高中数学校本课程《培优与竞赛讲义》学生版

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高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛培优教程pdf

高中数学竞赛培优教程pdf摘要：I.高中数学竞赛培优教程概述A.教程目标B.教程适用人群C.教程内容简介II.高中数学竞赛培优教程的特点A.针对性的题目设计B.深入浅出的讲解C.培养学生的独立思考能力III.高中数学竞赛培优教程的使用方法A.配合课堂教学B.课外自主学习C.参加数学竞赛前的强化训练IV.高中数学竞赛培优教程对学生的帮助A.提高数学成绩B.培养数学竞赛能力C.为高考数学做准备V.高中数学竞赛培优教程的优缺点分析A.优点1.系统性强2.内容丰富3.教师推荐B.缺点1.难度较高2.需要较高自觉性正文：高中数学竞赛培优教程是一本针对高中学生的数学竞赛辅导教材，旨在帮助学生提高数学竞赛能力，同时对高考数学也有很大帮助。

本教程采用pdf 格式，学生可以随时随地下载学习。

教程分为若干章节，每个章节都涵盖了高中数学竞赛的重要知识点。

教程从基础题型入手，逐步过渡到竞赛题型，难度逐渐提升。

通过不断练习，学生可以熟练掌握各类题型的解题方法，从而在数学竞赛中取得好成绩。

本教程适用于有一定数学基础，希望提高数学竞赛能力的高中生。

学生可以结合课堂教学，自主学习教程中的内容，也可以在参加数学竞赛前进行强化训练。

高中数学竞赛培优教程的特点在于针对性的题目设计、深入浅出的讲解以及培养学生的独立思考能力。

教程中的题目设计与高考数学、数学竞赛紧密相连，帮助学生在学习过程中更好地掌握知识点，提高解题能力。

在实际使用过程中，学生可以根据自己的需求，合理安排学习时间，配合课堂教学，进行课外自主学习。

这样，不仅可以提高学生的数学成绩，还能培养学生的数学竞赛能力，为高考数学做好充分准备。

总的来说，高中数学竞赛培优教程是一本很有价值的辅导教材。

浙大优学·高中数学竞赛培优教程

浙大优学·高中数学竞赛培优教程一、学生情况分析本班共有学生59人，从学习情况及知识技能掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，作业能按时按量完成，且质量较好，也有少部分学生，基础知识薄弱，学习态度欠端正，书写较潦草，作业有时不能及时完成，因此本学期除在教学过程中要注重学生的个体差异外，我准备在提高学生学习兴趣上下功夫，通过培优辅潜的方式使优秀学生得到更好的发展，潜能生得到较大进步。

二、辅导班补差目标：提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助学困生适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养良好的学习习惯，形成基本能力。

培化计划要落到实处，发掘并培养一批尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实基础，并能协助老师进行辅差活动，提高整个班级的素养和成绩。

三、具体措施1、认真备好每一次培优辅差教案，努力做好学习过程的趣味性和知识性相结合。

2、强化交流，介绍创造力生、出色后生的家庭、自学的具体情况，尽量确定自学上碰到的困难。

3、搞好家访工作，及时了解学生家庭情况，交流、听取建议意见。

4、沟通思想，二要化解创造力生在自学上的困难。

5、坚持辅差工作，每周不少于一次。

6、根据学生的个体差异，精心安排相同的作业。

7．采用一优生带一差生的一帮一行动。

8．恳请优生了解自学经验，差生予以自学先进经验9．课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。

对差生实施多做多练措施。

优生适当增加题目难度，并安排课外作品阅读，不断提高做题和写作能力。

10．使用激励机制，对差生的每一点进步都给与确实，并引导其稳步坚忍，在优生中践行榜样，给机会整体表现，调动他们的自学积极性和成功感。

充份介绍差生现行自学方法，给与正确引导，朝正确方向发展，确保差生改善目前自学高的状况，提升学习成绩。

一、指导思想：孤贫就是为了使对自学厌烦、自学上存有困难、自控的能力差和犯罪行为偏差的学生，在教师的辅导和优生的协助下，学生逐步提高学习成绩，并培育较好的自学习惯，再次培育自学的兴趣。

