韶关学院高数期末考试复习题

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高数期末考试题大题及答案

高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 $ f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} $ 在 $ x \to \infty $ 时的极限。

解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 $ x^2 $ 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 $ x \to \infty $ 时，$ \frac{1}{x} $ 和$ \frac{2}{x^2} $ 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 $ g(x) = x^3 - 2x^2 + x $ 的导数。

解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $。

解答：首先，我们需要找到 $ x^2 $ 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} $ 的收敛性。

解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。

由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。

2022-2023学年广东省韶关市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，4，5，7，8}，集合A ＝{1，2，5}，集合B ＝{2，7，8}，则∁U （A ∪B ）＝（） A ．4 B ．（1，2，5，7，8）C ．{4}D ．{2}2．在复平面内，复数1﹣2i 与﹣1+3i 分别对应向量ON →和OM →，其中O 为坐标原点，则|NM →|=（） A ．1B ．5C ．√2D ．√293．已知a =log 1213，b =(13)12，c ＝cos π，则（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β5．f(x)=(1−e x1+e x )⋅cos(32π+x)部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．已知向量a →=(√3，1)，b →=(1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（） A ．(√3+12，1) B ．(√3+12，√3+12) C ．(√3−12，√3−12) D ．(1，√3−12)7．已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点，点P 是双曲线C 右支上一点，过点F 2向∠F 1PF 2的角平分线作垂线，垂足为点Q ，则点A(−√3，1)和点Q 距离的最大值为（） A ．2B ．√7C ．3D ．48．已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．（0，1）B ．(1e ，1)C ．（1，e ）D ．(1e ，e)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（）A ．事件A 与事件B 为互斥事件，则事件A 与事件B 为对立事件 B ．事件A 与事件B 为对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件C ．若X ～N （1，σ2），P （X ＞2）＝0.2，则P （0＜X ＜1）＝0.3D ．一组成对样本数据线性相关程度越强，则这组数据的样本相关系数的绝对值就越接近于1 10．将函数f （x ）＝sin x 的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位，向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，则（） A ．g （x ）的最大值是2B ．[−5π12，π12]是g （x ）一个增区间C ．(5π6，1)是g （x ）图象的一个对称中心 D ．x =−π6是g （x ）图象的一条对称轴 11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1+a n ＝4n ，则（） A ．a 2023＝4045B ．S n 是{a n }的前n 项和，则S 100＝20000C ．当n 为偶数时a n ＝2n +1D ．{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣112．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，以线段AB 为直径的圆P 交y 轴于M ，N 两点，过P 且与y 轴垂直的直线交抛物线于点H ，则（） A ．圆P 与抛物线的准线相切B ．存在一条直线l 使|AF |•|BF |＝3C ．对任意一条直线l 有|HP |＝|HF |D ．∠MPN 有最大值，且最大值为2π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(x 12√x )8展开式中第三项系数为（用具体数字作答）．14．已知tan α＝2，则1sin2α+cos 2α= ．15．三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，∠BAC =π3，BC =√3，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积是．16．某次考试准备了A 、B 、C 三份试题，开考前从中随机选择一份作为当场考试试题，试题A 和试题B 被选上的概率都是0.3，如果试题是A 或C ，考生甲通过的概率都是0.8．如果试题是B ，考生甲通过的概率是0.6，则该场考试考生甲能通过的概率是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3bsinA =a(2+cosB)．（1）求角B ；（2）延长BC 至D 点，若BC ＝2，△ACD 的面积为3√32，∠ACD =56π，求AD 的长．18．（12分）已知数列{a n }为等比数列，a 2+a 5＝14，a 2•a 5＝﹣32，且a 1＞0．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =1log 2|a n+1|⋅log 2|a n+3|，设{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34．19．（12分）“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利﹣800元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图①所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的点，DE ∥BC 且DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图②．（1）若点N 在线段A 1B 上，且2BN ＝NA 1，求证：EN ∥平面A 1CD ；（2）若M 是A 1D 的中点，求平面MEB 与平面DEBC 夹角的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ，ℎ(x)=ae xx+1，a ∈R ．（1）求曲线y ＝f （x ）过坐标原点的切线方程；（2）若f （x ）+h （x ）≥0在[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率是12，且过点M(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，且P ，Q 为椭圆C 上异于A 1，A 2的点，若直线PQ 过点(12，0)，是否存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q 恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．2022-2023学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，4，5，7，8}，集合A ＝{1，2，5}，集合B ＝{2，7，8}，则∁U （A ∪B ）＝（） A ．4 B ．（1，2，5，7，8）C ．{4}D ．{2}解：由题设有A ∪B ＝{1，2，5，7，8}，∁U （A ∪B ）＝{4}．故选：C ．2．在复平面内，复数1﹣2i 与﹣1+3i 分别对应向量ON →和OM →，其中O 为坐标原点，则|NM →|=（） A ．1B ．5C ．√2D ．√29解：由复数的几何意义知：ON →=(1，−2)，OM →=(−1，3)， NM →=OM →−ON →=(−2，−5)， ∴|NM →|=√(−2)2+(−5)2=√29．故选：D ．3．已知a =log 1213，b =(13)12，c ＝cos π，则（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：因为a =log 1213＞log 1212=1， b =(13)12=√33∈(0，1)， c ＝cos π＝﹣1，所以a ＞b ＞c ．故选：A ．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ∥α，n ∥α时，直线m ，n 相交，异面，平行都有可能；对于B ，还少了条件m ∩n ＝P ，m ⊂α，n ⊂α才能得到相应的结论；对于C ，当α⊥β，m ⊂α时，m ∥β，m 与β相交但不垂直都有可能；对于D ，设直线m ，n 的方向向量分别为a →，b →，若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则平面α，β的一个法向量分别为a →，b →，且a →⊥b →，所以α⊥β，所以D 正确．故选：D ．5．f(x)=(1−e x1+e x )⋅cos(32π+x)部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：函数f(x)=(1−e x 1+e x )⋅cos(32π+x)的定义域为R ，定义域关于原点对称，又f(x)=(1−e x1+e x )⋅cos(32π+x)，可化为f(x)=(1−e x1+e x )⋅sinx ，所以f(−x)=1−e −x 1+e −x sin(−x)=e x −1e x +1(−sinx)=f(x)，故f （x ）为偶函数，图形关于y 轴对称，排除B ，D 选项，令f （x ）＝0可得，sin x ＝0或e x ＝1，由sin x ＝0，解得x ＝k π，k ∈Z ，由e x ＝1，解得x ＝0，所以函数最小的正零点为π，当0＜x ＜π时，1−e x 1+ex＜0，sin x ＞0，f(x)=(1−e x1+e x )sinx ＜0，排除A ．故选：C ．6．已知向量a →=(√3，1)，b →=(1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（） A ．(√3+12，1)B ．(√3+12，√3+12)C ．(√3−12，√3−12)D ．(1，√3−12)解：a →=(√3，1)，b →=(1，1)，故所求投影向量为a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=√3+1√2⋅√2=(√3+12，√3+12)．故选：B ．7．已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点，点P 是双曲线C 右支上一点，过点F 2向∠F 1PF 2的角平分线作垂线，垂足为点Q ，则点A(−√3，1)和点Q 距离的最大值为（） A ．