清华大学教程-结构动力学-振动共63页文档
结构动力学 陈政清教授
结构动力学1.概论1.1应用范围（土木工程领域）正问题：地震.风震.移动荷载.动力机械反问题：结构参数与损伤识别地震：由基础传入.激发能量大.高度随机性.作用时间短.风振：可以事微振动.也可能事发散的.造成灾难性的后果。
（Tocoma桥）1940年后才被认识。
车振：列车质量大.恒/活载比小，车振明显：竖向行人振动：人荷载的特点：1.8~2.0步/秒动力荷载：机械周期性运动的不平衡力的激发.结构的振动土木工程师.必须要有很强的结构动力与稳定的意识。
1.2动力问题及其特点一．总的原则：惯性力不可忽略，即是动力问题。
例：一个茶杯.慢慢推它.往前移忽然推它.往后退因此.动力问题也可视为考虑惯性力的平衡问题.二．特点：1.位移不仅是位置的函数，而是时间的函数2. 惯性力荷载与加速度成正比。
F=ma=以后用上面一点表示对时间的数=3.惯性力与质量分布有关.例1.3结构动力学基本术语结构动力学：研究结构在平衡位置的往复振动的特性.一.确定性荷载确定性分析.P(t)有明确的函数表达式，任一时刻的P（t）的已知.例：简谐荷载P（t）=随机荷载随机性分析荷载的时间历程不确定，例如风荷载，可能的地震波，列车过桥的振动。
本课程只讨论研究确定性分析，它式基础，体现的动力学全部的概念与方法，某些随机性问题可以化为确定性分析。
如：地震分析，应用检测的地震波输入.随机荷载随机振动，变为确定性问题。
二．动力设计问题拟定结构解析模型数学模型动力分析动力实验验证动力修改本课程主要研究数学模型与动力分析两部分.三．解析模型（力学模型）3要素：简化假定.计算简图.结构参数表例：梁的解析模型承受横向荷载：平截面假定.直线法假设离散参数模型（集参数模型）集中刚度..集中质量连续参数模型（分布参数模型）：刚度.质量均为连续函数为使问题简化，一般均将连续模型进一步简化为离散模型四．数学模型即解析模型的运动微分方程例：梁的运动方程：m+EI=P(t)建立方法以后讲解：有动力平衡法，虚位移法与达朗尔原理3种＆＆＆＆＆＆五．自由度（DOF：degree of freedom）所考虑的动力系统种位移变量的个数例：附：实变函数论知识：可数无穷.不可数无穷。
结构动力学
m ∆t2
+
c 2∆t
⎞⎠⎟ui+1
=
pi
−
⎛ ⎝⎜
k
−
2m ∆t2
⎞⎠⎟ui
−
⎛ ⎝⎜
m ∆t2
−
c 2∆t
⎟⎞⎠ui−1
中心差分法的数值稳定性证明
设体系为无阻尼，并设外荷载p=0 (算法的稳定性与外荷载无关),则 中心差逐步积分法的递推公式可以写成如下形式：
u&0
=
u1 − u−1 2∆t
u&&0
=
u1
−
2u0 + u−1 ∆t 2
u−1
=
u0
−
∆tu&0
+
∆t 2 2
u&&0
u&&0
=
1 m
(
p0
−
cu&0
−
ku0 )
⎛
5中.3心中差心分差法分计法算步骤：⎜⎝
m ∆t 2
+
c 2∆t
⎞ ⎟⎠
ui
+1
=
pi
−
⎛ ⎜⎝
k
−
2m ∆t 2
⎞ ⎟⎠
ui
−
⎛ ⎜⎝
u&(τ ) = A1 + (ωD A3 − ζωn A2 )e−ζωnτ cosωDτ − (ωD A2 + ζωn A3 )e−ζωnτ sin ωDτ
其中，
A0
=
pi k
− 2ζαi kωn
,
A1
=
αi
k
,
A2 = ui − A0,
《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一)
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产 生的位移将是aij*F； x 若在第j个质量上作用的是惯性力 m j j ，方向与坐标相 反，则在第i个质量上产生的位移将是 aij m j j ； x 若所有质量都有惯性力，则：
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
L kx x
d L d m[(x L cos )(L cos ) L2 sin 2 ] dt dt d x m[ xL cos L2 ] L cos x L sin L2 dt
L m Lx sin m gLsin
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
1 k1 1 可以验证 [ A] k1 1 k1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
结构动力学word版
