高考数学考点专题总复习12
考点巩固卷12 等差、等比数列(七大考点)(学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考
考点巩固卷12 等差等比数列（七大考点）考点01：单一变量的秒解当数列的选择填空题中只有一个条件时，可将数列看成常数列，即每一项均设为x ，（注意：如果题目中出现公差不为0或公比不为1，则慎用此法）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为123456,6,12n S a a a a a a ++=++=，则12S =（ ）A ．18B ．36C ．54D ．602．已知等差数列{}n a 满足12318a a a ++=，则2a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（ ）A ．[)12，B ．305æöç÷èø，C ．35¥æö+ç÷èø，D ．305éö÷êëø，4．等差数列{}n a 前n 项和为7,4n S a =，则13S =（ ）A ．44B ．48C ．52D ．565．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，记{}n a 的前n 项和为n S ，则9S =（ ）A ．18B ．24C ．27D ．456．在等差数列{}n a 中，若354a a +=，则其前7项和为（ ）A ．7B ．9C ．14D ．187．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．298．在等比数列{}n a 中，25,a a 是方程2780x x --=的两个根，则16a a =（ ）A ．7B ．8C ．8-或8D ．8-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若5414a a a +=+，则15S =（ ）A ．4B ．60C ．68D ．13610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2410268a a a ++=，则9S =（ ）A ．272B ．270C ．157D ．153考点02：秒解等差数列的前n 项和等差数列中，有()⇒-=-n n a n S 1212奇偶有适用.()()()()nn n n an n a n a a 12212221212112-=-=-+=--⇒将12-n 换为n 11．在等差数列{}n a 中，公差3d =，n S 为其前n 项和，若89S S =，则17S =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．412．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7287026S a a =+=，，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4.13．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若12413,22a a S +==，则d =（ ）A ．7B ．3C ．1D ．1-14．等差数列 {}n a 中，n S 是其前 n 项和，53253S S -=，则公差 d 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．315．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．72B ．73C ．13-D ．711-16．已知等差数列{}n a 的前15项之和为60，则313a a +=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1017．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，221n n a a =+，若1100n n S a ++=，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1118．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ）A ．43B ．44C ．45D ．4619．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，525S =，则442S a a =-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知848,16S S =-=，则56223839a a a a a ++++=（ ）A ．215B ．185C ．155D ．135考点03：数列片段和问题k k k k k S S S S S 232,,--这样的形式称之为“片段和”①当}{n a 是等差数列时：k k k k k S S S S S 232,,--也为等差数列，且公差为d k 2.②当}{n a 是等比数列时：k k k k k S S S S S 232,,--也为等比数列，且公比为kq .21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，()*3164,n S n n -=³ÎN ，20n S =，则n 的值为（ ）A ．16B ．12C ．10D ．822．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若330S =，651S =，则9S =（ ）A ．54B ．63C ．72D ．13523．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且365,15S S ==，则9S =（ ）A ．35B ．30C ．20D ．1524．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4127,45S S ==.则8S =（ ）A ．28B ．26C ．24D ．2225．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ）A ．30B ．58C ．60D ．9026．在等差数列{}n a 中，若363,24S S ==，则12S =（ ）A ．100B ．120C ．57D ．1827．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10111012101310148a a a a +++=，则2024S =（ ）A ．8096B ．4048C ．4046D ．202428．若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（ ）A ．22B ．24C ．26D ．2829．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若23S =，346a a +=，则108S S =（ ）A ．157B ．3115C ．2D ．633130．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若301010303,80S S S S =+=，则20S 的值为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40考点04：秒杀和比与项比结论1：若两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若DCn B An T S n n ++=，则()()Dn C B n A T S b a n n n n +-+-==--12121212结论2：若两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若DCn B An T S n n ++=，则()()Dm C B n A b a m n +-+-=121231．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且231n n S n T n +=+，则19119a ab b ++的值为（ ）A ．1311B ．2110C ．1322D ．212032．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且335n n S n T n +=+，则526a b b =+（ ）A ．1417B ．417C ．313D ．1533．已知数列{}{}n n a b ，均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a ab b ++=+（ ）A ．2B ．3C ．5D ．634．设数列{}n a 和{}n b 都为等差数列，记它们的前n 项和分别为n S 和n T ，满足21n n n a b n =+，则55S T =（ ）A ．12B ．37C ．59D ．3535．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若342n n S n T n +=+，则58211a a b b +=+（ ）A ．1713B ．3713C ．207D ．37736．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别是,n n S T ，若542n n S n T n +=+，则44a b = ．37．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意正整数n 都有2343n n S n T n -=-，则839457a ab b b b +=++ ．38．已知n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2131n n S n T n +=-，那么44a b = ．39．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于40．已知等差数列{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且214n nS n T n +=，则537a b b =+ ．考点05：等差数列奇偶规律结论()*ÎNn n 2则1,+==-n n a aS S nd S S 偶奇奇偶n 2,则它的奇数项分别为135721,,,......n a a a a a -则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a a 则奇数项之和()1212=22n nnn a a n a S na -+×==奇则偶数项之和()22+1+12=22n n n n a a n a S na +×==偶代入公式得1-S =n( )n n S a a nd +-=奇偶，11=S n n n n S na ana a ++=奇偶()*Î+Nn n 12则()()111,11,+++=+=+==-n n n na S a n S nn S S a S S 偶奇偶奇偶奇∵12-n 项，则它的奇数项为127531,,,+n a a a a a 则它的偶数项分别为na a a a 2642,, 则奇数项之和()()()1121112+++=+×+=n n an n a a S 奇则偶数项之和()1222+=×+=n n nan a a S 偶代入公式得()1111+++=-+=-n n n a na a n S S 偶奇()nn na a n S S n n 1111+=+=++偶奇说明：偶奇，S S 分别表示所有奇数项与所有偶数项的和41．已知等差数列{}n a 的项数为()21Ν,m m *+Î其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m =( )A ．6B ．7C ．12D ．1342．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）A ．14B ．2C ．13D ．2543．已知等差数列{}n a 的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且45B A -=，2615A B =+，则n a =（ ）A ．32n -B ．31n -C ．31n +D ．32n +44．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，13++=n n a a n ，则（ ）A ．45a =B ．20300S =C ．31720S =D ．n 为奇数时，2314+=n n S 45．已知等差数列{}n a 共有21n -项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n =．46．已知数列{}n a 满足11a =，12,3,n n na n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数，则{}n a 的前40项和为.47．已知等差数列{}n a 的项数为21m +()*m ÎN ，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列{}n a 的项数是 .48．数列{}n a 满足：2212212121,2,2n n n na a a a a a ++-==-==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则23S = ．49．在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960+++×××+=a a a a ，求12399100a a a a a +++×××++的值．50．已知{}n a 是等差数列，其中222a =，610a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求24620a a a a ++++ 的值.考点06： 等差数列前n 项和最值规律方法一：函数法⇒利用等差数列前n 项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.bn an S n +=2模型演练()n d a n d S d n n na S n n ×÷øöçèæ-+=⇒×-+=222112121122222÷÷÷÷øöççççèæ--÷÷÷÷øöççççèæ-+=⇒d d a d d d a n d S n 2121212212÷øöçèæ--⎥⎦⎤êëé÷øöçèæ--=⇒d a d d a n d S n 由二次函数的最大值、最小值可知，当n 取最接近da 121-的正整数时，n S 取到最大值（或最小值）注意：最接近da 121-的正整数有时1个，有时2个51．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则n S 取最大值时，n =（ ）．A ．9B ．10C ．9或10D ．10或1152．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若50a <，380a a +>，则当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．753．设数列{}n a 的前n 项和为11,1,321n nn S S S S n n+-=-=+，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．36396,,S S S S S --成等差数列，公差为9-C ．当且仅当17n =时，n S 取得最大值D ．0n S ³时，n 的最大值为3354．数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-，则（ ）A ．110a =B ．32a a >C ．数列{}n S 有最小项D ．n S n ìüíýîþ是等差数列55．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A ．1a d>B ．使得0n S >成立的最大正整数18n =C ．891011a a a a +<+D ．n n S a ìüíýîþ中最小项为1100S a 56．等差数列 {}n a 的前 n 项和为 1214,0,0n S a a a >+=，则（ ）A ．80a =B ．1n na a +<C ．79S S <D ．当 0n S < 时， n 的最小值为 1657．已知无穷数列{}n a 满足：110a =-，12n n a a +=+()*N n Î．则数列{}n a 的前n 项和最小值时n 的值为 ．58．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且满足991,27a S =-=.(1)求d 的值；(2)当n 为何值时n S 最大，并求出此最大值.59．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =-，且256,,a a a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．60．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.考点07：等比数列奇偶规律结论()*ÎNn n 2则qS S =奇偶n 2,则它的奇数项分别为135721,,,......n a a a a a -则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a aq a a q a a q a a ×=×=×=342312,,∵()q a a a a a a a a a a q a a a a a a a a a a n n n n n n n n =++++++++=++++++++∴-------123253112325311232531222642()*Î+Nn n 12则q S a S =-偶奇112+n ,则它的奇数项分别为13572+1,,,......n a a a a a 则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a a q a a q a a q a a ×=×=×=453423,，∵q S a S q a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n =-⇒=+++++++=++++++++∴-+--+-偶奇12226421212532226421212531 说明：偶奇，S S 分别表示所有奇数项与所有偶数项的和61．已知等比数列{}n a 有21n +项，11a =，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．562．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中10a >，则“31a a >”是“n S 无最大值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件63．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.A ．8B ．2-C ．4D ．264．已知等比数列{}n a 的公比为13-，其前n 项和为n S ，且1a ，243a +，3a 成等差数列，若对任意的*n ÎN ，均有2nnA SB S £-£恒成立，则B A -的最小值为（ ）A ．2B ．76C ．103D ．5365．已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =（ ）A ．1B ．4C ．12D ．3666．已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）A ．12B ．2C ．172341D ．34117267．等比数列{}n a 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝ .68．等比数列的性质已知{}n a 为等比数列，公比为q ，n S 为其前n 项和.（1）若()0,0,1n n S Aq B A q q =+¹¹¹，则A B += ；（2）当0n S ¹时，n S ， ，32,n n S S - 为等比数列；（3）若等比数列{}n a 共2k 项，记S 奇为诸奇数项和，S 偶为诸偶数项和，则S S =奇偶 ；69．已知首项均为32的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足32a b =-，43a b =，且{}n a 的各项均不相等，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，则n S 的最大值与最小值之差为 ．70．（1）在等比数列{}n a 中，已知248,60n n S S ==，求3n S ；（2）一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.。
