积分常用公式
常用的积分公式
常用的积分公式以下是常见的积分公式，需要加强对于这些公式的掌握，才能更好地应用于实际情况中。
1. 不定积分公式（1）$\int 1 \mathrm{d}x = x + C$（2）$\int x^n \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \quad(n \neq -1)$（3）$\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln|x| + C$（4）$\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C$（5）$\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C$（6）$\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$2. 定积分公式（1）牛顿-莱布尼茨公式：$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
（2）换元积分法：$\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) \mathrm{d}x =\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \mathrm{d}u$，其中 $u=g(x)$。
（3）分部积分法：$\int_{a}^{b} u \mathrm{d}v = [uv]_{a}^{b} -\int_{a}^{b} v \mathrm{d}u$。
（4）定积分的估值公式：$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$。
（5）定积分的平均值公式：$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)$，其中 $\xi \in [a,b]$。
（6）换序积分法：$\int_{a}^{b} \mathrm{d}x \int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \mathrm{d}y = \int_{c}^{d} \mathrm{d}y \int_{f(y)}^{g(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$。
常用积分公式
常用积分公式本文将介绍一些常用的积分公式，包括基本积分公式、换元积分公式、分部积分公式等。
通过掌握这些公式，能够更加方便地求解各类积分问题。
1. 基本积分公式1.1 定积分公式定积分公式是基本积分公式中的一种，用于求解在一定区间上的函数积分。
定积分公式如下：$$\\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f和f是积分的区间。
1.2 不定积分公式不定积分公式是基本积分公式中的另一种，用于求解函数的原函数。
不定积分公式如下：$$\\int f(x)dx = F(x) + C$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f是常数。
2. 换元积分公式换元积分公式是求解复杂函数积分的重要方法，通过引入一个新的变量进行替换，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
2.1 第一换元法第一换元法也称为u-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{du}{dx}=g'(x)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(g(x))g'(x)dx = \\int ydu$$其中，$\\int ydu$是对新变量f进行积分。
2.2 第二换元法第二换元法也称为t-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{dt}{dy}=h'(y)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(x)h'(f(x))dx = \\int h(t)dt$$其中，$\\int h(t)dt$是对新变量f进行积分。
3. 分部积分公式分部积分公式是求解两个函数乘积的积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分形式。
高等数学积分公式
高等数学积分公式高等数学中的积分公式有很多，下面列举了一些常用的积分公式和相关的计算方法。
1.积分的线性性质：设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上可积，k为任意常数，则有：∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx2.基本积分公式：∫ x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数∫ dx = x + C∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C，其中a≠0∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C，其中a>03.积分的分部积分法：设函数u(x)、v(x)具有连续的一阶和二阶导数，则有积分的分部积分公式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u'(x) v(x) dx4.三角函数的积分公式：∫ sin^n(x) cos^m(x) dx，其中n、m均为非负整数，可用以下公式求解：a. 若n为奇数，m为偶数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简b. 若n为偶数，m为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的sin^2(x)进行积分c. 若n和m均为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的cos^2(x)进行积分5.带根号的积分公式：∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) (x sqrt(a^2 - x^2) + a^2 arcsin(x/a)) + C，其中a>0∫ sqrt(x^2 + a^2) dx = (1/2) (x sqrt(x^2 + a^2) + a^2 ln，x + sqrt(x^2 + a^2)，) + C，其中a>06.积分的换元法：设u=g(x)是连续可导函数的微分函数，函数f(g(x))在区间[a,b]上连续，则有：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du7.分式积分法：设f(x)、g(x)是多项式函数，g(x)≠0∫ f(x)/g(x) dx = [∑ A_i/(x-a_i) + B_j(x-b_j)^k_j +C_i*e^(a_i*x)]dx其中A_i、B_j、C_i为待求系数，a_i、b_j为g(x)的一阶或二阶零点，k_j为g(x)的重根的重数8.参数方程的积分公式：设平面上的点(x(t),y(t))的运动由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出，则有：∫[a, b] y(t) x'(t) dt = ∫[a, b] x(t) y'(t) dt以上列举的只是常用的积分公式，实际上积分的计算有时需要结合多种公式和方法进行推导和计算。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
