高数期末考试定积分(复习必备)

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定积分期末考试题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫abf(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫01x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫abf(x)dx =∫abg(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫0π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫01(2x+1)dx的值为______。

答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。

答案：8/33. 计算定积分∫0πsin(x)dx的值是______。

答案：24. 定积分∫-11|x|dx的值为______。

定积分求解方式更新丨10分钟掌握高数上定积分求解问题(考研、期末复习均可以用)

定积分求解方式更新丨10分钟掌握高数上定积分求解问题（考研、期末复习均可以用）最近一直没有时间更新知识点，今天抽了点空，继续往下写点东西下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------正式进入定积分前，先简单说下什么是定积分吧：定积分就是函数 f(x) 与 x=a，x=b 及 x 轴所围成的区域对应的曲面面积，若曲面面积位于x 轴下方，则对应的积分值为负基于以上的描述，下方具体开始讲解一、定积分的定义上述介绍了定积分表示的几何意义，下面利用极限的形式看下定积分的定义：设 y=f(x) 在 [a,b] 上有界①设 a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b ，则[a,b]=[x_{0},x_{1}]\cup[x_{1},x_{2}]\cup...\cup[x_{n-1},x_{n}] ，其中 \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}(i=1,2,3...)②取 \xi_{i}=\in[x_{i-1},x_{i}] ，则“面积”为f(\xi_{1})\Delta x_{1}+f(\xi_{2})\Deltax_{2}+...+f(\xi_{n})\Deltax_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}③取 \lambda=max(\Delta x_{1},\Delta x_{2}...\Deltax_{n}) ，若 \lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 存在，则称f(x) 在[a,b]上可积分，记为 \int_{a}^{b}f(x)dx ，即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}注：有的同学会发现一个问题，为何要多引入一个 \lambda 值，令 n\rightarrow\infty 时不就可以了么下面简单看个图像如果仅仅是n\rightarrow\infty，那在区间内进行分段时，完全可以在 [a,c](c<b) 段上进行 \Delta x_{1}-\Deltax_{n-1} 的划分，然后把最后一段 \Delta x_{n} 留给 [c,b] 区段上，这种情况下该段的条形面积f(\xi_{n})\Deltax_{n} 的值就不会等于曲线与数轴之间围成的面积了，所以如果仅仅是n\rightarrow\infty的条件，累计的值并不等于积分值注：（1）极限 \lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 是否存在，与区间的分法和 \xi 的取值无关（ \xi 一般取区间的左右端点）（2）函数 f(x) 在 [a,b] 上有界是函数可积的必要条件，而非充分条件（3）利用定积分可以求解极限题目，之前在讲解极限以及每日一题的时候有提到过相关的原理和操作，下面有链接，此处不再重复：10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）大学数学每日一题——微积分1208二、定积分的性质1、 \int_{a}^{a}f(x)dx=0 ，\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx2、若 f(x) 可积，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x) dx3、若 f(x) 可积且f(x)\geq0，则\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0 ；若 f(x) 不恒等于 0 时，\int_{a}^{b}f(x)dx>04、若 f(x),g(x) 可积>f(x)\geq g(x)，\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx ，若 f(x) 不恒等于 g(x) 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx5、若 f(x) 可积，则 \left| \int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|dx6、设f(x) 可积，且 m\leq f(x)\leq M ，则 m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq (b-a)M7、积分中值定理设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 \xi\in[a,b] 使得\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)注：积分中值定理是针对闭区间的定理，当然也有针对开区间的中值定理，下面进行证明例题：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，求证存在 \xi\in(a,b)使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)解答：设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ， F'(x)=f(x) ，根据拉格朗日中值定理可知：存在 \xi\in(a,b)，使得\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi) ，即：\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{a}f(x)dx}{b-a}=f(\xi) ，即\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)大家在进行解题的时候应该注意题目要求的是证明开区间还是闭区间内的中值定理8、柯西不等式f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续，则(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx \int_{a}^{b}g^{2}(x)dx以上8个性质在证明题中均可以直接使用三、定积分求解方法定积分的求解中涉及方法较多，最常见的是牛顿莱布尼兹公式，通过求出原函数来进行求解，除了牛顿，定积分的求解还涉及到很多不需要求解出原函数，而是通过定积分的特殊性质即可求解的情况，下列具体讲解：1、牛顿--莱布尼兹公式设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)牛顿莱布尼兹公式是求解定积分最基本的方法，其基础是不定积分，忘记的同学请自取：10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）例题：求解 \int_{0}^{1}xe^xdx解答：\int_{0}^{1}xe^xdx=\int_{0}^{1}xde^x=[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=12、定积分的特殊性质（1）对称区间上函数的定积分性质设函数f(x) 在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx特别的，当 f(x) 为奇函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ；当 f(x) 为偶函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx例题：求解 \int_{-1}^{1}\frac{x}{1+sin^2x}dx解答：设被积函数 f(x)=\frac{x}{1+sin^2x} ，f(-x)=\frac{-x}{1+sin^2x}=-f(x) ，由关系式可知，被积函数为奇函数，故该积分为0例题：求解 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}dx解答：该积分为对称区间上的积分，所以可以直接用公式：\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx\int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}+\frac{sin^2x}{1+e^{-x}}dx\int_{0}^{\pi/2}sin^2xdx=\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}上述题目两道题目如果用牛顿莱布尼兹公式求解的话着实很难求出原函数，且耗费时间较多，没有必要（2）三角函数定积分性质设 f(x) 在 [0,1] 上连续，则a、\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(cosx)dxb、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\fra c{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3} （ n 为奇数）c、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\fra c{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} （ n 为偶数）d、\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dxe、\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f( sinx)dx=\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx以上几个式子的证明过程不在此处进行详说，基本上都是用到二类换元法和分布积分法进行求解的，有兴趣的小伙伴可以自己尝试求解下（3）定积分的特殊性质设 f(x) 是以 T 为周期的可积分函数，则a、 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dxb、\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx（4）特殊函数积分这里重点说一个大部分人经常遇到的一个积分，即\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx初学者遇到该问题时往往会想把原函数给求解出来，但是实际上这个函数是无法求解出原函数的（或者说在高等数学的范畴中是不要求求解出原函数的）没有原函数是不是代表该题目无法解答呢，实际上不是的，该积分题目其实求解的方法还是蛮多样的，接下来介绍两种方法，涉及到二重积分和概率论的解答思路a、利用二重积分进行解答：I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dyI^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr=\piI=\sqrt{\pi}b、利用概率论中标准正态分布解法进行解答：标准正态分布概率密度函数如下：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}} ，根据概率密度函数的在正负无穷上积分等于1的性质可得\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1令 