1.3.2 函数的极值与导数学案

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高中数学 1.32函数的极值与导数导学案新人教A版选修2-2

1.3.2 函数的极值与导数【学习目标】掌握极值与导数的关系，会运用导数求函数的极值【重点难点】极值与导数的关系及其应用一、自主学习要点1 极小值：(对可导函数)如图，若a 为极小值点，f (a )为极小值，则必须满足：①f (a ) f (x 0)(f (x 0)表示f (x )在x ＝a 附近的函数值)；②f ′(a )＝；③在x ＝a 附近的左侧，f ′(x ) 0，函数单调递；在x ＝a 附近的右侧f ′(x ) 0，函数单调递要点2 极大值：(对可导函数)如图，若b 为极大值点，f (b )为极大值，则必须满足：①f (b ) f (x 0)(f (x 0)表示f (x )在x ＝b 附近的函数值)；②f ′(b )＝；③在x ＝b 附近的左侧，f ′(x ) 0，函数单调；在x ＝b 附近的右侧，f ′(x ) 0，函数单调二、合作，探究，展示，点评题型一根据图像求极值例1 如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？思考题1(1)函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？(2)如果某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？(3)已知函数y ＝|x 2－2|x |－3|的图像如图所示，由图像指出该函数的极值．题型二利用导数求极值例2 求函数y ＝2x x 2＋1－2的极值．思考题2 求函数y ＝2x ＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图像．题型三三次方程问题例3 求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并求方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)?思考题3 设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值．(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．题型四利用极值求参数的值例4 如果函数f(x)＝ax5－bx3＋c(a≠0)在x＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a、b、c的值．思考题4 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求出取得极小值时的a，b，c的值．(2)函数y ＝f (x )＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值－4，则p ＝________，q ＝________.(3)若函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为( )A ．1，－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1，－3题型五利用极值求参数的范围例5 已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图像在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13mx ，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．思考题5 设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．三、知识小结用导数判断函数极值的方法①如果在x0两侧f′(x)符号相同，那么x0不是f(x)的极值点；②如果在x0左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是f(x)的极大值；③如果在x0左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是f(x)的极小值．④连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小2．求函数极值的步骤①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根左右的值的符号，根据符号判断极值．特别注意：f′(x)无意义的点也要讨论即可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．3．极值点与导数为0的点的关系①导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．②极值点的导数不一定为0.函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x<0时)f′(x)＝－1<0，右侧(x>0时)f′(x)＝1>0，当x＝0时f(x)＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．。

(完整版)函数的极值与导数导学案(最新整理)

叫做函数 y＝f(x)
2.关于极值概念的几点说明
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值
（3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
（5）函数 y=f(x)在一点的导数为 0 是函数在这点取极值的
二．新课讲授 1、极值点与极值
(1)极小值点与极小值：
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)
＝，而且在点 x＝a 附近的左侧
，右侧
，就把
叫做函数 y＝f(x)的
极小值点，
叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值：
若函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)
求下列函数的极值．
（1） f (x) 1 x3 4x 4 3
(2)f(x)＝(x2－1)3＋1； ln x
(3)f(x)＝ . x来自(1)若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处取得极值 10.
则 a＝________，b＝________.
2 (2)已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－时都取得极值．
§1.3.2 函数的极值与导数
教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程：一．复习与思考

高中数学_1.3.2函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

⾼中数学_1.3.2函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思1.3.2函数的极值与导数⼀、教材分析《函数极值>>是⾼中数学⼈教版版新教材选修2-2第⼀章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这⼀节起着铺垫作⽤。

⼆、教学⽬标 1. 教学⽬标（1）知识技能⽬标：掌握函数极值的定义，会从⼏何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学⽣的数形结合意识，提升思维⽔平；掌握利⽤导数求可导函数的极值的⼀般⽅法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学⽣运⽤导数的基本思想去分析和解决实际问题的能⼒.（2）过程与⽅法⽬标：培养学⽣观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能⼒。

