图论详细讲解

图的连通性：
链： 由两两相邻的点及其相关联的
边构成的点边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ;
v0 ，vn分别为链的起点和终点；
简单链：链中所含的边均不相同；
• 1.图的基本概念与基本定理
•太原
•石家庄
•北京 •天津 •塘沽
•济南 •青岛
•重庆
•郑州
•徐州 •连云港
•武汉
•南京
•图8.2
•上海
•
1.图的基本概念与基本定理
例8.2:有六支球队进行足球 比赛，我们分别用点v1…v6表示这 六支球队，它们之间的比赛情况， 也可以用图反映出来，已知v1队战 胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5 队，如此等等。这个胜负情况，可 以用图8.3所示的有向图反映出wenku.baidu.com 。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
的个数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
空图：E = ，无边图
• •1.图的基本概念与基本定理
• 定理8.1 所有顶点次数之 和等于所有边数的2倍。
• 定理8.2 在任一图中，奇 点的个数必为偶数。
•
• 1.图的基本概念与基本定理
(v5,v6),(v6,v7)}
•v3
•v5
•v7
•v1 •v2
•v6
•v4
•图8.5
• 1.图的基本概念与基本定理
下面介绍一些常用的名词：
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或 P(D),简记作P,边数或者弧数,记作q(G)或者 q(D),简记作q。
如果边[vi,vj] E,那么称vi,vj是边的端点 ，或者vi,vj是相邻的。如果一个图G中，一条
图论详细讲解
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引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
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引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
•
1.图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了反映 事物之间的关系，常常在纸上用点和线来画 出各式各样的示意图。
例8.1:图8.2是我国北京、上海、重庆等 十四个城市之间的铁路交通图，这里用点表 示城市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管道图 ，民用航空线图等等。
如果一个图是由点和弧所构成的，那么
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
•
1.图的基本概念与基本定理
•v2
•v4
•v1
•v6
•v3
•v5
•图8.3
• 1.图的基本概念与基本定理
从以上的几个例子可以看出，我们用 点和点之间的线所构成的图，反映实际生 产和生活中的某些特定对象之间的特定关 系。一般来说，通常用点表示研究对象用 点与点之间的线表示研究对象之间的特定 关系。由于在一般情况下，图中的相对位 置如何，点与点之间线的长短曲直，对于 反映研究对象之间的关系，显的并不重要 ，因此，图论中的图与几何图，工程图等 本质上是不同的。
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引言
随着科学技术的进步，特别是电子
计算机技术的发展，图论的理论获得了 更进一步的发展，应用更加广泛。如果 将复杂的工程系统和管理问题用图的理 论加以描述，可以解决许多工程项目和 管理决策的最优问题。因此，图论越来 越受到工程技术人员和经营管理人员的 重视。
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引言
1736年瑞士科学家欧拉发表 了关于图论方面的第一篇科学论 文，解决了著名的哥尼斯堡七座 桥问题。德国的哥尼斯堡城有一 条普雷格尔河，河中有两个岛屿 ，河的两岸和岛屿之间有七座桥 相互连接，如图8.1a所示。
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引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 a
•
引言
当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫 步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能 走过一次，最终回到原出发地。尽管试验者很 多，但是都没有成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽 象成图8.1b所示图形的一笔画问题。即能否从 某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终 回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可 能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条 边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典 图论中的第一个著名问题。
[v3,v3]} •v1
•v2
•v4
•v3
•图8.4
• 1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5),
(v4,v6),(v,v3),(v5,v4),
以点v为端点的边的个数称为点 v的度，记作d(v),如图8—4中 d(v1)=3， d(v2)=4,d(v3)=4,d(v4)=3
。 度为零的点称为弧立点，度为1
的点称为悬挂点。悬挂点的边称为 悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
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1.图的基本概念与基本定理
端点的度 d(v)：点 v 作为边端点
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。