函数与映射概念的理解
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
大一高数知识点映射与函数
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
函数空间与映射分析
函数空间与映射分析函数空间和映射分析是数学领域中的基本概念和重要工具，被广泛应用于数学、物理、工程等学科中。
本文将简要介绍函数空间和映射的概念，并讨论它们在实际问题中的应用。
1. 函数空间的概念函数空间是指一组具有特定性质的函数组成的集合。
在数学中，常见的函数空间有连续函数空间、可微函数空间、可积函数空间等。
函数空间的定义需要满足一定的条件，例如连续函数空间中的函数必须在定义域上处处连续。
函数空间中的函数可以进行各种运算，例如加法、乘法等。
2. 函数空间的性质函数空间具有很多重要的性质，其中一些常见的性质如下：- 完备性：函数空间中的柯西序列在该函数空间中有极限。
这个性质对于证明收敛性和存在性是非常重要的。
- 线性性：函数空间中的函数满足线性运算的性质，即函数的线性组合仍然属于该函数空间。
- 密度性：函数空间中的有限维子空间在该函数空间中是稠密的。
这个性质与逼近理论和拟线性算子的收敛性证明有关。
3. 映射的概念映射是指将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
在函数空间中，映射常常用来描述函数之间的关系。
例如，一个从函数空间到实数集的映射可以描述函数的某种性质，如函数的最大值、最小值等。
4. 映射的性质映射具有以下一些基本的性质：- 单射性：对于不同的定义域元素，映射得到的值是不同的。
- 满射性：对于定义域中的任意元素，都存在映射的值与之对应。
- 反射性：对于一个集合，存在一个函数将其映射到自身，这个函数称为恒等映射。
5. 函数空间与映射的应用函数空间和映射在数学领域中有广泛的应用。
其中一些典型的应用包括以下几个方面：- 泛函分析：函数空间和映射是泛函分析的基础，被广泛应用于不同的泛函分析问题中，如巴拿赫空间的研究、紧算子的性质等。
- 偏微分方程：函数空间和映射在偏微分方程的研究中有重要应用，如Sobolev空间的理论和应用、偏微分方程的解的存在性和唯一性等。
- 优化理论：函数空间和映射在优化理论中有广泛应用，如变分问题的研究、最优化问题的求解等。
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
数学中的函数与映射关系
函数与映射是数学中重要的概念，也是数学中的基本工具。
函数是一种特殊的映射关系，它描述了不同数值之间的对应关系。
函数在数学中的应用非常广泛，从基本的代数运算到高级的微积分都需要函数的概念和方法来描述和求解。
下面我们将从函数的定义、性质和应用角度来探讨函数与映射关系。
首先，函数的定义是关键。
函数是一种将一个数集的元素（称为自变量）映射到另一个数集的元素（称为因变量）的规则。
函数可以用各种不同方式表示，比如用代数式、表格和图像等形式。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
函数可以用不同的表达式表示，如线性函数、幂函数、指数函数和三角函数等。
例如，线性函数y = ax + b表示的是一条直线，其斜率为a，截距为b。
指数函数y = a^x描述的是一种以底数a为基的指数增长或衰减关系。
函数具有多个重要的性质。
首先，每个自变量x只能映射到唯一的因变量f(x)，即函数是一对一映射关系。
其次，函数可以有多个自变量映射到同一个因变量，但不能反过来，即函数的反函数不一定存在。
再次，函数具有像函数、核函数和空间函数等特性。
像函数是指通过函数，自变量的像可以确定因变量，核函数是指通过函数，因变量的像可以确定自变量，而空间函数则是指通过函数，自变量和因变量来确定特定的空间变化。
函数在数学中有广泛的应用。
在代数学中，函数被用来描述线性运算、方程求解和数据拟合等问题。
在微积分中，函数被用来描述曲线的切线斜率、函数的极值和定积分等问题。
在概率论和数理统计中，函数被用来描述随机变量的分布和概率密度函数等问题。
在应用数学中，函数广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，用来描述和解决实际问题。
例如，物理学中的牛顿第二定律可以用函数来表示力对物体的加速度关系。