（3）情感与态度⽬标：培养学⽣层层深⼊、⼀丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的⼀般⽅法. 难点： 0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 3．教学⽅法与教学⼿段师⽣互动探究式教学，遵循“教师为主导、学⽣为主体”的原则，结合⾼中学⽣的求知⼼理和已有的认知⽔平开展教学。

由于学⽣对极限和导数的知识学习还⼗分的有限（⼤学⾥还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，⽽略轻严格的理论证明，教师的主导作⽤和学⽣的主体作⽤都必须得到充分发挥.利⽤多媒体辅助教学，直观形象，便于学⽣观察.幻灯⽚打出重要结论，清楚明了，节约时间，提⾼课堂效率.4、教学过程3 再观察再认识再观察跳⽔在波峰时的状态.寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线曲线在极⼤值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极⼩值点左侧切复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学⽣寻找函数极值点与导数之间的关系.给出寻找和判断可导函数的极值点的⽅法：(1) 如果在x附近的左侧()f x'﹥0，右侧()f x'﹤0,那么,)(xf'是极⼤值；(左正右负为极⼤)(2) 如果在x附近的左侧()f x'﹤0,右侧()f xxf'是极⼩值.(右正左负为极⼩)根据⼤纲要求及学⽣的知识⽔平,此处突出直观性,降低理论性.4应⽤1 求函数)(xf=44313+-xx的极值.教师讲解与板书解题过程,学⽣回答教师提出的相关问题。

高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀教案

1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法。

2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结合的方法解决问题。

教学重难点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。

教学过程一、复习回忆：1.函数的单调性与导数的关系：一般地，设函数y =f (x )在某个区间(a ，b )内有导数，如果在这个区间内f '(x )>0，那么函数y =f (x )为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x )<0，那么函数y =f (x )为这个区间内的减函数.如果在某个区间内恒有f '(x )=0，则y =f (x )为常数。

2.函数f (x )=2x 3－6x 2+7，求f (x )的单调区间,并画出其图象; 二、讲授新课：a b y=f (x ) x o y y=f (x ) xo y a b观察画出函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象，答复下面问题：问题1：在点x =0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x =0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x =0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x =0处的导数是多少？思考1 分析讨论函数在x =0附近的变化规律：你能尝试给出极大值的定义吗？函数极大值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义假设x 0满足1. f (x 0)＞f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左正右负〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极大值，点x 0叫做函数y =f (x )的极大值点。

思考2 你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？函数极小值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义，假设x 0满足：1. f (x 0)＜f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左负右正〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极小值，点x 0叫做函数y =f (x )的极小值点。

教学设计10：1.3.2 函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数教学目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在点x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在点x ＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.教学导引1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值. 课堂讲义要点一求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解由题意可知f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2；由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.规律方法求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪演练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6，令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0，解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值.(2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x 2x <0，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数；当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解；当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)31-.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在，当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0.故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 要点二利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根，即x ＝±1是3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.要点三函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a3).当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f x 极大值>0，f x 极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4,0).规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪演练3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根. 所以，实数a 的取值范围是(5－42，5＋42). 当堂检测1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数【答案】D【解析】由极值的概念可知只有D 正确.2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 【答案】9【解析】f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.。

高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 函数的极值与导数》

1.3.2 函数的极值与导数（第一课时）一、教学目标1、知识与技能1 结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的条件；2 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值；3 掌握求可导函数的极值的步骤 2、过程与方法经历函数极值点的探究过程，总结用导数研究函数极值的方法 3、情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识，进一步体验导数的作用。