第十一章结构动力学？？？本章的问题：A.什么是动力荷载？B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D.建立振动微分方程的方法有几种？E.什么是体系的自振频率、周期？F.什么是单自由度体系的自由振动？G.什么是单自由度体系的受迫振动？H.什么是多自由度体系的自由振动？I.什么是多自由度体系的受迫振动？J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？§11—1 概述前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。
荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。
动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。
在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。
当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。
在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。
如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。
荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：(1) 简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
【清华大学课件】结构动力学课件(全)
p(t)
t
(b) 非简谐周期荷载
1.2 动力荷载的类型
（3）冲击荷载 荷载的幅值(大小)在很短时间内急剧增大或急剧减小。 突加重量、爆炸引起的冲击波等。
一般情况下，采用广义坐标法，只有N项叠加后，得到的 结果才是真实的物理量（例如位移）。
3、有限元法
有限元法：形函数是定义在分 片区域上的，称为插值函数。
例如： 悬臂梁，分为N个单元，取节点位 移参数(位移u和转角θ)为广义坐标 梁的位移可表示为：
u( x ) = u1φ1 ( x ) + θ1φ2 ( x ) +L + u N φ2 N −1 ( x ) + θ N φ2 N ( x )
10/41
h—框架结构的高度 L—梁的长度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。 阻尼来源（物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。 粘性(滞)阻尼力可表示为：
根据荷载是否预先确定，可将结构动力分析方法分为： 确定性分析和随机振动分析 当不考虑结构体系的不确定性时，选用哪种分析方法将 依据荷载的类型而定。 随机的含义：是指非确定的，但不是指复杂的。 简单的荷载可以是随机的， 例如 F (t ) = A sin(ωt − φ ) 当A或φ为不确定时。 而复杂的荷载也可以是确定性的， 例如已记录到的地震或脉动风引起的作用于建筑结构 的地震作用或风荷载。
振动(清华大学物理教案)
k
m
0
x x
系统机械能守恒
1 1 2 2 以弹簧原长为势能零点 m kx c 2 2
1 1 2 2 2 2 2 mA sin (t ) kA cos (t ) 2 2
m k
2
1 1 2 1 1 2 2 2 2 m kx mA k A 2 2 2 2
所用的最短时间
25
解：设 t 时刻到达末态
由已知画出t = 0 时刻的旋矢图
再画出末态的旋矢图
由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为 因为 t 得
o
t 0
x
繁复的三角函数的运算用匀速 圆周运动的一个运动关系求得
t
7π 7π k 6 6 m
26
§2 简谐振动的能量
d2 x kx m 2 dt
d x k x0 2 dt m
2
k 令 m
2
d x 2 x 0 简谐振动 2 dt 10
2
例1 复摆（物理摆）的振动 d 2 由转动定律 mgl sin J 2 得
d mgl sin 0 2 dt J
2
o
dt
l
c
mg
对比谐振动方程知： 一般情况不是简谐振动
但若做小幅度摆动 即当
sin
2
时
动力学方程
满足的方程： d mgl 0 2 dt J
d x 2 x 0 2 dt
2
11
d mgl 0 2 dt J
2
对比
d x 2 x 0 2 dt
2
结构动力学-8-精品文档
例:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.