总结起来，函数与映射关系在数学中具有重要的地位和作用。
函数通过描述不同数值之间的对应关系，帮助我们理解和分析数学问题。
函数不仅具有多样的表达形式和性质，而且在各个学科和实际应用中都具有广泛的应用。
一函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
映射与函数的概念与性质
映射与函数的概念与性质随着数学领域的不断发展，映射与函数的概念与性质也逐渐被人所熟知。
那么，什么是映射与函数呢？它们又有哪些特性呢？让我们一起来探讨一下。
一、映射的概念和性质映射是指将集合A中的每一个元素都对应唯一的集合B中的一个元素的规律。
我们也可以将其称之为映照、映像或者变换。
关于映射，我们可以了解以下几点性质：（1）如果A中的每一个元素都有对应B中的元素，则我们称之为映射f：A→B。
其中A称之为“定义域”，B称之为“到达域”。
（2）如果集合A中有两个元素x和y，在B中它们分别对应了f(x)和f(y)，那么就表示f(x)和f(y)具有重合的情况。
（3）如果B中存在一个元素y，使得在A中有多个元素x1、x2、……、xn，它们对应的f(x1)、f(x2)、……、f(xn)均为y，则我们称f(x1)、f(x2)、……、f(xn)在B中具有重合的情况。
（4）我们可以将映射看作是一种相对关系，即若A与B中仅有x和y两个元素，则我们可以有以下三种类型的映射：①单射：若x和y在B中的形式不同，则我们称此时的映射是“单射”。
②满射：若映射中每个元素都被映射到了B中，则我们称此时的映射是“满射”。
③一一映射：如果一个映射既是单射，又是满射，则我们称之为“一一映射”。
二、函数的概念和性质函数也是映射的一种，它实际上是将一个集合映射到另一个集合的过程中，其中定义域和到达域都是实数集。
对于函数，我们可以了解以下几点性质：（1）如果函数y=f(x)既有定义域又有到达域，则可以认为f(x)是一个函数。
（2）函数的定义域和到达域都必须是实数集，同时，函数的定义域中的每一个元素都必须在函数的定义范围内。
（3）函数的定义域中两个元素x1和x2必须是不同的。
如果它们是相同的，则我们认为f(x1)和f(x2)也是相同的。
（4）每一个实数，都必须有且只有一个对应的函数值。
（5）如果函数y=f(x)中所有的函数值都大于零，则我们称f(x)是正函数。
高中数学必修一函数的相关概念与映射
• 类型三 函数的概念
• 类型四 同一函数的判定
• 类型五 函数的定义域
• 类型六 求函数值
类型一 映射的概念
• 例1：已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四
个对应关系中，能否构成A到B的映射？说明理由．
• 解析：(1)、(3)是A到B的映射，都符合映射的定义，即A中的
同的；
三、映射
• 一般地，设A，B是两个非空的集合，�: � → �是集
合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A
中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中
每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B的一
一映射。
• 特别提醒：
• 对一一映射概念的理解应注意以下两点：（1）集合
B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合B中不
允许有剩余的元素。（2）对于集合A中的不同元素，
在集合B中有不同的象，也就是说，不允许“多对
一”；
四、函数的概念
• 设A、B是两个非空的数集，如果按某一个确定的
对应关系�,使对于集合A中的任意一个数�,在集
合B中都有唯一确定的数� � 和它对应，那么就
称�: � → �为从集合A到集合B的一个函数，记作
高中数学（北师大版）
必修一
• 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间
的依赖关系的重要数学模型；
• 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应
关系在刻画函数概念中的作用；
• 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义
域和值域.
