两角和与差的正弦公式与余弦公式(课堂PPT)
合集下载
5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(课件)
返回导航
第五章 三角函数
解 (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°) ＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17° ＝sin(13°＋17°) ＝sin 30°＝12. (2)原式＝212sin1π2－ 23cos1π2 ＝2sin1π2cosπ3－cos1π2sinπ3 ＝2sin1π2－π3 ＝－2sinπ4＝－ 2.
解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35， ∴cos34π＋α＝－1123，sinπ4－β＝－45.
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
∴cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β ＝sin34π＋α－π4－β ＝sin34π＋αcosπ4－β－cos34π＋αsinπ4－β ＝153×35－－1123×－45＝－3635.
答案 (1)× (2)√ (3)√
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
2．sin(30°＋45°)＝________.
解析 sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝12× 22＋ 23× 22＝
2＋ 4
6 .
答案
2＋ 6 4
数学 必修 第一册 A
∴cos
α＝2
5
5，sin
β＝3
10 10 .
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5 5×
1100＋
55×3 1010＝
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式PPT
1 cos 2α
2
;
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
教材研读 栏目索引
教材研读 栏目索引
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( D )
A.- 3 B. 3 C.- 1 D. 1
2
2
2
2
2.化简cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°的值为 ( B )
0,
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
.
(3)设sin
2α=-sin
α,α∈
2
,
,则tan
2α的值是
.
栏目索引
考点突破
栏目索引
答案 (1)A (2) 3 10 (3) 3
10
解析
(1)∵sin
6
α
=cos
6
α
,
∴ 1 cos α- 3 sin α= 3 cos α- 1 sin α.
2
5
故sin
4
α
=sin
4
cos
α+cos
4
sin
α
=
2 2
×
2
5 5
+2
2
×5
5
=-10
10
.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5
5
×
2
5 5
=4-
5
,
考点突破
栏目索引
cos 2α=1-2sin2α=1-2×
5 2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
课件7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.
()
1
1
A.5
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
2 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(共41张PPT)
＝cos
17°sin 30° cos 17°
＝sin 30°＝12.
探究点 2 给值求值
已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1132，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与
cos 2β 的值． 【解】 因为π2＜β＜α＜34π， 所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β） ＝ 1－11232＝153，
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－21× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于
A．12
B．－12
若 sin π4－α＝－12，sin π4＋β＝ 23，其中π4<α<π2，π4<β<π2， 求 α＋β 的值． 解：因为π4<α<π2，π4<β<π2， 所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以 cos π4－α＝ 1－sin2π4－α＝ 23， cos π4＋β＝－ 1－sin2π4＋β＝－12，
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°
＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过 大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该 角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系 数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化 简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角 函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基 本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝 角”．仍求 sin β 的值．
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 三角公式及应用
1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式
创设情境 兴趣导入
1 两角和的余弦公式内容是什么？
co s( ) co s co s sin sin ．
2 两角和的正弦公式内容是什么？
sin ( ) sin co s co s sin ．
2
动脑思考 探索新知
由同角三角函数关系，知
ta n ( ) c s o in s ( ( ) ) s c io n s c c o o s s c s o in s s s i in n ，
当 coscos0时，得到
tan()1tantantatann （1.5）
利用诱导公式可以得到
tan()1tantantatann （1.6）
22 3 3 9
由于 ( π , π )
4 42
，且
cos21cos21(13)1
42
23
所以 cos 3 ．
43
11
巩固知识 典型例题
例11
求证 tan 1cos． 2 sin
证明
右边=
cos2
2
2sin cos
cos
2
2sin
tan
2
=右边．
22
2
12
运用知识 强化练习
1．已知 s in 5 ，且 为第一象限的角，求 sin2、 cos2．
因为 sin2cos21，所以公式(1.8)又可以变形为
cos22cos21
或
cos212sin2．
还可以变形为
sin21cos2 或 cos21cos2．
2
2
7
动脑思考 探索新知
在公式（1.5）中，令 ，可以得到二倍角的正切公式
tan212ttaann2
（1.9）
公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具 有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着 广泛的应用．
注意 在两角
和与差的正切 公式中， α，β 的取值应使式 子的左右两端 都有意义．
3
巩固知识 典型例题
例7 求 tan75的值．
解 tan7 5 tan (4 5 3 0)
1tanta3n0o30ottaann4455oo
3 1 3
1 3 3
3 3 3 3
2 3．
分析 可利用公式将
75°角看作45°角 与30°角之和．
8
巩固知识 典型例题
例9
已知 s i n 3 ，且 5
为第二象限的角，求 sin2、 cos2的值．
解 因为 为第二象限的角，所以
cos1sin21(3)24，
55
故
sin22sincos24，
25
cos212sin27．
25
9
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
6
动脑思考 探索新知
在公式（1.3）中，令 ，可以得到二倍角的正弦公式 s i n 2 s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o s
即 sin2 2 sin c o s (1.7)
同理，在公式（1.1）中，令 ，可以得到二倍角的余
弦公式
cos2cos2sin2(1.8)
１.
