【平煤高中学案必修一】9.函数的表示法
高一数学必修第一册2019(A版)-《函数的表示法》教学设计二
《函数的表示法》教学设计教学设计如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容.那么，对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？设计意图：引入函数的表示法，为新课做好铺垫.活动1：初中时我们是如何画函数y x =的图象的？【师生互动】教师提出问题，学生思考后回答问题：描点法画图（列表、描点、连线）.设计意图：通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知基础。
活动2：在同一个坐标系中画出函数y x =与y x =-的图象.【师生互动】学生通过描点法作图，教师巡视，并就出现的问题及时更正，同时利用几何画板等软件展示图象.教师提问：这2个图象有何异同？设计意图：让学生积极参与，熟悉描点法作图，提升直观想象素养.活动3：结合||y x =，介绍分段函数的概念.出示教材第68页例5.解：由绝对值的概念，我们有,0,,0.x x y x x ⎧=⎨-<⎩所以，函数||y x =的图象如图所示.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数.说明：分段函数是一个函数而不是几个函数.【师生互动】教师提出问题：||y x =是函数吗？如何画出它的图象？ 介绍分段函数的概念、学生根据函数定义思考得出||y x =是函数，思考、讨论、交流得出在y x =与y x =-的图象各取一部分合在一起即为||y x =的图象.教师提问：你还能举出生活中使用分段函数解决问题的例子吗？学生举例：比如阶梯水费、电费、出租车费用等，都属于分段函数的范围. 设计意图：通过对熟悉的一次函数的再研究，引入分段函数的概念及初步认识分段函数的图象.活动4：总结分段函数的画法，并完成教材第68页例6.解：（1）在同一直角坐标系中画出函数()f x ，()g x 的图象如下左图：（2）由上左图中函数取值的情况，结合函数()M x 的定义，可得函数()M x 的图象（上右图）.由2(1)1x x +=+，得(1)0x x +=，解得：1x =-，或0x =.结合上右图，可知()M x 的解析式为22(1),1,()1,10,(1),0.x x M x x x x x ⎧+-⎪=+-<⎨⎪+>⎩【师生互动】教师引导学生回顾得到||y x =的图象的过程，学生之间交流、合作得出画分段函数的步骤，教师对学生的成果进行点评.教师引导学生分析例6，并请学生板演解题过程，教师通过几何画板等软件辅助学生完成图象.教师引导学生独立思考，讨论：能用其他方法求出()M x 的解析式吗？经学生交流、讨论，师生从代数角度（即解不等式）下手得出结论：令()()f x g x ，化简得(1)0x x +，解得1x -或0x ，此时()()M x g x =，否则()()M x f x =.设计意图：通过具体实例，帮助学生进一步认识分段函数及其图象，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同，且图象由几部分组成，进一步体会分段函数的画法.提升学生直观想象素养.活动5：思考：函数除了用图象表示之外，还有哪些表示方式呢？并比较它们的优缺点.出示教材第67页例4.知识总结：①解析法的优点：（1）简明、全面地概括了两个变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.②图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化，及相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质.③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量的值相对应的函数值. 注意：不是所有的函数都能用三种表示法表示.比如3.1.1中的问题3是用图象法表示的，但无法用解析法和列表法来表示.狄利克雷函数是用解析法表示的，但无法用列表法和图象法来表示……【师生互动】教师引导学生回顾教材3.1.1中的问题1、2（解析法），3.1.1的问题3（图象法），3.1.1的问题4（列表法）.并比较三种表示法；之后出示教材例4，让学生用3种表示法表示同一个函数，让学生观察、对比、交流得出三种表示法各自的优缺点，学生充分思考、探讨、交流，发表意见，教师点评.设计意图：通过对函数的三种表示法的优缺点的比较，使学生进一步理解函数概念，并在今后的学习中会根据情况选择恰当的函数表示方法.活动6：写出分段函数的解析式和画图象时的注意事项；回顾函数的表示法及其各自特点；探讨在学习过程中学到了哪些思想方法.【师生互动】教师引导学生归纳总结，教师点评.设计意图：回顾和梳理本节课的主要内容，交流感受，整理反思.教学研讨本案例从学生熟悉的一次函数入手，通过画一次函数的图象感知分段函数，引入较自然，学生容易接受；再趁热打铁，得到一般分段函数图象的画法，符合学生的认知规律，同时也充分调动了学生的积极性，提高学生的能力.同时几何画板等辅助工具的使用，能很好地提升学生的直观想象素养.本课例还有几处值得商榷的地方：1.分段函数的介绍和理解是建立在函数||y x 的基础之上的，尽管比较直观，但是不是所有的学生都能理解得很好呢？需不需要介绍生活中的实例（比如教材第71页练习第1题）来进一步帮助学生理解呢？2.学生在初中已经初步了解了函数的三种表示方法的优缺点，教学中需要投入多长时间进行总结这一部分内容？另外，是教师引导、适当代替还是完全交给学生观察、总结、展示呢？3.根据学生实际情况，需不需要对||y x =函数进行推广，比如考虑|||1|y x x =+-？。
函数表示方法
函数表示方法函数是数学中非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数的表示方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的函数表示方法。
1. 公式表示法。
最常见的函数表示方法就是公式表示法。
在这种表示方法中，我们用一个数学表达式来表示函数。
例如，我们可以用f(x) = x^2来表示一个将自变量x映射到其平方的函数。
公式表示法简洁明了，能够清晰地表达函数的计算规则，因此在数学和物理问题中被广泛使用。
2. 图形表示法。
另一种常见的函数表示方法是图形表示法。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质。
例如，对于f(x) = x^2这个函数，我们可以绘制出抛物线的图像，从而直观地了解函数的增减性、极值点、凹凸性等信息。
图形表示法能够帮助我们直观地理解函数，因此在教学和科研中被广泛应用。
3. 表格表示法。
除了公式和图形表示法，我们还可以用表格表示法来表示函数。
通过列出自变量和函数值的对应关系，我们可以清晰地展现函数的取值情况。
表格表示法在实际问题中非常实用，特别是在计算机程序设计和数据分析中经常使用。
4. 文字描述法。