高中_数学竞赛辅导讲义(1)

数学竞赛辅导讲义〔1〕（一）抽象函数知识提要：所谓抽象函数泛指不具体的函数，然而抽象函数又以具体函数为背景，所以研究抽象函数很有应用价值.()f x 是定义在R +上的增函数，且()()x f x f f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，假设()31f =，那么使()125f x f x ⎛⎫-≥ ⎪-⎝⎭成立的x 的取值范围是 . ()f x 是定义在R 上的函数，它的图象既关于直线5x =对称，又关于直线7x =对称，那么函数()f x 的最小正周期是 .()y f x =是在R 上有定义且在[]0,1上是单调递减的周期为2的偶函数，那么()()()1,0, 2.5f f f -由小到大的顺序为 .R 上的函数()f x ，恒有()()()f x y f x f y +=+.假设()164f =，那么()2006f 等于 . 〔二〕函数[]x 和{x }知识提要：函数[]x 表示实数x 的整数局部〔不超过x 的最大整数〕.通常称[]y x ={}x 为实数x 的小数局部.任一实数都能写成整数局部与小数局部之和，即[]{}x x x =+.例如：当3.71x =-时，[]3.714-=-，{3.71}0.29-=，且()()3.7140.29-=-+.[]x 表示不超过x [][]2sin x x =()0x ≥的解集〔x 以弧度为单位〕是 .[]x 表示不超过x 的最大整数，那么不等式[][]221160x x --≤的解集是 .n 能被整除，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，那么n 的表达式为〔用表示结果〕. 8.1x y -<是[][]x y =成立的条件.〔选填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充分且必要〞、“既不充分也不必要〞四者之一〕〔三〕函数迭代和函数方程设f 是D D →的函数，对任意,x D ∈记()()0,fx x =定义()()()()1*,,n n f x f f x n N +=∈那么称函数()n f x 为()f x 的n 次迭代. ()n f x 的一般求法是先猜后证：先迭代几次，观察有何规律，由此猜想出()n f x 的表达式，然后证明.()f x 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，那么称()f x 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求其解的过程就是解函数方程.一般用以下方法：〔1〕代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换〔代换时应注意使函数的定义域不发生变化〕，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.〔2〕赋值法：根据所给条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.〔3〕待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法比拟系数而求解. 〔4〕递推法：即通过初始条件和递推关系求解，例如通过数列的递推关系求通项公式等.k 的各位数字和的平方记为()1,f k 且()()()11,n n f k f f k -⎡⎤=⎣⎦那么()11n f 的值域为〔A 〕*N ；〔B 〕 {2,4,7} ；〔C 〕{4,16,49,169,256} ；〔D 〕{2,4,7,13,16}()12,1f x x =+而()()*11,.n n f x f f x n N +=∈⎡⎤⎣⎦记()()21,22n n n f a f -=+那么99a 等于。

高中数学校本课程《培优与竞赛讲义》

3 ( x 1) 1997( x 1) 1 例 5 设 x, y∈R，且满足，求 x+y. 3 ( y 1) 1997( y 1) 1
【讲解】
设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若 a<b，则
f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 且对任意 x1 , x2 ∈R 都有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ，当x0 例 6．已知函数 y f ( x) 的定义域为 R，时， f ( x) 0 ， f (1) a ，试判断在区间[－3,3]上 f ( x) 是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若没有，说明理由. 【讲解】：设 x1 , x2 ∈R 且 x1 x2 ，则 x2 x1 0 ，所以 f ( x2 x1 ) 0 . ∴ f ( x2 ) f ( x1 ) f [( x2 x1 ) x1 ] f ( x1 ) ＝ f ( x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) ＝ f ( x2 x1 ) 0 . ∴ f ( x2 ) f ( x1 ) 所以 f ( x) 在 R 上为减函数，在[－3,3]上， ymax f ( 3), ymin f (3) .
例2 已知函数 f ( x) 【讲解】用定义判断。②，且当 x 1 时，
x 1 x ，判断该函数在区间 0 , ) 上的单调性，并说明理由．