• 一、映射的概念
• 二、象与原象的概念
• 三、映射
• 四、函数的概念
函数和映射的区别和联系
函数和映射的区别和联系许多人将函数和映射混为一谈，但它们虽然是一类概念，但它们还是有着紧密的关系与不同之处的。
本文将就函数和映射的区别和联系作一个详细的介绍，以加深对这两个概念的理解。
首先，让我们来了解一下函数和映射。
函数是一种特定类型的数学关系，它主要用来表示两个变量或者实体之间存在某种推导或者关系，可以将其视为“表达式”或者“等式”，例如y=a*x+b，两边的x 和y是变量，而a和b是常量，当我们改变x的值时，y的值也会相应发生变化。
而映射将一个特定的值映射到另一个特定的值，其中可以存在多对一的映射，一对多的映射，多对一的映射和多对多的映射，而且当映射关系发生变化时，所有的映射都会发生变化。
其次，我们来看函数和映射之间的关系。
首先，函数可以被看作是一种特殊的映射，可以将函数看作是一种特殊的一对一的映射，即给定一个x值，就可以求得其对应的y值，而且不管如何改变x值，y值都是唯一的，这正是函数的定义和特征。
其次，两者还有着共同的特点，比如它们都可以用来描述两个不同的实体之间的某种联系，而且都可以用来构建某种变换关系，例如将函数应用到映射中，可以将原来的映射变换成新的映射，而且它们之间也可以相互转换，将函数转换成映射，将映射转换成函数，甚至变换成多项式之类的结构。
最后，我们再来总结一下函数和映射的区别和联系。
函数是一种特定类型的数学关系，可以将其视为“表达式”或者“等式”，两边的x和y是变量，而a和b是常量，当改变x的值时，y的值也会相应发生变化，而映射是将一个特定的值映射到另一个特定的值，可以存在多对一，一对多，多对多的映射关系发生变化时，所有的映射都会发生变化。
函数和映射之间有着非常紧密的关系，可以将函数看作是特殊的一对一映射，也具有一些共同的特点，比如可以用来构建某种变换关系，而转换成一个另外函数或者映射，两者之间也可以相互转换。
综上所述，函数和映射是一类概念，有着相互关联的特征，但仍有不少的区别，两者之间的关系可以通过函数转换成映射或者映射转换成函数来实现，用来表示两个变量或者实体之间存在某种推导或者关系，对此，我们应当做到分清概念，从而可以更好地理解它们之间的不同之处。
映射的概念分类及与函数的关系
映射的概念分类及与函数的关系1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f，对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。
这就叫做从A到B得一个映射。
记作f:A→B。
通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。
为了理解透彻，对其有两点说明：（1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余”元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中的任何元素与之对应。
（2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫做对应。
所以可以说映射是对应的一个子集。
同时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足唯一性。
2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在A中只有一个a与之对应。
即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。
3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与之对应。
即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩余”的。
即“满”之意。
当然，也允许“多对一”。
4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍历，并除去了“多对一”的情况。
换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。
这大概就是“双”的意思吧。
其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。
5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。
法则f就抽练为函数表达式。
显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。
其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。
函数与映射的关系
函数与映射的关系函数与映射是数学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
函数是映射的一种特殊形式，而映射则是函数的一种更普遍的表达方式。
首先，我们来了解函数的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。
在函数中，每个输入都有且只有一个对应的输出。
我们可以将函数想象成一台黑盒子，它接收输入并返回输出，而我们无需关心黑盒子内部的运作过程。
函数的定义通常由一个公式或者算法给出，从而确定每个输入所对应的输出。
而映射是函数的一般形式，它描述了一个集合中的元素如何对应到另一个集合中的元素。
映射可以是一对一的，即每个输入对应到唯一一个输出；也可以是多对一的，即多个输入对应到同一个输出；还可以是一对多或多对多的。
映射的表达方式有多种，例如集合表示法、图表、箭头图等。
映射中的每个元素对我们可以理解为函数中的一个输入-输出对。
函数和映射在数学建模中具有重要的作用。
它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
例如，在经济学中，我们可以将不同的产量和对应的成本通过函数来描述，进而研究成本最小化的问题；在计算机科学中，我们可以通过映射来实现数据的转换和处理，从而实现各种算法和程序。
函数和映射的概念也被广泛应用于物理学、工程学、生物学等学科中。
在数学教学中，函数和映射也是重要的基础概念。