考点12 零点定理——2021年高考数学专题复习真题练习
考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.3．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,73．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 .4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________.6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.8．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 .9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 .12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 .2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 .3．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为 .4．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k = ．5．函数1()lg 1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.6．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________.7．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．8．若函数()()21xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 .9．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.10．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.11．函数f (x)＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ．12．设(0,1)m ∈，若函数2log ,02()(4),24x m x f x f x x ⎧-<≤=⎨-<<⎩有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则22341225x x x x +-+的取值范围是 .13．已知直线y mx =与函数()211,0212,03xx x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 .14．已知m R ∈，函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知定义在R 上的偶函数()f x ，且0x ≥时，()31,0153,13x x x f x x -⎧+≤≤⎪=⎨+>⎪⎩，方程()f x m =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是 .【题组四 二分法】1．已知函数f(x)=x 3+2x −8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程x 3+2x −8=0的近似解可取为（精确度0.1） .2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( ) A ．()21f x x =- B ．()221f x x x =-+C ．()2log f x x =D ．()2xf x e =-3．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为4．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（ ） A ．()12， B ．()1.752， C ．()1.52， D ．()1 1.5，5．若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:2)1.250.984=-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为 .6．已知函数f （x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 .A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，37．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为（ ） A ．2.52 B ．2.625C ．2.47D ．2.758．用“二分法”求26y x =-的零点时，初始区间可取 （ ） A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。
考点12 零点定理——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。
2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。
2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。
3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。
4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解12 幂的运算及幂函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第12讲幂的运算及幂函数通关一、五种常见幂函数的图像与性质知识通关通关二、幂函数的性质1. 幕函数在(0,)+∞上都有定义；2. 幕函数的图像过定点(1,1)；3. 当0α>时, 幕函数的图像都过点(1,1)和(0,0) , 且在(0,)+∞上单调递增；4. 当0α<时, 幕函数的图像都过点(1,1) , 且在(0,)+∞上单调递减；5. 幕函数在第四象限无图像.结论一、幂函数的图像特征1. 当0α<时, 函数图像与坐标轴没有交点, 类似于1y x -=的图像, 且在第一象限内,逆时针方向指数在增大;2. 当0α>时,函数图像倾向x 轴, 类似于y =的图像;3. 当1α>时, 函数图像倾向y 轴, 类似于3y x =的图像，而且逆时针方向指数在增大，再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质.【例1】以下命题正确的是（）,①幂函数的图像都经过(0,0)；②幂函数的图像不可能出现在第四象限；③当0n =时，函数n y x =的图像是两条射线；④若n y x =（0n <）是奇函数，则n y x =在定义域内为减函数.A. ①②B. ②④C. ②③D. ①③【答案】C【解析】①幂函数的图像不都经过(0,0) ,比如1y x=，因此错误； ②因为当0x >时, 0x α>, 幂函数的图像不可能出现在第四象限，因此正确；③当0n =时,函数0x α>的图像是一条直线，但是去掉(0,1), 因此正确;④若n y x =（0n <）是奇函数,则n y x =在定义域内不具有单调性, 例如1y x=, 不正确. 综上,故选 C. 【变式】如图所示的曲线是幂函数y x α=在第一象限的图像,已知11{4,,,4}44α∈-- , 相应曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为（）.A. 114,444--，，B. 114,444，-，- C. 11444-，-，4, D. 114,444，-，- 【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图像,易知曲线1234,,,C C C C 对应的α值依次为114,444，-，-, . 故选 B.结论二、幂函数比较大小1． 当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；2． 当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；3． 当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；4． 比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0，1,等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.【例2】已知01m n <<<且1a b <<，则下列各式中一定成立的是（）A.m n b a >B. m n b a <C.b a m n >D.b am n <【答案】D【解析】因为()(1)a f x x a =>在(0,)+∞上为单调递增函数，且01m n <<<，所以.a m n α< 又()(01)x g x m m =<<在R 上为单调递减函数，且1a b <<，所以.b a m m <综上，b a m n <.故选D.【变式】当01a b <<<，下列不等式正确的是（）A.1(1)(1)b b a a ->-B.(1)(1)a b a b +>+C. 2(1)(1)b b a a ->-D.(1)(1)a b a b ->-【答案】D【解析】因为0(1)(1)1a b <-<-<，又函数(1)x y b =-为减函数，ay x =在(0,1)上为增函数， 所以(1)(1)(1).b a a b b a -<-<-故选D. 结论三、幂函数单调性若0,y x αα>=在(0,)+∞上是增函数；若0,y x αα<=在(0,)+∞上是减函数.【例3】幂函数223()(1)m m f x m m x+-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为（） A.2或-1B.-1C.-2D.-2或1【答案】B【解析】由于幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得 1.m =-故选B. 【变式】已知幂函数221()(1)m f x m m x--=--在(0,)+∞上单调递增. (1)求实数m 的值；(2)若(1)(32)m m k k +<-，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1-；（2）23(,1)(,)32-∞-⋃【解析】（1）由题意得211m m --=，解得1m =-或2m =.因为()f x 在(0,)+∞上 单调递增，所以210m -->，即12m <-，所以1m =-. （2）由于1y x=在区间(,0),(0,)-∞+∞上都是减函数，分三种情况讨论： ①当1032k k +<<-，即1k <-时，原不等式成立；②当10k +<且320k -<时，有132k k +>-，即13223k k k ⎧⎪<-⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解集为空集； ③当10k +>，且，320k ->时，有，132k k +>-解得2332k <<. 综上可知，k 的取值范围是23(,1)(,).32-∞-⋃。
新高考数学复习考点知识提升专题训练12---基本不等式的应用
新高考数学复习考点知识提升专题训练（十二） 基本不等式的应用(一)基础落实1．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝2t ＋1tC ．y ＝4t ＋1t(t >0)D ．y ＝t ＋1t解析：选C A 中x ＝－1时，y ＝－5<4；B 中t ＝－1时，y ＝－3<4；C 中y ＝4t ＋1t ≥24t ·1t＝4，当且仅当t ＝12时，等号成立；D 中t ＝－1时，y ＝－2<4.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．3．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．62 D ．62－3 解析：选D y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4解析：选AC 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x －2＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．故选A 、C.5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是________．解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时等号成立． 答案：47．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 28．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 89．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y 4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32，当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？解：(1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6) ＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1 832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800,6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45，即x 为40，y 为45.(二)综合应用1．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12)D.⎝⎛⎭⎫3，12 解析：选AC 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故A 、C 成立．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C1a ＋1b＋2ab ≥21a ·1b＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时取等号．3．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：(x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．答案：164．若a >0，b >0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值． 解：∵a >0，b >0，a 2＋b 22＝1， ∴a 1＋b 2＝a 2(1＋b 2)＝2a 2·1＋b 22＝2a 2·1＋b 22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋b 2222 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1222＝324，当且仅当正数a ，b 满足a 2＝1＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时等号成立．∴a 1＋b 2的最大值为324.(三)创新发展1．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥192．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米．(1)写出x 与y 的关系式；(2)求出仓库面积S 的最大允许值．为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，即4x ＋9y ＋2xy ＝320，解得y ＝320－4x2x ＋9，由于x >0且y >0，可得0<x <80，所以，x 与y 的关系式为y ＝320－4x2x ＋9(0<x <80)．(2)S ＝xy ＝x ·320－4x2x ＋9＝x ·338－2(2x ＋9)2x ＋9＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3382x ＋9－2＝338x 2x ＋9－2x ＝169(2x ＋9)－169×92x ＋9－2x ＝169－2x －169×92x ＋9＝178－(2x ＋9)－169×92x ＋9＝178－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x ＋9)＋169×92x ＋9≤178－2(2x ＋9)×169×92x ＋9＝100，当且仅当2x ＋9＝169×92x ＋9，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝203时，等号成立，因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁栅长应设计为15米．。
专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)
【提分秘籍】
基本规律
极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
【变式演练】
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
（
为参数），以
O
为极点，x
，求
AB
.
【题型二】参数方程难点 1：万能代换型消参
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
三、极坐标体系弦长公式
(1)一线两点（一般直线（射线）过极点
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
（2）两线两点：余弦定理 | AB |2 =22 +12 -221 co（s 2 -1)
【变式演练】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1 的参数方程为
l
的极坐标方程为
sin
3
2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： PA PB 为定值.