x=\sqrt{2}t ，原式变为 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2}dt=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}dt=1=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}四、变限积分求导法则设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\var phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)特别的档 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 时，(\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)例题1：设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt ，求解 F'(x)解答：F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dtF'(x)=xf(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt例题2：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt ，求解 F'(x)解析：题设中的被积函数含有 x,t ，有的同学拿到后会直接利用公式进行求导，即F'(x)=f(0) （常数）但是细想觉得求导后应该为一个函数表达式，不应该为一个常数的确，上述的求法是错误的，正确的解答方法应该将被积函数的 x,t进行分离，分离开后再进行导数计算解答：x-t=k ，当 t=x 时， k=0 ；当 t=0时， k=x ； dt=-dkF(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt=-\int_{x}^{0}f(k)dk=\int_{0}^{x}f(k)dkF'(x)=f(x)例题3：设 f(x)=\int_{1}^{x}e^{t^2}dt ，求\int_{0}^{1}x^2f(x)dx解答：\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)d(\frac{1}{3}x^3)=\frac{1}{3}x^3f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3e^{x^2}dx=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2e^{x^2}dx^2=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xe^{x}dx=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xde^{x}=-\frac{1}{6}xe^x|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{6}e^xdx=-\frac{1}{6}五、广义积分广义积分是相对于正常积分所提出来的一个积分概念，即对于积分上下限为无穷大，或是积分限内含有第二类间断点的积分1、积分区域无穷大的广义积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx,\int_{-\infty}^{0}f(x)dx,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx以上三个积分均为积分区域无穷大的广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散敛散性判别法：设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k>1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\leq1 时极限成立，该广义积分发散例题：求解\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx解答：设\lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=\lim_{x\rightarrow \infty}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\leq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分2、积分区间上存在无穷断点的广义积分\int_{a}^{b}f(x)dx函数 f(x) 在 x=a 的左邻域或 x=b 的右邻域或 x=a，x=b 的左右邻域内无界，则该积分称之为广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散敛散性判别法：（1）设 f(x) 在x=a 的左邻域无界，且\lim_{x\rightarrow a^+}{(x-a)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散（2）设 f(x) 在x=b 的右邻域无界，且\lim_{x\rightarrow b^-}{(b-x)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散例题：求解\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx解答：被积函数在x=0 处为无界函数，所以设极限 \lim_{x\rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow0}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出k 的取值为 k\geq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分3、积分区间内部存在无穷间断点\int_{a}^{b}f(x)dx被积函数在 x=c(a<c<b) 的去心邻域内无界，则\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x) dx ，此处必须将 c 点进行分离考虑，当两个式子的积分极限都存在时方能判断整个式子的极限存在例题：求解\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx错误解法：\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}|_{-1}^{1}=-2 ，该做法错误的地方是未考虑到 x=0 为函数的无穷断点，直接跳过了断点进行积分正确做法：\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx，将分离后的两个积分进行单独考虑\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx 在 x=0 处是无界的，所以考虑 \lim_{x \rightarrow0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow0}{x^k\frac{1}{x^2}}=M ,为使该极限成立，可推出k 的取值为 k\geq2 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分同理可知\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx 也是发散积分，所以判断该积分为发散积分六、定积分的应用1、面积（1）设 D 由 y=f(x)\geq0 ， x=a 及 x=b（b>a）围成，则D 的面积为 S=\int_{a}^{b}f(x)dx（2）设 D 由 y=f(x) ， y=g(x) ， x=a 及 x=b（b>a）围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}\left| f(x)-g(x)\right|dx（3）极坐标法的面积 D 求解公式为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta ；当曲线由 r=r_{1}(\theta), r=r_{2}(\theta) 组成，则面积S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_{2}^{2}(\theta)-r_{1}^{2}(\theta)]d\theta（4）旋转曲面的面积函数 f(x) 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体侧面的面为S=2\pi\int_{a}^{b}\left| f(x)\right|\sqrt{1+f'^2(x)}dx备注：以上均是利用 y=f(x) 的函数进行面积求解，有的题目未直接给出 y=f(x) 的关系式，而是给出了参数方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接将上述式子中的f(x),x,dx 等函数进行替换即可2、体积（1）y=f(x)绕 x 轴旋转后的体积：V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx（2）y=f(x)绕 y 轴旋转后的体积：V=2\pi\int_{a}^{b}\left| x \right|\left| f(x)\right|dx3、长度（1）设 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，则曲线长度为l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx（2）设 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t\leq\beta) ，则曲线长度为l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)} dt（3）设 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，则曲线长度为l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} d\theta例题1：求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3旋转一周所成的几何体的体积解答：利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ，则 V=\int_{-2}^{2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx=64\pi例题2：求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 y=-3旋转一周所成的几何体的体积解答：利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ，则 V=\int_{-2}^{2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx=\int_{-2}^{2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx=\int_{-2}^{2}40\pi+\pi x^2dx=2\int_{0}^{2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{496}{3}\pi。

