两角和与差的正弦公式与余弦公式(课堂PPT)
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第一章 三角公式及应用
1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式
创设情境 兴趣导入
1 两角和的余弦公式内容是什么？
co s( ) co s co s sin sin ．
2 两角和的正弦公式内容是什么？
sin ( ) sin co s co s sin ．
2
动脑思考 探索新知
8
巩固知识 典型例题
例9
已知 s i n 3 ，且 5
为第二象限的角，求 sin2、 cos2的值．
解 因为 为第二象限的角，所以
cos1sin21(3)24，
55
故
sin22sincos24，
25
cos212sin27．
25
9
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
23
4
分析
与 ， 与 之
2
24
间都是具有二倍关系
的角．
10
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
23
4
解 由 (π,2π) 知 ( π , π )，所以
22
sin1cos21122
2
2 93
故 sin 2 sinc o s 2 22 ( 1 ) 42
6
动脑思考 探索新知
在公式（1.3）中，令 ，可以得到二倍角的正弦公式 s i n 2 s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o s
即 sin2 2 sin c o s (1.7)
同理，在公式（1.1）中，令 ，可以得到二倍角的余
弦公式
cos2cos2sin2(1.8)
13
sin2120 cos2119.
169
169
2．已知 c o s 2 4 ，且2[π,2π]求 sin ．
5
10 . 10
13
理论升华 整体建构
1 两角和与差的正切公式内容是什么？
tan( ) tan tan ； 1 tan tan
tan( ) tan tan ． 1 tan tan
由同角三角函数关系，知
ta n ( ) c s o in s ( ( ) ) s c io n s c c o o s s c s o in s s s i in n ，
当 coscos0时，得到
tan()1tantantatann （1.5）
利用诱导公式可以得到
tan()1tantantatann （1.6）
4
巩固知识 典型例题
例8 求下列各式的值
（1）
tan25o tan35o ； 1 tan25o tan35o
（2）1 1
tan 15o ． tan 15o
解 （1） 1 t a n ta 2 n 5 o 2 5 o tta a n n 3 3 5 5 o o= ta n (2 5 o 3 5 o ) ta n 6 0 o3 ；
（2）
1tan15otan45otan15o 1tan15o 1tan45otan15o
tan(45o15o)
tan 60o
3．
分析 （Hale Waihona Puke Baidu）题可以逆用公
式（1.3）；（2）题可 以利用 tan45o 1 进行 转换．
5
运用知识 强化练习
1．求 tan15o 的值. 2．求tan105 的值.
2 3. 2 3.
１.
16
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题1.1（必做） 学习指导1.1（选做） 实践调查：用两角和与差的正切 公式印证一组诱导公式
17
18
2 二倍角公式内容是什么？
二倍角的正弦公式 sin22sincos； 二倍角的余弦公式 cos2cos2sin2； 二倍角的正切公式 tan2 2tan ．
1tan2
14
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
15
自我反思 目标检测
求 2 tan 22.5o 的值． 1 tan2 22.5o
22 3 3 9
由于 ( π , π )
4 42
，且
cos21cos21(13)1
42
23
所以 cos 3 ．
43
11
巩固知识 典型例题
例11
求证 tan 1cos． 2 sin
证明
右边=
cos2
2
2sin cos
cos
2
2sin
tan
2
=右边．
22
2
12
运用知识 强化练习
1．已知 s in 5 ，且 为第一象限的角，求 sin2、 cos2．
注意 在两角
和与差的正切 公式中， α，β 的取值应使式 子的左右两端 都有意义．
3
巩固知识 典型例题
例7 求 tan75的值．
解 tan7 5 tan (4 5 3 0)
1tanta3n0o30ottaann4455oo
3 1 3
1 3 3
3 3 3 3
2 3．
分析 可利用公式将
75°角看作45°角 与30°角之和．
因为 sin2cos21，所以公式(1.8)又可以变形为
cos22cos21
或
cos212sin2．
还可以变形为
sin21cos2 或 cos21cos2．
2
2
7
动脑思考 探索新知
在公式（1.5）中，令 ，可以得到二倍角的正切公式
tan212ttaann2
（1.9）
公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具 有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着 广泛的应用．
1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式
创设情境 兴趣导入
1 两角和的余弦公式内容是什么？
co s( ) co s co s sin sin ．
2 两角和的正弦公式内容是什么？
sin ( ) sin co s co s sin ．
2
动脑思考 探索新知
8
巩固知识 典型例题
例9
已知 s i n 3 ，且 5
为第二象限的角，求 sin2、 cos2的值．
解 因为 为第二象限的角，所以
cos1sin21(3)24，
55
故
sin22sincos24，
25
cos212sin27．
25
9
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
23
4
分析
与 ， 与 之
2
24
间都是具有二倍关系
的角．
10
巩固知识 典型例题
例10 已知 cos 1 ，且 (π,2π)，求sin 、cos 的值．
23
4
解 由 (π,2π) 知 ( π , π )，所以
22
sin1cos21122
2
2 93
故 sin 2 sinc o s 2 22 ( 1 ) 42
6
动脑思考 探索新知
在公式（1.3）中，令 ，可以得到二倍角的正弦公式 s i n 2 s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o s
即 sin2 2 sin c o s (1.7)
同理，在公式（1.1）中，令 ，可以得到二倍角的余
弦公式
cos2cos2sin2(1.8)
13
sin2120 cos2119.
