随机误差统计规律及单摆设计 (5)
居家物理实验-时间测量中随机误差的分布规律
实验项目名称：时间测量中随机误差的分布规律
实验目的：
手动测量节拍器的周期，研究测量值的统计分布规律
实验原理和实验内容：
随机误差的定义：
在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做随机误差，有时也叫偶然误差。
随机误差的出现就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不可预知的，但对一个量进行足够多次测量，则发现它们的随机误差是按一定的统计规律分布的，即正态分布（Gauss分布）规律。
居家物理实验4报告（过程部分）
仪器设备的记录：
电子节拍器，秒表
实验内容及数据记录：（可使用EXCEl数据导入，注意有效数字，标明单位）
开启电子节拍器，调节其周期为3-5s，用秒表测量其周期，重复侧200次，求出周期的平均值和标准差σ，并以相对频数ni/N为纵坐标，时间t为横坐标，绘制其统计直方图（建议K取11-15之间的奇数值）
验数据的处理：（给出不确定度的计算结果及实验结果的表达式，必须有计算过程，注意有效位数保留和单位，画图可使用电脑绘图。
）
处理：
最大值Tmax=4.15s，Tmin=3.75s
平均值：3.99415s
标准差σ：0.084873
R=4.15-3.75=0.4
取K=11，则∆t=R/K=0.03637
实验结果的误差分析与问题讨论：（这是培养分析能力的重要环节，一定认真完成）
1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布
2.由于用的为线上节拍器，和手机秒表，结果不能十分精确
3.测量200次，手按秒表会有疲倦感，超前或延后，导致测量结果偏离。
高中物理实验中的随机误差
高中物理实验中的随机误差物理实验在高中教育中扮演着重要的角色，不仅能够帮助学生巩固所学的理论知识，还能培养他们的实践能力和科学思维。
然而，在实验中常常会遇到一些无法避免的误差，其中最常见的一种误差便是随机误差。
本文将探讨高中物理实验中的随机误差及其对实验结果的影响。
一、随机误差的定义与特点随机误差（random error）是指在一系列实验中，由于实验条件、仪器精度、操作人员技术差异等随机因素引起的实测数值的波动。
随机误差的特点是不可避免且无规律可循，它既有正误差也有负误差，有时会相互抵消，但通常对实验结果产生平均偏离的影响。
二、随机误差的产生原因1. 人为因素：不同的操作人员在实验过程中可能会有不同的技术水平和操作习惯，导致实验结果的差异。
2. 仪器精度：实验中使用的仪器并非完全精确，仪器的一些随机变化会对实验结果造成影响。
3. 环境因素：实验环境的温度、湿度等因素会对实验结果产生微小的影响。
4. 被测对象：被测对象的特性和变化也是产生随机误差的原因之一，例如温度的微小波动等。
三、随机误差的测量与处理在物理实验中，我们常常需要对多个实验数据进行测量和处理，以便得到更加准确的结果。
对于随机误差的测量，可以采用以下方法：1. 重复测量法：多次进行实验，取平均值或计算测量结果的标准差来评估随机误差的大小。
2. 多次测量法：使用多个不同的仪器进行测量，比较测量结果的差异。
3. 运用统计学方法：通过概率论和统计学的知识，对实验结果进行数学分析，得出随机误差的大小与分布规律。
对于已经获得的实验数据，我们可以采用以下方式来处理随机误差：1. 去极值法：去掉明显偏离的数据，以减小随机误差对结果的影响。
2. 数据拟合法：通过对实验数据进行拟合，找到最佳曲线或直线，进行实验结果的分析和判断。
3. 误差传递法：对于利用测量结果计算的实验量，可以利用误差传递法来评估其误差范围。
四、影响随机误差的因素随机误差的大小和影响主要取决于以下几个因素：1. 实验设计：合理的实验设计可以减小随机误差的产生，例如增加测量次数、选择适当的仪器等。
单摆及随机误差正态分布
由传递公式求出
(T ± U )。
T
切勿先求出 5 个 Ti， 并求出相 应的 ST 及 UT。
∑ (t
tp
i
−t)
2
n −1 n
= 0.00626(s )
⋅ S t = 1.2 × S t = 0.00751(s )
U tB = 0.005(s )
2 2 U t = U tA + U tB = 0.0090(s )
Ug
2
2
2
2
批注 [BG9]: 不确定度的传递 中，必须写出相应的表达式注 [BG10]: 作为该实验的 最终结果，g 必须写为 (g
(
)
g = 9.781(1 ± 0.18% ) m ⋅ s −2
(
)
± U g )的形式。 上述 d、 l、
L、 t 由于是中间过程， 是否表
批注 [BG5]: 表述有何要求？ 平均值及不确定度如何取 位？
(3)单摆摆长 L
L =l + d = 50.5200 + 1.9036 = 51.4718(cm) 2
2
U U L = U + d = 0.0910(cm) 2
2 l
批注 [BG6]: L 为间接量， 故L 的不确定度由传递公式给出。
⋅ S D = 1.2 × S D = 0.00201(cm )
U DB = 0.002(cm)
2 2 U D = U DA + U DB = 0.00283(cm )
D = (1.9036 ± 0.0028)(cm )
(2)摆线长 l
1 3 l = × ∑ l i = 50.5200(cm ) 3 i =1 Sl =
随机误差的统计规律
随机误差的统计规律实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识 (2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法 (3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。
以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。