高数《定积分》章节重点--期末重点

1exdx 1ex2dx
0
0
高 3. 积分的导数
变限积分求导公式：
d ( (x) f (t)dt) f ( (x)) (x) f ((x))(x)
dx ( x)
帮
常见题型 1．计算下列各导数:
(1) d x2 1 t3 dt ;
dx 0
解： d x2 1 t3 dt 1 (x2 )3 d (x 2 ) 2x 1 x6 .
帮（换元法）
解令 1 e2x =u ，则 u2 1 e2x e2x 1 u2来自 x= 1 ln 1 u2 . 2
数数原式
3 2
ud
(
1
ln(1
u
2
))
0
2
0
3 2
u(
1 2
)
2 u 1 u2
du
3 2 0
1
u
2
u
2du
3 2 0
u
2
1
1 u2
1du
.
3
高高
3 2
x
dx.
（凑微分）
解
原式
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
arctan(cos
x)
0
arctan(cos ) arctan(cos 0) ( ) . 4 42
常考题型 3 1 xe2xdx. 0
（分部积分）
帮
数解
原式 1 2
1 xde2x
0
1 2
xe2 x
1 0
1
帮
lim
x0
x sin t 2dt
0
x3
lim x0

(完整版)定积分知识点汇总

(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。

我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。

一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。

1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。

2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。

三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。

对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。

2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。

常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。

分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。

5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。

1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。

利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。

定积分试题及答案大学

定积分试题及答案大学# 定积分试题及答案试题1：计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答案：首先，我们需要找到函数 $f(x) = x^2$ 的原函数。

对于这个函数，原函数是 $F(x) = \frac{1}{3}x^3$。

然后，我们计算在区间 $[0, 1]$ 上的定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1)^3 -\frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\]试题2：求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

答案：函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 的原函数是自然对数函数$F(x) = \ln|x|$。

计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = F(2) - F(1) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]试题3：计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。

答案：函数 $f(x) = \sin(x)$ 的原函数是 $-\cos(x)$。

计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]试题4：求定积分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$。

答案：函数 $f(x) = x^2 - 1$ 的原函数是 $F(x) =\frac{1}{3}x^3 - x$。

计算定积分：\[\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = F(1) - F(-1) =\left(\frac{1}{3}(1)^3 - 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)\right) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \]试题5：计算定积分 $\int_{0}^{1} e^x dx$。

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

2020-2021-2高等数学期末复习资料

注：（1）发散级数加括号后可能收敛也可能发散。
（2）收敛级数去括号后可能收敛可能发散。
（3）发散级数去括号后仍然发散。
2.
p
级数
n1
1 np
（
p
1时收敛；
p
1 时发散）
3.
比较判别准则的极限形式:设 un
n1
和 vn
n1
是正项级数，且 lim un v n
n
l ，则
①若 l 为正数（ 0 l ），则级数 un 和 vn 敛散性相同；
x3
1 et2 dt
（6）lim x0
cos x
x2
x ln(1 t)dt
（7） lim 0 x0
x2
（8） lim x0
tan x2
0
sin 2tdt
x
x (1 cos t)dt
（10） lim 0 x0
x3
考点 2.求定积分（第一类换元积分法）
2x
t sin tdt
（9） lim x0
0
ln(1 x3)
考点 2.求幂级数的收敛域及和函数
知识点回顾：
1.幂级数 un x 收敛域的求解方法： n1
第一步：令 lim un1 u n
n
1或 lim n n
un
1 ，可求出 x (a,b)
第二步：端点处敛散性另行判定后，就可以确定收敛域，其中收敛半径为 R b a 。 2
2.（1）求和函数前，必须先求收敛域，即和函数的定义域。
x
S(x)
，先积分再求导。
练习题：
1. 求下列幂级数的收敛域
xn
（1）
n1 n!
（2） nxn1 n1

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，$ f(x) $是被积函数，$ a $和$ b $是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数$ f(x) $在区间$[a, b]$上是可积的，那么对于任意的$ c $满足$ a \leq c \leq b $，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点$ c $进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数$ \alpha, \beta $和函数$ f(x), g(x) $，如果$ f(x), g(x) $在区间$[a, b]$上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间$[a, b]$上有$ f(x) \geq 0 $，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

学下学期高二数学期末复习选修22定积分.docx

2012-20131学年下学期高二数学期末复习选修2-2定积分一、定积分与微积分基本原理（一）曲边梯形面积与定积分1.定积分定义设函数/（兀）在［Q,b］上有界（通常指有最大值和最小值），在。

与b之间任意插入H-1 个分点，a = x x）<x l<x2< <x n_{ <x n=b >将区间［d,b］分成乙个小区间［x^pxj（Z = l,2,，力），记每个小区间的长度为= x. -（i = l,2,，町,在［兀十兀］上任取一点作函数值/'（岳）与小区间长度心，的乘积/（乙）心,（i = l,2, ,〃），并求和S ，记A = max {^./ = 1,2,/=1•••/},如果当几T0时，和S总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数/（兀）在S，b］上的定积分，记为£/（x）f/x,即『/0）6&=$1号£/（乙）心厂° 1=12.定积分的几何意义rb定积分［f\x）dx在几何上当/（x）>OUj,表示由曲线y = /（x）、直线x = a. x = b Ju 与工轴所围成的曲边梯形的面积；当/（兀）50时，表示由曲线）=/（兀）、直线x = a. x = b与兀轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线丁 = /（兀）、两条直线x = a. x = b与兀轴之间的各部分面积的代数和。

3.定积分的性质性质1fb\dx = b-a Ja性质2J kf{x)dx = Zr j f(x)dx性质3£[/W ±g(x)]dx = £ /U)Jx±£g(x)dx性质4£ MQdx = £ /(x)dx+ £f(x)dx（二）微积分基本定理1.基本定理若函数/（兀）在［a,b］上连续，且存在原函数F（x）,即F,（x） = f（x\xe ［a,b\, 则/（无）在［d,b］上可积，且f /（兀冷=F0）-F（d）,这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成『f(x)dx = F 何h a• = F(b) - F(a)（三）常用函数积分公式表（见课本115页）（四）定积分的求法（1）利用微积分基本定理求(2)利用定积分的几何意义求：例如J：J1 —代圧(3)利用奇偶函数的性质求：若/(兀)是［-a,a］上的奇函数，贝ij ［a f(x)djc = 0 ；J-a若/(兀)是［-心］上的偶函数，贝叮f(x)cbc = 2£f(x)dx o(五)定积分的应用 '1.定积分在几何上的应用(1)求曲边梯形的面积5 = £f(x)dx(2)求旋转体的体积V = f2(x)dx2.定积分在物理上的应用(1)变速直线运动物体的路程S = £f(x\lx(2)变力所做的功W = £F^x例1・求下列定积分(1) (2sin x + cos x)dx(2) £x2 - l^dx例2. M {x3 -ax+ b) dx, a,b为何值时？M 最小。