高中数学竞赛教案讲义

高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。

二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。

三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。

四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。

第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。

第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。

第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。

五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。

六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。

七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。

教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。

同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。

希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛讲义一、数学竞赛概述数学竞赛作为一种普及数学知识、培养学生动手能力和思维能力的形式越来越受到人们的重视。

在学生们的数学学习道路上，参加数学竞赛既可以拓宽数学视野，又可以激发学习兴趣，提高解决问题的能力。

因此，掌握数学竞赛的解题技巧和方法显得尤为重要。

二、常见数学竞赛题型1. 判断题：对错难定，需要严密地逻辑推理，做题时要仔细阅读题目和选项，理清思路，做出准确判断。

2. 选择题：包括单选和多选，需要理解题意，分析选项并选择正确答案。

在解答多选题时，尤其要注意排除干扰项。

3. 填空题：填空题要求对知识点有深入理解，准确地计算并填写答案。

解答填空题时要注意精确计算，不出现大的误差。

4. 解答题：解答题难度较大，需要考生具备深厚的数学基础和解题技巧。

解答题时要逻辑清晰、表述准确，给出详细的解题过程和答案。

5. 证明题：证明题是数学竞赛中的重头戏，要求考生深入理解数学原理，熟练运用推理方法，严密地推演证明过程，确保证明的准确性和完整性。

三、数学竞赛的备考建议1. 熟练掌握基础知识：数学竞赛离不开扎实的基础知识，要多练习经典题目，熟悉各种解题方法，打牢基础。

2. 注重思维训练：数学竞赛考验的不仅是知识面，更重要的是解题思维和方法。

锻炼逻辑思维，注重推理能力的培养。

3. 多做题多练习：多参加数学竞赛训练营、题解讨论会，多做模拟题和历年真题，积累解题经验，提高解题速度和准确度。

4. 态度决定成败：对待数学竞赛要积极认真，保持良好的心态，相信自己的能力，不断学习进步。

四、数学竞赛的意义参加数学竞赛可以拓宽学生的视野，激发学习兴趣，培养学生的自信心和解决问题的能力。

数学竞赛不仅仅是一种知识技能的检验，更是一种学习态度和思维方式的养成。

通过参加数学竞赛，学生可以更深入地了解数学学科，提高自身的综合素质，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

五、结语高中数学竞赛虽然挑战性较大，但是只要有充分的准备和信心，相信每一位学生都能在竞赛中取得优异的成绩。

高中数学竞赛讲义(全套)