除了以上几种常见的表示方法外，有时候我们还可以用文字来描述函数。
通过文字的方式，我们可以对函数的性质、定义域、值域等进行详细的描述。
文字描述法能够帮助我们对函数进行深入的分析和理解。
5. 符号表示法。
在一些高级的数学理论中，为了简化表示和分析，人们还会使用符号表示法来表示函数。
例如，利用极限、导数、积分等符号来表示函数的性质和变化规律。
符号表示法通常用于高等数学、物理学等领域的专业研究中。
综上所述，函数的表示方法有很多种，每种表示方法都有其独特的优势和适用范围。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的表示方法来研究和应用函数，以便更好地理解和利用函数的性质和规律。
希望本文介绍的函数表示方法能够对您有所帮助。
高一数学教案《函数的表示方法(一)》 必修
芯衣州星海市涌泉学校1.2.1函数的表示方法(一)教学目的：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数教学过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：假设图形F 是函数)(x f y =的图像，那么图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、假设在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点5、用计算机软件画出函数x x y 1+=，31)3(+++=x x y ，111-+-=x x y ，x x y 1+=的图像6、讨论分别用a x -，a y -分别交换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？ 7、讨论分别用x -，y -分别交换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别交换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？ 9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别交换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出以下函数的图像：〔1〕43-+=x x y 〔2〕11-=x y 11、假设)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系13、第44页例3课堂练习：教材第45页练习A、B小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数.课后作业：第58页习题2-1B第5题。
高中数学必修一教案函数的表示方法
教学设计
一、教学目标
1、知识目标：
(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；
(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化．
2、能力目标：
(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；
(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；
(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．
3、情感目标：
通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．
二、教学重点：函数的三种表示方法及画简单函数的图像；
三、教学难点：取整函数的理解及其图像的作法．
四、教学设计：
教
学
环
节
教学内容师生互动设计意图
复习引入1、函数的概念；
2、函数的三要素
教师提出问题，学
生思考后回答问题．
通过对旧知识的
回顾，为新知识的学
习做好认知铺垫．
概
投影出“神舟”六号飞船返回舱返
回过程中的相关记录表
问题1：所列表格能否表示一个函
数关系？为什么？
1、列表法：
通过列出自变量与对应的函数值的
教师逐一提出问
题，学生思考后回答，
依次引入函数的三种
常见的表示方法．并
在各种表示方法之后
及时提出他们的优缺
通过生活中的实
际问题，使学生进一
步认识到，数学源于
生活；
通过对学生熟悉
的问题1引入函数的
1．课本本节练习A,B；
思考题：已知函数y = f(n)，满足f(0) = 1，且f(n) = n f(n 1)，n N+．求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．。
【平煤高中学案必修一】10.函数的表示法(2)
§1.2.2 函数的表示法（2）学习目标：1.熟悉函数图象的画法，学会利用图象解决问题，树立应用数形结合的思想.2.熟悉简单的解析式的求法，能利用解析式解决一些简单问题，增加学习数学的兴趣.知识要点：1.函数图象的画法：2.解析式的用途： 典型例题：1.画出函数x y =的图像。
2.已知函数24,02,042,4x x y x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩. (1)求(((5)))f f f 的值；（2）画出函数的图象.3.已知函数()f x 的图像如下（图像是直线的一部分与抛物线的一部分组成），根据图像写出解析式.4.（1）已知函数()f x 满足2)3(2+-=-x x x f ,则()f x = .（2）已知一次函数()f x 满足[]()43f f x x =+，求()f x = .（3）已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且图象在y 轴上的截距为0，最小值为－1，则()f x = .5. 已知函数2(1)()2(11)(1)xx f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，则1{[()]}2f f f -=______6.2,4,02()(2)2,2x x f x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩-≤≤=>已知函数则 ；若00,()8f x x ==则 .当堂检测：1.函数()1f x x =-的图象是( )2. 设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋＜，则(1)f -＝ .3. 设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =（ ）A. 1B. C. 32D.4. 若1()1xf x x=-， 则)(x f = .5.函数()f x 在[1,2]-上的图象如图所示，求()f x 的解析式.小结：。
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教新课标必修一课件1.2.2函数的表示法(2)
函数概念回顾
数构成 的集合