常用积分公式
常用积分公式积分公式是微积分中常用的一种工具，用于求解函数的定积分。
通过积分公式，我们可以将复杂的函数积分转化为简单的数学形式，从而更容易求解。
1. 基本积分公式基本积分公式是求解不同类型函数的基础，下面列举了一些常见的基本积分公式：(1) ∫kdx = kx + C （k为常数）(2) ∫x^ndx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C （n 不等于-1）(3) ∫1/x dx = ln|x| + C （x不等于0）(4) ∫e^x dx = e^x + C(5) ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C （a不等于0且a不等于1）(6) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(7) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(8) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(9) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(10) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(11) ∫csc(x)*co t(x) dx = -csc(x) + C以上是一些基本的积分公式，对于这些公式的求解，可以根据具体的函数形式进行运算。
2. 特殊类型函数的积分公式除了基本积分公式，对于一些特殊类型的函数，常常需要使用相应的积分公式进行求解，下面列举了几个常见的特殊类型函数的积分公式：(1) ∫e^ax*sin(bx) dx = (a*sin(bx) - b*cos(bx)) / (a^2 + b^2) + C(2) ∫e^ax*cos(bx) dx = (a*cos(bx) + b*sin(bx)) / (a^2 + b^2) + C(3) ∫sin^2(x) dx = (1/2) * x - (1/4) * sin(2x) + C(4) ∫cos^2(x) dx = (1/2) * x + (1/4) * sin(2x) + C(5) ∫sin^3(x) dx = -(1/3) * cos(x) + (1/12) * cos(3x) + C(6) ∫cos^3(x) dx = (1/3) * sin(x) + (1/12) * sin(3x) + C(7) ∫sec(x) dx = ln|se c(x) + tan(x)| + C(8) ∫csc(x) dx = ln|csc(x) + cot(x)| + C需要注意的是，某些特殊类型的函数的积分公式可能没有明确的表达式，此时需要进行适当的变量替换或其他数学技巧来求解。
常见积分公式
常见积分公式事实上，所有的不定积分都可以当作积分公式来看，当然我们通常都只关注比较简单的那些，太复杂的也记不住啊。
常用的积分公式，指的是六大基本函数相关的一些不定积分。
首先是常量函数的积分公式。
包括：(1)∫0dx=C; (2)∫1dx=x+C; (3)∫adx=ax+C. a是任意常数。
虽然被积函数都是常量，但0的原函数是任意常数，而非0的常数的原函数却是一次函数.然后是幂函数：(3)∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C (a≠-1,x>0).你可以对右边求导，就可以得到被积函数。
求导和不定积分可以看作是一个互逆的过程。
x大于0是为了防止偶数次号内有负数，或者分母是0，造成被积函数没有意义。
而a=-1时，却是另外一类不定积分，是原函数为对数函九有关的不定积分。
(4)∫1/xdx=ln|x|+C (x≠0); (5)∫1/(xlna)dx=log_a |x|+C(a>0, a≠1; x≠0);需要注意的是，当x>0时，不需要加绝对值符号。
否则就要加绝对值符号，这一点是很多人容易忽略的。
还有指数函数的不定积分公式：(6)∫e^xdx=e^x+C; (7)∫a^xdx=a^x/lna+C (a>0, a≠1).与三角函数有关的不定积分公式特别多，这里只分享比较简单的一些。
注意，不论是与三角函数有关的不定积分，还是与反三角函数有关的积分，它们一般都是成对出现的，而且两个积分之间总有某种交错对称的关系，注意观察，结合起来才容易记忆。
与三角函数有关的常用积分公式：(1)∫cosaxdx=1/a*sinax+C; ∫sinaxdx=-1/a*cosax+C(a≠0);当a=1时，就有∫cosxdx=sinx+C; ∫sinxdx=-cosx+C;其实所有的积分公式中，x都可以替换成中间变量u=ax，结果在原函数前面乘上一个1/a就可以了。
(2)∫(secx)^2dx=tanx+C; ∫(cscx)^2dx=-cotx+C;(3)∫secx·tanxdx=secx+C; ∫cscx·tanxdx=-cscx+C;(4)∫(sinx)^2dx=1/2*(x-sinxcosx)+C;∫(cosx)^2dx=1/2*(x+sinxcosx)+C;(5)∫dx/(1±sinx)=tanx?secx+C; ∫dx/(1±cosx)=-cotx±cscx+C;(6)∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C;注意，求不定积分的方法有很多，用不同的方法可能会得到不同的形式，所以千万不要一看到形式不同，就认为结果是错误的。
积分基本公式和法则
积分基本公式和法则积分是微积分学中非常重要的概念之一，它是求解函数的面积、曲线的长度和平面的体积的工具。
积分的基本公式和法则是我们进行积分运算的基础，下面将介绍一些常见的积分基本公式和法则。
1.基本积分表达式：a)定积分基本公式：∫1dx = x + C，其中C为常数∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数（n为非负整数，不等于-1）∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，其中C为常数∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C，其中C为常数∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，其中C为常数∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C，其中C为常数b)不定积分基本公式：∫u(du) = u^2/2 + C，其中C为常数2.基本积分法则：a) 线性性质：对于任意常数a、b，有∫(af(x) + bg(x))dx =a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb)基本算术运算法则：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫(Cf(x))dx = C∫f(x)dx，其中C为常数c)分部积分法则：∫(u(x)v'(x))dx = u(x)v(x) - ∫(u'(x)v(x))dxd)替换法则：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du，其中u=g(x)3.