实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=dl L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ixT s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x xx S i is)01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L T g T ==π222/5594.94s m L T g T ='='π20/80891.9s m g =%28.5%1000=⨯-=g g g E T T%54.2%1000=⨯-='g g g E T T思考1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
随机误差的分布规律
当u=±1,即X= μ ±σ区间测定值出现 的概率为68.3％， 当u=±2,即X= μ ± 2σ区间测定值出 现的概率为95.5％ 当u=±3,即X= μ ± 3σ区间测定值出 现的概率为99.7％。
即以标准偏差σ为单位来表示X与μ 的偏差。用u作为横坐标,概率密度Y
为纵坐标作图,就得到标准正态分布 曲线。
标准正态分布的均数为0, 标准偏差 为1,可用N(0,1)表示。用积分方法可以 计算出不同μ取值范围时曲线所包含的 面积,其面积相应于在此值范围内测定 值出现的概率。由于所有测定值出现 的总概率P=100%,所以标准正态分布曲 线与横坐标间包含的总面积等于1。由 计算结果可制成概率积分表查用。从 表中可查到:
第三节 随机误差的分布规律 一. 频率分布 例如,有一试样在相同条件下用分光光 度法测定其铁含量。20次重复测定结 果ω(Fe)×100%如下: 3.45, 3.28, 3.30, 3.20, 3.22, 3.17 3.06, 3.26, 3.14, 3.31, 3.18, 3.23 3.21, 3.23, 3.38, 3.33, 3.25, 3.12 3.26, 3.24。
首先将测定值依大小次序排列,算出 极差。极差为最大值与最小值之差。 将测定值分为8组, 组距为极差与组数 之商。每组中测定值出现的次数称为 频数。频数与测定总次数之比称为相 对频数,又称频率。编制频数、频率分 布表。以测定值为横坐标,频率为纵坐 标绘出频率分布直方图。
二. 正态分布 正态分布,又称高斯分布。其曲线 为对称钟形,两头小,中间大, 分布曲 线有最高点,如下图所示。
正态分布曲线的数学表达式为
1 2 2 Y e 2 μ和σ是正态分布两个基本参数, μ
X 2
和σ确定了,正态分布曲线也就确定
单摆实验与随机误差的正态分布
普通物理实验报告一、实验目的1. 熟悉使用J-T25周期测定仪2. 通过对单摆周期多次重复地测量，加深对随机误差的统计规律的理解3. 熟悉列表和作图的方法 二、实验原理 1.单摆库摆测重力加速度 当单摆的摆角很小(小于5°),其运动可看成简谐振动,单摆的周期近似为:故只要测出摆长L 和周期T,即可算出重力常数g 。
许多物理定律从本质上说,都是具有统计性质的。
测量的目的是为了求得尽可能接近真值的数值,以达此目的,一方面须设法排除系统误差,另一方面还要通过一系列测量取得足够多的数据,进统计处理,从而推断得到最接近真值的读数值并且推断得到该读数接近真值的程度(即误差)。
统计直方图是通过实验粗略地研究某一物理现象统计分规律趋势的一种方法。
对某一物理量在相同条件下做n次重复测量,得到一系列测量值,X1，X2,…Xn根据测量值中的最大值和最小值确定一个区间[x,x"]将区间分成若干小区间,比如K 个,则每个小区间的间隔为统计测量结果出现在各个小区间内的次数(频数),以测量数据为横坐标,以频数或相对频数为纵坐标,画出出各小区间及其对应的频数或相对频数的高度,则可得到一个矩形图,这就是统计直装订处方图。
根据分布情况画成光滑曲线,这就是随机误差的分布规律(概率密度分布曲线)。
三、实验过程与数据处理1. 用三足铁架和钢球等材料组成单摆2. 立柱铅直。
以摆球为重锤调节底座的水平螺丝，使摆线与立柱平行。
3. 测量单摆周期。
（1）用钢卷尺测量摆线长l，用螺旋测微器测量小球直径D，分别测量三次，则摆长为L=l+D/2。
（2）使摆球停止摆动，静止于平衡位置上，然后用箭头符号或其他标记标出平衡位置，作为计时参考点。
（3）移动小球，是小球在竖直平面内来回摆动，注意摆角要小于5°。
当单摆来回摆动达到平衡位置时开始计时。
为了减少误差，每次至少测10个周期，重复测量100次，表格自拟。
不需要每测一次就使单摆起摆一次，只要单摆的摆幅足够，就可以继续再测。
时间测量中随机误差的分布规律
核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24时间测量中的随机误差分布规律PB10214023 张浩然一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1、仪器原理机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动；电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：222)(21)(σπσx x ex f --=其中n x x ni i∑==1，为测量的算术平均值，1)(12--=∑n x xniσ，为测量列的标准差，有 ⎰-=aa dxx f a P )()(，σσσ3,2,=a利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。
在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。