169
169
2．已知 c o s 2 4 ，且2[π,2π]求 sin ．
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10 . 10
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理论升华 整体建构
1 两角和与差的正切公式内容是什么？
tan( ) tan tan ； 1 tan tan
tan( ) tan tan ． 1 tan tan
由同角三角函数关系，知
ta n ( ) c s o in s ( ( ) ) s c io n s c c o o s s c s o in s s s i in n ，
当 coscos0时，得到
tan()1tantantatann （1.5）
利用诱导公式可以得到
tan()1tantantatann （1.6）
4
巩固知识 典型例题
例8 求下列各式的值
（1）
tan25o tan35o ； 1 tan25o tan35o
（2）1 1
tan 15o ． tan 15o
解 （1） 1 t a n ta 2 n 5 o 2 5 o tta a n n 3 3 5 5 o o= ta n (2 5 o 3 5 o ) ta n 6 0 o3 ；
（2）
1tan15otan45otan15o 1tan15o 1tan45otan15o
tan(45o15o)
tan 60o
3．
分析 （Hale Waihona Puke Baidu）题可以逆用公
式（1.3）；（2）题可 以利用 tan45o 1 进行 转换．
5
运用知识 强化练习
1．求 tan15o 的值. 2．求tan105 的值.
2 3. 2 3.
１.
16
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题1.1（必做） 学习指导1.1（选做） 实践调查：用两角和与差的正切 公式印证一组诱导公式
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18
2 二倍角公式内容是什么？
二倍角的正弦公式 sin22sincos； 二倍角的余弦公式 cos2cos2sin2； 二倍角的正切公式 tan2 2tan ．
1tan2
14
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
15
自我反思 目标检测
求 2 tan 22.5o 的值． 1 tan2 22.5o
22 3 3 9
由于 ( π , π )
4 42
，且
cos21cos21(13)1
42
23
所以 cos 3 ．
43
11
巩固知识 典型例题
例11
求证 tan 1cos． 2 sin
证明
右边=
cos2
2
2sin cos
cos
2
2sin
tan
2
=右边．
22
2
12
运用知识 强化练习
1．已知 s in 5 ，且 为第一象限的角，求 sin2、 cos2．
注意 在两角
和与差的正切 公式中， α，β 的取值应使式 子的左右两端 都有意义．
3
巩固知识 典型例题
例7 求 tan75的值．
解 tan7 5 tan (4 5 3 0)
1tanta3n0o30ottaann4455oo
3 1 3
1 3 3
3 3 3 3
2 3．
分析 可利用公式将
75°角看作45°角 与30°角之和．
因为 sin2cos21，所以公式(1.8)又可以变形为
cos22cos21
或
cos212sin2．
还可以变形为
sin21cos2 或 cos21cos2．
2
2
7
动脑思考 探索新知
在公式（1.5）中，令 ，可以得到二倍角的正切公式
tan212ttaann2
（1.9）
公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具 有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着 广泛的应用．