2B ．√7C ．3D ．4解：如图所示，延长F 2Q ，交PF 1于点T ，∵PQ 平分∠F 1PF 2，PQ ⊥F 2Q ，∴|PT |＝|PF 2|，|TQ |＝|F 2Q |，∵P 在双曲线x 2−y 23=1上，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2，得|F 1T |＝2，连接OQ ，则|OQ|=12|F 1T|=1，∵|AO|=√3+1=2，∴|QA |≤|OQ |+|AO |＝2+1＝3，当A ，O ，Q 三点共线时取等号，即点A(−√3，1)和点Q 距离的最大值为3．故选：C ．8．已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．（0，1）B ．(1e ，1)C ．（1，e ）D ．(1e ，e)解：已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，函数f （x ）的定义域为（0，+∞） f ′(x)=2ax +a −2−1x =(ax−1)(2x+1)x，当a ≤0时，f ′（x ）＜0恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）至多有一个零点，不符合题意；当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a，当x ∈(0，1a)时，f ′（x ）＜0，f （x ）上单调递减；当x ∈(1a ，+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增．此时最小值为f(1a )=1−1a +lna ，①当a ＝1时，由于f(1a )=0，故f （x ）只有一个零点；②当a ＞1时，1−1a +lna ＞0即f(1a)＞0，故f （x ）没有零点； ③当0＜a ＜1时，1−1a +lna ＜0即f(1a )＜0，又f(1e )=a(1e )2+(a −2)(1e )−ln 1e =a e 2+a e +1−2e ＞0； f(3a )=a(3a )2+(a −2)(3a )−ln 3a =3+3a −ln 3a ＞4＞0，由零点存在定理知f （x ）在(0，1a )上有一个零点；在(1a ，+∞)有一个零点．所以f （x ）有两个零点，a 的取值范围为（0，1）．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（）A ．事件A 与事件B 为互斥事件，则事件A 与事件B 为对立事件 B ．事件A 与事件B 为对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件C ．若X ～N （1，σ2），P （X ＞2）＝0.2，则P （0＜X ＜1）＝0.3D ．一组成对样本数据线性相关程度越强，则这组数据的样本相关系数的绝对值就越接近于1 解：对于选项A ，事件A 与事件B 为互斥事件，但事件A 与事件B 不一定是对立事件，故A 错误；对于选项B ，事件A 与事件B 为对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件，故B 正确；对于选项C ，因为X ～N （1，σ2），P （X ＞2）＝0.2，所以P(0＜X ＜1)=12(1−2P(X ＞2))=0.3，故C 正确；对于选项D ，如一组成对样本数据线性相关程度越强，则这组数据的样本相关系数的绝对值就越接近于1，故D 正确．故选：BCD ．10．将函数f （x ）＝sin x 的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位，向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，则（） A ．g （x ）的最大值是2B ．[−5π12，π12]是g （x ）一个增区间C ．(5π6，1)是g （x ）图象的一个对称中心 D ．x =−π6是g （x ）图象的一条对称轴解：函数f （x ）＝sin x 的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y ＝sin2x ，再将所得图象向左平移π6个单位，向上平移1个单位，得到g(x)=sin(2x +π3)+1．对于A ，当sin(2x +π3)=1时，g （x ）取最大值，最大值是2，故A 正确；对于B ，由x ∈[−5π12，π12]，得2x +π3∈[−π2，π2]，所以[−5π12，π12]是g （x ）一个增区间，故B 正确；对于C ，当x =5π6时，sin(2x +π3)=sin(2×5π6+π3)=sin2π=0，g(5π6)=1，所以(5π6，1)是g （x ）图象的一个对称中心，故C 正确；对于D ，g(−π6)=sin[2×(−π6)+π3]+1=1≠±2，故(−π6，1)是对称中心，则x =−π6不是g （x ）图象的一条对称轴，故D 错误．故选：ABC ．11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1+a n ＝4n ，则（） A ．a 2023＝4045B ．S n 是{a n }的前n 项和，则S 100＝20000C ．当n 为偶数时a n ＝2n +1D ．{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣1 解：依题意，由a 1＝1，a n +1+a n ＝4n ，可得S 100＝a 1+a 2+…+a 100＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+⋯+（a 99+a 100）＝4×1+4×3+⋯+4×99 ＝4×（1+3+5+⋯+99） =4×(1+99)×502＝10000，故选项B 错误；又由a n +1+a n ＝4n ，① 可得a n +2+a n +1＝4（n +1），② ②﹣①，可得a n +2﹣a n ＝4， ∵a 1＝1，a 1+a 2＝4，∴a 2＝3，∴数列{a n }的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，（i ）当n 为奇数时，令n ＝2k ﹣1，k ∈N *，则k =n+12，此时a n ＝1+4•（k ﹣1）＝4k ﹣3＝4•n+12−3＝2n ﹣1，（ii ）当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则k =n，此时a n ＝3+4（k ﹣1）＝4k ﹣1＝4•n2−1＝2n ﹣1，综上所述，对任意的n ∈N *，a n ＝2n ﹣1，故选项C 错误，选项D 正确；∴a 2023＝2×2023﹣1＝4045，故选项A 正确．故选：AD ．12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，以线段AB 为直径的圆P 交y 轴于M ，N 两点，过P 且与y 轴垂直的直线交抛物线于点H ，则（） A ．圆P 与抛物线的准线相切B ．存在一条直线l 使|AF |•|BF |＝3C ．对任意一条直线l 有|HP |＝|HF |D ．∠MPN 有最大值，且最大值为2π3解：若直线l ⊥y 轴，则直线l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个交点，不合乎题意．设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为x ＝my +1，联立{y 2=4x x =my +1，整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0，Δ＝16（m 2+Δ＝16（m 2+1）＞0，∵y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴P （2m 2+1，2m ），从而P （2m 2+1，2m ）到准线的距离为d ＝2m 2+2，而圆P 的直径为|AB |＝|AF |+|BF |＝x 1+1+x 2+1＝4m 2+2，∴d =2m 2+2=|AB|2=r ，故圆P 与抛物线的准线相切，故A 正确；由韦达定理可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1x 2=y 124⋅y 224=2416=1，|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=(my 1+2)(my 2+2)=m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4 ＝﹣4m 2+2m 2×4+4＝4（m 2+1）≥4，∴不存在一条直线l 使|AF |•|BF |＝3，故B 不正确；∵y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴P （2m 2+1，2m ），从而H （m 2，2m ），∴|PH |＝m 2+1，由抛物线的定义可得|HF |＝m 2+1，从而|HF |＝|PH |，故C 正确；∵y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，∴圆P 的直径为2r ＝|AB |=2r =|AB|=x 1+x 2+2=4m 2+4，则r ＝2m 2+2，点P 到y 轴的距离为d =x 1+x 22=2m 2+1， ∴sin ∠PMN =d r =sin ∠PMN =d r =2m 2+12m 2+2=2m 2+2−12m 2+2=1−12m 2+2，∴当m ＝0时，∠PMN 最小，最小值为π6，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x 12√x)8展开式中第三项系数为 7 （用具体数字作答）．解：由题意可知，展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x 8−r (12√x )r ，令r ＝2，则第三项为C 82x 6(2√x )2，所以系数为C 82(12)2=7．故答案为：7 14．已知tan α＝2，则1sin2α+cos 2α= 1 ．解：因为tan α＝2，所以1sin2α+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sinαcosα+cos 2α=tan 2α+12tanα+1=1．故答案为：1．15．三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，∠BAC =π3，BC =√3，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积是203√5π．解：如图，将三棱锥还原成直三棱柱，设三棱柱的外接球球心为O ，D 1，D 分别为上下底面的外心，则O 为DD 1的中点，AD 为底面外接圆的半径，所以球心O 到面ABC 的距离为0D =12PA =2，由正弦定理有：2AD =BCsin∠BAC =332=2⇒AD =1，所以OA =R =√OD 2+AD 2=√5， V =43π(√5)3=203√5π．故答案为：203√5π．16．某次考试准备了A 、B 、C 三份试题，开考前从中随机选择一份作为当场考试试题，试题A 和试题B 被选上的概率都是0.3，如果试题是A 或C ，考生甲通过的概率都是0.8．如果试题是B ，考生甲通过的概率是0.6，则该场考试考生甲能通过的概率是 0.74 ．解：设事件考生甲考试卷A 为事件A ，考试卷B 为事件B ，考试卷C 为事件C ，考生甲能通过考生为事件D ，由题知：P （A ）＝P （B ）＝0.3，P （C ）＝0.4，P （D |B ）＝0.6， P （D |A ）＝P （D |C ）＝0.8，P （D ）＝P （AD ）+P （BD ）+P （CD ）＝P （A ）P （D |A ）+P （B ）P （D |B ）+P （C ）P （D |C ）＝0.3×0.8+0.3×0.6+0.4×0.8＝0.74．