五、实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零；2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在核科学技术学院2010 级学号PB10214023 姓名张浩然日期2011-3-24等精度条件下重复测量约200次（本实验中实际测量224次），记录每次的测量结果；3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）；六、数据处理：1.实验数据如下：（单位：s）初步分析得2.由公式（2）（3）计算得: （单位：s）x=平均值 2.415σ=标准差0.1198473.机械节拍器的频数和频率密度分布：令K=16核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24有 0max min ()/0.04625x x x K ∆=-= （单位：s ） 取max min ()/0.05x x x K ∆=-=（单位：s ）有测量数据的频数和频率密度分布表如下： 小区域/s 小区域中点值/s 频数i n /s 相对频数(/)/%i n N累计频数(/)/%i n N ∑1.95-2.20 1.975 1 0.446428571 0.446428571 2.20-2.05 2.025 1 0.446428571 0.892857143 2.05-2.10 2.075 1 0.446428571 1.339285714 2.10-2.15 2.125 3 1.339285714 2.678571429 2.15-2.20 2.175 2 0.8928571433.571428571 2.20-2.25 2.225 7 3.1256.696428571 2.25-2.30 2.275 177.589285714 14.28571429 2.30-2.35 2.325 31 13.83928571 28.125 2.35-2.40 2.375 28 12.540.6252.40-2.45 2.425 44 19.64285714 60.26785714 2.45-2.50 2.475 26 11.60714286 71.875 2.50-2.55 2.525 35 15.625 87.5 2.55-2.60 2.575 14 6.2593.752.60-2.65 2.625 10 4.464285714 98.21428571 2.65-2.70 2.675 3 1.339285714 99.55357143 2.70-2.752.72510.4464285711004.统计直方图和概率密度分布曲线图像：核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-245.不确定度分析：0.950.015694973s A U t n==对于电子秒表，人的反应时间为0.2s ，远大于0.01s ，则取B ∆=∆估；对于秒表，取C=3。
随机误差的统计分布实验报告
随机误差的统计分布实验报告随机误差的统计分布实验报告引言：在科学研究和实验中，我们经常会遇到各种误差。
其中，随机误差是不可避免的，它是由于实验条件的不完美、测量仪器的误差以及实验者的技术水平等因素引起的。
为了更好地理解随机误差的特性和分布规律，我们进行了一系列的实验。
实验目的：本次实验的主要目的是通过对一组数据的收集和分析，探究随机误差的统计分布规律，并验证中心极限定理的适用性。
实验步骤：1. 实验器材准备：我们准备了一台精密天平，用于测量实验中所需的物品的质量。
2. 实验样本选择：我们随机选择了50个物品作为实验样本，这些物品的质量在一定范围内波动。
3. 实验数据收集：我们使用天平测量了每个样本的质量，并记录下来。
4. 数据处理与分析：在收集完实验数据后，我们进行了一系列的数据处理和分析，以探究随机误差的统计分布规律。
实验结果：通过对实验数据的分析，我们得到了以下结果：1. 随机误差的分布呈现正态分布的趋势：我们将实验数据绘制成直方图，发现其呈现出典型的钟形曲线，符合正态分布的特征。
这表明随机误差在一定程度上服从正态分布。
2. 中心极限定理的适用性：我们对实验数据进行了多次抽样，并计算了每次抽样的均值。
结果显示，随着抽样次数的增加，抽样均值的分布逐渐接近正态分布。
这验证了中心极限定理的适用性，即当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
3. 随机误差的大小与分布：通过对实验数据的统计分析，我们发现随机误差的大小与分布与所测量的物理量有关。
在某些情况下，随机误差的大小与物理量的大小成正比，而在其他情况下，则呈现出不同的关系。
这表明随机误差的大小和分布是一个复杂的问题，需要进一步研究和探索。
结论：通过本次实验，我们得出了以下结论：1. 随机误差在一定程度上服从正态分布。
2. 中心极限定理适用于随机误差的分布，当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
3. 随机误差的大小和分布与所测量的物理量有关，需要进行更深入的研究和探索。
数计学院大学物理实验要求：实验3 单摆周期的测量和随机误差统计规律的研究
实验3 单摆周期的测量和随机误差统计规律的研究(3#205室)一 实验目的1．通过对单摆周期多次重复测量，理解随机误差的正态分布规律。
2．掌握测量数据的统计直方图处理方法。
3．掌握智能数字测时器测量时间的方法。
二 实验仪器单摆及支架、智能数字测时器、光电门等。
三 实验内容1.仪器调整a 、调节单摆实验仪底部的调平螺母，使实验仪处于铅直状态；b 、调节镜子与刻度的位置，使得两者平行，同时利用摆绳使镜中的虚线与0刻度成一条直线（观测时，选择正确的观测位置，使得摆绳、虚线及摆绳的象三者重合，确保视线垂直于摆面）；d 、通过摆头的左右旋钮（左：伸缩摆长；右：固定摆长），选取摆线≥1m （摆绳+摆球半径），固定之，并记录摆长；e 、调节摆头，使得单摆静止时处于0刻度位置；d 、摆动单摆，使其摆幅≤5○，消除扭摆，保证摆面与刻度面平行；2.自动测量单摆周期5次a 、打开测时器，到达主界面“HELLO ”，选择“1pr ”功能；b 、按“选择”键6次，选择“6pd ”功能（自动测量单摆周期）；c 、按“执行”键，界面显示为“0”，按“选择”键1次，选择测量1周期，界面显示“1”,再次按“执行”键，进入测量状态；d 、把光电门固定在铁架台上，调节铁架台的位置，使得摆球下的小木棍切割光电门（避免木棍与光电门发生碰撞）；e 、使单摆小角度起摆（≤5O ），记录所得数据。
重复c~e 步骤，自动测量单摆周期5次。
计算单摆周期的平均值和平均值标准偏差，做结果报导T T T δ+=3.手动法测单摆单个周期200次a、打开测时器，选择“1pr”功能；b、按“执行”键，进入测量状态；c、使单摆作简谐运动，通过镜子观测，在摆线第一次及第三次经过0刻度位置即“三线重合”时，两次划动小铁片，切割光电门，触发及中止测时计计时；d、记录所得数据，重复b~d步骤，手动测量单摆周期200次。
完成概率统计表，绘制统计直方图。
四实验报告写作提示1．请按报告写作规范进行写作。
