函数与映射概念的理解

玩转函数第一招

第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】

①映射.映射f : A→B 的概念。

对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B.

对于映射这个概念，应明确以下几点：

①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.

②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的.

③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.

④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B.

⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.

一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射.

一一映射既是一对一又是 B 无余的映射.

在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；

⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取

元任意性，成象唯一性。

【精准训练】

（1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是

A、M中每一个元素在N中必有象

B、N中每一个元素在M中必有原象

C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的

D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；

（2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））；

（4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1

（5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的

映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）；

（6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）；

（7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答：

或{1}）.

8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7

（9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6

（10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（）

（11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）

A、27

B、9

C、21

D、12

解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个

（2）有一个不等号时的映射（即与B 中的两个元素对应），f 有C 14 ·C 32 =12个

（3）有二个不等号的映射，f 有C 24 ·C 32 =6个。

所以共有3+12+6=21 个，答案选C 。

（12）、已知映射 f : A → B ，其中集合 A =｛-2,-1,0,1,2,3,4｝，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a

A ，在

B 中和它对应的元素为a 2 ，则集合B 的真 子集个数是————。

（13）、设集合A = ｛a ,b ｝， f : A → A 是映射，且满足条件 f f （x ）= f

（x ），这样的从 A →A 自身的映射个数是

（A ）1

（B ）2

（C ）3 （D ）4 （14）、已知集合M =｛x ,y ,z ｝，N =｛-1,0,1｝，则满足条件 f （x ）+f （y ）=f （z ）的映射

f :M →N 的个数是

（A ）1 （B ）5 （C ）7 （D ）

10 （15）、从任何一个正整数n 出发，若n 是偶数就除以2，若n 是奇数就乘3再加1,如此继 续下去…,现在你从正整数3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是

A ，10

B ，4

C ，2

D ，1

（ 16 ）、已知集合A = ｛-1,0,1｝ ， B =｛-2,-1,0,1,2｝ ，则满足条件：对每一个 x A ,恒使x + f （x ） 是 偶 数 的 映 射 f :A →B 的 个 数 是

（A ）4 （B ）7 （C ）12 （D ）非上述结果 （17）、 由x 4 +a x 3 +a x 2 +a x +a = （x +1）4 +b （x +1）3 +b （x +1）2 +b （x +1）+b 定义

映射 f ：（a 1,a 2,a 3,a 4）→ （b 1,b 2,b 3,b 4），则（4,3,2,1）的象是（

） A 、 （1,2,3,4）

B 、 （0,3,4,0）

C 、 （-1,0,2,-2）

D 、 （0,-3,-4,-1）

a c x x '=ax +cy x ' 2 -1x a c x ，则｛x '=ax +cy ，按照 x ' = 2 -1 x ，称

b d y

y '=bx +dy y ' p

q y 点（x,y ）映到点（x',y'）的一次变换。把直线 y=kx 上的各点映到这点本身，而把 直线 y=mx 上的各点映到这点关于原点的对称点。这时， k= m= p= q= 24，1，3，3，-2

（19）设 M ＝｛平面内的点（a ，b ）｝，N ＝｛f （x ）|f （x ）＝a cos2x +b sin2x ｝，给出 M 到 x'=