二、教学重点、难点重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及利用导数求可导函数的极值的步骤难点：对极大、极小值概念的理解三、教学过程设计（一）课前准备合作预习1．通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？函数()y f x =在某个区间为可导函数，若()0,()f x f x '>⇒函数在这个区间上是增函数；若()0,()f x f x '<⇒函数在这个区间上是减函数 2．用“导数法”求单调区间的步骤： ①求函数定义域；②求出函数的导函数()f x '；③解不等式()0>'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递增区间；解不等式()0<'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递减区间注：单调区间不能以并集出现设计意图：回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫3如图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()105.69.42++-=t t t h 的图像,a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大问题1 函数()t h 在a t =处的导数是多少？问题 2 函数()t h 在此点附近的图像有什么特点？导数符号有什么变化规律？问题3 函数()t h 在点a 处的函数值与点a 附近的函数值有什么关系设计意图：用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识（二）预习反馈（三）合作探究新知探究一：极值的定义 1、观察函数()x f y =的图像问题：（1）函数 ()x f y =在点b x a x ==,的处函数值与它们附近所以各点处的函数值有什么关系（2）函数()x f y =在点b x a x ==,的导数值是多少（3）在点b x a x ==,附近, ()x f y =的导数的符号有什么规律形成定义：函数()y f x =在点a x =的函数值()f a 在比它在点a x =附近其他点的函数值都小，()0f a '=，且在点a x =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值函数()y f x =在点b x =的函数值()f b 在比它在点b x =附近其他点的函数值都大，()0f b '=，且在点b x =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值yxa ob()y f x =(图一))(>'x f 0)(<'x f 0)(<'x f 0)(='a f 0)(='b f探究二、极值概念的理解 2、观察图二，回答以下问题：问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些是极小值点？问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？【关于极值概念的几点说明】1极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; 2极值点是自变量的值,极值指的是函数值;3函数的极大小值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; 4函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点设计意图：通过对图二的观察使学生经历感知，观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。

人教版高中数学高二数学《1.3.2函数的极值与导数》教案

一、教学目标知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

情感态度与价值观：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、教学重点与难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程一、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）h t=-4.9t2+6.5t+10的图2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数()象，回答以下问题：（1）在点t=a附近的图象有什么特点？（2）函数在t=a处的函数值和附近函数值之间有什么关系？（3）在点t=a附近的导数符号有什么变化规律？（4）函数在t=a处的导数是多少？h t单调递增,共同归纳:函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数()()'h t＞0;当t＞a时,函数()h t单调递减, ()'h t＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, ()'h t先正后负,且()'h t连续变化,于是h/(a)=0.3、观察下列函数的图像，回答问题。

问题同上（略）学生讨论回答。

4、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？二、函数极值概念的形成1、极大值：一般地，设函数f(x)在点a 附近有定义，如果对a 附近的所有的点，都有f(x)＜f(a)，0)(,=a f 且在点x=a 附近的左侧0)(,>x f ，右侧0)(,<x f 就说f(a)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(a)，a 是极大值点 2、极小值：仿照极大值的定义让学生自己写出来。

学案1：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值

3.2 导数与函数的单调性、极值、最值【导学目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．【真题感悟】1.（2015高考江苏）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.2.（2014·广东卷）曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．3.（2014·江西卷）若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．4.（2014·江西卷）已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．5.（2014·全国卷）曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]8.（2013·广东卷）若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．9.（2013·江西卷）设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．10.（2013·北京卷）设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)【提升训练】1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )．A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝02．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )． A ．[)2,-+∞B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)3．函数f (x )＝(4－x )e x 的单调递减区间是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－35．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )．A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题：①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数有 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．17．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋2'()2m x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．答案例1【变式探究】【答案】(1)(2,2a)(2)(0,3]例2【变式探究】例3【解析】由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间[ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b .【变式探究】(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.【真题感悟】1.（2015高考江苏分）【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）0a =()f x (),-∞+∞0a >()f x 2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a <()f x (),0-∞2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1.c =2.（2014·广东卷）【答案】y ＝－5x ＋3 【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.3.（2014·江西卷）【答案】(－ln 2，2) 【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e－x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．4.（2014·江西卷）【解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x <0，依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 5.（2014·全国卷）【答案】C 【解析】因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x－1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 6.（2014·新课标全国卷Ⅱ）【答案】D【解析】 y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 7.（2013·新课标全国卷Ⅰ）【答案】D 【解析】若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝－x （x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.8.（2013·广东卷）【答案】－1【解析】 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 9.（2013·江西卷）【答案】2【解析】 f (e x )＝x ＋e x ，利用换元法可得f (x )＝ln x ＋x ，f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2. 10.（2013·北京卷）【解析】(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷）【答案】D【解析】 f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 【提升训练】1．【解析】设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0，由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】D2．【解析】由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[)2,-+∞．【答案】A3．【解析】f ′(x )＝-e x ＋(4－x )·e x ＝e x (3－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0，∴3－x <0，解得x >3.【答案】D4．【解析】f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 【答案】D5．【解析】不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于1010'()0'()0x x f x f x -≥-≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩或可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】C6．【答案】D7．【解析】y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π. 【答案】⎣⎡⎦⎤π3，π8．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．【答案】29．【答案】(－∞，0)10．【解析】y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)11．【解析】f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1，经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点，所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x .因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．12.【解析】 (1)根据题意知，f ′(x )＝()1a x x- (x ＞0)，当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴－373＜m ＜－9.。