16
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题1.1（必做） 学习指导1.1（选做） 实践调查：用两角和与差的正切 公式印证一组诱导公式
17
18
2 二倍角公式内容是什么？
二倍角的正弦公式 sin22sincos； 二倍角的余弦公式 cos2cos2sin2； 二倍角的正切公式 tan2 2tan ．
1tan2
14
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
15
自我反思 目标检测
求 2 tan 22.5o 的值． 1 tan2 22.5o
23
4
分析
与 ， 与 之
2
24
间都是具有二倍关系
的角．
10
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
23
4
解 由 (π,2π) 知 ( π , π )，所以
22
sin1cos21122
2
2 93
故 sin 2 sinc o s 2 22 ( 1 ) 42
13
sin2120 cos2119.
169
169
2．已知 c o s 2 4 ，且2[π,2π]求 sin ．
5
10 . 10
13
理论升华 整体建构
1 两角和与差的正切公式内容是什么？
tan( ) tan tan ； 1 tan tan
tan( ) tan tan ． 1 tan tan
4
巩固知识 典型例题
例8 求下列各式的值
（1）
tan25o tan35o ； 1 tan25o tan35o
（2）1 1
tan 15o ． tan 15o
解 （1） 1 t a n ta 2 n 5 o 2 5 o tta a n n 3 3 5 5 o o= ta n (2 5 o 3 5 o ) ta n 6 0 o3 ；
（2）
1tan15otan45otan15o 1tan15o 1tan45otan15o
tan(45o15o)
tan 60o
3．
分析 （1）题可以逆用公
式（1.3）；（2）题可 以利用 tan45o 1 进行 转换．
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
运用知识 强化练习
1．求 tan15o 的值. 2．求tan105 的值.
2 3. 2 3.
1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式
创设情境 兴趣导入
1 两角和的余弦公式内容是什么？
co s( ) co s co s sin sin ．
2 两角和的正弦公式内容是什么？
sin ( ) sin co s co s sin ．
2
动脑思考 探索新知
由同角三角函数关系，知
ta n ( ) c s o in s ( ( ) ) s c io n s c c o o s s c s o in s s s i in n ，
当 coscos0时，得到
tan()1tantantatann （1.5）
利用诱导公式可以得到
tan()1tantantatann （1.6）
22 3 3 9
由于 ( π , π )
4 42
，且
cos21cos21(13)1
42
23
所以 cos 3 ．
43
11
巩固知识 典型例题
例11
求证 tan 1cos． 2 sin
证明
右边=
cos2
2
2sin cos
cos
2
2sin
tan
2
=右边．
22
2
12
运用知识 强化练习
1．已知 s in 5 ，且 为第一象限的角，求 sin2、 cos2．
因为 sin2cos21，所以公式(1.8)又可以变形为
cos22cos21
或
cos212sin2．
还可以变形为
sin21cos2 或 cos21cos2．
2
2
7
动脑思考 探索新知
在公式（1.5）中，令 ，可以得到二倍角的正切公式
tan212ttaann2
（1.9）
公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具 有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着 广泛的应用．
注意 在两角
和与差的正切 公式中， α，β 的取值应使式 子的左右两端 都有意义．
3
巩固知识 典型例题
例7 求 tan75的值．
解 tan7 5 tan (4 5 3 0)
1tanta3n0o30ottaann4455oo
3 1 3
1 3 3
3 3 3 3
2 3．
分析 可利用公式将
75°角看作45°角 与30°角之和．
8
巩固知识 典型例题
例9
已知 s i n 3 ，且 5
为第二象限的角，求 sin2、 cos2的值．
解 因为 为第二象限的角，所以
cos1sin21(3)24，
55
故
sin22sincos24，
25
cos212sin27．
25
9
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
6
动脑思考 探索新知
在公式（1.3）中，令 ，可以得到二倍角的正弦公式 s i n 2 s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o s
即 sin2 2 sin c o s (1.7)
同理，在公式（1.1）中，令 ，可以得到二倍角的余
弦公式
cos2cos2sin2(1.8)
１.
16
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题1.1（必做） 学习指导1.1（选做） 实践调查：用两角和与差的正切 公式印证一组诱导公式
17
18
2 二倍角公式内容是什么？
二倍角的正弦公式 sin22sincos； 二倍角的余弦公式 cos2cos2sin2； 二倍角的正切公式 tan2 2tan ．
1tan2
14
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
15
自我反思 目标检测
求 2 tan 22.5o 的值． 1 tan2 22.5o
23
4
分析
与 ， 与 之
2
24
间都是具有二倍关系
的角．
10
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
23
4
解 由 (π,2π) 知 ( π , π )，所以
22
sin1cos21122
2
2 93
故 sin 2 sinc o s 2 22 ( 1 ) 42
13
sin2120 cos2119.
169
169
2．已知 c o s 2 4 ，且2[π,2π]求 sin ．
5
10 . 10
13
理论升华 整体建构
1 两角和与差的正切公式内容是什么？
tan( ) tan tan ； 1 tan tan
tan( ) tan tan ． 1 tan tan
4
巩固知识 典型例题
例8 求下列各式的值
（1）
tan25o tan35o ； 1 tan25o tan35o
（2）1 1
tan 15o ． tan 15o
解 （1） 1 t a n ta 2 n 5 o 2 5 o tta a n n 3 3 5 5 o o= ta n (2 5 o 3 5 o ) ta n 6 0 o3 ；
（2）
1tan15otan45otan15o 1tan15o 1tan45otan15o
tan(45o15o)
tan 60o
3．
分析 （1）题可以逆用公
式（1.3）；（2）题可 以利用 tan45o 1 进行 转换．
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
运用知识 强化练习
1．求 tan15o 的值. 2．求tan105 的值.
2 3. 2 3.