基本的积分求导关系：a) 反函数关系：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则∫f(x)dx = x∙f(x) - ∫xf'(x)dx + C，其中C为常数b) 对数函数：∫(1/x)dx = ln，x， + Cc) 指数函数：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a为常数且a>0且a≠1d) 双曲函数：∫sinh(x)dx = cosh(x) + C，∫cosh(x)dx = sinh(x) + C，∫tanh(x)dx = ln，cosh(x)， + C，∫coth(x)dx = ln，sinh(x)，+ C以上仅是一些基本的积分公式和法则，实际上积分的应用非常广泛，涉及到各种函数和曲线的求解。
常见的积分公式表
常见的积分公式表∫kdx = kx + C （k为常数，C为任意常数）∫x^ndx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C （其中n不等于-1，C为任意常数）∫e^x dx = e^x + C∫(1/x) dx = ln，x， + C （其中ln表示自然对数）∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫(1/(1+x^2)) dx = arctan(x) + C∫(1/√(x^2-1)) dx = arccos(x) + C∫(e^x)(sin(x)) dx = (e^x)(sin(x) - cos(x)) + C∫(e^x)(cos(x)) dx = (e^x)(sin(x) + cos(x)) + C8.分部积分法公式：∫udv = uv - ∫vdu （其中u和v都是函数，C为任意常数）9.替换变量法公式：设u = g(x)，则有du = g'(x)dx，将dx表示成du后可进一步化简积分。
∫sinh(x)dx = cosh(x) + C∫cosh(x)dx = sinh(x) + C∫tanh(x)dx = ln(cosh(x)) + C∫sech(x)dx = arcsinh(tanh(x)) + C∫csch(x)dx = -arccosh(coth(x)) + C∫coth(x)d x = ln，sinh(x)， + C这只是一些常见的积分公式，还有很多其他的积分公式可以用于处理各种复杂的积分问题。
在进行具体的积分计算时，根据所遇到的具体函数形式，可以根据这些公式进行适当的组合和变形，以求得最终的积分结果。
积分的基本公式
积分的基本公式
积分的基本公式是数学中常用的工具，用于描述变量之间的关系，它可以表示为：
积分= ∫ f(x) dx
在上述公式中，f(x) 是被积函数，x 是自变量，∫ 表示积分运算符，dx 表示积分
变量。
1. 线性性质：对于任意常数 a 和 b，有∫ (af(x) + bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx。
2. 可加性：若函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则有∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 C 是常数，称为积分常数。
3. 定积分：当积分的下限 a 和上限 b 均为常数时，可以定义定积分∫[a, b] f(x) dx，表示在区间 [a, b] 上的面积或曲线下的总变化量。
积分的基本公式在数学中被广泛应用于微积分、物理学、统计学等领域。
通过对问题的积分建模，可以得到有关变量之间的定量关系，进而解决实际问题。
常见积分公式24个
常见积分公式24个积分是微积分的一个重要概念，它是对函数的一个连续求和过程。
在微积分中，我们常常使用积分公式来计算各种函数的积分，以解决实际问题。
下面是常见的24个积分公式，详细介绍每个公式的积分计算过程。
1. $∫dx=x+C$：对任意常数 $C$，常数的积分是它自己，即对$x$ 的积分是 $x$ 加上一个常数 $C$。
2. $∫x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$：这个公式称为幂函数的积分公式，其中 $n$ 是不等于 $-1$ 的实数。
3. $∫e^xdx=e^x+C$：这是指数函数的积分公式，它的导数是 $e^x$。
4. $∫a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$：这是对数函数的积分公式，其中 $a$ 是大于 $0$ 且不等于 $1$ 的常数。
5. $∫\frac{1}{x}dx=\ln，x，+C$：这是倒数函数的积分公式，其中 $x$ 不等于 $0$。
6. $∫\sin xdx=-\cos x+C$：这是正弦函数的积分公式，它的导数是 $-\cos x$。
7. $∫\cos xdx=\sin x+C$：这是余弦函数的积分公式，它的导数是$\sin x$。
8. $∫\frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$：这是正切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\cos^2 x}$。
9. $∫\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$：这是余切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sin^2 x}$。
10. $∫\sec x\tan xdx=\sec x+C$：这是正割函数的积分公式，它的导数是 $\sec x\tan x$。
11. $∫\csc x\cot xdx=-\csc x+C$：这是余割函数的积分公式，它的导数是 $\csc x\cot x$。
12. $∫\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$：这是反正弦函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
常用147条积分公式
32．
dx (x a )
2 2 3
＝
x a
2
x2 a2
C
33．
x x a
2 2
dx ＝ x 2 a 2 C 1 x2 a2
34．
x ( x 2 a 2 )3
dx ＝
C
3
35．
x x
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x x a
49．
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x x a
2 2
50．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln x x 2 a 2 C
51．
dx x2 a2 dx
2
＝
1 a arccos C a x x2 a2 C a2 x
2 2
36．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln( x x 2 a 2 ) C
37．
dx x2 a2 dx
＝
1 x2 a2 a ln C a x