高中数学 1.3.2函数的极值与导数教学设计新人教A版选修21

随堂基础练习部分，能力提升训练部分
独立思考，交流合作，规范解答。并归纳总结利用导数求函数极值的基本步骤。
掌握利用导数求极值的方法及极值的简单应用。
例2，求极值的逆用
充分思考，能否解决易错点
理解取得极值的充要条件
课堂小结
同学们，通过这节课的学习你学会了什么？
归纳总结，深化认识
课堂小结：
一、方法:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)求方程f'(x) =0的根;
(4)列表;
(5)判断.
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值。
让学生独立总结，同学之间相互补充。从而提高归纳、总结的能力。提高对知识形成的认识，增强学习数学的信心。
课
后
布置作业1.课本：29页第1.2题
2.思考题：如何求函数在区间上的大值与最小值。课题1.3.2函数的极值与导数
学生情况分析：
学生已经初步学习了运用单调性研究导数，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难。本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
学
习
目
标
知识与技能：
结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。
板
书
设
计
3.3函数的极值与导数
一、极值的定义：例题变式
二、求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f’(x)；
（3）求f’(x)=0的根；
（4）列表
（5）判断
教
学
反
思
数形结合思想的应用，借助图像来研究函数的极值与导数，是非常方便和直接的，更有利于学生的理解。