高考数学总复习：第十二篇 第3讲 数学归纳法
(m∈N*)能被3整除．
证明 (1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1) ＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定
要运用n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
抓住2个考点
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考点自测
1 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条 2 时，第一步检验第一个值 n0 等于 ( )．
A．1 解析 答案 C
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.
因此n＝k＋1时等式也成立． 由①②可知，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
抓住2个考点
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法二
由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋„＋2na1，
① ②
2Tn＝22an＋23an－1＋„＋2nan＋2n＋1a1. ②－①，得
则当n＝k＋1时有
抓住2个考点 突破4个考向 揭秘3年高考
Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
高考数学复习考点突破专题讲解12 圆锥曲线的方程与性质
高考数学复习考点突破专题讲解第12讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O 为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为x±y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为4B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+412.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=±xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.高考数学复习考点突破专题讲解12圆锥曲线的方程与性质1.D解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=--=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.3. D解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6cm.5.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2=-=1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c= a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-=-,则sin∠F1PF2=.由△PF1F2的面积为,可得|PF1||PF2|sin∠F1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cos∠QPM=cos∠PQF,要使取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R==4.所以此时△PQF的外接圆半径R=2.8. D解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2.记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4().由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,整理得=2,即=2,所以=2.9.BD解析由双曲线C:=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=,故C不正确;易知渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.10.ACD解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(x A,y A),则x A=p,所以=2px A=2p·p=p2(y A>0).=2,故选项A正确;所以y A=p,故k AB=-选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x B,y B),则p+y B=p,则y B=-,代入抛物线方程得-=2p·x B,解得x B=.∴|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A p,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<2,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA||OF|sinθ+OB·OF sin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.12. ACD解析易知F1(0,-),F2(-,0),F3(,0),将x=代入双曲线C2的方程得=1,可得y2=,则点A.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以-,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=-,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;易知点A(n,2n),F2(-n,0),则,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=|AF2|=(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.可得C 的焦距为2=4.14.=1(答案不唯一)解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即.根据题意可设C的标准方程为=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得--,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.解析设椭圆C1:=1(a>b>0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2st cos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3,即4=,解得.-因为e∈,所以≤e2≤,2≤≤3,可得≤3,故≤e1≤.。
高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件
数列，当 n 为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴S23
1－212
11×（11－1）
＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝ 1－2 ＋11×4＋
2
×1＝212－1＋44＋55＝4194.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＝152，a2＋a5＝4，设 bn＝[an]，[x]表示不超 过 x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前 8 项和 S8＝( )
A．12<a2<1
B．{an}是递增数列
C．12<a3<34
D．34<a2022<1
答案 ABD
解析 由 an＋1＝an＋ln (2－an)，0<a1<12，设 f(x)＝x＋ln (2－x)，则 f′(x) ＝1－2－1 x＝12－ －xx，所以当 0<x<1 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0，1)上单调递增， 所以 f(0)<f(x)<f(1)，即12＝ln e<ln 2<f(x)<1＋ln 1＝1，所以12<f(x)<1，即12 <an<1(n≥2)，故 A 正确；因为 f(x)在(0，1)上单调递增，0<an<1(n∈N*)，所 以 an＋1－an＝ln (2－an)>ln (2－1)＝0，所以{an}是递增数列，故 B项中，只有一项符合题目要求) 1．已知数列{bn}满足 b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2n2πbn＋cos2n2π，则该 数列的前 23 项和为( ) A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
答案 A
解析 由题意，得当 n 为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以 2 为公比的等比
高考数学总复习考点知识专题讲解12 离散型随机变量的数字特征
高考数学总复习考点知识专题讲解专题12 离散型随机变量的数字特征知识点一离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n＝∑=ii ip x1，为随机变量X的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(ax i＋b)p i＋…＋(ax n＋b)p n＝a(x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n)＋b(p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b .知识点二 两点分布的均值如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p .【例1】（2023•岳阳楼区校级开学）甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为12，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元．若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金()元 A ．700B ．600C ．200D ．100【例2】（2023•宝山区期末）设0a b <…，随机变量X 的分布是124()a b a b+，则()E X 的取值范围是()A ．3(1,)2B ．11[,3)4C ．11(1,]4D ．53[,)22【例3】（2023•多选•扬州期中）乒乓球()tabletennis ，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为(01)p p 剟，实际比赛局数的期望值记为()f p ，下列说法正确的是() A ．三局就结束比赛的概率为33(1)p p +-B ．()f p 的常数项为3 C ．14()()35f f <D ．133()28f =知识点三 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列如表所示．我们用X 所有可能取值x i 与E (X )的偏差的平方(x 1－E (X ))2，(x 2－E (X ))2，…，(x n －E (X ))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E (X )的偏离程度．我们称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝i ni i p X E x ∑=-12))((为随机变量X 的方差(variance)，有时也记为Var (X )X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X )． 知识点四 离散型随机变量方差的性质 1．设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．D (c )＝0(其中c 为常数)． 均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高． (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定． (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．【例4】（2023•巴中模拟）若一组样本数据1y ，2y ，⋯⋯，n y 的期望和方差分别为2，0.04，则数据151y +，251y +，351y +，⋯⋯，51n y +的期望和方差分别为() A ．3，1B ．11，1C ．3，0.2D ．11，0.2【例5】（2023•多选•重庆期中）若随机变量X 服从两点分布，且1(0)4P X ==，则()A ．(1)()P X E X ==B ．(41)3E X +=C ．3()16D X =D ．(41)4D X +=【例6】（2023•多选•南山区期中）设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有() A ．0.5q =B ．()3E X =，() 1.4D X =C ．()3E X =，() 1.8D X =D ．()7E Y =，() 5.6D Y =【例7】（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==，()E ξ=．【例8】（2023•湖南月考）长沙市有橘子洲，岳麓山，天心阁，开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览．已知该游客游览橘子洲的概率为23，游览其他景点的概率都是12．该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X 记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是()A ．游客至多游览一个景点的概率为14B ．3(2)8P X ==C ．1(4)24P X ==D ．13()6E X =【例9】（2023•多选•南京模拟）在10件产品中，其中有3件一等品，4件二等品，3件三等品，现从这10件产品中任取3件，记X 为取出的3件产品中一等品件数，事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，事件B 为取出的3件产品中一等品件数等于三等品件数，则下列命题正确的是() A ．7(2)40P X ==B ．29(1)30P X =…C ．9()10E X =D ．A ，B 相互独立【例10】（2022•多选•张家口期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则()A ．最多需要检测4次可确定患病者B ．第2次检测后就可确定患病者的概率为27C ．第3次检测后就可确定患病者的概率为27D ．检测次数的期望为227【例11】（2023•河源期末）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为5:7:8，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为4.85．【例12】（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【例13】（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．同步训练1.（2019•浙江）设01<<．随机变量X的分布列是a则当a在(0,1)内增大时，()A．()D X减小D X增大B．()C．()D X先减小后增大D X先增大后减小D．()2.（2023•多选•从化区期中）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则()A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球次数ξ的期望为2D ．取球3次的概率为1103.（2022•多选•南关区开学）已知随机变量ξ的分布列如下表；记“函数()3sin()2x f x x R π+=∈是偶函数”为事件A ，则下列结论正确的有() A ．3()4E m ξ=-B ．34m n +=C ．3()4P A =D ．1()4P A =4.（2023•多选•城厢区期末）设01m <<，随机变量的分布列为：则当m 在(0,1)上增大时，() A ．()E ξ减小B ．()E ξ增大C ．()D ξ先增后减，最大值为16D ．()D ξ先减后增，最小值为165.（2021•浙江）袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=，()E ξ=．6.（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)Pξ==，Eξ=．()7.（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为2，乙赢的3．概率为13（1）求甲获胜的概率；（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望．8.（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50)m的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：):m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）9.（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0i P X i p i ===，1，2，3)．（Ⅰ）已知00.4p =，10.3p =，20.2p =，30.1p =，求()E X ；（Ⅱ）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X …时，1p =，当()1E X >时，1p <；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．10．（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ． （1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）．。
(名师导学)高考数学总复习 第二章 函数 第12讲 函数的图象练习 理(含解析)新人教A版-新人教A