故答案为：0.74．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3bsinA =a(2+cosB)．（1）求角B ；（2）延长BC 至D 点，若BC ＝2，△ACD 的面积为3√32，∠ACD =56π，求AD 的长．解：（1）由正弦定理可将已知条件转化为：√3sinBsinA =sinA(2+cosB)，因为A ∈（0，π），所以sin A ＞0，所以√3sinB −cosB =2，可得sin(B −π6)=1，因为B ∈（0，π），所以B −π6=π2，可得B =2π3；（2）因为∠ACD =5π6，所以∠ACB =π6，所以∠BAC =π−∠ACB −∠B =π6，在△ABC 中，由正弦定理得：ACsinB=BC sin∠BAC，所以AC =BC⋅sinBsin∠BAC =2√3，在△ACD 中，S △ACD =12AC ⋅CD ⋅sin∠ACD ，即12×2√3×CD ×12=3√32，所以CD ＝3，由余弦定理得：AD 2＝AC 2+CD 2﹣2AC •AD •cos ∠ACD ，即：AD 2=12+9−2×2√3×3×(−√32)=39，所以AD =√39．18．（12分）已知数列{a n }为等比数列，a 2+a 5＝14，a 2•a 5＝﹣32，且a 1＞0．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =1log 2|a n+1|⋅log 2|a n+3|，设{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34．（1）解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则由{a 2+a 5=14a 2⋅a 5=−32，可得{a 1q +a 1q 4=14a 12q 5=−32，解得{a 1=−32q =−12，或{a 1=1q =−2，∵a 1＞0，∴a 1＝1，q ＝﹣2，∴a n ＝1•（﹣2）n ﹣1＝（﹣2）n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）可得， b n =1log 2|a n+1|⋅log 2|a n+3|=1log 22n⋅log 22n+2 =1n(n+2)=12•（1n−1n+2），∴S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣1+b n=12•（1−13）+12•（12−14）+12•（13−15）+⋯+12•（1n−1−1n+1）+12•（1n −1n+2）=12⋅(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2) =12⋅(1+12−1n+1−1n+2) =34−2n+32(n+1)(n+2)， ∵2n+32(n+1)(n+2)＞0，∴S n =34−2n+32(n+1)(n+2)＜34，故不等式S n ＜34对任意n ∈N *恒成立．19．（12分）“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利﹣800元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．解：（1）记“一个批次杨梅不能销售”为事件A ，则P(A)=1−(1−19)×(1−110)=15，所以一个批次杨梅不能销售的概率为15．（2）依据题意，X 的取值为﹣3200，﹣2000，﹣800，400，1600， P(X =−3200)=(15)4=1625， P(X =−2000)=C 41(15)3(45)=16625， P(X =−800)=C 42(15)2(45)2=96625， P(X =400)=C 43(15)1(45)3=256625，P(X =1600)=(45)4=256625，所以X 的分布列为：E(X)=−3200×1625−2000×16625−800×96625+400×256625+1600×256625=640．20．（12分）如图①所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的点，DE ∥BC 且DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图②．（1）若点N 在线段A 1B 上，且2BN ＝NA 1，求证：EN ∥平面A 1CD ；（2）若M 是A 1D 的中点，求平面MEB 与平面DEBC 夹角的余弦值．（1）证明：在△A 1CB 中，过N 作NF ∥CB 交A 1C 于点F ．因为A 1N A 1B=23，所以FN =23BC ，在三角形ABC 中，DE =23BC ，DE ∥BC ，所以FN ∥DE ，FN ＝DE ，所以四边形DENF 为平行四边形，所以DF ∥NE ．又DF ⊂平面A 1CD ，EN ⊄平面A 1CD ，所以EN ∥平面A 1CD（2）解：因为DE ∥BC ，∠C ＝90°，所以DE ⊥AC ，所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ．因为A 1D ∩CD ＝D ，A 1D ，CD ⊂平面A 1CD ，所以DE ⊥平面A 1CD ，所以BC ⊥平面A 1CD ．又由A 1C ⊥CD ，可建立如图所示直角坐标系，则A 1(0，0，2√3)，D （2，0，0），C （0，0，0），E （2，2，0），B （0，3，0），M(1，0，√3)，则：EM →=(−1，−2，√3)，EB →=(−2，1，0)，设平面MEB 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)，则 {n 1→⋅EM →=0n 1→⋅EB →=0，即{−x −2y +√3z =0−2x +y =0，令x =√3得，n 1→=(√3，2√3，5)可取平面DEBC 的法向量n 2→=(0，0，1)，设平面MEB 与平面DEBC 所成角为θ，则 cosθ=|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=51×40=√104，所以平面MEB 与平面DEBC 所成夹角的余弦值为√104． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ，ℎ(x)=ae xx+1，a ∈R ．（1）求曲线y ＝f （x ）过坐标原点的切线方程；（2）若f （x ）+h （x ）≥0在[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝lnx ﹣x 定义域为（0，+∞），f ′(x)=1x−1，设所求切线的切点为（x 0，lnx 0﹣x 0），则f ′(x 0)=1x 0−1，则所求切线方程为y −(lnx 0−x 0)=(1x 0−1)(x −x 0)，将（0，0）代入可得：x 0﹣lnx 0＝x 0﹣1，故x 0＝e ，故所求切线方程为y =1−ee x ．（2）依题意ae x x+1+lnx −x ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ≥x 2−x−xlnxe x在[1，+∞）上恒成立．令g(x)=x 2−x−xlnxe x，x ∈[1，+∞），则g ′(x)=(x−1)(lnx−x+2)e x，令h （x ）＝lnx ﹣x +2（x ≥1），则ℎ′(x)=1x −1=1−xx ≤0，则h （x ）在[1，+∞）上单调递减， ∵h （3）＝ln 3﹣1＞0，h （4）＝ln 4﹣2＜0， ∴存在x 0∈（3，4），使得h （x 0）＝0，即lnx 0﹣x 0+2＝0，∴x 0lnx 0−x 02+2x 0=0，当x ∈（1，x 0）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减． ∴g(x)max=g(x 0)=x 02−x 0−x 0lnx 0e x 0=x0e x 0，又lnx 0﹣x 0+2＝0， ∴lnx 0=x 0−2=lne x 0−2，则x 0=ex 0−2=e x 0e 2，即x 0e x 0=1e2． ∴g(x)max =1e 2． ∴a ≥1e 2，即实数a 的取值范围为[1e 2，+∞)． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率是12，且过点M(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，且P ，Q 为椭圆C 上异于A 1，A 2的点，若直线PQ 过点(12，0)，是否存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q 恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，e =c a =12，a 2+b 2＝c 2，解得：b 2=34a 2①． ∵点M(1，32)在椭圆C 上， ∴1a 2+94b 2=1②，联立①、②，解得a 2＝4，b 2＝3，故所求椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1；（2）解法一：由（1）知A 1（﹣2，0），A 2（2，0）．当直线PQ 斜率不存在时，l PQ ：x =12．与椭圆联立可得P(12，3√54)，Q(12，−3√54)，则k A 1P =3√510，k A 2Q =√52，故而k A 1P =35k A 2Q ，可得λ=35；得当直线PQ 斜率存在且不为0时，设l PQ ：y =k(x −12)，令P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则k A 1P =y 1x 1+2，k A 2Q =y2x 2−2．联立{3x 2+4y 2−12=0y =k(x −12)，消去y 并整理，得（4k 2+3）x 2﹣4k 2x +k 2﹣12＝0，则由韦达定理得，{ x 1+x 2=4k24k 2+3x 1x 2=k 2−124k 2+3，假设存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q ，则y 1x 1+2=λy 2x 2−2，即(x 1−12)(x 2−2)=λ(x 2−12)(x 1+2)，整理得(1−λ)x 1x 2+(λ2−2)x 1−(12+2λ)x 2+1+λ=0，变形为(1−λ)x 1x 2+(λ2−2)((x 1+x 2)−x 2)−(12+2λ)x 2+1+λ=0，则(1−λ)k 2−124k 2+3+(λ2−2)(4k 24k 2+3−x 2)−(12+2λ)x 2+1+λ=0，即(3−5λ2)x 2−(3−5λ)(k 2+3)4k 2+3=0，即(3−5λ2)[x 2−2(k 2+3)4k 2+3]=0，即3−5λ2=0或x 2−2(k 2+3)4k 2+3=0，得λ=35或x 2=2(k 2+3)4k 2+3．当x 2=2(k 2+3)4k 2+3时，x 1=(x 1+x 2)−x 2=4k24k 2+3−2k 2+64k 2+3=2k 2−64k 2+3．此时，x 1x 2=(2k 2+6)(2k 2−6)(4k 2+3)2=k 2−124k 2+3，整理得45k 2＝0，解得k ＝0与题设矛盾，所以x 2≠2(k 2+3)4k 2+3，所以λ=35．解法二：由（1）知，A 1（﹣2，0），A 2（2，0）．可设PQ ：x =my +12，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．联立{3x 2+4y 2−12=0x =my +12，得(3m 2+4)y 2+3my −454=0，由韦达定理得：y 1+y 2=−3m 3m 2+4，y 1y 2=−454(3m 2+4)，所以my 1y 2=154(y 1+y 2)，所以k A 1Pk A 2Q=y 1x 1+2y 2x 2−2=y 1(x 2−2)y 2(x 1+2)=my 1y 2−32y 1my 1y 2+52y 2=154(y 1+y 2)−32y 1154(y 1+y 2)+52y 2=35，故存在实数λ=35，满足题设条件．。

