12.波动 大学物理习题答案
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2
cos(1.6x ) cos(550 t ) 2 1.5 10 2 cos(
x 0.625 m ， t 3.0 10 3 s 时：
v 3.0 10 2 550 cos(1.6 0.625) sin( 550 3 10 3 ) 46.2 m/s
r r r r 2 1 2 2 1 2 2 1
D 由题意知， | | ， 2
r2 r1 ， r2 r 1 2
又 r2 r 1 D tan
Dh 2 Dh ， 2( r2 r1 ) L L
r2 r1 0 ， A A1 A2 10 cm
S1 12cm O 12cm S2 16cm P
r1 12 2 16 2 40 P 1 2 2 400 v / 10 / 100
y P A cos(2 t P ) 10 cos[200 (t 2)] cm
x )] 2. 5
10 v 2.5 5 Hz ， 0.5 m 2 2 5 dy dv （ 2） v 0.05 10 sin(10 t 4x ) ， a 0.05 (10 ) 2 cos(10 t 4x) dt dt
5 ) ] 0. 3 5 x x5 y ( x, t ) 3 cos[4 (t ) ] 3 cos[4 (t ) ] 0. 3 0. 3 0.3 14 5 ) ] 3 cos(4t ) ，与原点选择无关。 x 14 m 的 D 点： y D 3 cos[4 (t 0.3
12-9 同一介质中的两个波源位于 A、B 两点，其振幅相等，频率都是 100Hz，B 的相位比 A 超前π。若 A、 B 两点相距为 30m，波在介质中的传播速度为 400m/s；问在 AB 连线上 A 的左侧和 B 的右侧能出现因 干涉而静止的点吗？试求出 AB 连线上因干涉而静止的各点位置。 解：
－
2 x t ) A cos(200 t ) ， y ( x, t ) A cos[200 ( t ) ] 0.01 2 2 400 2 8 9 9 y P A cos[200 ( t ) ] A cos(200 t ) ， t 0 ， P 400 2 2 2 200 （2） 9 10 (9 10) 400 2
B A 2
30 15 16
所以 B 的右侧没有因干涉而静止的点。 （3）AB 之间距离 A 为 x 处
B A 2
30 2 x 15 x x
x (2k 1) ， x 2k 1 ， x 1,3,5, 29 处为静止点。
I w u 6.42 10 6 340 2.18 10 3 W/m 2
12-7 如图 12-7 所示，两个相干波源 S1、S2，频率都是 100Hz，振幅均为 5cm，波速均为 10cm/s。已知波源 S1 的初相位为 0，试求下列情况下， S1、S2 连线的中垂线上 P 点的运动方程。 （1）S1、S2 的相位差为 0； （2）S2 相位超前 S1 相位 2 ； （3）S1、S2 的相位差为 。 解： （1） 2 1 2
（3）满足以下条件为波腹：
2 x k k ， x ， k 0,1,2 。 2 2 x 满足以下条件为波节： (2k 1) ， x (2k 1) ， k 0,1,2 。 2 4
大学物理练习册—波动
12-1 一横波沿绳子传播时的波动方程为 y 0.05 cos(10t 4x ) m ，求： （1）此波的振幅、波速、频率 和波长； （2）绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度； （3）x＝0.2m 处的质点在 t＝1s 时的相位， 它是原点处质点在哪一时刻的相位？（4）分别画出 t＝1s、1.25s、1.50s 时的波形。 解： （1） y ( x, t ) 0.05 cos(10 t 4x ) 0.05 cos[10 (t
4
y P A cos(2 t P ) 7.07 cos(200 t
（3） 2 1 2
) cm 4
r2 r1 ， A 0 ， y P 0
12-8 如图 12-8 所示，两个相距为 D 的相干波源 S1、S2，它们振动的相位相同，因而探测器在 S1、S2 的垂 直平分线上距波源 L 处的 O 点得相长干涉（即互相加强） ，若探测器往上移动，到距离 O 点为 h 的 P 处首次得到相消干涉。设 L 比 D 及 h 都大得多，求波长 。 （提示：r1+r2≈2L） 解：两相干波到达 P 点时的相位差 P S1 r1 h r2 O S2 L 图 12-8 D/2
或 t
图 12-7
r1 20 2 s ， y P A cos[2 (t t )] 10 cos[200 (t 2)] cm v 10
2
大学物理练习册—波动
（2） 2 1 2
r2 r1 ，A 2
2 A12 A2 7.07 cm ，由旋转矢量法 P
A 0.05 m ， v 2.5 m/s ，
v max 1.57 m/s ， a max 49.3 m/s 2