第12讲 函数的图象夯实基础 【p 26】【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)．2．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．【基础检测】1．函数f(x)＝x 2－2|x|的图象大致是( )【解析】∵函数f(x)＝x 2－2|x|，∴f(3)＝9－8＝1>0，故排除C ，D ，∵f(0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14－212<－1，故排除A ，故选B . 【答案】B2．为了得到函数y ＝2x ＋1－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上的所有的点( ) A ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度【解析】把函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝2x ＋1的图象，再把所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝2x ＋1－1的图象．【答案】A3．函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图象为( )【解析】将函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，得到函数为y ＝ln [1－(x －1)]＝ln (2－x)，再向上平移2个单位可得函数为y ＝ln (2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y ＝ln (2－x)＋2在(－∞，2)上为单调减函数，且恒过点(1，2)，故选C .【答案】C4．若函数y ＝f(x)的图象经过点(1，2)，则y ＝f(－x)＋1的图象必经过的点坐标是________．【解析】根据y ＝f(x)图象经过点(1，2)，可得y ＝f(－x)的图象经过点(－1，2)，函数y ＝f(－x)＋1的图象经过点(－1，3)．【答案】(－1，3)5．已知偶函数f ()x 和奇函数g ()x 的定义域都是()－4，4，且在(]－4，0上的图象如图所示，则关于x 的不等式f ()x ·g ()x <0的解集为________．【解析】设h ()x ＝f ()x g ()x ，则h ()－x ＝f ()－x g ()－x ＝－f ()x g ()x ＝－h ()x ，∴h ()x 是奇函数．由图象可知，当－4<x<－2时，f ()x >0，g ()x <0，即h ()x <0；当0<x<2时，f ()x <0，g ()x >0，即h ()x <0，∴h ()x <0的解为()－4，－2∪()0，2.【答案】()－4，－2∪()0，2【知识要点】1．基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象2．作图方法：描点法，变换法．(1)描点法作图的基本步骤：①求出函数的__定义域和值域__．②找出__关键点__(图象与坐标轴的交点，最值点、极值点)和__关键线__(对称轴、渐近线)，并将关键点列表．③研究函数的基本性质(__奇偶性、单调性、周期性__)．若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点或y 轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的图象即可．④在直角坐标系中__描点、连线__成图．(2)变换作图法常见的变换法则：__平移变换__、__伸缩变换__和__对称变换__，具体方法如下： 平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体)． ①左右平移变换(左加右减)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向左平移b （b ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向右平移b （b ＞0 ②上下平移变换(上正下负)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向上平移h （h ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向下平移h （h ＞0③伸缩变换包括左右伸缩变换(针对自变量)和上下伸缩变换(针对函数值整体)，(横缩纵伸)具体方法如下：y ＝f （x ）――→纵坐标保持不变横坐标缩为原来的1a倍y ＝ f （ax ），a ＞0 ， y ＝f （x ）――→横坐标保持不变纵坐标伸长为原来的a 倍y ＝ af （x ），a ＞0 .(3)对称变换包括中心对称和轴对称①y＝f(x)与y ＝－f(x)关于__x 轴__对称；②y＝f(x)与y ＝f(－x)关于__y 轴__对称；③y＝f(x)与y ＝－f(－x)关于__原点__对称；④y＝f(x)与y ＝f(2a －x)关于__x ＝a__对称；⑤y＝f(x)与y ＝|f(x)|，保留x 轴上方的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，x 轴下方图象删去；⑥y＝f(x)与y ＝f(|x|)，保留y 轴右方的图象，将y 轴右方的图象沿y 轴翻折到左边，y 轴左方原图象删去．3．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等．4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质、求最值、确定方程的解的个数、解不等式等．数形结合，直观方便．典 例 剖 析 【p 27】考点1 作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y ＝2－x x ＋1； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－x x ＋1的图象，如图①所示． (2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图②所示． (3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．(4)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．【点评】为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数； (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．考点2 函数图象的识别例2(1)函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )【解析】因为f (x )是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B 、D ，又因为f (π)＝0，故选C.【答案】C(2)函数y ＝(3x 2＋2x )e x的图象大致是( )【解析】f (x )＝(3x 2＋2x )e x ，则函数f (x )只有两个零点，x ＝－23和x ＝0，故排除B 、D.f′(x )＝(3x 2＋8x ＋2)e x，由f′(x )＝0可知函数有两个极值点，故排除C.【答案】A(3)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM⊥AB 于M ，EN⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是如图所示的( )【解析】∵EM⊥AB，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x.当点E 在BC 上运动时，即当0≤x≤3时，y ＝x ()5－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254； 当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x≤5，y ＝－3x ＋15. 所以y 与x 的函数关系为f ()x ＝⎩⎨⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254，()0≤x≤3，－3x ＋15，（3<x≤5）.画出图象如选项A 所示．【答案】A【点评】函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．考点3函数图象的应用例3(1)定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，给出下列四个命题：①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．【解析】①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以有三个解，正确；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f(x)∈(0，a)可能有1，2，3个解，不正确；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；类似②不正确；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g(x)是减函数，故正确．【答案】①④(2)函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示)．①当x ∈[－1，1]时，y 的取值X 围是________；②如果对任意x ∈[a ，b ](b <0)，都有y ∈[－2，1]，那么a 的最小值是________．【解析】由图象可知，当x ＝0时，函数在[－1，1]上的最小值y min ＝1，当x ＝±1时，函数在[－1，1]上的最大值y max ＝2，所以当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的值域为[1，2]；当x ∈[0，3]时，函数f (x )＝－(x －1)2＋2，当x ∈[3，＋∞)时，函数f (x )＝x －5， 当f (x )＝1时，x ＝2或x ＝6，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意x ∈[a ，b ](b <0)，要使得y ∈[－2，1]，则a ∈[－6，－2]，b ∈[－6，－2]，且a ≤b ，则实数a 的最小值是－6.【答案】[1，2]；－6(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax 恒成立，则实数a 的取值X 围是__________．【解析】在平面直角坐标系中画出函数y ＝|f (x )|，y ＝ax 的图象如图，结合图象可知当直线y ＝ax 的斜率a 满足a ∈[－2，0]时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】[－2，0]方 法 总 结 【p 28】1．函数图象是函数性质的具体体现，它是函数的另一种表示形式，因此对基本初等函数的图象必须熟记．2．掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式．3．变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形．4．在图象变换中，写函数解析式，也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式．5．合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下X 围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题给条件，进行合理解答． 6．充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空选择题、方程根的个数等方面，很有效．因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题．走 进 高 考 【p 28】1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x2的图象大致为( )【解析】∵x ≠0，f (－x )＝e －x －e xx 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，舍去A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴舍去D ；∴f ′(x )＝（e x ＋e －x ）x 2－（e x －e －x）2xx4＝（x －2）e x ＋（x ＋2）e－xx 3，∴当x >2，f ′(x )>0， 所以舍去C ；因此选B. 【答案】B2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )【解析】当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B ；y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ＝0.1时，y ′>0.故选D.【答案】D考 点 集 训 【p 188】A 组题1．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序是( ) ①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进； ②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进； ③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度．A ．③①② B．③④② C ．②①③ D ．②④③【解析】离开家后缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；对应离开家的距离先缓慢增长再快速增长，对应图象②；骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；对应离开家的距离直线上升再停止增长再直线上升(与开始直线平行)，对应图象①；快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度；对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长，对应图象③.【答案】C2．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)【解析】把函数y ＝log 2(x －1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝log 2(2x－1)的图象，再向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝log 2(2x －2)．【答案】D3．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2【解析】对于A ，函数f (x )＝x2|x |，当x >0时，y >0；当x <0时，y <0，所以不满足题意．对于B ，当x ≥0时，f (x )单调递增，不满足题意． 对于C ，当x ≥0时，f (x )>0，不满足题意．对于D ，函数y ＝2|x |－x 2为偶函数，且当x ≥0时，函数有两个零点，满足题意． 【答案】D4．函数f (x )＝x ln|x |的图象可能是( )【解析】函数的定义域{x |x ≠0}关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：f (－x )＝－x ×ln|－x |＝－x ln x ＝－f (x )， 则函数f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C ，D 错误； 当x ＞0时，f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋x ×1x＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)内先单调递减，再单调递增，据此可排除B 选项，故选A. 【答案】A5．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a （x ≤0），ln （x ＋a ）（x >0）(e 为自然对数的底数)，若方程f (x )＝12有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.[]0，e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，e 【解析】(1)若a <0，则函数的定义域不是R ，不合题意；(2)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x（x ≤0），ln x （x >0），定义域为R ，显然方程f (x )＝12有两个不等实根，符合题意；(3)若a >0，函数的定义域为R .当x ≤0时，－a ＜f (x )≤1－a ；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋a )>ln a .结合图象可得要使方程f (x )＝12有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a ＜12≤1－a ，ln a <12，解得0＜a ≤12.综上可得0＜a ≤12.【答案】A6．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图①所示；函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图②所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】由图象可知若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1.由图②知当g (x )＝－1时， x ＝－1或x ＝1；当g (x )＝0时， x 的值有3个；当g (x )＝1时， x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－2－12＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0.由图①知f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5均无解；当f (x )＝0时， x ＝－1, x ＝1或x ＝0，故n ＝3，所以m ＋n ＝10.【答案】C7．已知函数y ＝f (x )是定义在区间[－3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f (x )＋f (－x )>x 的解集为________．【解析】由题意，函数f (x )过点(0，2)，(3，0)，∴y ＝－23x ＋2.又因为f (x )是偶函数，关于y 轴对称， 所以f (x )＝f (－x )，即2f (x )>x .根据函数f (x )在[－3，3]上的图象可知，当x ∈[－3，0)的时候，y ＝2f (x )的图象恒在y ＝x 的上方，当x ∈[0，3]的时候，令2f (x )＝x ，x ＝127，即当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127时，满足2f (x )>x ，即f (x )＋f (－x )>x . 