2019-2020学年广东省韶关市数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2019-2020学年广东省韶关市数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为（） A ．30 B ．15C ．0D ．-15【答案】C 【解析】【分析】根据6(1)x +的展开式的通项公式找出6(1)x +中函数含2x 项的系数和4x 项的系数做差即可．【详解】6(1)x +的展开式的通项公式为16r r r T C x +=⋅ ，故6(1)x +中函数含2x 项的系数是26C 和4x 项的系数是46C 所以621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为26C -46C =0 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键． 2．函数()sin ln sin x x f x x x -⎛⎫⎪+⎝⎭＝的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为sin sin ()ln()ln()()sin sin x x x xf x f x x x x x-+--===--+ ，所以舍去B,D;当(0,)2x π∈时，sin sin 0sin sin 01,ln()0sin sin x x x xx x x x x x x x--<-<+∴<<∴<++所以舍C ，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．3．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．28(,]e -∞ B ．39[,)e +∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意可构造函数()2xae g x x x=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围. 【详解】由[]1,3x ∈，()()12122f x f x x x -<-得()()112212022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立，令()()2g x f x x =-，即()2xae g x x x=-，[]1,3x ∈，则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，所以()21()20x ae x g x x-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立，当1x =时，(1)20g '=-≤成立，当13x <≤时，()2120x ae x x --≤等价于()221xx a e x ≤-，令()()(]22,1,31xx h x x e x =∈-，则()()()2221101x x x h x e x ⎡⎤---⎣⎦'=<-，所以()h x 在(]1,3x ∈上单调递减， ()()()233min 239331h x h e e⨯===⨯-，即39a e≤故选：D 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.4．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．设a R ∈，若函数3ax y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >-D ．13a <-【答案】B 【解析】试题分析：设3axy e x =+，则()3axf x ae =+'，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点．即()30axf x ae =+='有正根，当有()30ax f x ae =+='成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-．由0x >，得参数a 的范围为3a <-．故选B ．考点：利用导数研究函数的极值．6．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（） A ．8种 B ．15种C ．53种D ．35种【答案】C 【解析】由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种不同的方法，故选C. 7． “ln ln x y >”是“x y >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】ln ln 0x y x y >⇔>>，0x y x y >>⇒>，x y >⇒0x y >>，∴ “ln ln x y >”是“x y >”的充分不必要条件．故选：B ．8．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈参照附表，得到的正确结论是（）A ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B【解析】解：计算K 2≈8.815>6.869，对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系，本题选择B 选项.9．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（）．A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C 【解析】【分析】由已知求得{}12RB x x x =≤≥或，再由()RAB R =，即可求得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12RB x x x =≤≥或，又由()RAB R =，所以2a ≥．故选C ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（） A ．2 B ．-4C ．2或-4D ．4【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c ++=B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A . 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .12．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24 B ．0.26C ．0.288D ．0.292【答案】C 【解析】【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.二、填空题：本题共4小题13．已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。