38．
2
x2 a2 ＝ C a2 x x2 a2
2 2
39．
x 2 a2 2 x a dx ＝ x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2
1 a dx 2 bx b ax b
ax 2 b dx a 1 27． 3 ＝ 2 ln C 2 2 x 2bx 2 x ( ax b) 2b
28．
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积分常用公式一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=⎰2．111++=⎰αααx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x+=⎰ln 14．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=⎰ 6．C x xdx +-=⎰cos sin 7．C x xdx +=⎰sin cos8．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 229．C x dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec 11．C x xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．C x dx x+=-⎰arcsin 112（或12arccos 11C x dx x+-=-⎰）13．C x dx x +=+⎰arctan 112 （或12cot 11C x arc dx x +-=+⎰）14．C x xdx +=⎰cosh sinh 15．C x xdx +=⎰sinh cosh二．常用不定积分公式和积分方法：1．C x xdx +-=⎰cos ln tan 2．C x xdx +=⎰sin ln cot3．C axa x a dx +=+⎰arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122 5．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．C axx a dx +=-⎰arcsin22 8．C a x x a x dx +±+=±⎰2222ln9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．C a x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：C x F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ但并未明显做变换相当于令 12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：C x F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ令 注：要求代换)(t ϕ单调且有连续的导数，且“换元须还原”13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vdu uv udv14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：令2tan x u =，则212sin u u x +=，2211cos u u x +-=，du u dx 212+= 15．有理真分式)()()(m n x Q x p m n <分解定理：(1). 分母)(x Q m 中如果有因式ka x )(-（k 为正整数），则分解式中有下列k 个最简分式之和： kk a x A a x A a x A )()(221-++-+- （k A A A ,,,21 都是常数）(2) 分母)(x Q m 中如果有因式kq px x )(2++（k 为正整数），其中042<-q p ，则分解式中有下列k 个最简分式之和：kk k q px x N x M q px x N x M q px x N x M )()(22222211++++++++++++（k M M M ,,,21 ，k N N N ,,,21 都是常数）三．积分时常用的三角恒等变换公式：1．1cos sin 22=+x x 2．x x 22sec tan 1=+ 3．x x 22csc cot 1=+ 4．22cos 1sin 2xx -=5． 22cos 1cos 2x x +=6．)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα++-= 7．)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα++-=8．)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα+--=四．定积分的性质 1．⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([2．⎰badx x kf )(⎰=b adx x f k )(3．定积分对积分区间具有可加性：⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(（a 、b 、c 大小任意）4．保号性：若在],[b a 上，)()(x g x f ≥，则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(推论1：若在],[b a 上，0)(≥x f ，则0)(≥⎰badx x f推论2：若在],[b a 上)(x f 可积，则)(x f 在区间],[b a 上也可积，且⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(5．估值定理：若在],[b a 上，M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰6．积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ注：可以证明当上述a =ξ或b =ξ时，必另有),(b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 不变号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ五．微积分基本定理：1． 变上限积分函数的导数：若)(x f 在],[b a 上连续，则函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'推论1：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x b 在],[b a 上可导，则)()]([)()(x b x b f dt t f x b a '⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 推论2：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x a 、)(x b 在],[b a 上可导，则)()]([)()]([)()()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '⋅-'⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 提示：当被积表达式中有变量x 时，求变上限积分函数对x 的导数时，一定要先设法把x 从被积表达式中消掉（此时把x 看作常数，或从积分号中提出去或换元消除） 2． 牛顿——莱布尼兹公式：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 为)(x f 在],[b a 上的任意一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰即可，以此类推。
