角平分线的专题复习
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2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2， 则△BCE的面积等于__5_.
a
7
复习应用
二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
a
13
畅所欲言谈收获……
a
14
（4）
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现 （3）角平分线加垂线，三线合一等腰现 （4）截长补短在角边，对称以后关系现
融会贯通
例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
∵ PDOAPEOB PD = PE
E B
\ OP 是 AOB的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
a
6
复习应用
一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
a
12
融会贯通
变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为___. 50°
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
a
9
复习应用
四、截长补短在角边，对称以后关系现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE
∵ BD是∠ABC的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
2.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC 交BC于点D,DE∥AB,则△CDE的 周长为(14)
a
8
复习应用
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现
（1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8____
D
∴ ∠BED=∠A=108°
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36°
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
a
72°
108° 72°
E
36°
C
10
模型总结
EA
AHale Waihona Puke Baidu
A E
EA
E
P
P
P
P
O
FB O
BO
F BO
FB
（1）
（2）
（3）
◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A C
O B
a
5
复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB的平分线
PDOA PEOB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。
a
1
关于角平分线的模型构造
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
a
3
复习回顾
角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
a
4
◆ 角平分线
a
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复习应用
二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
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畅所欲言谈收获……
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（4）
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现 （3）角平分线加垂线，三线合一等腰现 （4）截长补短在角边，对称以后关系现
融会贯通
例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
∵ PDOAPEOB PD = PE
E B
\ OP 是 AOB的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
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复习应用
一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
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融会贯通
变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为___. 50°
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
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复习应用
四、截长补短在角边，对称以后关系现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE
∵ BD是∠ABC的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
2.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC 交BC于点D,DE∥AB,则△CDE的 周长为(14)
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复习应用
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现
（1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8____
D
∴ ∠BED=∠A=108°
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36°
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
a
72°
108° 72°
E
36°
C
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模型总结
EA
AHale Waihona Puke Baidu
A E
EA
E
P
P
P
P
O
FB O
BO
F BO
FB
（1）
（2）
（3）
◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A C
O B
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复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB的平分线
PDOA PEOB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。
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关于角平分线的模型构造
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
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复习回顾
角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
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◆ 角平分线