它们可以帮助学生理解抽象的数学概念，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
通过学习函数和映射，学生可以了解到不同数学对象之间的联系，例如函数之间的复合和逆运算。
此外，函数和映射还可以帮助学生更好地理解数学的实际应用，从而提升他们的学习兴趣和动力。
总结起来，函数和映射是数学中不可或缺的两个概念。
函数是映射的一种特殊形式，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上，并满足每个输入有且只有一个输出的条件。
映射则是更广义的表达方式，它描述了集合中元素之间的对应关系。
函数和映射在数学建模和教学中都具有重要的作用，它们帮助我们解决实际问题，培养思维能力，理解数学对象之间的联系。
第2讲 函数与映射的概念,定义域,值域
第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，记为B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
高等数学映射与函数笔记
高等数学映射与函数笔记一、引言高等数学是理工科学生的一门重要基础课程，其中映射与函数是其中的重要组成部分。
本笔记旨在帮助读者梳理映射与函数的基本概念、性质、应用以及常见问题，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
二、映射的基本概念1. 映射的定义：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。
2. 映射的性质：映射具有像集和原像集等基本性质，同时映射还可以进行复合、逆映射等操作。
三、函数的定义与性质1. 函数的定义：给定一个数集A，以及一个集合B上的运算，如果这个运算满足函数的基本性质，那么这个运算就可以被称为A到B的函数。
2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，这些性质在解决函数问题时非常重要。
四、常见函数类型1. 一次函数：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k为一次项系数，b为常数项。
2. 二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b、c为常数项。
3. 指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数。
4. 对数函数：形如y=log(a) x（a＞0且a≠1）的函数。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述周期性现象的重要工具。
五、映射与函数的应用1. 函数在数学建模中的应用：在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，而函数是建模的重要工具之一。
例如，在物理中的速度与时间的关系，就可以用一次函数或二次函数来表示。
2. 映射在算法中的应用：在计算机科学中，映射可以用于实现数据结构（如映射表和哈希表）以及算法（如最短路径算法和排序算法）等。
3. 映射与函数在经济学中的应用：在经济学中，函数被用于描述经济变量之间的关系，如生产函数、消费函数等；而映射可以用于实现数据库和数据挖掘等应用。
六、常见问题与解答1. 问：什么是映射？答：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。
函数与映射的概念
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理解映射的概念，应注意以下几点： ①集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统； ②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应， 它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的； ③集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一 的，这是映射区别于一般对应的本质特征； ④集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个； ⑤不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．
2．映射的概念
设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集 合 A 中的_任__意__元素，在集合 B 中都有___唯__一__确__定__的元素与之对 应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为___f：__A__→__B_.
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1．(2011 年广东广州调研)函数 g(x)＝ x＋3的定义域为( A )
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【互动探究】
1．已知f∶A→B是集合A到集合B的映射，又A＝B＝R，对应
法则f∶y＝x2＋2x－3，k∈B且k在A中没有元素与之对应，则k的取
值范围为( A)
A．k<－4
B．－1<k<3
C．k≥－4
D．k<－1或k>3
解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4≥－4，k∈B且k在A中没有 没有元素与之对应，则k的取值范围为k<－4.
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考点2 判断两函数是否为同一个函数 例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？
(1)f(x)＝ x2，g(x)＝3 x3；
(2)f(x)＝|xx|，g(x)＝1－1
(x≥0)， (x<0)；