【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127 8．已知二次函数y ＝f ()x 满足f ()2x －1＝4x 2－8x .(1)求f ()x 的解析式；(2)作出函数y ＝||f ()x 的图象，并写出其单调区间； (3)求y ＝f ()x 在区间[]t ，t ＋1(t ∈R )上的最小值． 【解析】(1)令2x －1＝t 则x ＝t ＋12，∴f ()t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－8·t ＋12＝t 2－2t －3，∴f ()x ＝x 2－2x －3.(2)函数|f (x )|的图象如图：由图象可知：|f ()x |的单调递增区间为[]－1，1，[3，＋∞)； 单调递减区间为(]－∞，－1，[]1，3. (3)f ()x ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，开口向上，对称轴为x ＝1，当t ≥1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为增函数， 所以x ＝t 时y 有最小值为f ()t ＝t 2－2t －3；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上先减后增， 所以x ＝1时y 有最小值为f ()1＝－4；当t ＋1≤1，即t ≤0时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为减函数， 所以x ＝t ＋1时y 有最小值为f ()t ＋1＝t 2－4；综上所述：t ≤0时，f ()x 最小值为t 2－4；0<t <1时，f ()x 最小值为－4；t ≥1时，最小值为t 2－2t －3.B 组题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0），x 2＋1，x ∈[0，1]，结合图象，则下列选项错误的是( )A ．①是f (x －1)的图象B ．②是f (－x )的图象C ．③是f (|x |)的图象D ．④是|f (x )|的图象【解析】作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，对于选项A ，f (x －1)的图象是将f (x )的图象向右平移1个单位长度后得到的，正确；对于选项B ，f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，正确；对于选项C ，f (|x |)的图象为f (x )在y 轴右侧的图象不变，y 轴左侧的图象与右侧图象关于y 轴对称，正确；对于选项D ，|f (x )|的图象为f (x )在x 轴上方的图象不变，下方图象沿x 轴对称翻折到x 轴上方，因为函数f (x )的图象均在x 轴上方，所以|f (x )|的图象应与f (x )的图象相同，错误．【答案】D2．已知函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，当x ∈(]0，3时，f ()x 的图象如图所示，那么满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是________．【解析】由图象可知，当x ∈(]0，3时，f ()x 单调递减，当0<x ≤1时，f ()x ≥1，2x－1≤1，满足不等式f ()x ≥2x－1；当1<x ≤3时，f ()x <1，1<2x－1≤7，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∵函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，∴当x ∈[)－3，0时，f ()x 单调递减，当－3≤x ≤－2时，－34≤f ()x <0，－78<2x－1≤－34，满足不等式f ()x ≥2x －1；当x >－2时，f ()x <－34，2x －1>－34，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∴满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是[]－3，－2∪(]0，1.【答案】[]－3，－2∪(]0，13．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则a 的取值X 围是__________．【解析】x ≤0时，f (x )＝2－x－1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值X 围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1)4．已知函数f (x )＝2x－a2x (a ∈R )，将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线y ＝1对称，设F (x )＝f (x )＋h (x )，已知F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值X 围．【解析】(1)g (x )＝2x －2－a2x －2.(2)设y ＝h (x )的图象上一点P (x ，y )，点P (x ，y )关于y ＝1的对称点为Q (x ，2－y )，由点Q 在y ＝g (x )的图象上，所以2－y ＝2x －2－a 2x －2， 于是y ＝2－2x －2＋a2x －2，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2. F (x )＝f (x )＋h (x )＝34×2x ＋3a2x ＋2. 由F (x )>3a ＋2，化简得14×2x ＋a2x >a ，设t ＝2x ，t ∈(2，＋∞)，F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，即t 2－4at ＋4a >0在(2，＋∞)上恒成立．设m (t )＝t 2－4at ＋4a ，t ∈(2，＋∞)，对称轴为t ＝2a ， 则Δ＝16a 2－16a <0，③或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2－16a ≥0，2a ≤2，m （2）≥0，④ 由③得0<a <1，由④得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≤1，a ≤1，即a ≤0或a ＝1.综上，a ≤1.。
高三数学知识点总结(15篇)
高三数学知识点总结(15篇)高三数学知识点总结1考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。
重点考查集合间关系的理解和认识。
近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。
在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。
简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等，二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。
考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数（一次和二次函数、指数、对数、幂函数）的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。
导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。
考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。
小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。
大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。
向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型、考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。
对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查、在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目、考点五：立体几何与空间向量一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等（文科不要求）、在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题，多为中档题。
高考数学总复习 12充分条件与必要条件课后作业 试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【走向高考】2021年高考数学总复习 1-2充分条件与必要条件课后作业北师大版一、选择题1．(2021·文，3)假设a∈R，那么“a＝1〞是“|a|＝1〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 此题考察充要条件．a＝1成立，那么|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．2．(文)命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数〞的逆命题是( )A．“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数〞B．“假设一个数的平方是正数，那么它是负数〞C．“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数〞D．“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数〞[答案] B[解析] 考察命题与它的逆命题之间的关系．原命题与它的逆命题的条件与结论互换，应选B.(理)命题“假设a>0，那么a2>0〞的否命题是( )A．假设a2>0，那么a>0 B．假设a<0，那么a2<0C．假设a≤0，那么a2≤0 D．假设a≤0，那么a2≥0[答案] C[解析] 否命题是将原命题的条件与结论分别否认，作为条件和结论得到的，即“假设a≤0，那么a2≤0〞．3．(2021·模拟)“sinα＝12〞是“cos2α＝12〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 此题主要考察充要条件和三角公式．∵cos2α＝1－2sin2α＝12，∴sinα＝±12，∴sinα＝12⇒cos2α＝12，但cos2α＝12⇒/ sinα＝12，∴“sinα＝12〞是“cos2α＝12〞的充分而不必要条件．4．(2021·模拟)对于非零向量a、b，“a＋b＝0〞是“a∥b〞的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考察平面向量平行的条件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.应选A.5．有以下四个命题：①“假设xy＝1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；②“相似三角形的周长相等〞的否命题；③“假设b≤－1，那么方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根〞的逆否命题；④“假设A∪B＝B，那么A⊇B〞的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④[答案] C[解析] 写出相应命题并断定真假．①“假设x，y互为倒数，那么xy＝1〞为真命题；②“不相似三角形的周长不相等〞为假命题；③“假设方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，那么b>－1〞为真命题；④“假设A⊉B，那么A∪B≠B〞为假命题．6．(2021·理，2)设x，y∈R，那么“x≥2且y≥2〞是“x2＋y2≥4〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 此题主要考察充分必要条件．由x≥2且y≥2，那么x2＋y2≥4一定成立，而x2＋y2≥4时，x≥2且y≥2不一定成立，如x≥3且y≥0，故充分不必要条件．二、填空题7．命题p：|2x－3|>1，命题q：lg(x－2)<0，那么命题p是命题q的________条件．[答案] 必要不充分[解析] p ：x >2或者x <1，q ：2<x <3，故p 是q 的必要不充分条件．8．在命题“假设m >－n ，那么m 2>n 2〞的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． [答案] 3[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“假设m 2>n 2，那么m >－n 〞也是假命题，从而否命题也是假命题．三、解答题9．p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，假设¬p 是¬q 的必要不充分条件，务实数m 的取值范围．[解析] 解法一：(直接法)∵p ：－2≤x ≤10，∴綈p ：A ＝{x |x <－2或者x >10}． ∵q ：1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或者x <1－m }． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴BA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，解得m ≥9.解法二：(等价命题转化法)∵“¬p 是¬q 必要不充分条件〞的等价命题是：p 是q 的充分不必要条件． 设p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.(两个等号不能同时取到)，∴m ≥9.一、选择题1．(2021·大纲全国卷理，3)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[答案] A[解析] 此题主要考察了不等式的性质以及充分不必要条件、充要条件等概念，难度适中． 要求a >b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a >b ，而由a >b 推不出选项．在选项A 中，a >b ＋1能使a >b 成立，而a >b 时a >b ＋1不一定成立，故A 正确；在选项B 中，a >b －1时a >b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2>b 2时a >b 也不一定成立，因为a ，b 不一定均为正值，故C 错误；在选项D 中，a 3>b 3是a >b 成立的充要条件，故D 也错误．2．(文)命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 、21－x 、2x 2成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋1)、lg(x ＋3)成等差数列，那么甲是乙的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] B[解析] 甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·2 x 2＝(21－x )2，即2 x 2－x ＝22－2x，∴x ＝1或者－2乙：lg x ＋lg(x ＋3)＝2lg(x ＋1)，即x (x ＋3)＝(x ＋1)2， ∴x ＝1，∴甲⇒/ 乙，而乙⇒甲． (理)在△ABC 中，设命题p ：asin B ＝bsin C ＝csin A；命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 命题p 中，因asin B ＝bsin C ＝csin A，由正弦定理可得a b ＝b c ＝ca＝k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，消去k ，得a ＝b ＝c .命题q 中，因△ABC 是等边三角形， 所以a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， 所以asin B ＝b sin C ＝csin A.二、填空题3．有以下判断：①命题“假设q 那么p 〞与命题“假设綈p 那么綈q 〞互为逆否命题；②“am 2<bm 2〞是“a <b 〞的充要条件；③“平行四边形的对角相等〞的否命题；④命题“∅⊆{1,2}或者∅∈{1,2}〞为真．其中正确命题的序号为________． [答案] ①④[解析] ①两个命题的条件与结论互逆且否认，故正确；②am 2<bm 2，∴m 2>0，∴可以推出a <b . 但反之不能(如m ＝0)．故错误；③命题“平行四边形的对角相等〞的否命题是“假设一个四边形不是平行四边形，那么它的对角不相等〞是假命题．④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确． 4．(文)设集合A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |x 2－4x <0}，那么“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的________条件．[答案] 充分不必要 [解析] 假设m ∈A ，那么m m －1<0，∴0<m <1.假设m ∈B ，那么m 2－4m <0，即0<m <4. 故“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的充分条件． 取m ＝2，那么m m －1＝2，于是m m －1<0不成立，所以m ∈A 不成立．故“m ∈A 〞不是“m ∈B 〞的必要条件．综上所述，“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的充分不必要条件． (理)对于以下四个结论：①假设A 是B 的必要不充分条件，那么綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0〞是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R 〞的充要条件；③“x ≠1〞是“x 2≠1〞的充分不必要条件； ④“x ≠0〞是“x ＋|x |>0〞的必要不充分条件． 其中，正确结论的序号是________． [答案] ①②④[解析] ∵“A ⇐B 〞，∴“綈A ⇒綈B 〞，故①正确．“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R 〞的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0，故②正确．∵x ≠1⇒/ x 2≠1，例如x ＝－1，故③错误． ∵x ＋|x |>0⇒x ≠0，但x ≠0⇒/ x ＋|x |>0， 例如x ④正确． 三、解答题 5．