m
EI
2.23 X1 ; 1
解:
T 1
l EI l
y1
m y2
X m0 12 X m X 2 . 23 1 0 2 X 02 m 22
2 . 23 mX 2 mX 0 12 22
2 k X m X i i i
2i
T T 2 X k X X m X i j i j i
X k X 0 i
T j
m22 j X2 j m12 X j 1j
m 1 m2
1 j
mN2 j XNj
m
EI
l EI l
y1
m y2
2 . 23 0 . 897 X ; X 1 2 1 1
m m 2 m
T 1
18 12 7 EI k 1 7 18 48 l3 7 7
i振型上的惯性力 在j振型上作的虚功
mN
X
Nj
X 2 2 W m X X m X X ij 1i 1 i 1 j 2i 2 i 2 j
2 X m X i j i T
X
2 j
由虚功互等定理
j振型上的惯性力 在i振型上作的虚功
2 j T i
2 (2 X m X 0 j i) j i T
Wji W ij
X m X W X m X i ji j
2 j T j
T X m X 0 j i
振型对质量的正交性的物理意义
结构动力学 -单自由度体系的振动
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
结构动力学-单自由度系统的振动
Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
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20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
清华大学结构抗震原理01-123自由振动
(a) 线弹性
(b) 非线弹性 图 1.3
(c) 弹塑性
除质量和刚度外，阻尼使结构在振动过程中耗散能量，对振动有减小作用，
2
也应在分析中予以考虑。 线弹性体系的动力分析是结构动力学的基础， 其中线弹性单自由度体系是最 简单的动力分析模型，本章首先讨论线弹性单自由度体系的动力分析。
δ δ
P
P
P
δ
k=
P
δ
k=
P
δ
(d)
k=
P
δ
(a)
(b) 图 1.1
(c)
(a)
(b) 图 1.2
(c)
(d)
对于图 1.2(a)所示考虑水平振动时的多层框架，将各层质量集中于各节点位
1
置（图 1.2(b)） ，可较好地分析梁、柱杆件的动力反应；如将各层质量集中于各 层楼板位置来考虑（图 1.2(c)） ，则可较好反应各楼层的动力反应。而当主要考 虑结构总体振动反应时， 则可进一步将结构用一集中质量的单自由度体系来表示 （图 1.2(d)） 。 描述一个体系运动规律的主要变量数目称为该体系的自由度。 通常空间内一 个质点需要三个变量（x, y, z）来描述。对于图 1.1(d)和图 1.2(d)所示的单质点体 系，当仅考虑平面内水平振动时，只有一个水平位移变量，称为单自由度体系； 而图 1.1(b,c)和图 1.2(b,c)为多自由度体系。 动力分析模型由有限个质点组成时，称为质点系模型。对于质量连续分布的 情况， 则可采用连续体动力分析模型。 质点系模型的振动分析方程为常微分方程， 而连续体模型则为偏微分方程。对于一般结构，采用连续体模型将使分析十分复 杂。但在有些情况下，如考虑地基、楼板和梁的振动时，采用理想化的连续体模 型也很有效。 确定结构动力分析模型时，在满足工程分析精度要求的条件下，应尽量采用 能够反映结构主要振动特点的简单分析模型，减少分析的工作量，并可以使得工 程人员更好地把握结构振动的本质。 在图 1.1 楼层处质点位置施加水平力 P， 产生水平位移δ， 则产生单位位移所 需要的力 P/δ 称为结构的刚度 k。此时结构内部产生使质点恢复到原始位置的内 力，称为恢复力 Q。在质点位置，恢复力与外加水平力 P 大小相等，方向相反， 即 Q =-kδ。对于恢复力与位移（变形）成比例的情况（图 1.3a） ，为线弹性振动， 这一般在位移（变形）较小时成立。当位移（变形）较大，恢复力与位移（变形） 将不成比例时，为非线性振动，分为非线性弹性振动和弹塑性振动。恢复力与位 移（变形）关系为非线性弹性时（图 1.3b） ，为非线性弹性振动；恢复力与位移 （变形）关系形成环形非线性关系时，为弹塑性振动（图 1.3c） 。结构在地震作 用下，通常表现为弹塑性振动。
结构动力学7
{ψ } [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = {ψ }T [ M ]{ψ }
T
若假设振型{ψ}接近结构的基本振型，则Rayleigh熵为：
{ψ }T [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = ≈ ω12 {ψ }T [ M ]{ψ }
7.1 Rayleigh法 ——近似的证明
假设振型可表示为结构固有振型的线性组合
{ } = ∑{φ}iYi = [φ ]{Y } ψ
i =1
N
设振型为正交归一化振型，则Rayleigh熵可表示为
{Y }T [φ ]T [K ][φ ]{Y } = N Y 2ω 2 / N Y 2 ρ (ψ ) = T T ∑i i ∑i {Y } [φ ] [M ][φ ]{Y } i =1 i =1