随机误差统计规律及单摆设计word版本
实 验 报 告5－实验一：实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。
实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。
实验原理：1．由一级单摆近似周期公式：gLT π2=得224T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。
2．根据224T L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ∆+∆=∆2 所以：%5.0≤∆L L ，即%5.05.05.0≤+∆+∆dl dl ，有 Δl ≤0.5%×l =0.35cm Δd ≤0.5%×2×d=0.002mm所以：%25.0≤∆TT，有ΔT ≤0.25%×T=0.00425 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可，5000425.02.0T≈=∆∆人，所以单摆周期应该一组测量50个。
实验器材：米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。
实验步骤：1．用米尺测量摆线长6次；2．用游标卡尺测量小球直径6次；3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组； 4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。
数据处理：由L=l+0.5d,T=t/50,根据公式224T L g π=，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g =1．对摆线长l （6组数据）的处理：米尺误差分布为正态分布95.0t =2.57 仪∆=0.1cmc=3005.0))1(/()(61=--=∑=-i iAl n n l lu由不确定度合成公式得0.0112()2295095.0=∆+=）（仪。
cku t U Al l则 cm )011.0(65.608l ±= P=0.952．对摆球半径（6组数据）的处理：游标卡尺误差分布为均匀分布95.0t =2.57仪∆=0.002cm c =30001.0))1(/()(61=--=∑=-i i Ar n n r r u由不确定度合成公式得0.0001()2295095.0=∆+=）（仪。
随机误差统计规律
随机误差统计规律
小朋友可能不太理解“随机误差统计规律”这么复杂的词呢！不过没关系，让我这个小学生来跟您讲讲我对它的理解。
咱就先说，啥叫随机误差呀？就好比我和小伙伴们一起扔沙包，每次扔出去的距离都不太一样，有时候远，有时候近，这中间的差别就是随机误差。
那统计规律又是啥呢？就好像我们把扔沙包的距离都记下来，然后发现扔得远的次数和近的次数好像有个什么规律似的。
比如说，我第一次扔了5 米，第二次4 米，第三次6 米，这中间的1 米、2 米的差别不就是随机误差嘛。
然后我和小伙伴们都扔了好多次，发现大多数时候扔的距离都在4 米到6 米之间，这难道不是一种规律吗？
再举个例子，老师让我们做数学题，有时候我会不小心算错一个数，这就算是随机误差。
可要是全班同学都做这道题，老师把大家做错的地方都统计起来，说不定就能发现我们容易犯错的规律呢！
您说，这随机误差统计规律是不是挺有意思的？就像在黑暗中找宝藏，每次找到的宝贝都不太一样，但找得多了，就能发现一些线索，知道宝藏大概藏在哪些地方啦！
我觉得呀，搞懂随机误差统计规律能让我们更好地理解生活中的很多事情。
比如说，为啥天气预报有时候不太准？可能就是因为有很多随机误差在里面，但是科学家们通过统计规律，就能让预报越来越准啦！
反正我觉得，虽然这东西一开始挺难理解的，但只要我们多观察、多思考，就一定能搞明白！您觉得呢？。
单摆测定重力加速度实验误差分析-资料类
单摆测定重力加速度实验误差分析－资料类一、关键信息1、实验目的：分析单摆测定重力加速度实验中的误差来源和影响。
2、实验方法：通过理论推导和实际操作数据对比。
3、误差分类：系统误差和随机误差。
4、数据处理方式：采用统计学方法进行分析。
5、改进措施：针对误差来源提出相应的改进方案。
二、协议内容11 引言单摆测定重力加速度实验是物理学中的一个基础实验，其目的是通过测量单摆的周期和摆长来计算重力加速度。
然而，在实验过程中，由于多种因素的影响，实验结果往往存在一定的误差。
本协议旨在对这些误差进行全面的分析，并提出相应的改进措施，以提高实验的准确性和可靠性。
111 实验原理单摆的运动可以用简谐运动的公式来描述，其周期公式为 T ＝2π√（L/g)，其中 T 为单摆的周期，L 为摆长，g 为重力加速度。
通过测量单摆的周期和摆长，即可计算出重力加速度 g ＝4π²L/T² 。
112 误差来源1121 系统误差摆长测量误差：测量摆长时，由于尺子的精度、读数的误差以及摆线的伸缩等因素，可能导致摆长测量值与实际值存在偏差。
周期测量误差：使用秒表测量周期时，人的反应时间、秒表的精度以及计数误差等都会影响周期的测量结果。
摆角误差：理论上单摆的摆动应在小角度（小于 5°）下进行，若摆角过大，单摆的运动将不再是简谐运动，从而导致周期计算的误差。
空气阻力：在实际实验中，单摆运动时会受到空气阻力的作用，使得单摆的能量逐渐损耗，周期变长，从而影响重力加速度的测量结果。
1122 随机误差实验环境的干扰：如振动、气流等外界因素可能对单摆的运动产生随机的影响，导致周期测量的不确定性。
测量的重复性误差：多次测量摆长和周期时，由于操作的细微差异，每次测量结果可能会有所不同。
12 误差分析方法121 理论分析通过对实验原理的推导和公式的变形，分析各个误差因素对实验结果的理论影响。
例如，考虑摆长测量误差对重力加速度计算结果的影响，可以通过对 g ＝4π²L/T² 求导，得出摆长误差与重力加速度误差之间的关系。
单摆
实验三单摆实验与偶然误差的统计规律重力加速度是一个重要的地球物理常数。
各地区的重力加速度数值，随该地区的地理纬度和海拔高度不同而不同。
在理论、生产和科学研究中，重力加速度的测定都具有很重要的意义。
本实验用单摆测定重力加速度，同时，通过手控多次测量单摆的周期以验证偶然误差的正态分布规律。