给出以下命题：(1)p ：x －2＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0. (2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等． (3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． (4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等． 试分别指出p 是q 的什么条件．[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0； 而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0. ∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等； 但两个三角形全等⇒两个三角形相似． ∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根； 方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件．6．(文)判断以下命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假． (1)假设四边形的对角互补，那么该四边形是圆内接四边形；(2)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设b 2－4ac <0，那么该函数图像与x 轴有交点． [解析] (1)该命题为真命题．逆命题：假设四边形是圆内接四边形，那么该四边形的对角互补．真命题． 否命题：假设四边形的对角不互补，那么该四边形不是圆内接四边形．真命题． 逆否命题：假设四边形不是圆内接四边形，那么该四边形的对角不互补．真命题． (2)该命题是假命题.逆命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设该函数的图像与x 轴有交点，那么b 2－4ac <0.假命题．否命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设b 2－4ac ≥0， 那么该函数图像与x 轴没有交点．假命题．逆否命题：假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴没有交点，那么b 2－4ac ≥0.假命题． (理)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“假如直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3〞是真命题． (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2 ＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3. ∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“假设OA →·OB →＝3，那么直线l 过点(3,0)〞它是假命题． 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或者b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或者(－1,0)．故逆命题为假命题．7．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或者x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，务实数a 的范围．[解析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0及a <0，得3a <x <a ， 即p ：3a <x <a ；又由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，由x 2＋2x －8>0， 得x <－4或者x >2， 那么q ：x <－4或者x ≥－2.由于綈p 是綈q 的必要不充分条件，即綈q ⇒綈p ，于是，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，或者⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0得－23≤a <0或者a ≤－4，故所求a 的范围为－23≤a <0或者a ≤－4.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高考数学专题复习 (12)
1．函数的极值与导数
(1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法 一般地，当 f′(x0)＝0 时， ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极 大值；
②如果在 x0 附近的左侧____________，右侧____________，那
3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间
(6)产量
4．＜ ＞ ＝ ＝
(5)时间
设函数 f(x)＝2x＋lnx，则( )
A．x＝12为 f(x)的极大值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点
B．x＝12为 f(x)的极小值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
解：f(x)＝2x＋lnx(x>0)，f′(x)＝－x22＋1x＝x－x2 2，令 f′(x) ＝0，得 x＝2.当 x>2 时，f′(x)>0，这时 f(x)为增函数；当 0<x<2 时，f′(x)<0，这时 f(x)为减函数，据此知 x＝2 为 f(x)
令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝23. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞， 0
0)
0，23
2 3
23，＋∞
f′(x) － 0
＋
0
－
极
极
f(x) ↘ 小
↗
大
↘
值
值
故函数 f(x)的极大值点为23；当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0) ＝0.
点 拨：
的极小值点．故选 D.
设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示， 则 y＝f(x)的图象最有可能是 ( )
函数的图象(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向12 函数的图象【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． （2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．(1)若()()f m x f m x +=-恒成立，则()y f x =的图像关于直线x m =对称.(2)设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()y f x m =-与()y f m x =-(0)m >的图象关于直线x m =对称.(3)若()()f a x f b x +=-，对任意x ∈R 恒成立，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称. (4)函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称. (5)函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称. (6)函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）； 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y f x -=与()y f x =的图像关于y x =对称. （3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到.1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像. 【详解】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln sin f x x x =+B ．()ln cos f x x x =-C ．()ln cos f x x x =+D ．()ln sin f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A,D;利用特殊值可判断C;结合三角函数性质以及函数的奇偶性，可判断B. 【详解】对于A ，()ln sin ,0f x x x x =+≠，()ln sin ()f x x x f x -=--≠，即()ln sin ,0f x x x x =+≠不是偶函数，不符合题意；对于C, ()ln cos ,0f x x x x =+≠，()πln πcos π=ln π11f =+-<，不符合题意； 对于D ，()ln sin ,0f x x x x =-≠，()ln sin ()f x x x f x -=-+≠，不符合题意； 对于B ，()ln cos ,0f x x x x =-≠，()ln cos ()f x x x f x -=--=， 故()f x 为偶函数，结合函数cos y x =的性质，可知B 符合题意， 故选:B3．（2022·浙江·三模）函数1sin 22x xxy -+=+在区间[,]-ππ上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】直接由特殊点通过排除法求解即可. 【详解】 当0x =时，12y =，排除C 选项；当2x π=-时，0y =，排除B 、D 选项.故选：A.4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．5．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】根据,,0a b 的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当0a b >>时，A 正确；当0b a >>时，B 正确； 当0a b >>时，D 正确；当0b a >>时，无此选项． 故选：ABD ．1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数()2222x xx xf x -+=+的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x xx xf x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC 即可得解. 【详解】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象关于原点对称，函数是奇函数， 1x >时()0f x >， 据此，ln ()||xf x x =定义域不符合，排除A; 若 ()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，则1x >时，()0f x <，不符合图象，故排除B ；若()()1(0)e 1e (0)x x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩，则当x 趋向于0+时，1()e x x f x -=趋向于1-，当x 趋向于0-时，()(1)e xf x x =+趋向于1，不符合图象，故排除C; 故选：D3．（2022·湖北·模拟预测）函数()[]()0,1y f x x =∈对任意()10,1a ∈，由()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列{}n a 均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由题可得()n n f a a >，进而可得函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，即得. 【详解】由题可知()()*1n n a f a n +=∈N ，1n n a a +>，∴()n n f a a >，故函数()f x 满足()f x x >，即函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，故排除BCD. 故选：A.4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()2ln1(),cos x x f x a R x a+=∈+的图像如图所示，则实数a 的值可能是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域分析即可 【详解】由题意，2210x x x x x x +->-=-≥，故210x x +->，分子一定有意义.又根据图象可得，当23x π=时分式无意义，故此时分母为0，故2cos 03a π+=，即102a -+=，12a =故选：C5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））函数sin 22cos x xy x=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 设()sin 22cos x x f x x =-，分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 设()sin 22cos x xf x x=-，则对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则()()()()sin 2sin 22cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，则sin 20x >，所以()0f x >，排除C ．故选：A ．7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数， 与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()44f ππ=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．8．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()()2()ln 1cos 3f x x x x ϕ=++⋅+.则当[0,]ϕπ∈时，()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】首先设()()2ln 1g x x x =+，得到()g x 为奇函数，再分别令0,,2πϕπ=，依次判断选项即可.【点睛】设()(2ln 1g x x x =+，定义域为R ，()()((()2222ln 1ln 1ln 10g x g x x x x x x x +-=++-+=+-=， 所以()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.当0ϕ=时，cos3y x =为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项B 可能. 当ϕπ=时，()cos 3cos3y x x π=+=-为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =-+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以选项A 可能. 当2ϕπ=时，cos 3sin 32y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为偶函数，(2()ln 1sin3f x x x x =-+⋅为偶函数.因为()20033f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，，所以选项C 可能. 故选：D9．（2022·吉林·三模（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x=A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A 【解析】 【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值． 【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x=>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数 故选：A ．10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =【答案】A 【解析】 【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ．11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．22cos ()ln 2cos xf x x x +=+-B ．32cos ()ln 2cos xf x x x+=-C ．32sin ()ln 2sin xf x x x+=+-D ．22sin ()ln2sin xf x x x+=-【答案】B 【解析】 【分析】观察图象确定函数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项. 【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，由图象可得(2)0f <，对于函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-，因为()()()222cos 2cos ()lnln ()2cos 2cos x xf x x x f x x x+-+-=-+=+=---，所以函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-为偶函数，A 错，对于函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-，()32sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-+=-+， 所以函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-为奇函数，又32sin 2(2)2ln02sin 2f +=+>-，与图象不符，故C 错误， 对于函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-，()22sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-=-+， 所以函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-为奇函数，又22sin 2(2)2ln02sin 2f +=>-，与图象不符，故D 错误， 对于函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-，因为()32cos ()ln()2cos x f x x f x x +-=-=--， 所以函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-为奇函数，且32cos 2(2)2ln02cos 2f +=<-，与图象基本相符，B 正确， 故选：B.12．