（3） x 0.2 ,t 1 10 1 4 0.2 9.2 ， 10 t 9.2 ， t 0.92 s （4）略。 12-2 波源作简谐振动， 周期为 1.010 2s， 以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点， 若此振动以 u＝400 m/s 的速度沿直线传播，求： （1）距波源为 8.0m 处的质点 P 的运动方程和初相； （2）距波源为 9.0m 和 10.0m 处两点的相位差。 解： （1） y o A cos(
t x ) ]， 在弦上传播并在 x 0 处发生反射， 反射点为自由端。 T 2
12-11 设入射波方程为 y 入＝A cos[ 2 (
试求（1）反射波的波动方程； （2）合成波方程； （3）波腹、波节的位置。 解： （1） y 0 A cos(2
t ) ，自由端不存在半波损失，反射波为 T 2
即
图 12-3
12-4 一 平 面 简 谐 波 在 媒 质 中 以 速 度 u=30 cm/s 自 左 向 右 传 播 。 已 知 波 线 上 某 点 A 的 运 动 方 程
y 3 cos(4t ) (SI)，D 点在 A 点的右方 9m 处，取 x 轴方向水平向右。 （1）以 A 为坐标原点，试
y /cm 10 O -5 P 20 x /cm
1 2 1 ， 3 3 3 1 5 同理 P ， P 3 2 6 1 5 y o 0.1cos( t ) ， y P 0.1cos( t ) 3 6 x 1 （2） y o 0.1cos[ ( t ) ] 0.2 3 1 x 1 （ 3） ( ) ， x 0.23 m 3 0. 2 3 2
t x y 反 A cos 2 ( ) T 2
（2）合成波为
t x t x y y 入 y 反 A cos 2 ( ) A cos 2 ( ) T 2 T 2 2 x 2 t 2 A cos( ) cos( ) T 2
3
大学物理练习册—波动
解： （1） y 3.0 10
x ) cos( t ) u 550 A 1.5 10 2 m ， 550 ， 1.6 ， u 343.75 m/s u 1.6 1.6 2 2 （2） uT u 343.75 1.25 m 550 相邻波节间的距离 x 0.625 m 2 dy （ 3） v 3.0 10 2 550 cos(1.6x) sin( 550 t ) dt
12-3 图 12-3 为一沿 x 轴正向传播的平面余弦波在 t=1/3s 时的波形，其周期 T=2s。求： （1）O 点和 P 点的 运动方程； （2）波动方程； （3）P 点离 O 点的距离。 解： （ 1）
2 1 2 ， t s 时， 1 t T 3 3 3
－
12-5 一正弦式声波，沿直径为 0.14m 的圆柱形管行进，波的强度为 9.010 3 W/m2，频率为 300Hz，波速 为 300m/s。问： （1）波中的平均能量密度和最大能量密度为多少？（2）每两个相邻的、相位差为 2 π的同相面间有多少能量？ 解： （ 1） w
I 9.0 10 3 3.0 10 5 J/m 3 u 300
u 400 4m 100
来自百度文库
A 图 12-9
B
（1）A 的左侧距离 A 为 x 处
( B 2
30 x x 30 ) ( A 2 ) B A 2 15 14
所以 A 的左侧没有因干涉而静止的点。 （2）B 的右侧距离 B 为 x 处
12-10 一弦上的驻波方程为 y 3.0 10 2 cos(1.6x) cos(550t ) （SI） 。 （1）如将此驻波看成是由传播方 向相反，振幅及波速均相等的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅和波速； （2）求相邻波节之间 的距离； （3）求 t 3.0 10 3 s 时位于 x 0.625 m 处质点的振动速度。
12-6 一平面简谐声波的频率为 500Hz，在空气中（ρ=1.3 kg/m3）以速度 u=340m/s 传播。到达人耳时，振 － 幅 A=10 4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强。 解： w
1 2 2 1 A 1.3 10 12 (2 500) 2 6.42 10 6 J/m 3 2 2
x w A 2 2 sin 2 (t ) ， wmax A 2 2 2 w 6.0 10 5 J/m 3 u u 300 0.14 2 （ 2） u v ， 1 m ， W w V 3.0 10 5 ( ) 1 4.62 10 7 J 300 2
1
大学物理练习册—波动
写出波动方程，并写出 D 点振动的运动方程； （2）以 A 点左方 5m 处的 O 点为原点，写出波动方程 和 D 点振动的运动方程。 解： （1） y ( x, t ) 3 cos[4 (t （2） y o 3 cos[ 4 (t
x 9 ) ] ， y D (t ) 3 cos[4 (t ) ] 3 cos(4 t ) 0.3 0. 3
cos(1.6x ) cos(550 t ) 2 1.5 10 2 cos(
x 0.625 m ， t 3.0 10 3 s 时：