高数期末考试题及答案大全

高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求其在 $x=1$ 处的切线方程。

答案：首先求导数 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。

在 $x=1$ 处，导数值为 $f'(1) = -1$，函数值为 $f(1) = 0$。

切线方程为 $y - 0 = -1(x - 1)$，即 $y = -x + 1$。

试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。

答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 $x = \tan(\theta)$，$dx = \sec^2(\theta) d\theta$。

则 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta$。

利用二倍角公式，$\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}$。

积分变为 $\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C$。

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高等数学期末复习题及答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1、.11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则设答(A ) 2、[) ）答（和、　依赖于，不依赖于　依赖于　和　依赖于，不依赖于　依赖于　的值则，　上连续，且，在设函数t x s D s t C s t B t s A I t s dx sxt f s I x f st )()()()()00()(10)(0>>+=∞+⎰ 答( C ) 3、cx x x x D cx x x x C c x x x x B cx x x x A I xdx I +⋅-+-+⋅-++⋅-++⋅++==⎰sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21tan sec ln )(sec tan 21|tan sec |ln 21)(,sec 3 则设答( A ) 4、答（）等于是同阶无穷小，则与时，且当，，，有连续的导数，设4)(3)(2)(1)()(0)()()(0)0(0)0()(022D C B A k x x F x dt t f t x x F f f x f k x'→-=≠'=⎰答( C ) 5、）答（是等价无穷小，则的导数与时，若已知21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(02022--=''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x答( B ) 6、)()()()()()()()()(0, 2cos 1)(lim,0)0(,0)(0 答的驻点但不是极值点　是的驻点不是的极小值点　是的极大值点是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x xx f f x x f x ==-==→ 答( Ｂ ) 7、（）答是单调的　不为极植取极大值　取极小值处必在函数)()()()(3)3cos cos 2()(0D C B A x dt t t x f xπ=+=⎰答( B ) 8、.)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 11c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=+-=⎰ 则设答(C ) 9、）答（不为常数　恒为零为负常数　为正常数则设)()()()()(,sin )(2sin D C B A x F tdt e x F x xtdt⎰+⎰=π答( C )10、设函数在点处可导则它在处关于自变量改变量的微分等于答　y f x x x x dy A f x x f x B f x f x x C f x x D f x =+--+''(),()()()()()()()()()()()∆∆∆∆答()C11、极限的值为．；．　．　．．答（）limtan sin x x xx A B b C D →-∞030112答( C ) 12、设　则点　是的极大值点是的极小值点　是的驻点但不是极值点不是的驻点答 lim()()(),()()()()()(),,()()()x af x f a x a x aA f xB f xC f xD f x →--=-=21答( A ) 13、[] 答（）无穷多内零点的个数必为，在则函数，上连续，且，在设函数)( 2)(1)( 0)()()(1)()(0)()(D C B A b a dt t f dt t f x F x f b a x f x b x a ⎰⎰+=> 答( B ) 14、[] ）答（要条件　既不是充分也不是必　充分必要条件充分条件　必要条件的为奇函数是积分上连续，则，在设)( )()( )(0)()()(D C B A dx x f x f a a x f aa=-⎰-答( B )15、)()()()( )())((0)(,0)()(0000 答必不取得极值能不取得极大值可能取得极大值也可　必有极小值必有极大值处则在的某邻域有定义且在函数D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='=答()C 16、cx D c x x x C c x x B c xA I x x I ++-++==⎰2)(ln 21)(ln )(ln )(;1)( d ln 则设答( C ) 17、答（）确定定积分4)(2)(1)(0)(cos 0D C B A dx x ⎰π=答( C )二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分）1、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则　在，，设填: 12、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在，当，当填 : 1-3、已知是的一个原函数cos (),x xf x =⋅⎰x x xx f d cos )(则___________. ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⎰⎰)cos d(cos d cos )(x x x x x x x x f 填c x +2)cos (1　4、⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。

期末高数试题及答案

期末高数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数是：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 4C. 3x^2 + 4x - 3D. 3x^2 + 4x + 3答案：A3. 曲线y = x^2在x = 2处的切线斜率是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2)的和是：A. π^2/6B. eC. ln(2)D. 1答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3，则f'(1) = 。

答案：-17. 函数y = ln(x)的原函数是：。

答案：xln(x) - x + C8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6与x轴的交点个数是：。

答案：39. 若级数∑(-1)^n/n从n=1到无穷收敛，则其和S满足：S = 。

答案：ln(2)10. 函数y = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：y = 1 + x + 。

答案：x^2/2三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 + 2x - 5在实数范围内单调递增。

答案：首先求导f'(x) = 3x^2 + 2，由于3x^2 + 2 > 0对所有实数x成立，因此函数f(x)在实数范围内单调递增。

12. 计算定积分∫(1到2) (2x + 1) dx。

答案：首先求不定积分，得到F(x) = x^2 + x + C。

然后计算F(2) - F(1) = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4。

高职高数期末考试题及答案

高职高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^2 - 2xC. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = |x|答案：D2. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-2, 1]上的最大值是：A. 5B. 11C. 13D. 15答案：B3. 若f(x) = ln(x)，则f'(x)等于：A. 1/xB. x^(-1)C. x^(-2)D. x答案：A4. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x在x = 3处的切线斜率是：A. 0C. 6D. 9答案：A5. 极限lim (x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. π/2D. 不存在答案：B6. 函数y = x^2 - 4x + 4的最小值出现在x =：A. -2B. 0C. 2D. 4答案：C7. 微分dy = 2x dx表示的函数是：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2 - CD. y = 2x^2 + C答案：A8. 积分∫x^2 dx的结果是：B. x^3/3C. x^4/4D. x^4答案：B9. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B10. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. π^2/6B. eC. ln(n)D. 不收敛答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极小值点是 _ 。

