高中数学重要结论

高中数学重要结论

一．集合与简易逻辑

1．摩根律：U(A∪B)= (U A)∩( U B)；U(A∩B)=( U A)∪( U B).

2．分配律：（A∩B）∪C=(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C).

3．结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

4．吸收率：A∩(A∪B)=A；A∪(A∩B)=A.

5．容斥原理：card(A∪B)= card A+ card B- card(A∩B)；card(A∪B∪C)= card A+ card B+ card C-card(A∩B) - card(B∩C) - card(C∩A) + card(A∩B∩C)

6．对于条件A和结论B若条件A能推出结论B，则条件A是结论B成立的充分条件；若结论B能推出条件A则条件A是结论B成立的必要条件。

二．函数

1．函数图像变换：

①函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称；

②函数y=f(x)的图像与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称；

③函数y=f(x)的图像与函数y=-f(-x)的图像关于原点对称；

④函数y=f(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称；

⑤函数y=f(x)的图象与函数y= -f -1(-x)的图象关于直线y= -x对称；

⑥函数y=f(x)的图象与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称；

⑦函数f(x)的图象与函数y=2b-f(x)的图象关于直线y=b对称；

⑧函数f(x)的图象与函数y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a, b)对称；

⑨函数y=f(|x|)的图像与函数y=f(x)的图像在y轴右方重合，然后将右方翻折倒左方（即

左侧部分与其右侧部分关于y轴对称）。事实上函数y=f(|x|)是偶函数；

⑩函数y=|f(x)|的图像与函数y=f(x)的图像在x轴上方重合，然后将原先下方的部分翻折到x轴的上方去；

⑪函数y=f(x+a)的图像是将函数y=f(x)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位；

⑫函数y=f(ωx)的图像是将函数y=f(x)的图像上每个点的纵坐标不变横坐标压缩(ω>1)或

伸长(０＜ω＜1)到原来的1

ω

倍；

⑬函数y=f(ωx+a)的图像是将函数y=f(ωx)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移|a

ω

|个单位

(ω>0)。

2．奇函数和偶函数的特点：

①奇函数和偶函数的定义域必关于原点对称；

②奇函数若在x=0时有定义则必有f(0)=0

3．对称性及周期性：

①若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x) 恒成立；

②若函数y=f(x)的图像关于点（a,0）对称，则f(a+x)=-f(a-x) ⇔f(x)=-f(2a-x)恒成立；

③若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，则2|a-b|是函数y=f(x)的一个周期；

④若函数y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则2|a-b|是函数的一个周期;

4．其他：

①函数y=a x的图像当a>1时a越大图像越靠近y轴，当0

②函数y=log a x的图像当a>1时a越大图像越靠近x轴，当0

轴；

③ 对于log a x ，当a ，x 都∈(0，1)或都∈（1，+∞）时log a x>0，a 与x 一个∈（0，1）

一个∈（1，+∞）时，log a x<0； ④ 对数换底公式：log a N =log log m m N

a

；

推论：1°.log n m a b =log a m

b n

；②log a b 1·log b1b 2·log b2·b 3……log bn-2b n-1·log bn-1c=log a c ⑤ 对于函数y=ax+

b

x

，当a>0，b<0时在(0)(0+)-∞∞，和，上递增；当a<0，b>0时在-0)

∞（，和(0)+∞，上递减；当a>0，b>0

时在(-∞，

和)+∞

上递增，在[)

和(0上递减；(事实上当a>0，b>0时，增减性的分界点即b

ax x

=时x 的值)； ⑥ 如果函数y=f(x)对于区间(a ，b)上的任意x 1，x 2都有12(

)2x x f +≥

12()()

2

f x f x +成立(即弦在图像下方)，则称函数y=f(x)为区间(a ，b)上的上凸函数，若都有12

()2

x x f +≤

12()()

2

f x f x +成立(即弦在图像上方)，则称函数y=f(x)为区间(a ，b)上的下凸（或凹）

函数；

三．数列

a) 数列{a n }的前n 项和为S n 则a n = 1

1

n n S S S -⎧

⎨

-⎩

12

n n =≥

2．等差数列的通项公式形式为a n =kn+b,其中k 为公差；前n 项和公式的形式为S n =An 2+Bn ，

其中A 为公差的一半即2d 。由此可得，点（n , S n

n

）必在同一直线y=Ax+B 上

3．等比数列的前n 项和公式形式为S n =A －Aq n ，其中A=

1a q

-； 4．等差数列{a n }中，公差d=

n m

a a n m

--；等比数列{a n }中，公比q 满足q n-m =n m a a ；

5．等差数列{a n }中，若n 为偶数，则S S -偶奇=n

2

d ， n

2n 1

2a a S S +=奇偶；

若n 为奇数，则Ｓ奇－Ｓ偶=a 1+

12n -d=a 中，1

1S n S n +=-奇偶，S n =n n 12

a +； 6．等差数列{a n }中，若a n =m ，a m =n ，则a m+n =0；若S n =m ，S m =n ，则S m+n =－(m+n)；