（2022·四川眉山·三模（理））四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（ ） A ．类似递增的双曲线 B ．类似递增的对数曲线 C ．类似递减的指数曲线 D ．是一条S 形曲线【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可得1311y x -=++，()0x >，整理得341y x -=++，()0x >，再根据函数的变换规则判断可得； 【详解】解：依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >， 即()31333 114111x x y x x x +--=+=+=++++，()0x >， 由3y x -=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >， 因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线； 故选：A13．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称， 所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.15．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A16．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解.【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =， 于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒ 而,,r H v 2323H v r π是常数， 所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A1．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A.2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x x y x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+ 【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 3．（2021·天津·高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.4．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5．（2020·天津·高考真题）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6．（2020·浙江·高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．（2017·全国·高考真题（文））函数y ＝1＋x ＋2sin x x 的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.10．（2015·浙江·高考真题（文））函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【详解】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．（2018·浙江·高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．12．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<， 得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.13．（2017·全国·高考真题（文））函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【详解】由题意知，函数sin 21cos x y x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．（2015·安徽·高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数、幂函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数、幂函数考向预测核心素养二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度.直观想象、逻辑推理、数学抽象一、知识梳理1．常见的五种幂函数的图象2．幂函数y＝xα的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．3．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 4．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 58T 6改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120. 2．(人A 必修第一册P 91练习T 1改编)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数f (x )＝kx α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2x 12是幂函数．( )(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏1．(二次函数性质不明致误)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B.(－∞，3] C ．(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，所以m ∈(0，1)，所以m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：>3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．解析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，代入解析式得α＝－12，则y ＝x －12，由性质可知函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)考点一幂函数的图象及性质(自主练透)复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 12的图象，了解它们的变化情况．1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )A．奇函数 B.偶函数C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )A．2 B.－1C.4D.2或－1解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.3.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >a B.a >b >c >d C ．d >c >a >bD.a >b >d >c解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.4．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，则m ＝________，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )的图象过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，又m ∈N *，所以m ＝1.即f (x )＝x 12，其定义域为{x |x ≥0}，且在定义域上函数为增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得0≤a －1<2－a ，解得1≤a <32.答案：1 1≤a <32幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．考点二 二次函数的解析式(综合研析)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略|跟踪训练|已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1，2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质(多维探究)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．角度1 二次函数的图象(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则( )A．b2＞4ac B.2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D.5a＜b(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0【解析】(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.【答案】(1)AD (2)C识别二次函数图象应学会“三看”角度2 二次函数的单调性与最值(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，0) B.(－∞，－3]C．[－2，0] D.[－3，0](2)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a 的值为________． 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a， 由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． (2)f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a >0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【答案】 (1)D (2)38若本例(1)中函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，所以a ＝－3. 答案：－3(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．|跟踪训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，排除B ，故选D.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3.3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f (x )＝x |x －a |在[0，2]上的最大值为2，则a 的取值可以为( )A ．1 B.3 C.2 2D.42－4解析：选AC.若a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2|2－a |＝2，解得a ＝1(舍去)或a ＝3(舍去)． 若a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x （x －a ），x ≤a ，x （x －a ），x >a ，当a2>2即a >4时，f (x )max ＝f (2)＝－2(2－a )＝2，解得a ＝3(舍去)． 当x >a 时，令f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，解得x ＝（2＋1）a 2(负值舍去)．当a2≤2≤（2＋1）a 2即4(2－1)≤a ≤4时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24＝2，解得a ＝2 2. 当2>（2＋1）a2即a <4(2－1)时，f (x )max ＝f (2)＝2(2－a )＝2.解得a ＝1.[A 基础达标]1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A．1或3 B.1C.3D.2解析：选B.由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2022·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.4．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B.f(1)C.f(2)D.f(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B.1C.2D.1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)解析：选ABD.由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.7．(2022·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162， 因为值域为[0，＋∞)，所以m －7－8⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0， 解得m ＝9或m ＝25. 答案：9或258．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，239．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c 的取值范围是________．解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2时，需满足12≤c ≤1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，110．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1，2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . 所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．[B 综合应用]11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1，0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1，1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0，3]解析：选AD.由题意，得当x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14；当x <0时，f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误； f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C 错误； 当x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0，3]， 当x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．12．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)．若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B.[4，＋∞) C ．[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.因为f (x )＞0的解集为(－1，3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1，0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1，0]上恒成立，故m ≥4.13．(多选)(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上单调递增 B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB.对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象不关于x ＝1对称，错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，错误．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )．易知f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．[C 素养提升]15．(2022·兰州模拟)已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，所以|x |≤4， 所以－4≤x ≤4.所以不等式f (|x |)≤2的解集是[－4，4]． 答案：[－4，4]16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围．解：设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1(舍去)或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．。
高考数学总复习 12充分条件与必要条件课件 北师大版
[解析] 本题主要考查充要条件的判定． 由“x<－1”可得“x2－1>0”，但“x2－1>0”时，x>1 或 x<－ 1，所以“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件， 选 A.
(理)(2011·湖南理，2)设集合 M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝ 1”是“N⊆M”的( )
