a = 2 时， 1.21a = 1.21×2 = 2.42 (亿元). 答：该地明年的投资将达到 1.21a 亿元. 如果去年的投 资为 2 亿元，那么预计明年的投资是 2.42 亿元.
4.2 代数式的值 教案-浙教版七年级数学上册
学生活动1：通过探究活动体会代数式的值在实际生活中的作用，归纳总结出代数式的值的概念．教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课.先自主探究,再小组合作,分析,总结．教师活动2：议一议：第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在我国北京举行，下一届将于2026年在意大利米兰举行。
北京时间2月20日 20:49,在第24届冬奥会闭幕式上举行了会旗交接仪式。
你知道这时的罗马(冬时制)时间是几时吗？北京时间与罗马(冬时制)时间的时差为7小时，如图4-2.若用x表示北京时间，那么同一时刻的罗马(冬时制)时间是x-7.所以北京时间20:49 时的罗马(冬时制)时间是13:49.一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.例如，当x=20时，代数式x-7的值是13. 做一做 2022年6月23日,北京时间20:00,金砖国家领导人举行第十四次会晤，中国南非、巴西、俄罗斯、印度等国家领导人出席.设北京时间为x.（1）如图所示为同一时刻的北京时间和莫斯科时间.怎样用关于北京时间x的代数式表示同一时刻的莫斯科时间？北京时间20:00时的莫斯科时间是几时？教师活动3：例 1 当n分别取下列值时，求代数式的值．（1）n=-1；（2）n=4；（3）n=0.6．例2 圆柱的体积等于底面积乘高．若用h表示圆柱的高，r表示底面半径如图所示，V表示圆柱的体积．（1）请用字母h，r，V写出圆柱的体积公式．（2）求底面半径为50 cm，高为20 cm的圆柱的体积．解：（1）V=πr2h．（2）∵r=50，h=20，∴V=π×502×20=50000π（cm3)．答：所求圆柱的体积为50000π（cm3)．1、求代数式的值，只不过是把代数式中的字母用指定的数据来代替，然后按照代数式中指定的运算来进行计算．2、代数式有乘方运算，当底数中的字母用分数来代数时，要添上括号．代数式中的字母用负数来替代时，负数要添上括号．3、数字与数字相乘，要写“×”号，因此，如果原代数式中有乘法运算，当其中的字母用数字在替代时，要恢复“×”号．【知识技能类作业】必做题：1.如果代数式4y2﹣2y+5的值为7，那么代数式2y2﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．-2 D．22.已知a2+a=1，则代数式3-a-a2的值为________.选做题：3、如图，一个花坛由两个半圆和一个长方形组成，已知长方形的长为a米，宽为b 米．（1）用代数式表示该花坛的面积S；（2）当S=5200 m2，b=40 m时，求a的值．（π≈3）【综合拓展类作业】4.甲、乙两超市以相同的价格出售同样的商品，但为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案；在甲超市累计购买超过400元以后，超过部分按原价七折优惠；在乙超市购买商品全部按原价的八折优惠.设顾客累计购物x（x＞400）元.（1）用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购买商品所付的费用；（2）当x=1100时，试比较顾客到哪家超市购物更加优惠.。
求代数式的值教学设计
代数式的值一教学目标：知识与技能：（1）会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转化过程或某种算法。
（2）会用代数式求值推断代数式的规律，发展符号感，渗透数学中的对应思想。
过程与方法：让学生在实际情景中经历探索思考、合作交流的过程，体会获取知识的方法，积累学习经验，感受数学的生活化。
情感、态度与价值观：使学生认识数学与生活紧密相连，数学活动充满探索与创造，让他们在学习活动中获取成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学，热爱生活。
二、教学重点和难点：（1） 重点：求代数式的值的方法。
（2） 难点：正确求出代数式的值；负数、分数的求值。
三、教学方法：引导探究、讨论归纳。
四、教学过程：（一）情景引入，巩固旧知问题：今年植树节，某校组织120位同学参加植树活动，在活动中有52的同学每人植树a 棵，其余同学每人植树)1(+a 棵。
你能用代数式表示他们共植树的棵数吗？师：如果3=a ，那么他们共植树多少棵？如果5=a ，那么他们共植树有是多少棵呢？根据题意，他们共植树 )1(1205312052+⨯+⨯a a =)1(7248++a a （棵）当3=a 时，代数式432)13(72348)1(7248=+⨯+⨯=++a a当5=a 时，代数式672)15(72548)1(7248=+⨯+⨯=++a a我们将上面问题中的计算结果432和672，称为代数式)1(7248++a a 当3=a 和当5=a 时的值。
这就是本节课我们将要学习和研究的内容。
（二）例题点拨，实践探索上面例题中，我们在求代数式的值时，是将字母的值代入代数式，通过运算，进而求出代数式的值。
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫做代数式的值。
注意：代数式里的字母可以取不同的数值，但所取的数值必须使代数式和它表示的实际量有意义。
例如，上述问题中，代数式)1(7248++a a 中的字母a 不能取负数，又如代数式ba 中的字母b 不能取零。
代数式的值 应用在实际