《函数的极值与导数》教案完美版

《函数的极值与导数》教案§1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤．【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的．从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号．【教学过程】一、复习引入：1．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．二、讲解新课：1．极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5．求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ． (2)求方程f ′(x )=0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +4的极值．解：y ′=(31x 3－4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) ．令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=328．当x =2时，y 有极小值且y 极小值=3例2求y =(x 2－1)3+1的极值．解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =0时，有极小值且极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f ′(x )．第二，令f ′(x )=0求方程的根，第三，列表，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．四、课堂练习：1．求下列函数的极值．(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3－27x(1)解：y ′=(x 2－7x +6)′=2x －7令y ′=0，解得x =27．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=－425． (2)解：y ′=(x 3－27x )′=3x 2－27=3(x +3)(x －3)令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3．当x∴当x =－3时，y 有极大值，且y 极大值=54．当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=－54．五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f (x )的极值的三个步骤．还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点．六、课后作业：§1.3.2函数的极值与导数（2）【课题】函数的极值（2）【教学目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【教学重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握．【教学难点】求可导函数的极值．【教学过程】1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．2．极大值：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．5．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 6．求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ； (2)求方程f ′(x )=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．二、讲解范例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C ．充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件．由极大值点的定义，任意x ＜x 0，f (x )＜f (x 0)．所以左侧是增函数，所以f ′(x )＞0，任意x ＞x 0，f (x )＜f (x 0)．所以右侧是减函数，所以f ′(x )＜0，所以x 0两侧的导数异号．当x 0是极小值时，同样可以证明．例2下列函数中，x =0是极值点的函数是(B)A ．y =－x 3B ．y =cos 2xC ．y =tanx －xD ．y =x1 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A ． y =－x 3，∵y ′=(－x 3)′=－3x 2，当x ＜0或x ＞0时，y ′＜0，∴x =0不是极值点．B ． y =cos 2x ． ∵y ′=(cos 2x )′=2cosx (－sinx )=－sin 2x ．当x ＜0时，－sin 2x ＞0，y ′＞0．当x ＞0时，－sin 2x ＜0，y ′＜0．∴x =0是y =cos 2x 的极大值点．C ．y =tanx －x ，y ′=(tanx －x )′=x2cos 1－1,当x ＜0或x ＞0时，0＜cos 2x ＜1，y ′＞0．∴x =0不是极值点．D ． y =x 1． y ′=(x 1)′=－21x, 当x ＜0或x ＞0时y ′＜0，∴x =0不是极值点，故选B ．例3 下列说法正确的是(C)A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C ．对于f (x )=x 3+px 2+2x +1，若｜p ｜＜6，则f (x )无极值．D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值．答案：C ．∵f (x )=x 3+px 2+2x +1．∴f ′(x )=3x 2+2px +2．∵Δ=4p 2－4×3×2=4(p 2－6)．若｜p ｜＜6．则Δ＜0，∴f ′(x )=0无实根，即f ′(x )＞0， ∴f (x )无极值．选项A 、B 、D 可以通过举出反例说明是假命题．例4 函数f (x )=asinx +31sin 3x 在x =3π处具有极值，求a 的值．分析：f (x )在x =3π处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f ′(3π)=0可求出a的值．解：f ′(x )=(asinx +31sin 3x )′=acosx +cos 3x ∵f ′(3π)=0，∴a ·cos3π+cos 3×3π=0，21a －1=0，∴a =2．例5 y =alnx +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值，求a 、b 的值．解：y ′=(alnx +bx 2+x )′=xa+2bx +1．∵y ′｜x =1=0，y ′｜x =2=0． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++61320142012b a b a b a ．例6 确定函数y =12+x x的单调区间，并求函数的极大、极小值．解：y ′=222222222)1()1)(1()1(1)1(21)1(+-+=+-=+⋅-+='+x x x x x x x x x x x 令22)1()1)(1(+-+x x x ＞0，解得－1＜x ＜1．∴y =12+x x的单调增区间为(－1，1)．令22)1()1)(1(+-+x x x ＜0，得x ＜－1或x ＞1，∴y =12+x x减区间为(－∞，－1)与(1，+∞)．令y ′=22)1()1)(1(+-+x x x =0，解得x 1=－1，x 2=1．当x 变化时，′，的变化情况如下表：∴当x =－1时，y 有极小值，且y 极小值=－21，当x =1时，y 有极大值，且y 极大值=21．例7 求函数y =25431xx ++的极值与极值点．解：y ′=(25431xx ++)′232222)54(5125454210)31(543x x x x xx x +-=+++-+=，令y ′=0，解得x =512． x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：∴当x =512时，y 有极大值，且y 极大值=10．例8 求函数y =x 2lnx 的极值．解：定义域为(0，+∞)，y ′=(x 2lnx )′=2xlnx +x 2·x1=2xlnx +x =x (2lnx +1)．令y ′=0，得x =21-e．当x∴当x =21-e时，y 有极小值，且y 极小值=－e21．三、课堂练习：求下列函数的极值．1．y =2x 2+5x ．解：y ′=(2x 2+5x )′=4x +5．令y ′=0，解得x =－45．当x 变化时，当x =－45时，y 有极小值，且y 极小值=－825．2．y =3x －x 3．解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=3(1+x )·(1－x )．令y ′=0，解得x 1=－1，x 2=1．当x当x =极小值极大值四、小结：这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别极值点的充分条件、必要条件．五、课后作业：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。