[解析] (1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它 的三个内角相等”．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是 正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不 全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个 三角形 不是正三角形 (或写成：三个内角不全相 等的三角形不 是 正三角形)．
判断命题的等价命题的真假(当命题 间接法
以否定形式给出时常用此法)
充分条件与必要条件的判定
[例 2] 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：a＋b＝2，q：直线 x＋y＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2 相切； (2)p： |x|＝ x， q： x2＋ x≥ 0；
(3)设 l，m 均为直线，α 为平面，其中 l α，m α，
逆命题：“若 q，则 p”；否命题：“若綈 p，则綈 q”；
逆否命题：“若綈 q，则綈 p”，对写出的命题也可简洁
表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不 要动．
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判 断它们的真假．
(1)若 q≤1，则方程 x2＋2x＋q＝0 有实根； (2)设 a、b 为实数，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0； (3)若 x2＋y2＝0，则 x、y 全为零．
高考数学考前复习专题训练—客观题12+4标准练(三)
高考数学考前复习专题训练—客观题12+4标准练(三)一、单项选择题1.复数z=1-i 31+2i的虚部为( )A.-15iB.15iC.-15D.152.已知集合M={x|lg(x-1)≤0},N={x||x|<2},则M ∪N=( ) A.⌀ B.(1,2)C.(-2,2]D.{-1,0,1,2}3.4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲,每人宣讲1场,每个基层单位至少安排1人宣讲,则不同的安排方法数为( ) A.81 B.72C.36D.64.若向量a ,b 满足|a |=2,|b |=√3,且(a -b )⊥(2a +3b ),则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.√112B.√336C.√215D.√365.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测,在PCR 扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA 的数量X n 与扩增次数n 满足lg X n =n lg(1+p )+lg X 0,其中p 为扩增效率,X 0为DNA 的初始数量.已知某被测标本DNA 扩增10次后,数量变为原来的100倍,则该样本的扩增效率p 约为( ) (参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631) A.0.369B.0.415C.0.585D.0.6316.某地区为落实乡村振兴战略,帮助农民脱贫致富,引入一种特色农产品种植,该农产品上市时间仅能维持5个月,预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.经研究其价格模拟函数为f (t )=t (t-3)2+4(0≤t ≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此类推).为保护农户的经济效应,当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销,请你预测该农产品价格下跌的月份为( ) A.5月和6月 B.6月和7月 C.7月和8月 D.8月和9月7.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线C 上存在点P 满足∠F 2PO=2∠F 1PO=π3,则该双曲线的离心率为( ) A.√3+1B.√2+1C.√3D.√28.已知函数f (x )的定义域为R ,f (5)=4,f (x+3)是偶函数,任意x 1,x 2∈[3,+∞)满足f (x 1)-f (x 2)x1-x 2>0,则不等式f (3x-1)<4的解集为( )A.(23,3) B.(-∞,23)∪(2,+∞)C.(2,3)D.(23,2)二、多项选择题9.已知函数f(x)=cos(x+π6),则()A.2π为f(x)的一个周期B.f(x)的图象关于直线x=4π3对称C.f(x)在区间(π2,π)内单调递减D.f(x+π)的一个零点为π310.已知ln x>ln y>0,则下列结论正确的是()A.1x <1yB.(13)x>(13)yC.log y x>log x yD.x2+4y(x-y)>811.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.D1D⊥平面AEFB.A1G∥平面AEFC.异面直线A1G与EF所成角的余弦值为√1010D.点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍12.如图,在数表中,第1行是从1开始的正奇数,从第2行开始每个数是它肩上两个数之和,则下列说法正确的是()1 3 5 7 9 11…4 8121620…12202836……A.第6行第1个数为192B.第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列C.第10行前10个数的和为95×29D.数表中第2 021行第2 021个数为6 061×22 020三、填空题13.在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X≥90)=0.5,且P(X≥110)=0.2,则P(X≤70)=.14.已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且四边形ABCD为正方形,则|m-n|的值为.15.如图,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕点O转动,长杆MN通过点N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内作往复移动时,带动点N绕点O转动,点M也随之运动.记点N的运动轨迹为C1,点M的运动轨迹为C2.若ON=DN=1,MN=3,过轨迹C2上的点P向轨迹C1作切线,则切线长的最大值为.16.阿基米德在他的著作《论球和圆柱》中,证明了数学史上著名的圆柱容球定理:圆柱的内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确,即圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比,则该比值的最大值为.答案及解析1.C 解析 因为z=1-i 31+2i=1+i 1+2i =(1+i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=35−15i,所以复数z 的虚部为-15.2.C 解析 根据题意,由lg(x-1)≤0,得0<x-1≤1,即1<x ≤2,则集合M={x|lg(x-1)≤0}={x|1<x ≤2}.由|x|<2,得-2<x<2,则N={x||x|<2}={x|-2<x<2}.故M ∪N={x|-2<x ≤2}=(-2,2].3.C 解析 根据题意,必有两人去同一个基层单位进行宣讲,故先从4位优秀党务工作者中选两人,有C 42=6种选法,将其看成整体,再和另外两人分配到3个基层单位,有A 33=6种分配方案,所以共有6×6=36种不同的安排方案.4.D 解析 由已知得(a -b )·(2a +3b )=2a 2+a ·b -3b 2=0,|a |=2,|b |=√3,则2√3cos <a ,b >-1=0,故cos <a ,b >=√36.5.C 解析 由题意知lg(100X 0)=10lg(1+p )+lg X 0,即2+lg X 0=10lg(1+p )+lg X 0,所以1+p=100.2≈1.585,解得p ≈0.585.6.B 解析 由f (t )=t (t-3)2+4(t ∈[0,5]),得f'(t )=(t-3)2+2t (t-3)=3(t-1)(t-3),当t ∈[0,1)时,f (t )单调递增;当t ∈(1,3)时,f (t )单调递减;当t ∈(3,5]时,f (t )单调递增.根据题意,可知该农产品价格下跌的月份为6月和7月. 7.A 解析 由∠F 2PO=2∠F 1PO=π3,可知∠F 1PF 2=π2,又O 为F 1F 2的中点,所以∠F 1F 2P=π3.根据题意可知|F 1F 2|=2c ,则|PF 2|=c ,|PF 1|=√3c ,所以√3c-c=2a ,所以e=ca =√3-1=√3+1.8.D 解析 因为f (x+3)是偶函数,所以f (x )的图象关于直线x=3对称,所以f (5)=f (1)=4.因为任意x 1,x 2∈[3,+∞)满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以f (x )在区间[3,+∞)内单调递增,在区间(-∞,3)内单调递减,所以f (3x-1)<4等价于1<3x-1<5,解得23<x<2.9.AD 解析 函数f (x )=cos (x +π6)的最小正周期为2π,故A 正确;由x+π6=k π,k ∈Z ,得x=-π6+k π,k ∈Z ,无论k 取何值,x ≠4π3,故B 错误;函数f (x )=cos (x +π6)在区间(π2,5π6)内单调递减,在区间(5π6,π)内单调递增,故C 错误;∵f(x+π)=cos(x+7π6),∴f(π3+π)=cos7π6+π3=cos3π2=0,故D正确.10.ACD解析因为ln x>ln y>0,所以x>y>1,所以1x <1y,所以A正确;因为x>y>1,所以(13)x<(13)y,所以B错误;因为x>y>1,所以log y x>log y y=1,log x y<log x x=1, 所以log y x>log x y,所以C正确;因为x>y>1,所以0<y(x-y)≤[y+(x-y)2]2=x24,所以x2+4y(x-y)≥x2+16x2≥8,当且仅当x=2,y=1时,等号成立,又y>1,所以x2+4y(x-y)>8,所以D正确.11.BCD解析对于A,假设D1D⊥平面AEF,因为D1D∥A1A,所以AA1⊥平面AEF,显然不可能,所以假设不成立,故A错误;对于B,取B1C1的中点Q,连接GQ,A1Q(图略),则GQ∥EF,A1Q∥AE,可知GQ∥平面AEF,A1Q∥平面AEF,又GQ∩A1Q=Q,所以平面A1GQ∥平面AEF,又A1G⊂平面A1GQ,所以A1G∥平面AEF,故B正确;对于C,因为EF∥GQ,所以∠A1GQ或其补角为异面直线A1G与EF所成的角,设正方体的棱长为2,则A1G=A1Q=√5,QG=√2,由余弦定理得cos∠A1GQ=2×√5×√2=√1010,故C正确;对于D,连接GC,交FE于点O,连接GF(图略),则△OCE∽△OGF,所以OGOC=GFCE=2,所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍,故D正确.12.ABD解析数表中,每行是等差数列,且第1行的首项是1,公差为2,第2行的首项是4,公差为4,第3行的首项是12,公差为8,每行的第1个数满足a n=n×2n-1,每行的公差构成一个以2为首项,2为公比的等比数列,公差满足d n=2n.对于选项A,第6行第1个数为a6=6×26-1=192,故A正确;对于选项B,第10行的数从左到右构成公差为d10=210的等差数列,故B正确;对于选项C,第10行第1个数为a10=10×210-1=10×29,公差为210,所以前10个数的和为10×10×29+10×92×210=190×29,故C错误;对于选项D,数表中第2 021行第1个数为a2 021=2 021×22 021-1=2 021×22 020,第2 021行的公差为22 021,故数表中第2 021行第2 021个数为2 021×22 020+(2 021-1)×22 021=6 061×22 020,故D正确.13.0.2解析由题意易得μ=90,所以P(X≤70)=P(X≥110)=0.2.14.2√10解析由题意知l1∥l2,若四边形ABCD为正方形,则正方形的边长等于直线l 1,l 2之间的距离d ,d=√5, 设圆C 的半径为r ,由正方形的性质知d=√2r=2√2, 即√5=2√2, 故|m-n|=2√10. 15.√15 解析 以滑槽AB 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.因为|ON|=1,所以点N 的运动轨迹C 1是以O 为圆心,半径为1的圆,其方程为x 2+y 2=1.设点N 的坐标为(cos θ,sin θ),由于|ON|=|DN|=1,易得D (2cos θ,0),由|MN|=3,得NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设M (x ,y ),则(x-cos θ,y-sin θ)=3(cos θ,-sin θ),可得M (4cos θ,-2sin θ), 所以点M 的运动轨迹C 2是椭圆,其方程为x 216+y 24=1.设轨迹C 2上的点P (4cos α,2sin α),则|OP|2=16cos 2α+4sin 2α=4+12cos 2α≤16, 故切线长为√|OP |2-12≤√16-1=√15,即切线长的最大值为√15.16.12 解析 设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,圆锥内切球的半径为R ,作出圆锥的轴截面如图所示.设∠OBC=θ,∵tan θ=Rr ,∴r=Rtanθ.∵OD ⊥AB ,OE ⊥BC ,∴∠DBE+∠DOE=π, 又∠AOD+∠DOE=π,∴∠AOD=∠DBE=2θ,∴AD=R tan 2θ,∴l+r=AD+BD+r=AD+2r=R tan 2θ+2Rtanθ.又圆锥表面积S1=πr(l+r),圆锥内切球的表面积S2=4πR2,故所求比值为S2S1= 4πR2πR tanθ(2Rtanθ1-tan2θ+2Rtanθ)=2tan2θ(1-tan2θ).令t=tan2θ>0,则S2S1=2t(1-t)=-2t2+2t, 故当t=12时,S2S1取得最大值12.。
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1. 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是
A 5
B －5
C 23
D 2
3- 2.已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | =
A 7
B 10
C 13
D 4
3. 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,=等于
A 2
B 21
C －3
D －31
4. 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 A a ⊥e B a ⊥(a －e ) C e ⊥(a －e ) D (a ＋e )⊥(a －e )
5.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___
6..已知向量a 与的夹角为120°,且|a |=2, ||=5,则
(2a -b )·a = . 7..已知向量
b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),4
2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.
8.如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 最大值. 与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个
A B
C
a
参考答案
1.A [解析]： ∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则
)2,2(k BC -=∵∠C=90°
∴506)2(20=∴=+-∴=⋅k k BC AC
2.C [解析]：已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么a •b =2
1 ∴| a + 3 |2=13962
2=+⋅+
3.C [解析]：设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ， 那么31
12=+=+=∴=AC AC AB AC AB EC BE λ 4.C[解析]：已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |
即 |a －t e |2≥|a －e |2 ∴01222≥-⋅+⋅-t t
即
01010)12(4)2(22=-⋅∴≤-⋅≤-⋅-⋅=∆）即（
002=-⋅∴=-⋅（ 5. 23-[解析]：向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，
∴ )2,2(),7,4(--=--=k k 又A 、B 、C 三点共
线
故（4-k,- 7）= λ(- 2k,- 2) ∴k=2
3
-
6 13 [解析]： (2a -)·a =2a 2- a ·=213)2
1(5222=-⨯⨯-⨯ 7. 已知向量)),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(πππ-+=+=x x x x . )2
sin 2(cos 2cos )2cos 2(sin 2sin )(,1)2cos 2(sin 2cos 2)(|x x x x x x x f x x x x f -++-=∴-+=⋅=∴ 当0)()(='+x f x f 则2cosx=0 答：2
x π=时，()()0f x f x '+=. 8.解法一：∵AB ⊥AC ,∴AB ·
AC =0. ∵= -,=-,=-AC , ∴BP ·=(AP -AB )·
(-AC ) =·AQ -·-·AQ +·
= -a 2-AP ·AC +AB ·AP
= -a 2-·(-)
= -a 2+2
1PQ · = -a 2+ a 2cos θ. 故当cosθ=1,即θ=0 (与BC 方向相同)时, BP ·最大,最大值为0.
解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角
坐标系.
设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(0,0),C(0,0).
且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x, -y),
∴=(x-c, y),=( -x, -y- b). BC =(-c, b), =(-2x, -2y). BP ·=( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x 2+y 2)+ c x- b y .
∵cos θ
2
a by cx -=, ∴c x-
b y= a 2 cos θ.
∴·CQ = -a 2+ a 2cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0 (与方向相同)时, ·最大,最大值为0.。