答案：22. 函数y = e^x的反函数是 _ 。

答案：ln(y)3. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是 _ 。

答案：04. 函数y = sin(x)的图像关于 _ 对称。

答案：y轴5. 函数f(x) = √x的值域是 _ 。

2022-2023学年广东省韶关市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省韶关市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝m 2﹣1+（m +1）i （i 是虚数单位，m ∈R ）是纯虚数，则m ＝（） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．02．cos240°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√323．在△ABC 中，点D 为边AC 的中点，点E 为BD 的中点，若DE →=λAB →+μAC →，则λ+μ＝（） A ．−14B ．12C ．1D ．144．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =2√3，c =6，B =30°，则边长a ＝（） A ．2√3B ．4√3C ．2√3或4√3D ．4或2√35．如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为矩形A 'B 'C 'D '，已知A 'B '＝2，O '是A 'B '的中点，则AD 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．若一个圆台的高为√3，母线与底面所成角为60°，侧面积为6π，则该圆台的体积为（） A ．5√3π3B ．7√3π3C ．5√3πD ．7√3π7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4m ，筒车的轴心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟按逆时针转动3圈．规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从P 0运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）．若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（）A ．ℎ=4sin(2π3t −π6)+2，t ∈[0，+∞) B ．ℎ=4sin(2π3t +π6)+2，t ∈[0，+∞) C ．ℎ=4sin(π10t +π6)+2，t ∈[0，+∞) D ．ℎ=4sin(π10t −π6)+2，t ∈[0，+∞) 8．在直角△ABC 中，∠BAC =90°，|AB →|=1t，|AC →|=t ，若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB →2|AB →|+AC→4|AC →|，则当PB →⋅PC →取到最大值时，t ＝（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（） A ．平行于同一直线的两个平面平行 B ．垂直于同一直线的两个平面平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行10．已知函数f(x)=2cos(2x +π6)，则下列结论正确的是（） A ．函数f （x ）图象关于直线x =−π12对称 B ．函数f （x ）的最小正周期为2πC ．函数f （x ）图象可看作是把函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π6个单位而得到 D ．函数f （x ）在区间[−π2，0]的最大值为211．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若b 2sin 2C +c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 是钝角三角形C ．若AB →⋅BC →=2a ，则△ABC 是钝角三角形 D ．cos A +cos B +cos C ＞012．我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体称为刍童．如图刍童ABCD ﹣EFGH 有外接球，且AB ＝5，AD =√7，EF ＝4，EH ＝2，平面ABCD 与平面EFGH 的距离为1，则下列结论正确的是（）A ．该刍童为棱台B ．该刍童中BD 、HF 是异面直线C ．该刍童中二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值为√55D ．该刍童外接球的表面积为36π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量a →，b →的夹角为2π3，且|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，则|b →|= ．14．已知P （﹣1，2）是角α的终边上一点，则cos(α−π3)= ．15．如图，为了测量河对岸的塔AB 的高度，某人选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得CD ＝30m ；∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，则塔高AB ＝ m ．16．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，N 是侧面B 1BCC 1上（含边界）的动点，且满足直线A 1N ∥平面AD 1M ，则动点N 的轨迹长度为；当动点N 到平面CDD 1C 1的距离最大时，则过点D ，M ，N 的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得到的截面面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 17．（10分）已知复数：z 1＝1+2i ，z 2＝2﹣i ．（1）求z 1+1z 2；（2）在复平面内，O 为原点，复数z 1，z 2，z 分别对应向量OA →，OB →，OC →，且OC →与AB →共线，|z |＝2|z 1﹣z 2|，求z ．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，已知侧棱和底面边长相等，E 是AB 的中点，F 是PC 的中点．（1）求证：BF ∥平面PED ；（2）求异面直线PE 与AD 所成角的余弦值．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且√3acosC −csinA =0．（1）求角C ；（2）若c ＝2，△ABC 的面积为2√3，求sin A +sin B 的值．20．（12分）已知函数f(x)=2√3sin x2cos x2+2cos 2x2+a 的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间；（3）若f(α−5π12)=0，α∈(0，π2)，求sin2α−2sin 2α1+tanα的值．21．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC 且AD ＝2BC ＝2CD ．Q 是BB 1的中点．（1）证明：A 1，Q ，C ，D 四点共面；（2）证明：平面A 1QCD ⊥平面AA 1D 1D ；（3）若二面角A 1﹣CD ﹣B 的大小为π4，求直线AC 与平面A 1QCD 所成角的正弦值．22．（12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于2π3时，使得∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA =2π3的点O 即为费马点；当△ABC 有一个内角大于或等于2π3时，最大内角的顶点为费马点．已知△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B +cos2C ﹣cos2A ＝1．（1）求角A 的值；（2）若点P 为△ABC 的费马点，|PB |+|PC |＝t |P A |，求实数t 的最小值．2022-2023学年广东省韶关市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝m 2﹣1+（m +1）i （i 是虚数单位，m ∈R ）是纯虚数，则m ＝（） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．0解：若z ＝m 2﹣1+（m +1）i 是纯虚数，则{m 2−1=0m +1≠0，故m ＝1．故选：A ．2．cos240°＝（） A ．12B ．−12C ．√32 D ．−√32解：cos240°＝cos （180°+60°）＝﹣cos60°=−12，故选：B ．3．在△ABC 中，点D 为边AC 的中点，点E 为BD 的中点，若DE →=λAB →+μAC →，则λ+μ＝（） A ．−14B ．12C ．1D ．14解：由题意，DE →=12DB →=12(AB →−AD →) =12(AB →−12AC →) =12AB →−14AC →，则λ+μ=12−14=14．故选：D ．4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =2√3，c =6，B =30°，则边长a ＝（） A ．2√3B ．4√3C ．2√3或4√3D ．4或2√3解：由△ABC 中，b =2√3，c =6，B =30°，可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即12＝a 2+36﹣12a cos30°，即a 2−6√3a +24=0，解得a =2√3或4√3，经验证a =2√3或4√3适合题意．故选：C ．5．如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为矩形A 'B 'C 'D '，已知A 'B '＝2，O '是A 'B '的中点，则AD 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，矩形A 'B 'C 'D '，A 'O '＝O 'B '＝1，B 'C '＝1，则O ′C ′=√2，如图：原图矩形ABCD 中，OB ＝1，OC ＝2O ′C ′＝2√2， AD ＝BC =√OB 2+OC 2=√1+8=3，故选：C ．6．若一个圆台的高为√3，母线与底面所成角为60°，侧面积为6π，则该圆台的体积为（） A ．5√3π3B ．7√3π3C ．5√3πD ．7√3π解：如图为圆台的轴截面，设其上底半径为r ，由于母线与底面所成角为60°，且其高为√3，则OO ′＝AC =√3，∠ABC ＝60°，则BC ＝1，母线AB ＝2，圆台的侧面积为6π，则有S ＝π（r +r +1）×2＝6π，解可得r ＝1，则圆台的下底面半径为r +1＝2，则该圆台的体积V =13（4π+π+√4π2）×√3=7√33π．故选：B ．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4m ，筒车的轴心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟按逆时针转动3圈．规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从P 0运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）．若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（）A ．ℎ=4sin(2π3t −π6)+2，t ∈[0，+∞) B ．ℎ=4sin(2π3t +π6)+2，t ∈[0，+∞) C ．ℎ=4sin(π10t +π6)+2，t ∈[0，+∞) D ．ℎ=4sin(π10t −π6)+2，t ∈[0，+∞) 解：因为筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，所以∠xOP 0=π6，所以−π6是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，由 OP 在t （s ）内转过的角为3×2π60t =π10t ，t ∈[0，+∞），可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为π10t −π6，t ∈[0，+∞），则点P 的纵坐标为4sin （π10t −π6），t ∈[0，+∞），所以点P 距水面的高度 h （m ）表示为时间t （s ）的函数是h ＝4sin （π10t −π6）+2，t ∈[0，+∞）．故选：D ．8．在直角△ABC 中，∠BAC =90°，|AB →|=1t ，|AC →|=t ，若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB→2|AB →|+AC→4|AC →|，则当PB →⋅PC →取到最大值时，t ＝（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2解：建立如图所示的平面直角坐标系，已知在直角△ABC 中，∠BAC =90°，|AB →|=1t ，|AC →|=t ，则AB →=(1t，0)，AC →=(0，t)，其中t ＞0，又点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB →2|AB →|+AC→4|AC →|，则AP →=(12，14)，则PB →=(1t −12，−14)，PC →=(−12，t −14)，则当PB →⋅PC →=516−(12t +t 4)≤516−2√12t ×t 4=516−√22，当且仅当12t=t4，即t =√2时取等号，即当PB →⋅PC →取到最大值时，t =√2．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（） A ．平行于同一直线的两个平面平行 B ．垂直于同一直线的两个平面平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行解：平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A 不正确；由平面平行的判定定理知垂直于同一直线的两个平面平行，故B 正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C 不正确；垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D 不正确．故选：B ．10．已知函数f(x)=2cos(2x +π6)，则下列结论正确的是（） A ．函数f （x ）图象关于直线x =−π12对称 B ．函数f （x ）的最小正周期为2πC ．函数f （x ）图象可看作是把函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π6个单位而得到D ．函数f （x ）在区间[−π2，0]的最大值为2 解：当x =−π12时，f （x ）＝2cos （﹣2×π12+π6）＝2cos0＝2，则函数f （x ）图象关于直线x =−π12对称，故A 正确，函数的函数f （x ）的最小正周期T =2π2=π，故B 错误，把函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝2cos2（x +π6）＝2cos （2x +π3），则无法得到f （x ）的图象，故C 错误，当x ∈[−π2，0]，则2x ∈[﹣π，0]，2x +π6∈[−5π6，π6]，则当2x +π6=−5π6时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝2cos （−5π6）＝2×（−√32）=−√3，当2x +π6=0时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝2cos0＝2，故D 正确．故选：AD ．11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若b 2sin 2C +c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 是钝角三角形C ．若AB →⋅BC →=2a ，则△ABC 是钝角三角形 D ．