代数式的值应用在实际于华虎一、日常生活中的代数式求值例1某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元. 厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）.（1）若该客户按方案①购买，需付款元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款元（用含x的代数式表示）；（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？分析：（1）方案①需付费为：西装总价钱＋(x-20)条领带的价钱，方案②需付费为：西装和领带的总价钱×90%；（2）把x＝30代入（1）中的两个式子算出结果，比较即可.解：（1）方案①需付费为200×20＋（x－20）×40＝（40x＋3200）元；方案②需付费为（200×20＋40x）×0.9＝（3600＋36x）元.（2）当x＝30元时，方案①需付款为40x＋3200＝40×30＋3200＝4400元，方案②需付款为3600＋36x＝3600＋36×30＝4680元.因为4400＜4680，所以选择方案①购买较为合算.二、计算程序中的代数式求值例2（2015年漳州市）在数学活动课上，同学们利用如图1的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（）A.4，2，1B.2，1，4C.1，4，2D.2，4，1分析：分别将各选项中的数字代入程序中计算得出结果，即可作出判断.对于选项A，把x＝4代入2x得2，再把x＝2代入2x得1，把x＝1代入3x+1得4，以4，2，1循环；对于选项B，把x＝2代入2x得1，再把x＝1代入3x+1得4，把x＝4代入2x得2，以2，1，4循环；对于选项C，把x＝1代入3x+1得4，把x＝4代入2x得2，把x＝2代入2x得1，以1，4，2循环；图1对于选项D ，把x ＝2代入2x 得1，把x ＝1代入3x+1得4，把x ＝4代入2x 得2，以2，1，4循环. 综上，只有D 选项中的数值不是该程序的循环.解：选D.解后反思：代数式的值与字母的取值有关，代数式的值一般不是一个固定的值，它随着代数式中字母取值的变化而变化.三、规律探索中的代数式求值例3 图2是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形：仔细观察，找出规律，解答下列问题：（1）第4个图中共有 根火柴，第6个图中有 根火柴；（2）第n 个图形中共有 根火柴（用含n 的式子表示）；（3）请计算第2016个图形中共有多少根火柴？分析：观察、分析题中给出的图形，找出各部分的变化规律，然后用式子表示出变化规律.解：（1）由图案易知，第4个图案有火柴3×4＋1＝13（根）；第6个图案中有火柴3×6＋1＝19（根）.（2）当n ＝1时，火柴的根数是3×1＋1＝4；当n ＝2时，火柴的根数是3×2＋1＝7；当n ＝3时，火柴的根数是3×3＋1＝10，故第n 个图形中火柴的根数是3n ＋1.（3）当n ＝2016时，3n ＋1＝3×2016＋1＝6049.解后反思：对于找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …图2。
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课题：规律探索与代数式求值的应用
教学目标：掌握规律探索的方法与技巧；会运用整体思想求代数式的值。
教学重难点：掌握规律探索的方法与技巧。
教学内容：
例题1、探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9…，那么32005的个位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1
练习：
1、观察下表：
幂618 6182618361846185618661876188…
幂运算结果的末尾数字8 4 2 6 8 4 2 6 …
通过以上信息，写出6182006的末尾数字是。
2、如图，一串有黑有白，且排列有一定规律的珠子．
问这串珠子被盒子遮住的部分
有颗黑色珠子．
3、观察下面的点阵图，探究其中的规律．
摆第1个“小屋子”需要5个点；
数一下，摆第2个“小屋予”需要个点；
数一下，摆第3个“小屋子”需要个点．
（1）摆第9个这样的“小屋子”需要多少个点？
（2）写出摆第n个这样的“小屋予”需要的总点数的代数式．
（3）摆第几个“小屋子”的时候，需要的总点数共为71个？
4、（1）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+…+n= 。
图3 图4 （2）若n=12，①按图3
圈里的数一直排列下去，则最底层最左边的圈里的数是。
②按图4圈里的数一直排列下去，试计算所有圈里的数的绝对值的和。
5、下图是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形：
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1）第4个图中共有 根火柴，第6个图中有 根火柴；
（2）按照这样的规律第n 个图形中共有 根火柴（用含n 的代数式表示）；
（3）按照这样的规律，第2012个图形中共有多少根火柴？
6、如图①是一张长方形餐桌，四周可坐6人，2张这样的桌子按图②方式拼接，四周可坐10人．现将若干张这样的餐桌按图③方式拼接起来：
（1）三张餐桌按题中的拼接方式，四周可坐 人；
（2）n 张餐桌按上面的方式拼接，四周可坐 人（用含n 的代数式表示）． 若用餐人数为26人，则这样的餐桌需要 张．
1
2 3
例题2、已知2a-3b 2=5，求10-2a+3b 2的值。
练习：
1、按照如图所示的程序计算，
若输入x=8.6，则m= 。
2、已知a 3-a-1=0，则a 3-a+2009= 。
3、当x=1时，代数式ax 3+bx+1的值为2012，
则当x=-1时，代数式ax 3+bx+1的值为 。
4、已知a 与b 是互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值等于2，则=+++2m cd m b
a 。
5、若a 与b 是互为相反数， =+ab
b a 199********
2 。
6、若|a-2|与（b+3）2互为相反数，则b a 的值为 。
例题3、若（3x+1）3=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，
（1）求a+b+c+d+e+f 的值；
（2）求a-b+c-d+e-f 的值。
变式训练：
设（2x-1）5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，求：
（1）f 的值；
（2）a+b+c+d+e+f 的值；
（3）a+c+e 的值．。