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

高中数学竞赛培优教程

高中数学竞赛培优教程
高中数学竞赛培优教程是一种为准备参加高中数学竞赛的学生提供的培训课程。

这种教程通常由数学竞赛专家或高水平数学教师组织和教授。

在高中数学竞赛培优教程中，学生将学习一系列与竞赛相关的数学知识和技巧。

这些内容可能包括：数学基础知识的深入理解和应用、解题技巧与策略、数学问题的分析与解决方法、数学竞赛常用的数学概念和定理等等。

此外，高中数学竞赛培优教程还可能包括一些模拟竞赛和真实竞赛试题的讲解和解析。

通过这些练习，学生可以熟悉竞赛形式、提升解题速度和准确性，锻炼思维能力和应对压力的能力。

通过参加高中数学竞赛培优教程，学生可以更加全面系统地掌握高中数学的知识和技能，提高数学素养和竞赛成绩。

同时，这种教程也可以帮助学生培养逻辑思维、问题解决和团队合作的能力，为将来的学习和职业发展打下良好的数学基础。

高中数学校本课程《培优与竞赛讲义》学生版

高中数学校本课程《培优与竞赛讲义》学生版高中数学校本课程《培优与竞赛讲义》学生版随着数学教育的不断发展和改革，高中数学教育越来越受到广泛关注。

为了更好地指导学生进行数学学习，我们特别编写了《培优与竞赛讲义》学生版。

本篇文章将对该讲义进行详细介绍。

一、确定文章类型本文属于说明文，旨在向广大高中生介绍《培优与竞赛讲义》学生版的特点、内容和优势。

通过阅读本文，学生可以了解该讲义的学习方法和使用技巧，从而更好地应对数学学习和竞赛。

二、整理思路在介绍《培优与竞赛讲义》学生版之前，我们首先对关键词进行分类，并列出各类别的优缺点，以便更好地指导学生进行选择。

然后，我们将根据选择的优劣点，介绍该讲义的特点和优势。

三、详细讲解《培优与竞赛讲义》学生版是一本针对高中生数学学习的校本课程。

该讲义以培养优秀学生和参赛选手为目标，通过深入浅出的讲解和丰富的实例，帮助学生掌握数学竞赛所需的基本知识和技能。

该讲义的内容涵盖了高中数学的所有知识点，包括代数、几何、概率与统计等方面。

在讲解过程中，该讲义采用了多种方法，如归纳法、演绎法、逆推法等，旨在培养学生的逻辑思维能力。

此外，该讲义还提供了大量的典型例题和练习题，方便学生进行巩固和拓展。

四、总结归纳通过对《培优与竞赛讲义》学生版的介绍，我们可以得出以下结论：该讲义是一本针对高中生数学学习的优秀校本课程，其内容丰富、讲解深入浅出，能够帮助学生掌握数学竞赛所需的基本知识和技能。

该讲义还注重培养学生的逻辑思维能力，并提供大量的练习题和典型例题，方便学生进行巩固和拓展。

因此，我们强烈推荐广大学生使用《培优与竞赛讲义》学生版进行数学学习和竞赛。

总之，《培优与竞赛讲义》学生版是一本非常实用的数学学习资料，旨在帮助学生提高数学成绩和竞赛水平。

通过深入学习和使用该讲义，学生可以逐步掌握数学竞赛所需的各种技能和方法，提高自身的数学素养和思维能力。

该讲义还可以为学生提供针对性的学习指导和训练，帮助学生更好地应对各种数学竞赛和考试。

高中数学、物理、化学的培优竞赛教程

高中数学、物理、化学的培优竞赛教程高中数学、物理、化学的培优竞赛教程能够帮助学生深入学习和理解这些学科的竞赛知识，提高解题能力和思维能力。

以下是一些相关教程的介绍：
《高中数学竞赛培优教程》：浙大优学出品的竞赛教材，介绍了当今数学竞赛的新趋势、新特点、新题型。

《高中物理竞赛培优教程》：由北京大学物理系教授舒幼生编著，通过知识要点、例题分析、巩固习题、综合训练、问题与讨论等栏目，阐述了当今物理竞赛的新趋势、新特点、新题型。

《奥赛经典奥林匹克教程系列》：中学生竞赛培优训练教程，专项分类讲解练习，附习题简答提示。

不同的教程可能针对不同的学科和年级，可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教程。

高中数学竞赛培优讲解教案

高中数学竞赛培优讲解教案
主题: 多元一次方程组
目标: 学生能够有效地解决多元一次方程组问题
教学内容:
1. 多元一次方程组的概念及解法
2. 利用消元法和代入法解决多元一次方程组问题
教学过程:
1. 引入多元一次方程组的概念，让学生了解多元方程组是由多个未知数和多个方程组成的数学问题。