六．定积分的计算方法和常用定积分公式：1． 定积分换元法：设)(x f 在],[b a 上连续，做代换)(t x ϕ=，若)(t ϕ'连续，当t 在],[βα(或],[αβ)上变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且a =)(αϕ，b =)(βϕ，则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)( “换元必换限”2． 分部积分法：⎰⎰-=b aba bavdu uv udv3． 对称性：若)(x f 在],[a a -上连续，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(当)(x f 为奇函数时，0)(=⎰-aadx x f4． 设)(x f 是周期为T 的周期函数，则)(x f 在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即=⎰+Ta adx x f )(⎰Tdx x f 0)(5． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅--⋅-⋅⋅--⋅-===⎰⎰的正奇数为大于为正偶数11325423122143231cos sin 2020n n n n n n n n n n xdx xdx I n n n πππ6．⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf七．定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性） 1． 平面图形的面积：（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分） (1) 直角坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线)(x f y =，)(x g y =（)()(x g x f ≥），直线a x =及b x =（b a <）围成，则⎰-=badx x g x f A )]()([若平面图形由曲线)(y x ϕ=，)(y y ψ=（)()(y y ψϕ≥），直线c y =及d y =（b a <）围成，则⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ(2) 曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）若平面图形由曲线⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，直线a x =、b x =（b a <）及x 轴围成的曲边梯形，则⎰⎰'==21)()(t t badt t t ydx A ϕψ，其中)(11a t -=ϕ，)(12b t -=ϕ(3) 极坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线)(θρρ=，射线αθ=及βθ=（βα<）围成的曲边扇形，则⎰=βαθθρd A )(2122． 立体的体积(1) 已知平行截面的面积，求立体的体积：已知立体垂直于x 轴的截面面积为)(x A ，b x a ≤≤，则 ⎰=badx x A V )((2) 旋转体的体积(a) 由曲线)(x f y =，直线a x =、b x =（b a <）及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积 ⎰=bax dx x f V )(2π（薄片法）(b) 由曲线)(x f y =，)(x g y =（0)()(≥≥x g x f ）直线a x =及b x =（b a <）围成的图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=bax dx x g x f V )]()([22π（薄片法）由曲线)(y x ϕ=，)(y x ψ=（)()(y y ψϕ≥）直线c y =及d y =（d c <）围成的图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=dc x dy y y y V )]()([2ψϕπ （柱壳法）(c) 由曲线)(y x ϕ=，直线c y =、d y =（d c <）及y 轴围成的曲边梯形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积 ⎰=dcy dy y V )(2ϕπ（薄片法）(d) 由曲线)(y x ϕ=，)(y x ψ=（0)()(≥≥y y ψϕ）直线c y =及d y =（d c <）围成的图形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=dcy dy y y V )]()([22ψϕπ（薄片法）由曲线)(x f y =，)(x g y =（)()(x g x f ≥）直线a x =及b x =（b a <）围成的图形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=bay dx x g x f x V )]()([2π （柱壳法）3． 平面曲线的弧长(a) 直角坐标系下的弧长公式 ⎰'+=badx y s 2)(1或⎰'+=dcdy x s 2)(1(b) 参数方程下的弧长公式 ⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22 (c) 极坐标系下的弧长公式 ⎰'+=βαθθρθρd s )()(22八．定积分的物理应用（微元法分析）1．变力做功 （用到的中学物理公式S F W ⋅=（功=常力⨯距离）） 2．液体的侧压力（用到的中学物理公式A P F ⋅=（压力=压强⨯面积），hg P ⋅⋅=ρ（压强=密度⨯重力加速度⨯深度）） 3．引力 （用到的中学物理公式2rMmkF =，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解到各坐标轴上再用定积分）九. 广义积分：1．无穷区间上的广义积分：设)(x f 在下列给定的区间上连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则 (1) )()()(a F F dx x f a -+∞=⎰+∞, 其中)(lim )(x F F x +∞→=+∞，(2) )()()(-∞-=⎰∞-F b F dx x f b， 其中)(lim )(x F F x -∞→=-∞(3))()()(-∞-+∞=⎰+∞∞-F F dx x f ，其中)(lim )(x F F x +∞→=+∞，)(lim )(x F F x -∞→=-∞若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。