【实验目的】1．了解镜尺、光电计时装置的使用方法；2．掌握用单摆测量重力加速度的方法；*3．从单摆的周期测量值的变化，认识偶然误差的规律性。
【实验仪器】单摆、秒表、光电计时装置、镜尺、钢卷尺、游标卡尺等【实验原理】简单地说，单摆就是由一个不能伸长的轻质细线和悬在该细线下端且体积很小的金属摆球所构成的装置。
要求摆线的长度远大于摆球的直径，摆球质量远大于细线质量的条件。
，单摆装置（如图3-1所示）的调节：调节底座的水平螺丝，使摆线与铅直的立柱平行；调节摆幅测量标尺高度与镜面位置，使得标尺的上弧边中点与顶端悬线夹下平面间距离为50cm；调节标尺平面垂直与顶端悬线夹的前伸部分；调节标尺上部平面镜平面与标尺平面平行，镜面上指标线处于仪器的对称中心。
秒表和光电计时装置均可用来计时。
相关计时装置的使用请参见相应的说明书1．单摆测重力加速度将摆球自平衡位置拉至一边（摆角小于5°）释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图3-2所示。
设摆球的质量为m ，其质心到摆的支点O的距离为lmgθ。
它（摆长）。
作用在摆球上的切向力的大小为sin≈，切向力总指向平衡点O′。
当角θ很小时，则sinθθ图3-1的大小约为mgθ，按照牛顿第二定律，质点的运动方程为ma mg θ=-⇒切22d ml mg dtθθ=-220d gdt lθθ+= （3-1）这是一简谐运动方程，可知简谐振动角频率ω的平方等于g / l ，由此得出l g T ==πω2 gl T π2= 224Tlg π= （3-2） 式中T 为单摆的周期。
实验中，若测出摆长l 和周期T ，则重力加速度g 即可由上式求得。
实验5 单摆
实验5单摆及随机误差分布实验林一仙 一、实验目的1、 利用单摆测重力加速度；2、 利用单摆验证随机误差的正态分布规律；3、 学习统计直方图的画法并加深对随机误差统计规律的认识；4、 学习用计算平均值法处理数据。
二、实验仪器单摆实验装置一套，米尺，数字毫秒计三、实验原理（一）、如果在一固定点上悬挂一根不能伸长、无质量的线，并在线的末端悬一质量为m 的质点，这就构成了一个单摆。
我们知道单摆的幅角θ很小时，单摆的振动周期T 和摆长L 有如下关系：gL π2=T由于悬线有质量，实验中用小球或圆柱等的质心代替质点，所以以上单摆实际上并不存在，因此实验要求小球或圆柱的质量要远大于悬线的质量，而它的半径或高要远小于悬线的长度，这样质心才能代替质点，并可用（1）式进行计算。
但此时必须将悬挂点到质心的距离作为摆长 。
若L 固定，测出T 即可求出g 。
L g 224T=π（二）、测量的最终目的是为了求得被测物理量的真实大小，但是由于误差的存在，真值无法绝对准确地测得。
即使在排除了系统误差之后，也只有通过一系列的测量，取得一组足够多的数据之后，进行统计处理，来求得最接近真值的数值和这个数值接近真值的程度。
统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种粗略的方法，它简便、直观。
在许多场合，尤其是在被研究的现象的规律完全无知的情况下，可作为一种初步分析手段。
下面介绍如何作出测量数据的统计直方图。
对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量（n ≥100），得到n 个结果X 1，X 2，…X n ， 先找出它的最小值和最大值，可确定一个区间[X ノ，X ノノ]，这个区间包含了全部测量数据，将区间[X ノ，X ノノ]分成若干个，比如K 个，则每个小区间的间隔△为：KX '-X ''=∆ 统计测量结果出现在X ノ+△，X ノ+2△，…，X ノ+K △各个小区间的次数称为频数用Δn 表示。
频数Δn 与测量次数n 之比，即Δn/n ，称为测量值在该区间内出现的相对频数 。
随机误差——精选推荐
[编辑][编辑][编辑]随机误差什么是随机误差[1] 随机误差随机误差也称为偶然误差偶然误差和不定误差不定误差，是由于在测定过程中⼀系列有关因素微⼩的随机波动⽽形成的具有相互抵偿性的误差。
它的特点：⼤⼩和⽅向都不固定，也⽆法测量或校正。
随机误差的性质是：随着测定次数的增加，正负误差可以相互低偿，误差的平均值将逐渐趋向于零。
随机误差的原因[1] 产⽣随机误差的原因有许多。
例如，在测量过程中由于温度、湿度以及灰尘等的影响都可能引起数据的波动。
再⽐如在读取滴定管数据时，估计的⼩数点后第⼆位的数值，⼏次读数不⼀致。
这类误差在操作中不能完全避免。
随机误差的⼤⼩、正负在同⼀个实验室中不是恒定的，并很难找到产⽣的确切原因，所以⼜称不定误差。
随机误差的规律性 从表⾯上看，它的出现似乎没有规律，即在单次测定过程中，其⼤⼩及符号⽆法预⾔，没有任何规律性，具有⾮单向性的特点。
但是，如果进⾏反复多次测定，就会发现随机误差的出现还是有⼀定的规律的，即具有统计规律性。
总的来说，⼤⼩相等的正、负误差出现的⼏率相等，⼩误差出现的机会多，⼤误差出现的机会少，特⼤的正、负误差出现的机会更⼩。
这⼀规律可以⽤正态分布曲线（图1）表⽰。
[1]随机误差 图中横轴代表误差的⼤⼩，以总体标准差σ为单位,纵轴代表误差发⽣的频率。
随机误差是由随机因素引起的，可⼤可⼩，可正可负，粗看起来，⽆规律可循，但经过⼤量实验可以发现，随机误差的分布也有⼀定规律性： 1、⼤⼩相近的正误差和负误差出现的机率相等，即绝对值相近 ( 或相等 ) ⽽符号相反的误差以同等的机率出现。
2、⼩误差出现的频率⾼，⽽⼤误差出现的频数较低，很⼤误差出现的机率近于零或极少。
即：偶然误差的规律符合正态分布。
在消除系统误差的情况下，增加测定次数，取其平均值，可减少偶然误差。
实际⼯作中测定次数为4～6次已经⾜够了。
⼀般情况下，很少有超过4次平⾏测定的。
随机误差的注意点[1] 应该指出的是，系统误差与随机误差的划分也不是绝对的，有时很难区分某种误差是系统误差还是随机误差。
时间测量中随机误差的分布规律~~
时间测量中随机误差的分布规律~~PB05007302 地空学院杨柳春实验3.2.1实验题⽬: 时间测量中随机误差的分布规律实验⽬的:⽤常规仪器(如电⼦秒表,频率计等)测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习⽤统计⽅法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律.实验原理:1.时间测量仪表的简要原理(1)机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节，其外部结构如图。