2. 着重介绍消元法的应用，通过例题演示如何通过消元法将方程组简化为只含有一个未知数的方程。

3. 继续介绍代入法的应用，通过例题演示如何通过代入法将多元一次方程组化简为只含有一个未知数的方程。

4. 给学生机会练习解决实际问题中的多元一次方程组，鼓励他们尝试不同的解题方法。

5. 总结本节课的内容，强调消元法和代入法在解决多元一次方程组问题中的重要性。

教学资源: 教科书、练习册、白板、彩色粉笔
评估方式: 在课堂上布置练习题，考察学生对多元一次方程组的理解和解题能力。

延伸拓展: 学生可通过参加数学竞赛题目的练习来加深对多元一次方程组的理解，并提高解题能力。

教学反思: 在授课过程中应注重引导学生灵活运用消元法和代入法，培养他们的解决问题的能力。

同时，鼓励学生多练习多元一次方程组的题目，提高解题效率和准确性。

高中数学竞赛培优教程

高中数学竞赛培优教程
高中数学竞赛培优教程
一、识记知识
1.学习数学基本概念：数学在学习过程中非常重要，必须掌握数学基本概念，才能完成后续数学学习。

2.学习数学思想：理解数学的真正要义，不仅要看懂数学知识，更要掌握数学思维，掌握数学问题的解决方法，培养分析思维能力。

3.开发数学解题技巧：学好数学，除了要学会正确推导之外，还要会熟练应用解题技巧，让解题过程变得更加轻松愉快。

二、实践思考
1.加强记忆效果：前面已学习的知识要不断复习，以便巩固学习效果，实现类似记忆分层的效果，让知识更加牢固。

2.应用数学思维：遇到做题的时候，要多考虑多思考，用数学理论原理解决实际问题，让数学思维与实践相结合，使解题技巧更为灵活。

3.实战操练：数学竞赛最重要的便是实战操练，可以以单元考、章测、期末考等形式，反复进行实战操练，总结解题技巧，有助于提升笔试考试成绩。

三、专业指导
1.查漏补缺：尽量利用有限的时间，补充学习中漏掉的部分，是完善数学知识的有效技巧。

2.看课本：课本的学习可以帮助扩充知识面、提高解题速度，学习过程中多思考多讨论，加深理解。

3.做习题：多做单元考、章测，保证每天有有规律的训练。

可以把习题按照题量、难易程度进行细分，有针对性的进行训练。

四、学习习惯
1.科学规划时间：安排学习任务，避免拖延解决问题，制定学习计划，有条不紊地进行学习，充分利用时间。

2.全面均衡：既要学习数学，也要适当参加体育运动，放松身心；要注重课外学习，多看书、少看电视，宽增才艺。

3.督促自律：要在学习中注重自律，掌握有效的练习方法，把有限的学习资源转化成最大的收获，为数学竞赛做好准备。

(推荐)高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛讲义（十五）──复数一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C来表示。

2．复数的几种形式。

对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。

若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。

若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。

模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。

4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ2),5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ).6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。

高三数学暑假培优暨竞赛辅导

2013级暑假培优暨竞赛辅导（6）编辑：鄢军华1、设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B = ．2、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为 3、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为4、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是5、已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是6、设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是7、已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy ＝－1，则函数229944y x u -+-=的最小值是 8、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为9、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a =10、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()f xy f x f y +=()2f y x --+，则()f x =__________11、已知函数f(x)＝x11-． (1)是否存在实数a 、b(a ＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a 、b]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b ()a b <，使得函数f(x)的定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb]( m ≠0)，求实数m 的取值范围．12、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围13、对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.14、ABCD是圆内接四边形，点M是CD的中点，对角线AC和BD相交于点P，过点P且与CD 相切于点M的圆与AC和BD分别相交于点R和Q，点S在线段BD上，使得BS=DQ，过点S 且与AB平行的直线交AC于点T，求证：AT=RC.答案：1、解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--．当[x ]=2-，则02=x 无解；当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-；当[x ]=0，则22=x 无解；当[x ]=1，则32=x ，∴3=x ．所以31或-=x ． 2、51212ππθ=或解：因方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，故216cos 4cot 0θθ∆=-=0,4cot (2sin 21)02πθθθ<<∴-= 得1sin 22θ=52266ππθθ∴==或，于是51212ππθ=或3、3解：如图，设D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，则2(1)2()4(2)OA OC OD OB OC OE+=+=由（1）（2）得，232(2)0OA OB OC OD OE ++=+=，即OD OE 与共线，且332||2||,322AEC ABC AOC AOC S S OD OE S S ∆∆∆∆⨯=∴=∴== 4、6解：令63,63≤≤-+-=x x x y ，则)6)(3(2)6()3(2x x x x y --+-+-=∴≤<∴=-+-≤,60.6)]6()3[(2y x x 实数k 的最大值为.65、310<<a 或.51<<a 解：)(x f 在),0(+∞上定义，又2217212()0;48a a a ++=++> 2341(31)a a a -+=- •),1(-a 仅当1>a 或31<a 时，).(01432*>+-a a )(x f 在),0(+∞上是减函数，,50,05,14312222<<∴<-⇒+->++∴a a a a a a a结合（＊）知310<<a 或.51<<a 6、90, 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦44211()sin sin cos cos 1sin 2sin 222f x x x x x x x =-+=--。