(完整版)高数期末考试定积分(复习必备)

第五章定积分一、基本要求：1. 理解定积分的概念、几何意义及定积分的性质.2. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.3. 掌握牛顿——莱布尼兹公式.4. 掌握定积分的换元法和分布积分法.5. 理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分。

了解定积分的近似计算方法.二、主要内容Ⅰ.定积分概念：1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1()niii f xξ=∆∑，若01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑1(max{})i i nx λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰，当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积.2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义定积分()ba f x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和xb =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ.定积分的性质1. 补充规定：(1)当a b =时，()0ba f x dx =⎰(2)当a b >时,()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰2. 性质： (1) [()()]()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx --+=+⎰⎰⎰(2) ()(),()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(4)badx b a =-⎰(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()ba f x dx ab ≥<⎰推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()b baaf x dxg x dx a b ≤<⎰⎰.推论2：()(),()bbaaf x dx f x dx a b ≤<⎰⎰.(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()b am b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()ba f x dx fb a a b ξξ=-≤≤⎰.3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()ba y f x dxb a-=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数1. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，则'()()(),()xa d x f t dt f x a xb dxΦ==≤≤⎰. 2. 设()f x 连续，()x φ可导，则()''()()[()]()x ad x f t dt f x x dx φφφΦ==⎰.3. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxφϕφφϕϕΦ==-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰.Ⅵ. 定积分的换元法设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()ba f x dx f t t dt βαφφ=⎰⎰.注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有()()()()()()bbba aau x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰Ⅷ. 几类特殊的积分公式1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.2()()[,]()()[,]a aaf x dxf x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ，有0()()a l laf x dx f x dx +=⎰⎰.3. 设()f x 在[0,1]上连续，则220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰4.2200123134221242sin cos 13531n n n n n n n n n xdx xdx n n n n πππ--⎧⎪-⎪--⎪==⎨-⎪=⎪⎪⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim()ba ab f x dx f x dx ∞→+∞=⎰⎰(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,()lim()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,()()()lim()lim()baa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞-∞-∞→-∞→+∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞-∞⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞-∞⎰就发散.2. 无界函数的反常积分(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()b batt af x dx f x dx +→=⎰⎰(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()b taat bf x dx f x dx -→=⎰⎰(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，()()()lim ()lim ()bc b t baacatt ct cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()baf x dx ⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()baf x dx ⎰就发散.三、重点与难点1. 积分上限的函数及其导数.2. 牛顿——莱布尼兹公式.3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、例题1. 求2222212lim()12n nn n n n→∞++++++ 分析：由定积分定义知01()()lim()nbiiai n f x dx f x λξ→=→∞=⋅∆∑⎰，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.解：原式22221111lim lim lim 11()nnni i n n n i i i iii n x i n i nnξξ→∞→∞→∞======∆+++∑∑∑11122220001111(1)ln(1)ln 212122x dx d x x x x ==+=+=++⎰⎰2. 下列解法是否正确(1).220sec 02tan x dx x ππ==+⎰(2).111122211111111x tdxdt dx x t x =----⇒=-+++⎰⎰⎰令，即11221112011dx dx x x --⇒=++⎰⎰解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数220sec ()2tan x f x dx x π=+⎰在积分区间[0,]π内2x π=处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式.(2) 代换1x t=在[1,1]-上不连续，故在[1,1]-上不可导，不符合换元法的条件.3. 求下列定积分(1)0π⎰ (2)221min{,}x x dx -⎰(3)2-⎰(4)21⎰解：0x dx πππ==⎰⎰⎰22xdx xdx ππ-=-⎰332220222sin sin 33x x πππ=-224333=+= 注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分.(2) 2211min{,}12x x x x xx ⎧-≤≤=⎨<≤⎩2122211113min{,}6x x dx x dx xdx --=+=⎰⎰⎰(3)2221d---==⎰⎰⎰21arcsin 4612x πππ-==-+=-(4)2211=⎰⎰令1sin ,x t -=则cos dx tdt =原式2222220(sin 1)cos cos cos cos t tdt td t tdt πππ=+=-+⎰⎰⎰230111cos 32234t πππ=-+=+ 4. 设()f x 连续，0()()xg x x f t dt =⎰，求''(0)g解：'0()()()xg x xf x f t dt =+⎰ (1)'(0)0g =''''000()()()(0)(0)lim lim xx x xf x f t dt g x g g x x→→+-==⎰()()lim ()(0)lim2(0)1xx x f t dt f x f x f f x→→=+=+=⎰ 注：此题没有()f x 可导的条件，故“对(1)式两边在对x 求导. 得'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+⇒=“这种解法是错误的. 5. 计算下列极限(1)20sin 0ln(1)limsin 2xxx t dt tdt→+⎰⎰(2)2030[()]limxt txx te f u du dtx e→⎰⎰解：(1)20sin 0000ln(1)ln(12)24lim limlim 2sin(2sin )cos 2sin sin 2xxx x x t dt x xx x xtdt→→→++⋅===⎰⎰(2)22232323[()]()()limlimlim(3)3xx txtx xxx x x te f u du dtxef u duf u dux ex x ex x→→→-==++⎰⎰⎰⎰20()2(0)0lim0323x f x x f x →-⋅-⋅===+ 6.设()f x 为连续函数，且221(2)()arctan 2xx x t f t dt x -=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰.解：22212()()arctan 2x x x x x f t dt tf t dt x -=⎰⎰两边对x 求导，得 242()2[2(2)()][4(2)()]1x xxf t dt x f x f x xf x xf x x +---=+⎰整理后，有241()[()]21xx xf t dt xf x x =++⎰令1x =，即得21113()[(1)]224f x dx f =+=⎰7.设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且0()()()2x xF x t f t dt =-⎰证明：(1)若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数.(2)若()f x 为单减函数，则()F x 是单增函数 ..证明：(1) 00()()()()()()22xx x xF x t f t dt u f u dut u --=--=--+-=-⎰⎰0()()()2x xu f u du F x =-=⎰即()F x 为偶函数(2) 00()()()2xx x F x f t dt tf t dt =-⎰⎰ '0011()()()()[()()]222x x x F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-⎰⎰00011[()()][()()]22x x xf t dt f x dt f t f x dt =-=-⎰⎰⎰由()f x 单减，当0t x <<时，()()0f t f x -> '01()[()()]0(0)2xF x f t f x dt x ⇒=->>⎰时当0x t <<时，()()0f t f x -<.'011()[()()][()()]022x xF x f t f x dt f x f t dt ⇒=-=->⎰⎰(0)x <时即在(,)-∞+∞上，()F x 为单增函数. 8.计算下列各题：(1)52222(sin )cos x x xdx ππ-+⎰ (2)2ln(1)(0)ax ax e dxa -+>⎰(1) 解：52cos x x 为奇函数，22sin cos x x 为偶函数.原式522222222222cos sin cos sin cos x xdx x xdx x xdx ππππππ---=+=⎰⎰⎰22242220002sin (1sin )2sin sin x x dx xdx xdx πππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=1312()224228πππ⨯-⨯=(2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(，若)()(x f x f -+在],0[a 上容易积分，该公式就可利用了.解：⎰⎰--+-+=+ax x aax dx e x e x dx e x 0222])1ln()1ln([)1ln(⎰⎰++=++=-a x x x a x x dx e e e x dx e e x 001)1(ln 211ln 233232322a x dx x aa===⎰ 9.计算⎰-πk dx x 02sin 1 (k 为正整数)解：原式⎰⎰-=-=ππk k dx x x dx x x 02cos sin )cos (sin⎰⎰⎰--++-+-=πππππk k dx x x dx x x dx x x )1(20cos sin cos sin cos sin⎰-=πcos sin dx x x k])cos (sin )sin (cos [440⎰⎰-+-=πππdx x x dx x x k])sin (cos )cos (sin [440πππx x x x k +-+=k 22=注：x x cos sin - 是周期为π的周期函数. 10.求dx x x ⎰++1021)1ln(解：令t x tan =，原式dt t tdt tt ⎰⎰+=+=40242)tan 1ln(sec sec )tan 1ln(ππ设dt t ⎰+=I 40)tan 1ln(πdt t dt t t dt tt⎰⎰⎰-+=+=I 404040cos ln )sin ln(cos )cos sin 1ln(πππ dt t dt t ⎰⎰--=4040cos ln )4cos(2ln πππ(1)而du u du u dt t ⎰⎰⎰=-=-40044)cos 2ln )cos 2ln()4cos(2ln ππππ)4(t u -=πdu u du ⎰⎰+=4040cos ln 2ln ππ代入(1)式得 dt t du u du ⎰⎰⎰-+=I 404040cos ln cos ln 2ln πππ2ln 82ln 40ππ==⎰du所以2ln 81)1ln(102π=++⎰dx x x 11.求⎰+20cos sin sin πdx ee e xx x解：⎰⎰⎰+=+-=+=I 20sin cos cos 02sin cos cos 2cos sin sin πππdx e e e dx e e e dx e e e x x xt t t x x x 于是 22202sin cos cos sin πππ===++=I ⎰⎰dx dx e e e e xx xx420cos sin sin ππ=+=I ⇒⎰dx ee e x x x 12.求⎰⎰-11][22dx dt e x x t .解：⎰-221x t dt e为x 的函数，令⎰-=221)(x t dt ex f原式⎰⎰⎰-===10'2121210)(2)(22)()(dx x f x x f x x d x f dx x xf⎰⎰---=12112]2[22422dx x e x dt ex x x t⎰⎰-=-=--104103)(4144x d e dx e x x x )1(411-=-e 13. 设函数⎰=Φx dt t x 0sin )((1) 当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<Φ≤n x n (2) 求xx x )(limΦ+∞→解：(1)由0sin ≥t ,且ππ)1(+<≤n x n⎰⎰+<Φ≤⇒ππ)1(0sin )(sin n n dt t x dt t有由t sin 是周期为π的周期函数.sin sin sin 2n t dt n t dt n tdt n πππ===⎰⎰⎰同理)1(2sin )1(0+=⎰+n dt t n π因此，当ππ)1(+<≤n x n 时，有)1(2)(2+<Φ≤n x n(2)由(1)知当ππ)1(+<≤n x n 即ππn x n 11)1(1≤<+有ππn n x x n n )1(2)()1(2+≤Φ<+，令∞→x ，有∞→n .而ππ2)1(2lim=+∞→n n n ，ππ2)1(2lim =+∞→n n nπ2)(lim=Φ⇒+∞→x x x14.设)(x f 在]1,0[上连续，且单调递减，证明对)1,0(∈∀α,有⎰⎰≥10)()(dx x f dx x f αα证法一：⎰⎰⎰+=11)()()(ααdx x f dx x f dx x f于是⎰⎰-10)()(dx x f dx x f αα=])()([)(1⎰⎰⎰+-ααααdx x f dx x f dx x f=⎰⎰--1)()()1(ααααdx x f dx x f由积分中值定理 )()(10ξααf dx x f =⎰ αξ≤≤10)()1()(21ξααf dx x f -=⎰ 12≤≤ξα因此⎰⎰-1)()(dx x f dx x f αα=)()1()()1(21ξααξααf f ---=)]()([)1(21ξξααf f -- (1021≤≤≤≤ξαξ)因)(x f 单减，则有)()(21ξξf f ≥，即⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα.证法二：设⎰⎰-=1)()(1)(dx x f dx x f F ααα (10≤<α)221)()()()()(αξααααααααf f dxx f f F -=-=⎰ αξ≤≤0 0)()(≤-=αξαf f即)(αF 在]1,0(上单调不增，即0)1()(=≥F F α，即有⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα.注：此题还可以用积分换元法加以证明.15.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且满足⎰=2102)(2)1(dx x f x f . 证明在)1,0(内至少有一点ξ使)(2)('ξξξf f -=.证：设)()(2x f x x F =，由积分中值定理，21)()()(1212102⋅==⎰⎰ξF dx x F dx x f x (2101≤≤ξ)即⎰=21021)(2)(dx x f x F ξ，而dx x f x f F ⎰==21022)(2)1(1)1(即)1()(1F F =ξ，由罗尔定理，存在)1,0()1,(1⊂∈ξξ，使0)('=ξF 而)()(2)('2'x f x x xf x F +=，即有0)()(2)('2'=+=ξξξξξf f F 也即0)()(2'=+ξξξf f ，)(2)('ξξξf f -=.16.计算下列反常积分. (1)⎰+∞-22ln 1dx x x (2) ⎰+∞+0232)1(arctan dx x x (3)⎰-10211ln dx x解：(1) ⎰+∞-22ln 1dx x x =⎰+∞--21)ln 1(x d x =⎰∞++∞---2221ln 1dx x xx=+∞+-2122ln 1x=22ln -. (2)令x x tan =，⎰+∞+0232)1(arctan dx x x dt t tt⎰=223sec sec π=dt t t ⎰20cos π=t d t sin 20⎰π=⎰-2020sin sin ππtdt t t =20cos 2ππt +=12-π.(3) ∞=--→2111lnlim x x , 1=x 为被积函数的瑕点. ⎰-1211lndx x=⎰-+-→t t dx x x 01)1)(1(1ln lim =⎰-++--→tt dx x x 01)]1ln()1[ln(lim=t t x x x x x 01)]1ln()1(2)1ln()1([lim --++++--→ =)]1ln()1(2)1ln()1([lim 1t t t t t t --++++--→ =)2ln 1(2- 17.已知π=⎰+∞∞--dx e x 2，12=⎰+∞∞-+-dx ce xx.求c 的值.解：=⎰+∞∞-+-dx cexx 2)21(41)21(2-⎰∞+∞---x d e ec xt x =-21令 dt e e c t ⎰∞+∞--412dt e ce t ⎰∞+∞--=241π41ce=即ππ414111ec ce=⇒=.18.设⎩⎨⎧<<=其它010)(x xx f ，⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x g x，求函数dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(的表达式.解：因为)(x f 在)1,0(上为x x f =)(，在)1,0(之外都为零.故dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(⎰-=1)(dx x t xg而⎩⎨⎧≥-=---其它0)()(x t e x t g x t当0<t 时，由于积分变量]1,0[∈x ，故总有t x > 从而0)(=-x t g ，0)()(10=-=⎰dx x t xg t h .当10≤≤t 时，⎰⎰⎰-+-=-=110)()()()(tt dx x t xg dx x t xg dx x t xg t h当积分变量x 在]1,[t 上变化时，0≤-x t ，0)(=-x t g ，所以0)(1=-⎰t dx x t xg从而⎰⎰⎰--==-=tx t t t x t dx xe e dx xe dx x t xg t h 0)()(t t t t t x x t e t e te e e xe e ---+-=+-=-=1)1(][0 当1>t 时，t xttx e dx xeedx xedx x t xg t h ---===-=⎰⎰⎰111)()(.综上 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+<=--时当时当时当110100)(t e x t e t t h t t 注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.定积分自测题(A)一. 选择题(每小题3分，共15分). 1.=⎰dt e dxd b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)22x xe - 2.dx x x I ⎰-=3021,则( )(A)化为)1()1(2123212x d x I ---=⎰后计算(B)进行代换t x sin =后计算(C)进行代换t x =-21，dt t I ⎰--=30212121后计算(D) 进行代换t x cos =后计算3.设)(x f 连续且2)0(=f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(2x c x x dt t tf x F x ，若)(x F 在0=x 处连续，则=c ( )(A)0=c (B) 1=c (C)c 不存在 (D) 1-=c 4.设)(x f 在[a a ,-]上连续，则⎰-aa dx x f )(等于( )(A)⎰adx x f 0)(2 (B)0(C) ⎰-+a dx x f x f 0)]()([ (D)⎰--adx x f x f 0)]()([5.设)(x f 是连续的奇函数，则)(x f 的任一原函数( )(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数二.(7分)求]4121141[lim 22222nn n n -+++-∞→ .三.计算下列各题(每题6分，共12分).1.20220)()(lim22dt edt e xt xt x ⎰⎰-→2.设dt t x f xx⎰-+=sin 2)1arctan()(，求)0('f .四.计算下列定积分(每题8分，共56分). 1.⎰+21ln 11e dx xx 2.dx x x ⎰-20cos sin π3.⎰-+43412)1(1dx x x x 4.⎰+x e dx 1 5.dx x ⎰+π4302cos 1 6.dx x x ⎰--112247.dx xx ⎰+∞22ln 1五.(10分) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-001)(2x ex xx f x，求dx x f ⎰-31)2(.定积分自测题(B)一. 选择题(每小题3分，共15分).1.设0)(=⎰dx x f ba，且)(x f 在],[b a 连续，则( )(A)在],[b a 上，0)(≡x f (B)必存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (C)存在唯一的],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (D)不一定存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf 2.设dt t I x e⎰=ln 1，dt t I xe⎰=22)(ln ，(0>x )，则( )(A)对一切e x ≠，有21I I < (B)仅当e x >时，有21I I < (C)对一切e x ≠，有21I I ≥ (D)仅当e x <时，有21I I < 3.当0→x 时，⎰-=102)sin()(x e dt t x f 与43)(x x x g +=比较，是( )(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小4.函数dt t t tx x⎰+-=0213)(ϕ在区间]1,0[上的最小值为( )(A)21 (B)31 (C)41(D)05.=-+⎰→xdtt xx cos 1)1ln(lim2sin 0( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二.填空题(每小题3分，共15分).1. 设)(x f 为连续函数，则=--⎰-aa dx x f x f x )]()([2.2. =+++++∞→)212111(lim n n n n . 3. 若dx x f dx x xf a ⎰⎰=0202)(21)(，则=a .4. 设⎩⎨⎧≤<≤≤=21110)(2x x x x f ，而⎰=x dt t f x F 1)()( )20(≤≤x ，则=)(x F .5.=-⎰dx x 21.三.计算下列各题(每题8分，共56分).1.⎰-+10xx e e dx2.⎰+214)1(x x dx3.θθθθππd ⎰-+22234sin )sin (cos 4.dx xx⎰+22sin 3sin π5.⎰--2ln 021dx e x 6.⎰+∞++02)1()1ln(dx x x 7.已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，求⎰1'')(dx x xf .四.(8分) 设⎰+=x dt t t x f 111ln )( )0(>x ,试求)1()(xf x f +. 五.(6分) 设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且)0()(3132f dx x f =⎰.证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)('=ξf .定积分自测题(C)一. 选择题(每小题3分，共18分).1.设)(x f 为连续函数，那么函数⎰=xdt t tf x F 02)()(为( )(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数 2.⎰=xa dt t f )2('( )(A))]()([2a f x f - (B))2()2(a f x f -(C))]2()2([2a f x f - (D))]2()2([21a f x f -3.函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续是定积分dx x f ba ⎰)(存在的( )(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件4.设⎰--+=114121sin dx e x x I x ，⎰--++=1142)1sin (2dx e x x I x ，⎰---+=1143)1sin (2dx e x x I x ，则( )(A)321I I I << (B)231I I I << (A)213I I I << (A)123I I I << 5.设)(x f 连续，则⎰=-x dt t x tf dxd 022)(( ) (A))(2x xf (B))(2x xf - (C))(22x xf (D))(22x xf - 6.广义积分收敛的是( ) (A)⎰+∞e dx x x ln (B)⎰+∞e dx x x ln 1(C)⎰+∞ex x dx 2)(ln (D)⎰+∞e x x dxln 二.填空题(每小题3分，共12分).1.=+⎰))1ln((22x xtdt t e dx d .2.设)(x f 在]4,0[上连续，且3)(212-=⎰-x dt t f x ，则=)2(f . 3.设)(x f 为连续函数，且dx x f x x f e⎰-=1)(ln )(，则=⎰dx x f e1)(.4.=-+⎰-dx x x 1122)1(.三.计算下列各题(每题8分，共40分).1.⎰+402cos 1πdx x x 2.⎰+++203)1(1x x dx3. ⎰+edx xx 1ln 1 4.⎰+10222)1(dx x x5.⎰+-5ln 031dx e e e xx x 四.(10分) 已知dt te ax a x a t xx ⎰∞-+∞→=-+2)(lim ，试求a 的值.五.(10分) 已知⎰=+-→x x dt ta t x bx 0201sin 1lim，求b a ,的值. 六.(10分) 设)('x f 在],0[a 上连续，且0)0(=f .证明：2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中)(max '0x f M a x ≤≤=.定积分自测题答案自测题(A)一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 二.6π. 三. 1.1 2.2π 四. 1.)13(2- 2.)12(2- 3.3831ln 4-4.ee+12ln 5.122- 6.2332-π7.2ln 1五. e137-自测题(B)一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4=a4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=21110)1(31)(3x x x x x F 5.1三. 1.e arctan 2.1732ln 41 3.16π 4.31ln 41-5.)32ln(23+- 6.1 7.2 四.2)(ln 21x五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.自测题(C)一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C二. 1.)1ln(2)1ln(422x xe x e x x +-+ 2.41)2(=f 3.e1 4.2 三. 1.)22ln 4(21+π 2.6π 3.23 4.82-π 5.4-π四. 25=a 五. 1,4==b a六. ],0(a x ∈∀，由拉格朗日中值定理，x f f x f )()0()('ξ=-，),0(x ∈ξ.又因0)0(=f ，故x f x f )()('ξ=，],0[a x ∈，于是200'0'02)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f a a a a=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。