v 3.0 10 2 550 cos(1.6 0.625) sin( 550 3 10 3 ) 46.2 m/s
r r r r 2 1 2 2 1 2 2 1
D 由题意知， | | ， 2
r2 r1 ， r2 r 1 2
又 r2 r 1 D tan
Dh 2 Dh ， 2( r2 r1 ) L L
r2 r1 0 ， A A1 A2 10 cm
S1 12cm O 12cm S2 16cm P
r1 12 2 16 2 40 P 1 2 2 400 v / 10 / 100
y P A cos(2 t P ) 10 cos[200 (t 2)] cm
x )] 2. 5
10 v 2.5 5 Hz ， 0.5 m 2 2 5 dy dv （ 2） v 0.05 10 sin(10 t 4x ) ， a 0.05 (10 ) 2 cos(10 t 4x) dt dt
5 ) ] 0. 3 5 x x5 y ( x, t ) 3 cos[4 (t ) ] 3 cos[4 (t ) ] 0. 3 0. 3 0.3 14 5 ) ] 3 cos(4t ) ，与原点选择无关。 x 14 m 的 D 点： y D 3 cos[4 (t 0.3
12-9 同一介质中的两个波源位于 A、B 两点，其振幅相等，频率都是 100Hz，B 的相位比 A 超前π。若 A、 B 两点相距为 30m，波在介质中的传播速度为 400m/s；问在 AB 连线上 A 的左侧和 B 的右侧能出现因 干涉而静止的点吗？试求出 AB 连线上因干涉而静止的各点位置。 解：
－
2 x t ) A cos(200 t ) ， y ( x, t ) A cos[200 ( t ) ] 0.01 2 2 400 2 8 9 9 y P A cos[200 ( t ) ] A cos(200 t ) ， t 0 ， P 400 2 2 2 200 （2） 9 10 (9 10) 400 2
B A 2
30 15 16
所以 B 的右侧没有因干涉而静止的点。 （3）AB 之间距离 A 为 x 处
B A 2
30 2 x 15 x x
x (2k 1) ， x 2k 1 ， x 1,3,5, 29 处为静止点。
I w u 6.42 10 6 340 2.18 10 3 W/m 2
12-7 如图 12-7 所示，两个相干波源 S1、S2，频率都是 100Hz，振幅均为 5cm，波速均为 10cm/s。已知波源 S1 的初相位为 0，试求下列情况下， S1、S2 连线的中垂线上 P 点的运动方程。 （1）S1、S2 的相位差为 0； （2）S2 相位超前 S1 相位 2 ； （3）S1、S2 的相位差为 。 解： （1） 2 1 2
（3）满足以下条件为波腹：
2 x k k ， x ， k 0,1,2 。 2 2 x 满足以下条件为波节： (2k 1) ， x (2k 1) ， k 0,1,2 。 2 4
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12-1 一横波沿绳子传播时的波动方程为 y 0.05 cos(10t 4x ) m ，求： （1）此波的振幅、波速、频率 和波长； （2）绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度； （3）x＝0.2m 处的质点在 t＝1s 时的相位， 它是原点处质点在哪一时刻的相位？（4）分别画出 t＝1s、1.25s、1.50s 时的波形。 解： （1） y ( x, t ) 0.05 cos(10 t 4x ) 0.05 cos[10 (t
4
y P A cos(2 t P ) 7.07 cos(200 t
（3） 2 1 2
) cm 4
r2 r1 ， A 0 ， y P 0
12-8 如图 12-8 所示，两个相距为 D 的相干波源 S1、S2，它们振动的相位相同，因而探测器在 S1、S2 的垂 直平分线上距波源 L 处的 O 点得相长干涉（即互相加强） ，若探测器往上移动，到距离 O 点为 h 的 P 处首次得到相消干涉。设 L 比 D 及 h 都大得多，求波长 。 （提示：r1+r2≈2L） 解：两相干波到达 P 点时的相位差 P S1 r1 h r2 O S2 L 图 12-8 D/2
或 t
图 12-7
r1 20 2 s ， y P A cos[2 (t t )] 10 cos[200 (t 2)] cm v 10
2
大学物理练习册—波动
（2） 2 1 2
r2 r1 ，A 2
2 A12 A2 7.07 cm ，由旋转矢量法 P
A 0.05 m ， v 2.5 m/s ，
v max 1.57 m/s ， a max 49.3 m/s 2
（3） x 0.2 ,t 1 10 1 4 0.2 9.2 ， 10 t 9.2 ， t 0.92 s （4）略。 12-2 波源作简谐振动， 周期为 1.010 2s， 以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点， 若此振动以 u＝400 m/s 的速度沿直线传播，求： （1）距波源为 8.0m 处的质点 P 的运动方程和初相； （2）距波源为 9.0m 和 10.0m 处两点的相位差。 解： （1） y o A cos(