(2)电⼦秒表是兼有数种测时功能，便于携带和测量的常⽤电⼦计时器。
电⼦秒表机芯由表及⾥CMOS集成电路组成，⽤⽯英晶体振荡器作时标，⼀般⽤六位液晶数字显⽰，其累积时间数为59分59.59秒分辨率为0.01秒，平均⽇差0.5秒。
其外部结构如图2.假设在近似消除了系统误差(或系统误差很⼩,可忽略不计,或系统误差为⼀恒定值)的条件下,对某物理量x 进⾏N 次等精度测量.当测量值出现的概率分布可⽤正态分布的概率密度函数表⽰.式中为测量的算术平均值, σ为测量列的标准差P aaa实验仪器:机械节拍器(原理:由齿轮带动摆作周期性运动,摆动周期可通过改变摆锤的位置连续调节),秒表(精度:0.01秒)实验步骤:以2～3个周期为⼀次实验,重复做200～300次实验（这⾥取2个周期，300次实验）,记录每次秒表的⽰数,做出统计直⽅图和频数频率分布表实验结果和分析：222/)(21)(σσπx x e x x y --=-nx x ni i∑==11)(12--=∑=n x xni iσ1．由统计结果，和以下公式可得：平均值为 2.852s 测量列的标准差为 0.12 测量结果平均值的标准差为 0.007 2．机械节拍器的频数和频率的密度分布nxx ni i∑==11)(12--=∑=n x xni iσnn n x x u ni i A σ=--=∑=)1()(122．频率统计直⽅图（EXECEL && ORIGIN）01020304050607080n i3.若测量结果偏离正态分布，则产⽣这种偏离的原因可能是：①测量者的⼼理因素，测量时的反应程度，即测量者当时的状态使测量者对时间的记录产⽣误差；②测量的次数远远不够，理论上来说，只有当测量次数为⽆限多时，测量结果才是正态分布，⽽有限次的测量只可能近似符合正态分布；③测量仪器的陈旧或是其它原因使得节拍器的摆不做等周期运动，或者电⼦秒表测时不准也可能导致测量出现误差4．最后，可以得到测量结果的各项数据为(每两个同期)：平均值 2.852s测量列的标准差 0.12测量结果平均值的标准差0.007即测量结果的完整表达式为：2．852±0.007s P=0.68。
随机误差的统计分布实验报告
一、实验目的1. 了解随机误差的基本概念和统计分布规律。
2. 通过实验验证随机误差的统计分布特性。
3. 掌握利用统计方法分析随机误差的方法。
二、实验原理随机误差是指由于测量条件难以完全控制而引起的偶然性误差。
在物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差通常服从或接近正态分布。
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有以下特点：1. 有界性：随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限。
2. 单峰性：绝对值（幅度）小的随机误差总要比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大。
3. 对称性：绝对值（幅度）等值而符号相反的随机误差出现的概率接近相等。
4. 抵偿性：当等精度重复测量次数足够大时，所有测量值的随机误差的代数和为零。
本实验通过测量时间间隔，利用统计方法分析随机误差的分布规律。
三、实验仪器与设备1. 电子秒表或毫秒计2. 摆钟或节拍器等具有固定周期事件的装置3. 数据处理软件（如Excel、Origin等）四、实验步骤1. 检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零。
2. 将摆钟或节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在等精度条件下重复测量150-200次，记录每次的测量结果。
3. 将测量数据输入数据处理软件，进行数据处理。
4. 绘制测量数据的直方图，观察其分布规律。
5. 利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。
6. 分析随机误差的分布规律，验证正态分布特性。
五、实验结果与分析1. 直方图分析将实验数据输入数据处理软件，绘制直方图，观察其分布规律。
根据直方图，可以得出以下结论：（1）随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限，符合有界性。
（2）随机误差的分布呈现单峰性，绝对值（幅度）小的随机误差出现的概率较大。
（3）随机误差的分布对称，符合对称性。
2. 正态分布拟合利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。
根据拟合结果，可以得出以下结论：（1）随机误差的分布基本符合正态分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
影响单摆实验误差的几个因素探析
其中l为摆长，即摆线支点到小球质心的距离；g为实验地的重力加速度。 当θ很小时，对式（1）取零级近似，摆动周期近似为
T 2 l g
若测出摆长及周期，即可计算出实验地点的重力加速度。 测量周期时，为了提高测量精度减小误差，可连续测量单摆摆动多个周 期的总时间，再除以摆动次数来求出单次摆动的时间，即周期。
设间接被测量为Y，有 m 个直接被测量，分别为 X1，X2，…，Xm，它们之间的函数关系为
其全微分式
对于有限小量
其标准差的合成式
传递公式
由
可求不确定度
是各直接测量量 的不确定度
若
更方便
中各量间是积商关系 用相对不确定度来合成
计算步骤
。
结果表达
例：测圆柱体体积V
测圆柱体直径d和高度h h/cm d/cm 3.250 2.814 3.252 2.824 3.258 2.820 3.256 2.824 3.258 2.820 3.250 2.818
测量结果为
V 20.31 0.33cm3
例一
续
续
例二
续
三、数据处理知识
说明
有效数字问题
举例
作图基本要求
举例
二、实验要求
实验课三个环节
1. 课前预习 2. 课堂实习 3. 课后小结
课前预习
1. 课前预习