定积分知识点总结高中

定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。

在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。

二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。

三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。

2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。

3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。

四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。

2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。

3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。

五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

这是定积分最基本的应用之一。

2. 定积分可以用来求解物体的质量。

例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。

3. 定积分可以用来求解物体的质心。

通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。

4. 定积分可以用来求解函数的平均值。

通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。

六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。

七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。

2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。

3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。

定积分试题及答案大学

定积分试题及答案大学试题一：设函数$ f(x) = 2x - 1 $，求在区间[1, 3]上的定积分，并求出该定积分的几何意义。

解：首先，我们需要找到函数$ f(x) $的原函数，即不定积分。

对于$ f(x) = 2x - 1 $，其不定积分为：\[ F(x) = \int (2x - 1)dx = x^2 - x + C \]其中$ C $为积分常数。

接下来，我们计算区间[1, 3]上的定积分：\[ \int_{1}^{3} (2x - 1)dx = F(3) - F(1) = (3^2 - 3) - (1^2 - 1) = 9 - 3 - 1 + 1 = 6 \]几何意义：定积分$ \int_{1}^{3} (2x - 1)dx $表示的是函数$ y = 2x - 1 $与x轴在区间[1, 3]之间所围成的曲边梯形的面积，其面积为6平方单位。

试题二：计算定积分$ \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^2} dx $。

解：该定积分可以通过反正切函数的积分公式来解决：\[ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C \]其中$ C $为积分常数。

计算定积分：\[ \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^2} dx = \left[ \arctan(x)\right]_{0}^{2} = \arctan(2) - \arctan(0) \]由于$ \arctan(0) = 0 $，我们有：\[ \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(2) \]试题三：设$ y = x^3 $，求在区间[-1, 1]上的定积分，并解释其几何意义。

解：首先，我们计算不定积分：\[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C \]其中$ C $为积分常数。