设A、B都是非空的数集，如果按某个确定的对应关
系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集
合A到集合B的一个函数。
函数是两个非空数集间的一种确定的对应关系.若将数集扩 展到任意的集合时,会得到什么结论呢？
归纳小结
1.映射有方向性，从A到B与从B到A的映射 是不同的
2.对于映射而言，元素可以是数，也可以是其 他的事物（区别于函数）
3.从A到B的映射，集合A中的原象必须全部 有象，而集合B中的象不一定有原象。
4.从A到B的映射，A中的任一元素必须和B中 的唯一的元素对应
思考
例3.设集合A a, b, c，B 0,1, 试问：
象与原象概念
给定一个集合A到集合B的映射a ，A且,b B,
如果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象， 元素a叫做元素b的原象.
说明：
1.集合A中的元素一定有象，且唯一；集合B中 的元素不一定有原象，即使有也未必唯一；
即：原象一定有象，象不一定有原象。
2. A到B的映射与B到A的映射是两个不同的映射 (方向不同，映射也不同)。
合A到集合B的一个函数。
映射概念
设A、B都是非空的集合，如果按某个确定的对应关
系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都
有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个映射。
★函数是特殊的映射，但映射不一定是一个函数
概念辨析
A
9
4
1
A 1 －1 2 －2 3 －3
观察下列的对应关系，哪些是映射？
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教新课标必修一课件1.2.2函数的表示法(1)
个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
原则：分段函数问题分段解决
第十一页，编辑于星期日：六点 三十四分。
练习 ：
2x+3 （x＜-1）
已知 f（x）= x2 （-1≤x≤1）
x
（x＞1）
求（1）f｛f［f（-2）］｝= ————
第九页，编辑于星期日：六点 三十四分。
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
5
4 3
2
1
O 5 10 15 20
有些函数在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应 关系不同,这种函数通常称为分段函数.
第十页，编辑于星期日：六点 三十四分。
对于分段函数有以下两点基本认识：
第八页，编辑于星期日：六点 三十四分。
例5 画出函数y=|x|的图象.
解: y=
x, x≥0, -x, x<0.
比较例5的做图方法与例3、例4有何不同？
例3、例4采用的是描点法, 例5是借助于已知函数画图象
描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的 函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.
第六次
95 80 82 82.6
表格能否直观地分析出三位同学成绩高低？如何才能更好的比较三个人的成绩高低？
解 用图象法将“成绩”与“测试时间” 之间的函数关系表示出来.可以看出: 王伟同学学习情况稳定且成绩优秀,张 城同学的成绩在班级平均水平上下波 动,且波动幅度较大,赵磊同学的成绩低 于班级平均水平,但成绩在稳步提高.
1.2.2 函数的表示法(1)
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§1.2.2 函数的表示法（1）
学习目标
1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际
情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
2.会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力，树立应用数形结合的思想.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识要点
一、函数的表示法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. 二、画函数图像的步骤：
三、解函数应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案. 典型例题
1. 某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =.
2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算) .
如果某条线路的总里程为20千米，请写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
3. 车管站在某日保管的自行车和电动车共有3500辆次，电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元. 自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元， 求函数()y f x =.
4.
当堂检测
1.等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数，则( )
A.10(010)y x x =-<≤
B.)100(220 x x y -=
C.202(510)y
x x =-≤≤ D.202(510)y
x x =-<<
2. 某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，
跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，
离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该
同学的行程的是（ ）
3.将长为2的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式，并求定义域.
4. 某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A 地. 试将此人与A 地的距离s (千米)表示为时间t 的函数.
5. 动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式.
6.在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v （千米／小时）的平方与车身长s （米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d 关于v 的函数关系式（其中s 为常数）.
小结：。