(3)f(x)＝2n＋1 x2n＋1，g(x)＝2n－1 x2n－1(n∈N*)； (4)f(x)＝ x x＋1，g(x)＝ x2＋x； (5)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
函数与映射的关系和区别
函数与映射的关系和区别函数和映射是初中代数的两个新概念，但是这两个看似简单的概念，其实里面却有很大的不同。
而且它们之间也存在着许多联系和区别。
今天我就来给大家说说这两者之间的不同吧！对于函数来说，定义域要比值域宽，所以在选择解决问题的方法时，一般都先将它化为集合上的问题，然后转化为函数上的问题。
而映射则不同，由于它只在集合上讨论，在变量的选择上必须要从具体情况出发，如果不能确定哪个变量是主要的，那么一般要考虑其它的变量是否也有影响。
在一元二次方程解析式，如果化成集合上的问题，那么一般就可以采用韦达定理来进行解答了。
例如求y=0时方程的解x(x>0)，此时x为常数，且x<0，则对于已知二次函数的图像求根，我们通常采用的方法是配方法或换元法。
化为集合上的问题的好处还在于我们所要求解的问题会更加清晰，不容易漏掉根的情况。
3、函数与集合的关系：自变量和因变量有相同的地方，即它们都必须是一个实际存在的集合。
这种相同也表现在它们的作用上。
集合是被假设成唯一的自变量。
函数是一个从一个集合到另一个集合的过渡。
4、函数与集合的区别： 1）对象不同。
函数研究的是自变量x与因变量y之间的依赖关系，而集合是自变量与因变量x， y之间的依赖关系； 2）侧重点不同。
函数侧重的是自变量对因变量的影响，而集合侧重的是自变量与因变量x， y之间的依赖关系。
函数通过自变量对因变量的影响来描述自变量与因变量之间的依赖关系。
而集合是通过自变量与因变量的依赖关系来描述自变量与因变量之间的依赖关系的。
区别，主要表现在三个方面：第一，集合是自变量与因变量之间的关系，是抽象的关系，而函数是反映自变量与因变量之间的关系，是具体的关系。
第二，集合中的自变量可以是数字，而函数中的自变量只能是数字。
第三，集合中的自变量是一个具体的数值，函数中的自变量是一个抽象的数值。
2.1 映射、函数与反函数的概念
对应法则定义域来自2.函数：y=f(x),x∈A B={f(x)|x ∈A}叫做 是x的函数 函数： 叫做y是 的函数 函数 ∈ 叫做
函数值 自变量 值域
3.分段函数：如果在函数的定义域内，对于自变量x的不 分段函数：如果在函数的定义域内，对于自变量 的不 分段函数 同取值区间，有不同的对应关系. 同取值区间，有不同的对应关系
时都有f(x （2）具有反函数的条件：任意 1≠x2时都有 1)≠f(x2) ）具有反函数的条件：任意x (3) 求y=f(x)反函数 -1(x)的步骤： 反函数y=f 的步骤： 反函数 的步骤 ①确定原函数的值域也就是反函数的定义域 解出x=f ②由 y=f(x)解出 -1(y) 解出 互换得y=f ③将 x,y互换得 -1(x) 互换得 （4）分段函数的反函数应分别求出各段函数的反函数 ） 再合成. 再合成
f1 ( x ) f ( x) = f 2 ( x) f ( x) 3
x ∈ [ x1 , x2 ] x ∈ ( x2 , x3 ] x ∈ ( x3 , x4 ]
4. 反函数：（ ） 反函数：（ ：（1） 函数 y=f(x) y=f-1(x) 定义域 A B 值域 B A 单调性 相同 图象 关于y轴对称 关于 轴对称
满足
9 f (c ) = . 8
2
的值； （1）求常数 的值； ）求常数c的值
2 + 1. （2）解不等式 f ( x ) > ） 8
思维启迪
①对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便
于选择与之相应的对应关系; ②分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段解决.
(1)∵0＜c＜1，∴c2＜c， 9 9 1 2 3 由 f(c )＝ ，即 c ＋1＝ ，解得 c＝ . 8 8 2 1 1 2x＋1 (0＜x＜2)， (2)由(1)得 f(x)＝ 1 － 4x 2 ＋1 (2≤x＜1). 【解 】 解 1 1 2 2 1 ①当 0＜x＜ 时， x＋1＞ ＋1，∴ ＜x＜ . 2 2 8 4 2 1 2 1 5 － 4x ②当 ≤x＜1 时，2 ＋1＞ ＋1，∴ ≤x＜ . 2 8 2 8 2 2 5 综合①②知 f(x)＞ ＋1 的解集为{x| ＜x＜ }． 8 4 8
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玩转函数第一招第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】①映射.映射f : A→B 的概念。
对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B.对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的.③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B.⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射.一一映射既是一对一又是 B 无余的映射.在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
总结：取元任意性，成象唯一性。
【精准训练】（1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））；（4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1（5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）；（6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）；（7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答：或{1}）.8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7（9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6（10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（）（11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）A、27B、9C、21D、12解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个（2）有一个不等号时的映射（即与B 中的两个元素对应），f 有C 14 ·C 32 =12个（3）有二个不等号的映射，f 有C 24 ·C 32 =6个。
