高等数学-第9章---(方向导数与梯度)

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9-9 方向导数与梯度

函数
f
(
x,
y,
z)在P0沿方向l的方向导数,记作¶¶
f l
. ( x0 , y0 , z0 )
l注 (1) 二元函数 f ( x, y)在P0( x0 , y0 )沿方向l(方向角为a , b )
的方向导数为
¶f
= lim f (x0 + t cosa, y0 + t cos b ) - f (x0, y0 )
函数变化0率为零
l注梯度是一个向量方向: 方向导数最大值的方向
q =0
q =p p
| grad f (x0, y0 ) | cosq
q=
2
梯度的投影
- grad f (x0, y0 )
¶f
q ¶l ( x0 , y0 )
grad f ( x0, y0 )
大小: 方向导数的最大值
z Ø几何意义
曲线L z = f ( x, y)在xOy面上的投影 z=c
为函数 f ( x, y)在点P0( x0, y0 )的梯度, 记作
grad f ( x0, y0 ), 或Ñf ( x0, y0 ). 即: grad f ( x0, y0 ) = Ñf ( x0, y0 ) = fx ( x0, y0 )i + f y ( x0, y0 ) j, 其中 Ñ = ¶ i + ¶ j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子
u例8 求曲面 x2 + y2 + z = 9在点P0(1,2,4)的切平面和法线方程.
二、梯度
（一）概念（二）计算（三）物理意义
二、梯度
（一）概念（二）计算（三）物理意义
场: 物理量在空间的分布

《高等数学》电子课件(同济第六版)07第九章第7节方向导数与梯度

cos
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 f f cos cos . x y
o
y

P

l
P
y

x
11
x
例 1 求函数z xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点
解
1 1 1 cos , cos 2 2 2 2 2 2 1 (1) 1 (1) z 2y e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2, ( 1, 0 ) x (1, 0 ) y
Fx P 4 x P 4, Fy P 6 y P 6, Fz P 2z P 2, 故 n Fx , Fy , Fz 4, 6, 2,
n 42 62 22 2 14,
方向余弦为
20
2 3 1 cos , cos , cos . 14 14 14
证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 , 得到
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
10
f ( x x , y y ) f ( x , y )

故有方向导数
f x f y o( ) x y
思考: 若f ( x , y )在点P ( x , y )沿x轴正向 e1 {1,0}的方向 f 导数存在 , 是否存在 ? x 2 2 不一定如 z x y 在(0,0)点处沿e1 {1,0}
2 2 ( x ) ( y ) z 方向导数 lim 1, l 0

高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度

x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，

高等数学-第9章---(方向导数与梯度)

u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
Pn 4Fx xP,
4, Fy ,
Fy Fz
P
6 y P 6,
4, 6, 2,
Fz P
2z P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为
cos 2 , cos 3 ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n 是曲面2 x2 3 y2 z2 6 在点
P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )

9.4 方向导数与梯度

∂(0 )
∂
∂
或 ฬ .
∂
0
与二元情况类似, 设方向 l 的方向角为α、 β、 γ, 则
(0+cos,0 +cos,0 +cos)−(0 ,0 ,0 )
.
f 'l (P0) = lim+

→0
当f(x, y, z)在点P0处可微时, 其方向导数的计算公式为
其最大变化率为设函数ufxyz在点p0x0y0z0的某一邻域内有定义又设l是从点p0出发的一条射线点pxyz是l上异于点p0的一点若以表示点p与点p0的距离lim????0?????????????????0????存在当点p沿着l趋于点p0时则称此极限为函数ufxyz在点p0处沿方向l的方向导数记作flp0不难将方向导数和梯度概念推广到三元函数
f 'l (P0) =grad f(P0)·l0.
⑤
它表示可微函数在点P0处沿方向 l 的方向导数等于该函数
在点P0处的梯度与方向l上的单位向量l0的数量积.
若用θ表示方向l与梯度gradf(P0)之间的夹角, 则
f 'l (P0) =|grad f(P0)||l0|cosθ
=|grad f(P0)|cosθ.
解
因为
∂
ቤ =4,
∂
0
∂
ቤ =12,
∂
0
所以在点P0 (2, 3)处的梯度为
gradT(P0)=4i+12j,
这就是在点P0处温度增加最快的方向, 其最大变化率为
|gradT(P0)|=4 10.
不难将方向导数和梯度概念推广到三元函数.
设函数u=f(x, y, z)在点P0(x0, y0, z0)的某一邻域内有定义,