cos A +cos B +cos C ＞0解：A 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理可得sin A ＞sin B ，所以A 正确；B 中，因为b 2sin 2C +c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，由正弦定理可得2sin 2B sin 2c ＝2sin B sin C cos B cos C ，在三角形中 sin B sin C ≠0，整理可得：cos B cos C ﹣sin B sin C ＝0，即cos （B +C ）＝0，所以cos A ＝0，所以A =π2，所以B 不正确；C 中，2a =AB →•BC →=|AB →|•|BC →|•cos （π﹣B ）＝﹣ca cos B ＞0，可得cos B ＜0，即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形，所以C 正确；D 中，若△ABC 是锐角三角形或直角三角形，显然cos A +cos B +cos C ＞0成立；当△ABC 为钝角三角形时，设C 为钝角，则cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＜0，则cos A +cos B +cos C ＞cos A +cos C ＝cos A ﹣cos （A +B ）＝cos A ﹣cos A cos B +sin A sin B ＞cos A ﹣cos A cos B ＝cos A （1﹣cos B ）＞0，综上所述D 正确．故选：ACD ．12．我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体称为刍童．如图刍童ABCD ﹣EFGH 有外接球，且AB ＝5，AD =√7，EF ＝4，EH ＝2，平面ABCD 与平面EFGH 的距离为1，则下列结论正确的是（）A ．该刍童为棱台B ．该刍童中BD 、HF 是异面直线C ．该刍童中二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值为√55D ．该刍童外接球的表面积为36π解：对于A ，假若该刍童为棱台，根据题意，结合棱台的性质可知，EH AD=EF AB，而根据题中数据可知，EH AD=√7，EF AB=45，显然地二者不等，故A 错误；对于B ，若BD ，HF 在一个平面内，则有BD ∥HF ，由于EF ∥AB ，所以∠HFE ∥∠DBA ，则tan ∠HFE =EH EF =12≠tan∠DBA =AD AB =√75，故BD ，HF 不在同一平面，故B 正确；根据题意，作图如下：设球心为O ，上下底面的中心O 2，O 1，则在△OAO 1中，OA 2=AO 12+OO 12，即R 2=(2√2)2+OO 12①；在△OEO 2中，OE 2=EO 22+(OO 1+1)2，即R 2=(√5)2+(OO 1+1)2②；由①②可得，OO 1＝1，从而可得R ＝3，则体积即为V =43πR 3=36π，故D 正确；过点F 作FM ⊥平面ABCD ，FN ⊥BC ，连接MN ，则∠FNM 为二面角的平面角，根据题意可知，FM ＝1，MN =12，FN =√52，所以cos ∠FNM =MN FN =√55，故C 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量a →，b →的夹角为2π3，且|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，则|b →|= 2 ．解：向量a →，b →的夹角为2π3，且|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，则(a →+b →)⋅a →=a →2+a →⋅b →=1+1×|b →|cos 2π3=0，解得|b →|=2．故答案为：2．14．已知P （﹣1，2）是角α的终边上一点，则cos(α−π3)= 2√15−√510．解：∵P （﹣1，2）是角α的终边上一点， ∴cos α=−1√(−1)+2=−√55，sin α=2√(−1)+2=2√55， ∴cos(α−π3)=cos αcos π3+sin αsin π3=−√55×12+2√55×√32=2√15−√510．故答案为：2√15−√510． 15．如图，为了测量河对岸的塔AB 的高度，某人选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得CD ＝30m ；∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，则塔高AB ＝ 15（√3+1） m ．解：在△BCD 中，CD ＝30m ，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠CBD ＝180°﹣30°﹣105°＝45°，由正弦定理，得BC sin∠BDC=CD sin∠CBD，所以BC=30sin105°sin45°=30sin(45°+30°)sin45°=30(√22×√32+√22×12)√22=15(√3+1)，在Rt△ABC中，AB=BC⋅tan∠ACB=BC⋅tan45°=15(√3+1)(m)，所以塔高AB为15(√3+1)m．故答案为：15(√3+1)．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，N是侧面B1BCC1上（含边界）的动点，且满足直线A1N∥平面AD1M，则动点N的轨迹长度为√22；当动点N到平面CDD1C1的距离最大时，则过点D，M，N的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得到的截面面积为√52．解：取E为BB1的中点，F为C1B1中点，由正方体性质可得EM∥A1D1，EM＝A1D1，所以四边形A1EMD1是平行四边形，所以A1E∥MD1，因为A1E⊄面AMD1，MD1⊂面AMD1，所以A1E∥面AMD1，由中位线定理可得EF∥BC1，又因为AD1∥BC1，所以EF∥AD1，因为EF⊄面AMD1，AD1⊂面AMD1，所以EF∥面AMD1，又因为A1E∩EF＝E，所以平面A1EF∥平面AMD1，所以点N在EF上，又A1N⊂平面A1EF所以A1N∥面AMD1，所以点N的轨迹为EF，EF=√(12)2+(12)2=√22，如图建立空间直角坐标系：则E （1，0，12），F （12，1，1），C （1，1，0），B （1，0，0），所以EF →=（12，﹣1，−12），CB →=（0，﹣1，0），由（1）知点N 在EF 上，设EN →=λEF →，（0≤λ≤1），即（x N ﹣1，y N ，z N −12）＝λ（0，12，12），所以x N ＝1，y N =λ2，z N =12+λ2，所以N （1，λ2，12+λ2），所以CN →=（0，λ2−1，12+λ），平面CDD 1C 1的法向量为CB →=（0，﹣1，0），设CN 与平面CDD 1C 1的夹角为θ，所以sin θ＝cos ＜CN →，m →＞=CN →⋅m →|CN →||m →|=(0，λ2−1，12+λ2)⋅(0，−1，0)|CN →|⋅1=−λ2−1|CN →|，所以点N 到平面CDD 1C 1的距离d ＝|CN |sin θ=−λ2+1，（0≤λ≤1），当λ＝0，即点N 在点E 处时，点N 到平面CDD 1C 1的距离d max ＝1，所以过点D ，M ，N 的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得到的截面ANMD ，由几何体特征可得四边形ANMD 为矩形，且AN =√12+(12)2=√52，NM ＝1，所以截面积为AN •NM =√52×1=√52，故答案为：√22，√52．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 17．（10分）已知复数：z 1＝1+2i ，z 2＝2﹣i ．（1）求z 1+1z 2；（2）在复平面内，O 为原点，复数z 1，z 2，z 分别对应向量OA →，OB →，OC →，且OC →与AB →共线，|z |＝2|z 1﹣z 2|，求z ．解：（1）因为z 1＝1+2i ，z 2＝2﹣i ，所以z 1+1z 2=（1+2i ）+12−i =（1+2i ）+15（2+i ）=75+115i ；（2）因为OA →=（1，2），OB →=（2，﹣1），所以AB →=OB →−OA →=（1，﹣3），因为OC →与AB →共线，所以OC →=λAB →=（λ，﹣3λ），λ∈R ；又因为|z |＝2|z 1﹣z 2|，所以√λ2+9λ2=4√(1−2)2+(2+1)2，解得λ＝±4，所以z＝（4，﹣12）或（﹣4，12）．18．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，已知侧棱和底面边长相等，E是AB的中点，F是PC的中点．（1）求证：BF∥平面PED；（2）求异面直线PE与AD所成角的余弦值．证明：（1）取PD的中点为G，连接FG，EG，由于F是PC的中点，则FG∥CD，FG=12 CD，又在正四棱锥P﹣ABCD中，已知侧棱和底面边长相等，即有AB∥CD，AB＝CD，故FG∥BE．FG=12AB＝BE，则四边形EBFG为平行四边形，所以BF∥EG，而BF⊄平面PED，EG⊂平面PED，故BF∥平面PED；解：（2）取CD中点为N，连接EN，取EN中点为H，连接PN，PH，则EN∥AD，故∠PEN即为异面直线PE与AD所成角或其补角，且H在EN上，且H为底面正方形ABCD的中心，则PH⊥底面ABCD，EN⊂底面ABCD，故PH⊥EH，不妨设正四棱锥P ﹣ABCD 底面边长为2，△P AB 为正三角形，则EH =12EN ＝1，PE ＝2×√32=√3，故在Rt △PHE 中，cos ∠PEH =EH PE =13=√33，即异面直线PE 与AD 所成角的余弦值为√33． 19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且√3acosC −csinA =0．（1）求角C ；（2）若c ＝2，△ABC 的面积为2√3，求sin A +sin B 的值．解：（1）由正弦定理及√3acosC −csinA =0，得√3sinAcosC −sinCsinA =0， ∵A ∈（0，π），∴snA ≠0， ∴√3cosC =sinC ，∴tanC =√3， ∵C ∈（0，π），∴C =π3；（2）由余弦定理有：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即a 2+b 2﹣ab ＝4，即（a +b ）2﹣3ab ＝4，① ∵△ABC 的面积为2√3，∴12absinC =2√3，即ab ＝8，②由①②解得：a +b =2√7，由正弦定理有：asinA=b sinB=c sinC=√32=4√33， ∴sinA =a4√33=√34a ，sinB =b4√33=√34b ，∴sinA +sinB =√34(a +b)=√34×2√7=√212，sin A +sin B 的值为√212． 20．（12分）已知函数f(x)=2√3sin x 2cos x 2+2cos 2x 2+a 的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间；（3）若f(α−5π12)=0，α∈(0，π2)，求sin2α−2sin 2α1+tanα的值．解：因为f(x)=2√3sin x 2cos x 2+2cos 2x 2+a =√3sin x +cos x +1+a ＝2sin （x +π6）+1+a ，（1）因为f （x ）的最大值为1，所以2+1+a ＝1，解得a ＝﹣2；（2）由（1）可得f （x ）＝2sin （x +π6）﹣1，令2k π+π2≤x +π6≤2k π+3π2，k ∈Z ，则2k π+π3≤x ≤2k π+4π3，k ∈Z ，即函数f （x ）的单调递减区间为[2k π+π3，2k π+4π3]（k ∈Z ）；（3）由f(α−5π12)=0，α∈(0，π2)，得2sin （α−5π12+π6）﹣1＝2sin （α−π4）﹣1＝0，2sin （α−π4）＝1，sin （α−π4）=12，而α∈（0，π2），故α−π4∈（−π4，π4），则cos （α−π4）=√32，故sin α＝sin[（α−π4）+π4]=√22sin （α−π4）+√22cos （α−π4）=√2+√64，cos α＝cos[（α−π4）+π4]=√22cos （α−π4）−√22sin （α−π4）=√6−√24，所以sin2α−2sin 2α1+tanα=2sinαcosα−2sin 2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)cosα+sinα=2×√6+√24×√6−√24(√6−√24−√6+√24)√6+√24+√6−√24=−√36． 21．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC 且AD ＝2BC ＝2CD ．Q 是BB 1的中点．（1）证明：A 1，Q ，C ，D 四点共面；（2）证明：平面A 1QCD ⊥平面AA 1D 1D ；（3）若二面角A 1﹣CD ﹣B 的大小为π4，求直线AC 与平面A 1QCD 所成角的正弦值．证明：（1）因为A 1A ⊥底面ABCD ，且A 1A ∥DD 1，所以DD 1⊥底面ABCD ，且DA ，CD ⊂底面ABCD ，所以DD 1⊥DA ，DD 1⊥CD ，且AD ∥BC ，CD ⊥BC ，所以CD ⊥AD ，所以以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系如图，设AD ＝2，CD ＝BC ＝1，DD 1＝h ，则有D(0，0，0)，C(0，1，0)，A 1(2，0，ℎ)，Q(1，1，ℎ2)，所以DA 1→=(2，0，ℎ)，CQ →=(1，0，ℎ2)，所以DA 1→=2CQ →，所以DA 1∥CQ ，所以四边形DA 1QC 为梯形，所以A ，Q ，C ，D 四点共面．（2）由（1）可知，CD ⊥AD ，DD 1⊥CD ， AD ∩DD 1＝D ，AD ，DD 1⊂平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，又因为CD ⊂平面A 1QCD ，所以平面A 1QCD ⊥平面AA 1D 1D ．解：（3）设平面A 1CD 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， DC →=(0，1，0)，DA 1→=(2，0，ℎ)，所以{DC →⋅m →=y =0DA 1→⋅m →=2x +ℎz =0，设x ＝h ，则y ＝0，z ＝﹣2，所以m →=(ℎ，0，−2)，平面CDB 的一个法向量为n →=(0，0，1)，所以|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√ℎ+4=√22，解得h ＝2或h ＝﹣2（舍），所以m →=(2，0，−2)，又因为AC →=(−2，1，0)，设直线AC 与平面A 1QCD 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜m →，AC →＞|=|m →⋅AC →||m →||AC →|=42√2×√5=√105，即直线AC 与平面A 1QCD 所成角的正弦值为√105． 22．（12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于2π3时，使得∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA =2π3的点O 即为费马点；当△ABC 有一个内角大于或等于2π3时，最大内角的顶点为费马点．已知△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B +cos2C ﹣cos2A ＝1．（1）求角A 的值；（2）若点P 为△ABC 的费马点，|PB |+|PC |＝t |P A |，求实数t 的最小值．解：（1）△ABC 中，cos2B +cos2C ﹣cos2A ＝1，即1﹣2sin 2B +1﹣2sin 2C ﹣1+2sin 2A ＝1，故sin 2A ＝sin 2B +sin 2C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+c 2，故△ABC 直角三角形，即A =π2．（2）由（1）知A =π2，故由点P 为△ABC 的费马点得∠APB =∠BPC =∠CPA =2π3，设|PB |＝m |P A |，|PC |＝n |P A |，|P A |＝x ，m ＞0，n ＞0，x ＞0，则由|PB |+|PC |＝t |P A |得m +n ＝t ；由余弦定理得|AB|2=x 2+m 2x 2−2mx 2cos 2π3=(m 2+m +1)x 2， |AC|2=x 2+n 2x 2−2nx 2cos2π3=(n 2+n +1)x 2， |BC|2=m 2x 2+n 2x 2−2mnx 2cos2π3=(m 2+n 2+mn)x 2 故由|AC |2+|AB |2＝|BC |2得（n 2+n +1）x 2+（m 2+m +1）x 2＝（m 2+n 2+mn ）x 2，即m +n +2＝mn ，而m ＞0，n ＞0，故m +n +2=mn ≤(m+n 2)2，当且仅当m ＝n ，结合m +n +2＝mn ，解得m =n =1+√3时，等号成立，又m +n ＝t ，即有t 2﹣4t ﹣8≥0，解得t ≥2+2√3或t ≤2−2√3（舍去），故实数t 的最小值为2+2√3．。