所以共有3+12+6=21 个，答案选C 。
（12）、已知映射 f : A → B ，其中集合 A =｛-2,-1,0,1,2,3,4｝，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的aA ，在B 中和它对应的元素为a 2 ，则集合B 的真 子集个数是————。
（13）、设集合A = ｛a ,b ｝， f : A → A 是映射，且满足条件 f f （x ）= f（x ），这样的从 A →A 自身的映射个数是（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4 （14）、已知集合M =｛x ,y ,z ｝，N =｛-1,0,1｝，则满足条件 f （x ）+f （y ）=f （z ）的映射f :M →N 的个数是（A ）1 （B ）5 （C ）7 （D ）10 （15）、从任何一个正整数n 出发，若n 是偶数就除以2，若n 是奇数就乘3再加1,如此继 续下去…,现在你从正整数3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是A ，10B ，4C ，2D ，1（ 16 ）、已知集合A = ｛-1,0,1｝ ， B =｛-2,-1,0,1,2｝ ，则满足条件：对每一个 x A ,恒使x + f （x ） 是 偶 数 的 映 射 f :A →B 的 个 数 是（A ）4 （B ）7 （C ）12 （D ）非上述结果 （17）、 由x 4 +a x 3 +a x 2 +a x +a = （x +1）4 +b （x +1）3 +b （x +1）2 +b （x +1）+b 定义映射 f ：（a 1,a 2,a 3,a 4）→ （b 1,b 2,b 3,b 4），则（4,3,2,1）的象是（） A 、 （1,2,3,4）B 、 （0,3,4,0）C 、 （-1,0,2,-2）D 、 （0,-3,-4,-1）a c x x '=ax +cy x ' 2 -1x a c x ，则｛x '=ax +cy ，按照 x ' = 2 -1 x ，称b d yy '=bx +dy y ' pq y 点（x,y ）映到点（x',y'）的一次变换。
把直线 y=kx 上的各点映到这点本身，而把 直线 y=mx 上的各点映到这点关于原点的对称点。
这时， k= m= p= q= 24，1，3，3，-2（19）设 M ＝｛平面内的点（a ，b ）｝，N ＝｛f （x ）|f （x ）＝a cos2x +b sin2x ｝，给出 M 到 x'=N 的映射f：（a，b）→f（x）＝a cos2x＋b sin2x，则点（1，3）的象f（x）的最小正周期为ππA．πB．2πC．D．②函数：1函数定义a:传统(古典)定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数.x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.b: 近代(映射)定义：设A ，B 都是解空的数的集合，f 是从A 到B 的一个对应法则，那么A 到B 的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合 A 叫做函数f(x) 的定义域。
象集合C叫做函数f ( x)的值域, C B.注：(1)两种定义的比较：①相同点： 1 °实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.2 °近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性 .( 2 )对函数定义的更深层次的思考：①映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射 f ： A → B ，其特殊性表现为集合 A ， B 均为非空的数集..函数f : A →B 是特殊的映射。
特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
小结：函数概念8 个字：非空数集上的映射。
②函数三要素1°核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x 与y 的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则 f 也可以采用其他方式(如图表或图象等).2°定义域定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题.3°值域值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数.同一函数概念。
构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
③关于函数符号 y=f(x)1°、y=f(x) 即“y 是 x 的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与 x的乘积”.f(x)也不一定是解析式.2°、f(x)与 f(a)的区别：f(x)是 x 的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量 x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是 f(x)的一个当 x=a 时的特殊值.3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数.例：y=f（x）=ax2+bx+c，a，b，c 为常量且x≥0 与S=g（t）=at2+bt+c、a，b，c 为相同的常量且t≥0.