(完整word)高中数学《§1.3.2函数的极值与导数》导学案

《§1.3.2函数的极值与导数》导学案课前部分编辑人：审核：高二数学组【学习目标】1．知识与技能目标：（1）理解极大值、极小值的概念；（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；（3）掌握求可导函数的极值的步骤.2．过程与方法目标：培养学生观察、分析和概括的能力，使学生进一步感受数形结合思想.3.情感、态度与价值观目标进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯.【学习重点、难点】重点：极值的概念与求法.难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件一、【复习回顾】函数的单调性与其导函数正负的关系？二、【学习探究】问题：观察下图，从图2中挑选出与图1点a位置相似的点，函数()y f x=在这些点处的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？()y f x=在这些点的导数值是多少？在这些点左右两侧，()y f x=的导数的正负有什么规律？从图2中挑选出与图1点b位置相似的点，并回答上述问题新知：极值的概念阅读教材27p内容，自主学习函数极值的概念，回答下列问题.1. 若函数)(xfy=在x0处存在导数，则x0左右两侧及x0处的导数满足哪些条件时x才会是)(xf的极值点？2．函数的极值点能出现在定义域区间的端点处吗?3．函数的极值是唯一的吗？一个函数的极大值一定大于它极小值吗？提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质. 做一做图3是导函数)(xfy'=的图象，函数y=f(x)的极大值点有_ _,极小值点有思考：1.可导函数)(xfy=在一点的导数值为0是函数在这点取极值的什么条件？2.在导函数图象上怎么找极值点？图3图2图1三、【典型例题】例1 求函数31443y x x =-+的极值.你能总结出求极值的一般步骤吗？自我检测已知函数时有极值，与在12354)(23-==+++=x x bx ax x x f 求函数的解析式.四、【质疑汇总】1.我的疑惑？2.小组合作探究后的疑惑五、【自学总结】我的收获3．其他组展示的问题及成果：（评价与反思）《§1.3.2函数的极值与导数》导学案课上部分编辑人：审核：高二数学组【展示交流】1.课上要解决的问题是：2．展示提纲：《§1.3.2函数的极值与导数》导学案课后部分编辑人：审核：高二数学组【课后反思】【课后作业】1.选修2-229p练习1、22.第9课时卷子【高考链接】1.（2012陕西7题5分）设函数xxexf=)(则（）的极大值点为)(1..xfxA=的极小值点为)(1..xfxB=的极大值点为)(1..xfxC-=的极小值点为)(1..xfxD-=2.（2012重庆8题5分）设函数且上可导，其导数为在),()('xfRxf函数()()/1y x f x=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数()f x有极大值()2f和极小值()1fB. 函数()f x有极大值()2f-和极小值()1fC. 函数()f x有极大值()2f和极小值()2f-D. 函数()f x有极大值()2f-和极小值()2f达标检测（限时独立完成）1．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个3. 函数32()39f x x ax x=++-在3x=-时有极值10，则a的值为4．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.达标检测（限时独立完成）1．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个3. 函数32()39f x x ax x=++-在3x=-时有极值10，则a的值为4．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.。

1.3.2函数的极值与导数教学设计

教学课题选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数课标要求一、知识与技能：1．结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2．理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值3．掌握求可导函数的极值的步骤；二、过程与方法：1. 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

2. 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

三、情感态度与价值观：通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质的一般性和有效性，通过函数的极值与单调性之间的联系，体会知识的发展的过程，逐步提高科学地分析、解决问题的能力。

识记理解应用综合知识点1可导函数在某点取极值的充分、必要条件 ∨知识点2 极值的概念 ∨ 知识点3求极值的步骤∨知识点4：极值的综合应用∨目标设计1. 理解极大值、极小值的概念；2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3. 掌握求可导函数的极值的步骤；4. 通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

情境一：1.通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）2.观察下图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题：问题1：在点t=a 附近的图象有什么特点？问题2：函数在t=a 处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点t=a 附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在t=a 处的导数是多少？（函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. ）情境二：观察图所表示的y=f(x)的图象，回答下面的问题：问题1：函数y=f(x)在a.、b 两点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?问题2：函数y=f(x)在a 、b 两点的导数值是多少？问题3：在a 、b 两点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？知识点认知层次t o h a 0)(>'a h单调递增单调递减 0)(='a h0)(<'a h学生观察图像思考、小组讨论、归纳：①在点a 的左侧与右侧附近,函数y=f(x)的函数值都大于f(a)；在点b 的左侧与右侧附近,函数y=f(x)的函数值都小于f(b).②函数y=f(x)在a 点的导数值是0)(='a f ；函数y=f(x)在b 点的导数值是0)(='a f③在a 点左侧附近,函数 y=f(x)的导数0)(<'x f ；在点a 右侧附近，函数 y=f(x)的导数0)(>'x f ，左右两侧附近的导数值符号要相反。