人教版 选修4-5 第5讲-绝对值三角不等式

6、设m等于 a 、 b 和1中最大的一个，当 x m时， a b 求证： 2 2. x x
典例分析
例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有 |f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤7.
典例分析
例4 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的 定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M. (1)证明： |1+b|≤M;
1 (2)证明 : M ; 2 (3)当 M 1 时，试求出f（x）的解析式. 2
（1）证明
∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，
M≥|f（1）|=|1+a+b|，
2M≥|1-a+b|+|1+a+b| ≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，
∴M≥|1+b|.
（2）证明 依题意，M≥|f（-1）|， M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，
课前热身：
2 1.设x 0, 则y x 的最小值是 _________ . x
2
3
32/27 . 2.函数y x4 (2 x2 )(0 x 2 )的最大值为_______
3. 已知0 x 1, 求函数y x(1 x) 2的最大值 .
3 2 答案： 9
高中新课程数学选修4-5
变式1 - 2 若关于x的不等式| x 3 | | x 4 | a的解集为 空集，求a的取值范围 .
答案：a≤1.
2.绝对值三角不等式的3个推论
推论1
如果a、b、c是实数, 那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
当且仅当ab ≤0时,
等号成立.推论2
≤3×1+1×1+3×1=7≤8.
[研一题] [例 1] (1)以下四个命题：
①若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； x 2 ③若|x|＜2，|y|＞3，则|y|＜ ； 3 |A|＋|B| 1 ④若 AB≠0，则 lg ≥ ( lg|A|＋lg|B|)． 2 2 其中正确的命题有 A．4 个 C．2 个 B． 3 个 D．1 个 ( )
① ②
③
④
典例分析
例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有
|f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤7. 证明 方法一 ∵当|x|≤1时,|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，即|c|≤1. 又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1.
又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| ≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4， ∴|a|≤2.
(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0， ≨|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. |a＋b| ≨必有 ≥1. |a|－|b| |a＋b| 即|a|>|b|是 ≥1 成立的充分条件． |a|－|b| |a＋b| 当 ≥1 时，由|a＋b|>0， |a|－|b| 必有|a|－|b|>0. |a＋b| 即|a|>|b|，故|a|>|b|是 ≥1 成立的必要条件． |a|－|b| 故所求为：|a|>|b|.
f (1) f (1) 2 f (0) a , 2 f (1) f (1) , c f (0). 2 ∴f（2）=|4a+2b+c| b
=|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| ≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|
又f（-1）=|1-a+b|，
|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|， ∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|
=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|
≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2， 1 M . 2
（3）解 当M 1 时, | f (0) || b | 1 , 2 2
1 1 b 2 2 1 1 同理 1 a b 2 2 1 1 1 a b 2 2 3 1 ② ③得 b 2 2 1 由①④得b , 2 1 a 0 1 当b 时, 分别代入②③得 a 0, 2 0 a 1 1 因此f ( x) x 2 . 2
1 1 |y|＞3，≨ ＜ . |y| 3 |x| 2 又≧|x|＜2，≨ ＜ .③正确； |y| 3 |A|＋|B| 2 1 2 ( ) ＝ (|A| ＋|B|2＋2|A||B|)， 2 4 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， 4 |A|＋|B| ≨2lg ≥lg|A||B|. 2 |A|＋|B| 1 ≨lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2
(2)≧|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|， |a|－|b| |a－b| ≨m＝ ≤ ＝ 1， |a－b| |a－b| |a|＋|b| |a|＋|b| n＝ ≥ ＝1， |a＋b| |a|＋|b| ≨m≤1≤n.
答案：(1)④
(2)D
[研一题]
[例 2] 已知 a，b∈R 且 a≠0， |a2－b2| |a| |b| 求证： ≥ － . 2|a| 2 2
|a|－|b| ≨左边≥ ＝右边． 2 ②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，≨原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立．
[悟一法] 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简
单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化
为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另 一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考 虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用
答案：a≥1.
变式2 - 2 已知 | x a | 求证： | xy ab | .

2M
,0 | y b |

2|a|
, y (0, M ).
例 : 若 x m , y m , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y C . x y 2 B . x y 2 D. x y
|a＋b| (2)不等式 ≥1 成立的充要条件是________． |a|－|b|
[解析] 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要
条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结 合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a| ＞|b|与|a|<|b|两类讨论． (1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，≨|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，≨|a|＜|b|＋1，②正确；
2、设 a 1, b 1, 则 a b a b 与2的大小关系是
3、如果a,b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是
补充练习 : 4、已知 a b , m ab a b ,n ab ab , 则m, n之间的
大小关系是( D) A.m n B.m n
一元二次方程的根的分布等方法来证明．
[通一类] 2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|＜1， 求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
|a|－|b| |a|＋|b| (2)已知|a|≠|b|，m＝ ， n＝ ，则 m，n 之间的 |a－b| |a＋b| 大小关系是 A．m＞n B．m＜n D．m≤n ( )
n 解析：(1)≧0＜ ＜1. n＋ 1 n ≨lg ＜0. n＋ 1
C．m＝n
由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系， n ≨可以否定①②③，而|x|lg ＜0，④成立． n＋ 1
①若|a|＞|b|， |a＋b||a－b| 左边＝ 2|a| |a＋b||a－b| |a＋b||a－b| ＝ ≥ |a＋b＋a－b| |a＋b|＋|a－b| ＝ . 1 1 ＋ |a＋b| |a－b| 1
1 1 1 1 ≧ ≤ ， ≤ ， |a＋b| |a|－|b| |a－b| |a|－|b| 1 1 2 ≨ ＋ ≤ . |a＋b| |a－b| |a|－|b|
∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）| ≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2，
∴|b|≤1，
∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b| ≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8，
即|f（2）|≤8.
方法二 ∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，| f（1）| ≤1，|f（-1）|≤1. 由f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c，f（0）=c知
[答案] (1)A
(2)|a|＞|b
[通一类] 1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式： n n ①|xlg |＜5|lg |； n＋ 1 n＋ 1
n n ②|x|lg ＜5lg ； n＋ 1 n＋ 1 n n ③xlg ＜5|lg |； n＋ 1 n＋ 1 n n ④|x|lg ＜5|lg |. n＋ 1 n＋ 1 其中，能够成立的有________．