t x ) ]， 在弦上传播并在 x 0 处发生反射， 反射点为自由端。 T 2
12-11 设入射波方程为 y 入＝A cos[ 2 (
试求（1）反射波的波动方程； （2）合成波方程； （3）波腹、波节的位置。 解： （1） y 0 A cos(2
t ) ，自由端不存在半波损失，反射波为 T 2
即
图 12-3
12-4 一 平 面 简 谐 波 在 媒 质 中 以 速 度 u=30 cm/s 自 左 向 右 传 播 。 已 知 波 线 上 某 点 A 的 运 动 方 程
y 3 cos(4t ) (SI)，D 点在 A 点的右方 9m 处，取 x 轴方向水平向右。 （1）以 A 为坐标原点，试
y /cm 10 O -5 P 20 x /cm
1 2 1 ， 3 3 3 1 5 同理 P ， P 3 2 6 1 5 y o 0.1cos( t ) ， y P 0.1cos( t ) 3 6 x 1 （2） y o 0.1cos[ ( t ) ] 0.2 3 1 x 1 （ 3） ( ) ， x 0.23 m 3 0. 2 3 2
t x y 反 A cos 2 ( ) T 2
（2）合成波为
t x t x y y 入 y 反 A cos 2 ( ) A cos 2 ( ) T 2 T 2 2 x 2 t 2 A cos( ) cos( ) T 2
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大学物理练习册—波动
解： （1） y 3.0 10
x ) cos( t ) u 550 A 1.5 10 2 m ， 550 ， 1.6 ， u 343.75 m/s u 1.6 1.6 2 2 （2） uT u 343.75 1.25 m 550 相邻波节间的距离 x 0.625 m 2 dy （ 3） v 3.0 10 2 550 cos(1.6x) sin( 550 t ) dt
12-3 图 12-3 为一沿 x 轴正向传播的平面余弦波在 t=1/3s 时的波形，其周期 T=2s。求： （1）O 点和 P 点的 运动方程； （2）波动方程； （3）P 点离 O 点的距离。 解： （ 1）
2 1 2 ， t s 时， 1 t T 3 3 3
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12-5 一正弦式声波，沿直径为 0.14m 的圆柱形管行进，波的强度为 9.010 3 W/m2，频率为 300Hz，波速 为 300m/s。问： （1）波中的平均能量密度和最大能量密度为多少？（2）每两个相邻的、相位差为 2 π的同相面间有多少能量？ 解： （ 1） w
I 9.0 10 3 3.0 10 5 J/m 3 u 300
u 400 4m 100
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A 图 12-9
B
（1）A 的左侧距离 A 为 x 处
( B 2
30 x x 30 ) ( A 2 ) B A 2 15 14
所以 A 的左侧没有因干涉而静止的点。 （2）B 的右侧距离 B 为 x 处
12-10 一弦上的驻波方程为 y 3.0 10 2 cos(1.6x) cos(550t ) （SI） 。 （1）如将此驻波看成是由传播方 向相反，振幅及波速均相等的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅和波速； （2）求相邻波节之间 的距离； （3）求 t 3.0 10 3 s 时位于 x 0.625 m 处质点的振动速度。
12-6 一平面简谐声波的频率为 500Hz，在空气中（ρ=1.3 kg/m3）以速度 u=340m/s 传播。到达人耳时，振 － 幅 A=10 4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强。 解： w
1 2 2 1 A 1.3 10 12 (2 500) 2 6.42 10 6 J/m 3 2 2
x w A 2 2 sin 2 (t ) ， wmax A 2 2 2 w 6.0 10 5 J/m 3 u u 300 0.14 2 （ 2） u v ， 1 m ， W w V 3.0 10 5 ( ) 1 4.62 10 7 J 300 2
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大学物理练习册—波动
写出波动方程，并写出 D 点振动的运动方程； （2）以 A 点左方 5m 处的 O 点为原点，写出波动方程 和 D 点振动的运动方程。 解： （1） y ( x, t ) 3 cos[4 (t （2） y o 3 cos[ 4 (t
x 9 ) ] ， y D (t ) 3 cos[4 (t ) ] 3 cos(4 t ) 0.3 0. 3