高等数学9-7 方向导数和梯度

在点 (0, 0) 可偏导，且 fx(0, 0) fy(0, 0) 0, 但不可微，
故不能利用定理1中的公式计算出方向导数，即
f l
fx(0, 0)
2 2
f y(0, 0)
2 0. 2
(0,0)
（实际上 f 不存在）。因此例2表明定理1 l
(0,0)
条件中的“可微”不可减弱为“可偏导”。
方向导数.
2021/1/5
定理2: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有
f f cos f cos f cos
l x
y
z
例4.求
在点 P(1,1,1)处沿方向 l {2, 1,3}
的方向导数 .
解: 由 l {2 , 1,3} 得cos 2 ,cos 1 ,cos 3 ,
y p
z p
p
所以最大值为 gradu 12 12 02 2 ． p
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
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2. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
.(96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
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内容小结

梯度与方向导数的关系

梯度与方向导数的关系梯度与方向导数是微分学中两个重要概念，它们在多元函数的求导和优化中有着密切的联系。

首先，我们先来介绍一下梯度的概念。

对于一个多元函数，梯度是一个向量，它的方向指向函数在某一点处取得最大增加的方向，其模长表示增加的速率。

梯度通常用符号∇表示，如果函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处可微分，则梯度定义为：∇f(x0,y0,z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)其中的∂f/∂x表示函数f对变量x求导的偏导数。

可以看出，梯度是一个向量，其分量分别对应于各个变量的偏导数值。

而方向导数，顾名思义，就是函数沿着某一给定方向上的导数。

对于一个函数f(x,y,z)，在点P(x0,y0,z0)处的方向向量为u=(u1,u2,u3)，方向导数定义为：Duf(x0,y0,z0) = ∇f(x0,y0,z0)·u其中的·表示向量的点积运算。

可以看出，方向导数是梯度和方向向量的点积，它表示了函数f在给定方向上的变化速率。

那么梯度与方向导数之间有什么联系呢？根据上述定义可以得知，梯度是一个向量，其方向与方向导数的方向相同，且梯度的模长表示了方向导数的大小。

换句话说，梯度可以看作是方向导数的一个特例。

具体来说，若给定一个向量u，如果f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处可微分，则由方向导数的定义可知：Duf(x0,y0,z0) = ∇f(x0,y0,z0)·u =|∇f(x0,y0,z0)||u|cosθ其中的θ表示梯度向量∇f(x0,y0,z0)与方向向量u的夹角。

根据向量的点乘性质，可以得出：|∇f(x0,y0,z0)||u|cosθ = ∇f(x0,y0,z0)·u也就是说，梯度向量的模长和方向导数的大小是一样的。

当方向向量u与梯度向量的夹角为零时，即u与梯度的方向相同，方向导数取得最大值；当方向向量u与梯度向量的夹角为180°时，即u与梯度的方向相反，方向导数取得最小值。

高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_7方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度
一、方向导数二、梯度
第九章
三、物理意义
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一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0

P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
q e q e E r grad u 2 r 4 π r 4 π r
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
目录上页下ห้องสมุดไป่ตู้ 返回结束
1. 定义
f f f G , , x y z
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f (P), 或 f (P), 即
目录上页下页返回结束
u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是提示: 其单位向量为

方向导数与梯度

方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。

它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。

理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。

方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。

给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。

具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。

方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。

例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。

梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。

给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。

具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。

梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。

在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。

例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。

梯度是方向导数的最大值。

换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。

这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。

这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。

这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。

方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。

《方向导数与梯度》课件

方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02

同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度

ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
播放
16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f