定积分知识复习总结

定积分知识总结一、基本概念和性质（1）定义[]()[]())()(lim )()()(,,,,0max ...,)()(lim lim )(11111111011-=∞→-=----∞→∞→=∞→-⋅-⋅=-⋅≈=→-∞→==-⋅=⋅∑∑∑∑⎰i i ni i n i i ni i i i i i i i i i i i i i i i i n i nn i n ni iban x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：[]dxx g dx x f dx x g x f ab babababa⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅-=⎰⎰⎰⎰)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质（)()()(=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰aaabba dx x f dxx f dx x f()））（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dxx f dx x f dx x f bccaba,,,()()()(∈⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰[][][][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅≥≡=⋅≥⋅≥⋅≥≥⋅≥babababab abadxx g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dxx g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(＞则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][])()()(,,)()()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dxx f dx x f b a x f bababa ba-⋅=⋅∈-≤⋅≤-∈≤≤⋅≤⋅⎰⎰⎰⎰ξξ，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则在⑦若二、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x xa ≤≤==Φ'⎰定理2、3：如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φxadt t f x )()(.2、牛顿——莱布尼茨公式定理4（微积分基本公式）如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰.所以 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或b a x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f b a b a-==⎰三、定积分的积分法1、定积分的换元积分法定理1设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件：（1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'；（3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值. 2、定积分的分部积分法设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u bab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.四、定积分的应用1、定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤： (1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）； (3)求和得A 的近似值，即i ni i x f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim 1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7 阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=ba dx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=ba dx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.2、定积分求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即⎰-=badx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈，用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ.（2）极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=于是，所求曲边扇形的面积为 ⎰=βαθθρd A 2)]([21.3．定积分求体积 (1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dx x f dV 2)]([π=，于是，所求旋转体体积为dx x f V bax ⎰=2)]([π.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x 轴，则在x 处的截面面积)(x A 是x 的已知连续函数，求该物体介于a x =和)(b a b x <=之间的体积（如图5.19）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在微小区间],[dx x x +上)(x A 近似不变，即把],[dx x x +上的立体薄片近似看作)(x A 为底，dx 为高的柱片，从而得到体积元素dx x A dV )(=.于是该物体的体积为⎰=badx x A V )(.类似地，由曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dy y V dcy ⎰=2)]([ϕπ.。

大学定积分期末复习经典题库

求积分
解:
令 x y t, 即 y xtx来自tt2
3
, 1
y

t
2
t
, 1
而
dx

t 2 (t (t 2
2 3) 1) 2
d
t

原式
t
t
2
3

1
1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2

3) 1)2
dt

1 2
ln
(x

y)2
1

C
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u v(n) uv(n1) uv(n2) uv(n2) dx

u v(n) uv(n1) uv(n2) (1)n1 u(n1)v dx
快速计算表格:
u(k)
u
u u

u(n) u(n1)

v(n1k ) v(n1) v(n) v(n1)
机动目录上页下页返回结束二多元函数微分法显示结构隐式结构分析复合结构画变量关系图自变量个数变量总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定正确使用求导法则分段用乘分叉用加单路全导叉路偏导注意正确使用求导符号利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束其中f与f分别具解法1方程两边对x求导99考研机动目录上页下页返回结束解法2化简消去即可得机动目录上页下页返回结束cossin机动目录上页下页返回结束练习题1设函数f二阶连续可微求下列函数的二阶偏导数机动目录上页下页返回结束解答提示

6
ln ( 2 3) 3 2
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定积分期末考试题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项是定积分的基本性质？A. ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b]g(x) dxB. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[b,a] f(x) dxC. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dxD. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(-x) dx答案：A2. 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么下列哪个陈述是正确的？A. ∫[a,b] f(x) dx 总是存在B. ∫[a,b] f(x) dx 可能不存在C. ∫[a,b] f(x) dx 等于0D. ∫[a,b] f(x) dx 等于f(a) + f(b)答案：A二、填空题1. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值为 ______ 。

答案：1/32. 若∫[a,b] f(x) dx = 5，且 f(x) = 2x + 1，求 a 的值，当 b = 2。

答案：-1三、解答题1. 计算定积分∫[1,4] (3x^2 - 2x + 1) dx。

解：首先确定被积函数的原函数，即 F(x) = x^3 - x^2 + x。

然后根据定积分的定义，计算 F(4) - F(1)。

F(4) = 4^3 - 4^2 + 4 = 64 - 16 + 4F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1因此，∫[1,4] (3x^2 - 2x + 1) dx = F(4) - F(1) = 64 - 16 + 4 - (1 - 1 + 1) = 522. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，求在区间 [0, 3] 上的定积分，并求出曲线 y = f(x) 与 x 轴围成的面积。

解：首先计算定积分∫[0,3] (x^2 + 3x + 2) dx。

原函数为 F(x) = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x。

大学高数定积分知识点总结

大学高数定积分知识点总结1. 什么是定积分？定积分是微积分中的一个重要概念，它是描述曲线下面积的一种方法。

定积分可以将曲线分割为无穷多个极小的矩形，然后将这些矩形的面积累加起来，从而得到曲线下的总面积。

2. 定积分的符号表示定积分通常用符号∫表示，被积函数用f(x)表示，积分变量为x。

定积分的一般形式为：∫[a, b] f(x) dx其中，a和b是积分的上下限，表示积分的区间。

3. 定积分的计算方法定积分的计算可以通过多种方法来实现，下面介绍几种常见的计算方法。

3.1. 几何解释法定积分可以通过几何解释法来计算，即将被积函数表示的曲线下的面积分割为无穷多个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将这些面积累加起来。

这个方法适用于简单的几何形状，如矩形、三角形等。

3.2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的计算过程。

•定积分的线性性质：∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx•定积分的可加性：∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx•定积分的常数倍性：∫[a, b] k * f(x) dx = k * ∫[a, b] f(x) dx 这些性质可以帮助我们简化复杂的定积分计算。

3.3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分的一种重要公式，它将定积分和原函数联系起来。

根据这个公式，若F(x)是f(x)的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)这个公式可以简化定积分的计算，只需要找到被积函数的一个原函数即可。

4. 定积分的应用领域定积分在科学和工程领域有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域。

4.1. 几何学定积分可以用于计算曲线和曲面的面积。

利用定积分，我们可以求得各种形状的曲线和曲面的面积，从而解决几何学中的一些问题。