认真阅读教材，明确本次实验的目的和任务； 正确理解实验测量所依据的原理、公式及采用 的方法； 了解所用仪器的结构及使用注意事项； 在原始记录纸上设计好数据表，写出预习报告 （包括实验目的、原理及数据表格），老师要检查。
测量结果为
g 977 .4 0.6(cm / s 2 )
•
大学物理实验-单摆实验-参考
单摆实验【实验目的】1．通过对单摆周期的大量精密测量，利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律，从而加深对偶然误差统计规律的认识。
2．利用单摆测重力加速度，掌握用不确定度分析讨论测量结果的方法，学会测量结果表达式的正确书写。
【实验仪器】GM-1单摆实验仪（编号）数字毫秒计（编号）米尺【实验原理】一、利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律构思：对偶然误差服从正态分布规律的最好验证是统计检验。
就是在一定条件下进行大量（几百次或更多）的精密测量，将其偏差的分布与理论值相比较，即是将偏差出现在一定区间的实际个数与理论计算的预期个数相比较，如果两者一致，则可以认为正态分布规律是成立的。
方案：1、统计直方图⋯⋯2、误差的置信概率⋯⋯二、利用单摆测重力加速度构思：⋯⋯方案：⋯⋯【实验内容及步骤】一、利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律（自拟）二、利用单摆测重力加速度（自拟）【数据记录及处理】一、利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律单摆次数累计时间 (s)周期（ T/s ）偶然误差（T/s ）T（s ）T2 (s 2）10.668 1.355-0.02200.0220.0004842 1.400 1.3810.00400.0040.0000163 2.023 1.3870.01000.0100.0001004 2.781 1.361-0.01600.0160.0002565 3.410 1.3970.02000.0200.0004006 4.142 1.369-0.00800.0080.0000647 4.807 1.373-0.00400.0040.0000168 5.511 1.3940.01700.0170.0002899 6.180 1.358-0.01900.0190.00036110 6.905 1.3830.00600.0060.000036 117.538 1.3830.00600.0060.000036 128.288 1.365-0.01200.0120.000144 138.921 1.3950.01800.0180.000324 149.653 1.369-0.00800.0080.000064 1510.316 1.375-0.00200.0020.000004 1611.022 1.3900.01300.0130.000169 1711.691 1.362-0.01500.0150.000225 1812.412 1.3830.00600.0060.000036 1913.053 1.3800.00300.0030.000009 2013.795 1.368-0.00900.0090.000081 2114.433 1.3920.01500.0150.000225 2215.163 1.369-0.00800.0080.000064 2315.825 1.3770.00000.0000.000000 2416.532 1.3870.01000.0100.000100 2517.202 1.365-0.01200.0120.000144 2617.919 1.3830.00600.0060.000036 2718.567 1.3780.00100.0010.000001 2819.302 1.370-0.00700.0070.000049 2919.945 1.3900.01300.0130.000169 3020.672 1.370-0.00700.0070.000049 3121.335 1.3780.00100.0010.000001 3222.042 1.3840.00700.0070.000049 3322.713 1.367-0.01000.0100.000100 3423.426 1.3830.00600.0060.000036 3524.080 1.3770.00000.0000.000000 3624.809 1.371-0.00600.0060.000036 3725.457 1.3890.01200.0120.000144 3826.180 1.371-0.00600.0060.000036 3926.846 1.3780.00100.0010.000001 4027.551 1.3830.00600.0060.000036 4128.224 1.368-0.00900.0090.000081 4228.934 1.3820.00500.0050.000025 4329.592 1.3780.00100.0010.000001 4430.316 1.372-0.00500.0050.000025 4530.970 1.3870.01000.0100.000100 4631.688 1.372-0.00500.0050.000025 4732.357 1.3780.00100.0010.000001 4833.060 1.3820.00500.0050.000025 4933.735 1.370-0.00700.0070.0000495034.442 1.3810.00400.0040.0000165135.1055235.823平均值（ s） 1.377标准误差：0.0098直方图：略误差的置信概率：略结论：⋯⋯二、利用单摆测重力加速度数据处理过程详见教材P19 例 1-3g (g g ) m / s2E g%【思考和讨论】你所作的统计直方图是否大致按正态分布的？通过置信概率的计算，能否验证高斯误差分布定律？若有出入，试分析其原因。
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实 验 报 告
5－
25系05级
鄂雁祺
日期：06年3月25日
学号：
PB05025003
实验一：
实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。
