2015年高考真题——理科数学(福建卷)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B I 等于（ ）

（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C

【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A B =-I ，故选C ． （2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ）

（A ）y x = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D

【解析】函数y x =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．

（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916

x y E -=的左、

右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） （A ）11

（B ）9 （C ）5 （D ）3

【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．

（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，

收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8

根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）

（A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B

【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.8

85

y ++++==（万元）

，故$80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为$0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为$0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ． （5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件20

0220x y x y x y +≥⎧⎪

-≤⎨⎪-+≥⎩

，则2z x y =-的最

小值等于（ ）

（A ）52- （B ）2- （C ）3

2

- （D ）2

【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，

故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭时，z 取到最小值，最小值为

()15

2122

z =⨯--=-，故选A ．

（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

【答案】C

【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；

0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．

（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”

是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．

（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）

（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】D

【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中

项，故4a b q ⋅==，4

b a

=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，

422a a =-，

解得1,4a b ==；当4a 是等差中项时，8

2a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．

（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t

⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r ，若点p 是ABC ∆所在

平面内一点，且4AB AC

AP AB AC

=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（ ）

（A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21

【答案】A

【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t ⎛⎫

⎪⎝⎭

，()0,C t ，

AP =u u u r 即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,4PC t =--u u u r ，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫

⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭

u u u r u u u r ，因为

144t t +≥=，所以当14t t =，即1

2

t =时取等号，PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，故选A ． （10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，

则下列结论中一定错误的是（ ）

（A ）11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫

>

⎪--⎝⎭

【答案】C

【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且

101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫>

⎪--⎝⎭

，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且

10k >，所以()10h h k ⎛⎫

> ⎪⎝⎭，即11

1f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，11

1f k k

⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

（11）【2015年福建，理11，5分】()5

2x +的展开式中，2x 的系数等于 （用数字填写答案）． 【答案】80

【解析】()5

2x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．