东华大学《高等数学AⅡ》课件第九章方向导数与梯度

已知方向导数公式
G
f
,
f
x y
l 0 (cos , cos )
f f cos f cos
l x
y
当l 0与G 方向一致时,
方向导数取最大值
max
f l
|
G
|
G
:
方向：f 模： f
(x, (x,
y) 变化率最大的方向 y)的最大变化率之值
22
定义2 设函数z = f (x, y)在点P(x, y)可偏导, 称向量 G为函数z = f (x, y)在点P(x, y)处的梯度
解
z沿方向
l
的变化率即为方向导数
z .
因为 z 2 z 4
l
x (1,2)
l
的单位向量
l0
z l
(1,2)
2
1 2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(4)
y (1,2)
,
1 2
f l
1 2
P0
2
f x
P0
cos
f y
P0
cos
这说明在(1,2)处沿(1,1)方向海拔高度是下降的, 且
下降坡度大致为 arccos 2 45o.
cos 1 ,
9
cos 4 ,
9
cos 8 ,
9
u 8 , u 2 , u 2
x M 27
y M
27 z M 27
u 16 . l M 243
21
二、一梯个度二概元函念数与在给计定算的点处沿不同方向
的方(g向ra导di数en是t)不一样的.
问题函数z = f (x, y)沿什么方向的方向导数为最大

高等数学课件--D9_7方向导数与梯度

例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
y
P
解: 将已知曲线用参数方程表示为
xx y x 1
2
它在点 P 的切向量为 (1, 2 x)
cos 1 17 ,
(1, 4) x2
4 17
O
1
2
x
cos

60 17
2012-10-12
同济版高等数学课件
(2) grad (c u ) c grad u 或 (c u ) c u
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u
或 (u v ) u v v u
2012-10-12
同济版高等数学课件
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例5.
处矢径 r 的模 , 试证
2 9 (1, 2 , 2)
在点
(1992 考研)
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 9
2012-10-12 同济版高等数学课件
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(1, 2 , 2)
2. 函数 u ln(x
提示:
y z ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
1 2
2
同济版高等数学课件
目录上页下页返回结束
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f f f grad f f , , x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 梯度的特点
f x f x

高等数学第九章第七节方向导数与梯度课件.ppt

方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
思考与练习
1. 设函数
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r

高数一 9-7 方向导数与梯度

f l
( x0 , y0 )
f x (x0, y0) cos f y (x0, y0) cos
例1 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方向的方向导数
解解 PQ (1, 1) , 与 l 同向的单位向量为 el ( 1 , 1 ) 2 2 因为函数可微分, 且
方向导数
f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f (x0, y0 ) lim l (x0 , y0 ) t 0 t 定理(方向导数的计算) 如果函数zf(x, y)在点P0(x0, y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos, cos))的方向导数都存在, 且有

z e2 y 1 , z (1,0) x (1,0) y 所以所求方向导数为
(1,0)
2xe2 y
(1,0)
2,
z 1 1 2( 1 ) 2 l (1,0) 2 2 2
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结束
铃
函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos, cos))的方向导数
方向导数就是函数f(x, y)在点P0(x0, y0) 处沿方向l的变化率
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结束
铃
一、方向导数
设函数zf(x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域U(P0)内有定义, l是xOy平面上以P0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单位向量为el(cos, cos)
f l
首页
( x0 , y0 )
f x (x0, y0) cos f y (x0, y0) cos
上页返回下页结束铃

高等数学高数课件 9.7方向导数与梯度

u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
u
6;
x p
14
u
8;
y p
14
例5
设
n
是曲面
2x2
3
y2
z2
6
在点
P(1,1,1)
处的指向外侧的法向量, 求函数
在此处沿方向
n
的方向导数.
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
u x
p
6; 14
u y
p
8; 14
u z p
6x2 8y2
z2
14.
p
所以
u n
p
解由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx (1,1)cos
f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin
(1,1)
(1,1)
cos sin
2
sin
4
,
解由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
2
sin
4
,
解由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
2 sin
在此处沿方向
n
的方向导数.
u
1 z
(6
x2
8
y2
1
)2
解
Fx p
4,
Fy p
6, Fz p
2,
n
{4,6,2},
|n|
2 14,
cos 2 , cos 3 , cos 1 .
14

高等数学-第9章---(方向导数与梯度)

9-9 方向导数与梯度

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