则我们说这两个函数是同一个函数，对于它们的图象是一个相同的曲线.4°有些函数在它的定义中，对于自变量 x 的不同的取值范围，对应法则不相同，例如：x, x>0y=f（x）=|x|= 0, x=0 这样的函数通常称为分段函数.注意，分段函数是一个函数，-x, x<0而不是几个函数. 2．函数的常用的表示法（ 1 ）解析法：将两个变量的函数关系用一个等式来表示 .（ 2 ）列表法：利用表格来表示两个变量的函数关系 .（ 3 ）图象法：用图象来表示两个变量的函数关系 . 3．实数集的三种表示方法：集合表示法，不等式表示法，区间表示法. 这个问题实质上涉及到函数的定义域与值域的表示法，而定义域的确定和值域的确定是函数概念中两个重要的问题.而区间的概念在函数的定义域中，显得十分重要.设a，b∈R 且a<b，则下列的不等式表示的实数x 的集合可分别表示为：（ 1 ） a ≤ x ≤b 表示为闭区间[a ，b]. 数轴表示为:（2）a<x<b 表示为开区间（a，b）.数轴表示为a b（ 3 ） a ≤ x<b 表示为左闭右开区间[a ，b] 数轴表示为:（4）a<x≤b 表示为右闭左开区间（a，b]数轴表示为（ 5 ）x∈ R 表示为（- ∞，+ ∞）数轴表示为整个数轴（6）x≤a，表示为（-∞，a]数轴表示为a7）x≥a 表示为[a，+∞] 数轴表示为:精准训练】1)已知函数y = f (x), x a,b,那么集合{(x, y) | y = f (x), x [a,b ]}{(x,y)|x=2}中所含元素的个数是A. 0 个B. 1 个C. 0 或1 个D. 0 或1 或无数个2）若函数y = 1x2- 2x + 4的定义域、值域都是闭区间[2,2b] ，则b＝（答：2）3）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函 数”，那么解析式为y = x 2 ，值域为｛4，1｝的“天一函数”共有 ___ 个（答：9）（4）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函 数”，那么函数解析式为 y=2x 2+1，值域为｛5,19｝的“孪生函数”共有A 、10 个B 、9 个C 、8 个D 、7 个（5）已知函数 y = f （x ）,它的图象与直线的交点的个数是（ ）（A ）至少一个 （B ）至多一个 （C ）一个或两个 （D ）可能有无数个（6x1 2 3 g （f （ x ））A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1附： 趣说函数函数是一种特殊的映射，当A , B 时非空的数的集合时，映射 f :A →B 就叫做从A 到B 的函数，记作 y = f （x ），其中xA ,yB . 解析式y = f （x ）表示，对于集合A 中的任意一个x ，在对应法则 f 的作用下，即可得 到 y ，因此， f 是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系 x 与 y 的纽带，从而是函数 的核心. f 可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示.原象集合A 叫函数 f （x ）的定义域，象集合B 叫函数 f （x ）的值域，很明显 C B . “函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三还不能深刻理解 这一概念.原因在于这一概念的抽象性，如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们 学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用.1 函数是个“信使”“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方，每 封信上都写有确定的地址，不能含混不清.同样，“函数”也是这样，每个自变量 x 都要按一 定的对应法则与确定的 y 一一对应.自变量x 就是一封信，它被“对应法则”这个信使送到 确定的“收信x 1 2 3 f （x ） 2 3 1 x 12 3 g （x ）1 3 2人”——y手里.2 函数是个“产品加工厂”工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量x按规格——“对应法则” “加工”成不同产品——y .它也象“数字发生器”把原料——自变量x，投入不同的“数字发生器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y .3 函数是个“无能的射手”有本领的射手可以“一箭双雕”，可函数不行，有可能射不中目标，但它能多箭一雕. 正如，由数集A到数集B的映射中，B中每个元素必有原象，也可有多个原象. A中元素在B 中可以没有象.4函数是“封建社会的婚宴”在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量x可对应一个函数值y，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值.在现代社会是“一夫一妻”制，这正如有反函数的函数x与y之间必须是一一对应的.有了上面的解释，你对“函数”这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了.(7)设a、b为常数，M ={f(x)| f(x) = a cos x + b sin x}; F：把平面上任意一点(a，b )映射为函数a cos x + b sin x.( 1 )证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；(2)证明：当f0(x)M时，f1(x)= f0(x+t)M，这里t为常数；(3)对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1 ={f0(x+t),t R}，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？7解：(1)假设有两个不同的点( a，b )，( c，d )对应同一函数，即F(a,b) = a cos x + b sin x与F(c,d) = c cos x+ d sin x相同，即a cos x+b sin x = c cos x + d sin x对一切实数x均成立。