实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学
习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。
实验原理：
1．由一级单摆近似周期公式：g
L
T π2=得2
24T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。
2．根据2
24T
L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ∆+∆=∆2 所以：
%5.0≤∆L L ，即%5.05.05.0≤+∆+∆d
l d
l ，有 Δl ≤0.5%×l =0.35cm Δd ≤0.5%×2×d=0.002mm
所以：
%25.0≤∆T
T
，有ΔT ≤0.25%×T=0.00425 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可，
5000425
.02
.0T
≈=
∆∆人，所以单摆周期应该一组测量50个。
实验器材：
米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。
实验步骤：
1．用米尺测量摆线长6次；
2．用游标卡尺测量小球直径6次；
3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组；
4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。
数据处理：
由L=l+0.5d,T=t/50,根据公式224T L g π=
，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g =
1．对摆线长l （6组数据）的处理：
米尺误差分布为正态分布
95.0t =2.57 仪∆=0.1cm
c=3
005.0))1(/()(6
1
=--=
∑=-
i i
Al n n l l
u
由不确定度合成公式得
0.0112()2
2
95095.0=∆+=）（仪。
c
k
u t U Al l
则 cm )011.0(65.608l ±= P=0.95
2．对摆球半径（6组数据）的处理：
游标卡尺误差分布为均匀分布
95.0t =2.57
仪∆=0.002cm c =3
0001.0))1(/()(6
1
=--=
∑=-
i i Ar n n r r u
由不确定度合成公式得
0.0001()2
2
95095.0=∆+=）（仪。
c
k
u t U Ar r
则 cm )0001.0(1.0451r ±=
P=0.95
综上所述，由L ＝l +r ，得
11.0()2
95.0295.095.0=+=）（r l L U U U
所以，
0.011)cm 66.653(r l L ±=+=
3．电子秒表误差分布为正态分布
95.0t =2.57 仪∆=0.1s
c=3
0.074))1(/()(3
1
=--=
∑=-
i i
At n n t t
u
由不确定度合成公式得
0.019()2
2
95095.0=∆+=）（仪。
c
k
u t U AT T
因此
0.019)s (1.312T ±= P=0.95
总上所述：
由2
24T L g π=，有
040.0(2)2
95.02295.095.0=+=）（r L g
U U g
U
所以，
2/)040.0801.9(s m g ±=
P=0.95
缺少验证过程
误差分析：
由上述计算值，结果偏大。
其产生原因可能有：
1． 测量绳长时拉伸过紧，而时摆长偏大；
2． 由于人的反应时间问题，可能开表停表时间有所偏差而影响结果
实验报告
25系05级鄂雁祺日期：06年3月25日学号：
PB05025003 实验二：
实验题目：时间测量中随机误差的分布规律
实验目的：用常规仪器测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习用统计的方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律.
实验原理：
用电子秒表测量节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有
规律的声响;电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,
其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s
实验器材：
机械节拍器，电子秒表。
实验步骤：
1.测量机械节拍器摆动三个周期所用的时间间隔，共计200组。
2.记录实验数据，找出最大最小值，设定合理的间隔并进行分组处理。
3.做出直方图，并用计算机软件进行拟合。
数据处理：
①根据原始数据处理得表格如下：
②统计直方图和概率密度分布曲线如下：
05
10
15
20
n i /N (%)
x(s)
③ 根据原始数据（即原始测量列）可算得测量结果的平均值为s t 161.3=
根据原始数据（即原始测量列）可算得测量结果的标准差为s 14246.0=σ 根据算术平均值s t 161.3=,可算得算术平均值的标准差01007.0=At u ④ ⎰-==
±σ
σσ565.0)()(x F P
⎰-==±σσσ22845.0)()2(x F P ⎰
-==±σ
σ
σ33945.0)()3(x F P
⑤ 对200组时间数据的处理
考虑置信概率P=0.95的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取
95.0t =1 仪∆=0.01s c=3
B 类不确定度在0.95的置信概率下置信因子为k=1.96 由不确定度合成公式得
2
2
95095.0()）
（仪。
c
k
u t U At ∆+==0.02 所以，
s t )02.016.3(±= P=0.95
误差分析:
由所绘制的统计直方图和概率密度分布曲线可以看出测量结果基本符合正态分布。
存在部分误差，可能原因是：
1．测量为有限次测量，结果必定会偏离正态分布；
2．外界影响因素较多，会影响实验者的测量，难以保证完全等精度；
3．本实验在测量过程中由搭配双方各测量了100个数据，结果也不是绝对的等精度测量结果。