大一高等数学期末考样卷

韶关学院200*－200*学年第一学期《微积分》期末试卷（A 卷）参考答案与评分标准学院(系) 专业200*级本科班学号姓名注：1、考试时间120分钟，总分100分；2、考试内容：预备知识、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、微分方程；3、适用于200*级本科：机械制造、自动化、信息管理与信息系统、计算机科学技术、通信工程、交通运输、电子信息科学与技术、物理等专业．一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限=→xxx 5ta n 3sin lim2、微分方程0s ec 2=-'x y 的通解是y =3、()f x 在0x 处左、右导数都存在是()f x 在0x 处可导的条件；4、反常积分=+⎰∞+021xdx5、设x x f cos )(=，则导数：=⎰2)(x dt t f dx d二、单项选择题（每小题3分，共15分）6、下列函数中在区间[-2, 2]上满足罗尔定理条件的是（）Ａ、xx f 1)(=B 、||ln )(x x f =C 、x x f sin )(=D 、21)(x x f -=7、若,)(2c x dx x f +=⎰则⎰=dx x xf )(sin cos （）Ａ、C x +2 Ｂ、C x +2Ｃ、C x +2sinＤ、C x x +cos 28、设二阶可导函数)(x f 在点0x 处有：0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则下列正确的是( )(A) )(0x f 是极大值； (B) )(0x f 是极小值，； (C) 点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点； (D) )(x f '单调递增； 9、下列函数为奇函数的是（）A 、xe x +sin B 、)1ln(2++x x C 、||x D 、x x cos 210、反常积分⎰202x dx( ) A 、收敛于0； B 、收敛于1； C 、收敛于2； D 、发散；三、解答下列各题(每小题6分，共48分)11、证明：当1>x 时，ex e x>； 12、设⎩⎨⎧-=+=-tet y t t x ，求dxdy ； 13、求极限：nn n n 312lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→；14、设)a r c s i n (x y =，求dy ； 15、计算⎰+dx ee x x21； 16、计算⎰e xdx 1ln 。

高数下学期期末试题(含答案)3套

高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

25、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。

高数三期末考试题及答案

高数三期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B3. 判断下列级数是否收敛。

∑(1, 2, 3, 4, ...)A. 收敛B. 发散答案：B4. 求解微分方程dy/dx+y=x的通解。

A. y = e^(-x)∫x dx + CB. y = e^(x)∫x dx + CC. y = e^(-x)∫e^x dx + CD. y = e^(x)∫e^(-x) dx + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=sinx的二阶导数是______。

答案：-cosx2. 求极限lim(x→0) (sinx/x)。

答案：13. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求其顶点坐标。

答案：(2, 0)4. 计算二重积分∬D xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的闭区域。

答案：π/2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。

解：首先求导数y'=3x^2-12x+9，令y'=0，解得x=1或x=3。

然后检查二阶导数y''=6x-12，发现x=1时y''<0，x=3时y''>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

解：首先进行积分运算，得到∫(x^2-4x+4) dx = (1/3)x^3-2x^2+4x。

然后将积分上限2和下限0代入，计算得到(1/3)(2)^3-2(2)^2+4(2)- [(1/3)(0)^3-2(0)^2+4(0)] = 8/3 - 8 + 8 = 8/3。

3. 求解微分方程dy/dx-2y=e^(2x)。

大学高数期末复习卷试卷与答案1

第二学期高等数学练习题（二）一、选择题1、在点处),(y x f 可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数存在（B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续（D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。

2．设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的（）(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定.3．微分方程x xey y y 2'"65=+-的特解形式是（） (A) bx ae x +2 (B) x e b ax 2)(+(C) x e b ax x 2)(+ (D) x e b ax x 22)(+4．曲面1232222=++z y x 上，点)1,2,1(-处的切平面方程是（）A 、24682=-+z y xB 、2068=+-z y xC 、1234=-+z y xD 、1234=+-z y x5．下列级数条件收敛的是（）（A ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n（B ）211)1(n n n ∑∞=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）n n n 1sin )1(1∑∞=- 6．设n 是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则z y x u 2286+=在点P 沿方向n 的方向导数为（）（A ）0 （B ）711 （C ）117 （D ）2 。

7．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A. 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

二、填空题1、微分方程 x y y x cos =+' 的通解是2．交换积分⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),(的次序成为。

高数下期末基础试题及答案

高数下期末基础试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是洛必达法则的适用条件？A. 0/0型未定式B. ∞/∞型未定式C. 0×∞型未定式D. ∞-∞型未定式答案：A2. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是：A. -3B. 0C. 3D. 1答案：B3. 以下哪个选项是定积分的几何意义？A. 曲线下的面积B. 曲线上的长度C. 曲线的斜率D. 曲线的曲率答案：A4. 以下哪个选项是泰勒级数展开的一般形式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...B. f(x) = f(a) - f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) - f''(a)(x-a)^2/2! + ...D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! - ...答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4在x=2处的极值是________。

答案：02. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是________。

答案：-23. 定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>x^2dx的值是________。

答案：1/34. 函数f(x)=e^x的泰勒级数展开式在x=0处的前三项是________。

答案：1+x+x^2/2!三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题, 每小题4分，共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f 。

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=(C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ）。

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B)222x+(C ）1x - （D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。

8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ，A 为常数。

高数下期末考试复习题(附答案)

一。

微分方程 1. 一阶微分方程 (1)．微分方程12'x y e -=的通解是（ C ）A ．2x y eC -=+ B ．2x y e C =+C ．22x y e C -=-+ D ．2x y Ce -=(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。

解: 22ln ln y x C -=(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解解：cos 3sin 1x x y e dy dx y e =-，cos 3sin 1xx y e dy dx y e =-⎰⎰ ()ln sin 3ln 1ln x y e c =-+，()3sin 1x y c e ⎡⎤=-⎣⎦(4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()()0cos 2sin 1xy x x y t tdt x +=+⎰解：原方程两端求导得cos sin 2sin cos sin 1y x y x y x y x y x ''-+=+= 即sin 1cos cos x y y x x'+=，这是标准的一阶线性微分方程 ()sin sin ln cos ln cos cos cos 11tan cos cos cos x xdx dx x x x x y e e c e e c x c x x x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 原方程令0x =得1y =，代入通解得1c =，从而sin cos y x x =+()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 cos .C xy x-=解:通解为:(6) 求微分方程212y x y '=-的通解解:原方程化为22dxx y dy-=-,这是关于未知函数为x 的一阶线性微分方程,通解为:22111224y y Ce y y -=+++ (7)、求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程1x y y xe x-'-= 由公式()111ln ln dx dx x x x x x x x x y e xe e dx c e xe e dx c x e dx c x c e -------⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解。

广东省韶关市高一下学期数学期末考试试卷

广东省韶关市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A . cosβ=2cosαB . cos2β=2cos2αC . cos2β+2cos2α=0D . cos2β=2cos2α2. （2分）在单位圆中，一条弦AB的长度为，则该弦AB所对的弧长l为（）A . πB . πC . πD . π3. （2分）偶函数,在上单调递增，则)与的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高三上·临川期末) 定义为n个正数p1 ， p2 ，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}，的前n项的“均倒数”为，又bn= ，则 + +…+ =（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=2acosC，则此三角形一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰或直角三角形6. （2分）(2017·芜湖模拟) 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn ， S10=40，则a3•a8的最大值为（）A . 14B . 16C . 24D . 407. （2分） (2019高二上·中山月考) 的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（）A .B .C .D .8. （2分）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·中山期末) 已知等差数列的前项和为，，，，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·安徽模拟) 若数列的通项公式是，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2016高一下·盐城期末) 已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点P（﹣1，3），则cos2α的值为________．12. （1分）已知tan（α+ ）=2，则 =________．13. （1分） (2018高三上·福建期中) 若数列的首项，且；令，则 ________．14. （1分） (2017高一下·西安期末) 在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为________．15. （1分） (2017高一下·温州期末) 角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA= ，则cos2A值为________．16. （1分）在1到100的自然数（含1和100）中有________个能被2或3整除的数．17. （1分） (2020高一下·丽水期中) 已知数列的前n项和，则 ________18. （1分） (2018高三上·鄂州期中) 若x，，且，则的最小值为________；三、解答题 (共4题；共35分)19. （10分） (2017高三上·同心期中) 已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和，证明20. （5分）已知函数f（x）=sin22x﹣sin2xcos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0 ， y0）是y=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标．21. （10分） (2018高三上·信阳期中) 在△ABC中，AC=6，，．（1）求AB的长；（2）求的值．22. （10分）(2018·临川模拟) 各项均为正数的数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求的最小值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。