高等数学-第9章---(方向导数与梯度)

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2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况：空间光滑曲面
曲面 在点
的法向量
n (Fx ( x0, y0, z0 ), Fy ( x0, y0, z0 ), Fz ( x0, y0, z0 ))
切平面方程
Fx ( x0, y0, z0 )( x x0 ) Fy ( x0, y0, z0 )( y y0 )
第七节 方向导数与梯度 第九章
一、方向导数 二、梯度 三、数量场和向量场
第七节 方向导数与梯度
一.方向导数
偏导数反映的是函数沿坐标轴方 y
L
向的变化率,但许多物理现象告诉我
β
el
P(x,y)
α
们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变
P0(x0,y0)
x
化率外,还应该考虑其它方向的变化
率.现在我们研究函数沿任一指定方
法线方程
Fz ( x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
x x0
y y0
z z0
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0, z0 )
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2) 显式情况：空间光滑曲面
法向量
n ( fx , f y ,1)
法线的方向余弦
| PP | (x)2 (y)2 ,
且 z f ( x x, y y) f ( x, y),
考虑 z ,
当 P 沿着 l 趋于 P
时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
高等数学
课程相关
• 教材及相关辅导用书
▫ 《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8.
▫ 《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8.
l x
y
其中 为x 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
两边同除以 , 得到
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
x y
cos sin
l
x0
上式极限存在就意味
曲线C在点 P0 有唯一的切线
l 它关于 方向的斜率
就是方向导数
f l ( x0 , y0 )
P0 T
C
P
M0 M
l
L
定理 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
存在，且有 f f cos f sin ，
解
这里方向l 即为PQ {1,1},
故x 轴到方向l 的转角
.
z e2 y 1;
x (1,0)
(1,0)
所求方向导数
4
z 2 xe2 y 2,
y (1,0)
(1,0)
z l
cos( ) 2sin( )
4
4
2. 2
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
f x (1,1)cos
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
x y
故有方向导数
cos sin
f l
f ( x x, y y) f ( x, y)
lim
0
f cos f sin .
x
y
例 1 求函数z xe2 y 在点P(1,0)处沿从点
P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.
x (t)
参数式情况.
空间光滑曲线
:
y
(t)
z (t)
切向量 T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
切线方程 x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
法平面方程
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
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内容回顾
1. 空间曲线的切线与法平面
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
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轴正向e1 {1,0} 、
f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin ,
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ),
4
故 （1）当 时，方向导数达到最大值 2 ;
向的变化率问题.
一、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y) 在一点P沿某一 方向的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点 P(x, y)的某一邻域U(P) 内有定义，自点P 引射线 l．
设 x 轴正向到射线l 的转角
为 ,并设 P( x x, y y)
为 l 上的另一点且 P U( p).
cos
fx
, cos
1
f
2 x
f y2
cos
切平面方程
1
1
f
2 x
f y2
fy
,
1 fx2 fy2
z z0 f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 )
法线方程 x x0 y y0 z z0 f x ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1