7.2 Rayleigh-Ritz法 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的 近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的 结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。 Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固 有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的 振型。 Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其 Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程 组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振 频率和自振振型。
7.1 Rayleigh法
结构最大动能：
T=
1 2 2 Z ω {ψ }T [ M ]{ψ } cos2 ωt 2
E=
1 2 Z {ψ }T [ K ]{ψ }sin 2 ωt 2
Tmax
：
Emax
1 2 = Z {ψ }T [ K ]{ψ } 2
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第2章 结构动力学基础工程,振动,稳定,全套,课件
动荷载的特性 结构的动力特性 结构响应分析
2
结构动力体系
位移
静荷载
大小 方向 作用点
结构体系
输入 input
刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
静力响应
输出 Output
内力 应力
数值
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
结构体系
输入 input
质量、刚度 阻尼、约束 频率、振型
动力响应
输出 Output
k 1
n
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。 nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数
广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
11
2.2 结构动力学的任务和研究内容
• 结构动力学的任务
a. 确定结构的固有动力特性，建立结构的固 有动力特性、动荷载和结构动力响应三者 间的相互关系； b. 提供结构动力响应分析方法； c. 提供对结构进行动力设计的依据。
12
• 结构动力学的研究内容
动荷载 结构 体系 控制
理论研究：
• • 结构的响应分析（结构动力学的正问题） 结构的参数识别或系统识别（反问题）
mdx dx
DOF=∞
m
机器振动
y
y
21
2.3.2 体系自由度的简化
1. 集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或 某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。 适用于大部分质量 集中在若干离散点 上的结构。
m1
结构动力学-振动分析课件
一振动分析的重要性在实际工程结构的设计工作中，动力学设计和分析是必不可少的一部分。
比如在建筑工程、船舶、汽车等行业中将会接触到大量的旋转结构(例如:轴、轮盘等结构)。
这些结构一般来说在整个机械中占有极其重要的地位，它们的损坏大部分都是由于共振引起较大振动应力而引起的。
同时处于旋转状态，它们所受外界激振力比较复杂，更要求对这些关键部件进行完整的动力设计和分析。
而对于起重机这样的重型机械，控制振动不仅决定结构安全，而且关乎起重机的工作效率和操作人员舒适度。
动态性能是起重机设计的一个重要技术指标。
具体体现在(一)由于机构起动和制动，使起重机金属机构产生持续时间较长的衰减振动，对司机的生理器官和心理感受会产生不良的影响，将影响装卸作业定位精度，降低劳动生产率。
(二)每台装卸桥的金属结构都有固有的振动频率，设计时使这些固有频率避开外激振力的频率可以避免发生共振，有效减小振动幅值。
结构的每个固有振动频率都对应一定的固有振型，准确地计算出结构的固有振型，就可分清在什么样的激振力作用下会发生什么样的振动，从而控制相应激振力的频率，避免该振型下的共振。
二起重机动态分析的内容对起重机的动态分析主要包括，模态分析、谐响应分析、静态分析和瞬态动力分析。
模态分析在动力学分析过程中是必不可少的一个步骤，模态分析用于确定设计结构的振动特性(固有频率和振型)，即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数，是其他动力学分析的起点在模态分析的基础上进行谐响应分析，分析出起重机在受外界激励作用时各阶危险频率下的变形情况。
在工作过程，起重机受得起升冲击，风载冲击以及地震冲击等等的激励影响大，在这些激励下就会出现最大的危险模态，运用谐响应分析分析出这些模态下结构的应力应变和振幅分布情况，通过瞬态分析得出起重机在工作过程中随时间变化的变形情况，起重机在工作时经常启动和制动，将会对结构产生强烈的冲击和振动，瞬态动力学分析，主要研究起重机在启动、制动时系统的弹性振动规律，据此确定系统各部位的动应力响应、位移响应。
结构动力学10
10.2 结构多点地震动输入问题
对多点（非一致）地震动输入问题仍可将结构的总位移 按牵连运动和相对运动分解：
{u(t )} = {u(t )} + {u(t )}
t
s
{u(t)}t ——体系总位移向量； {u(t)} —— 体系相对位移向量； {u(t)}s ——体系的牵连运动向量。 但此时由于结构基础处各点输入的地震动不同，由静力 方法计算的牵连运动已不是刚体运动，牵连运动本身 即会使结构产生变形，而相对运动对应的仍相当于对 应刚性基底的反应，仍可以采用振型叠加法进行求解， 但计算公式要变得复杂。
目前已提出了一些分析方法考虑几何非线性影响。当然， 若采用基于Lagrange方程的大变形分析，则可以合理考 虑这一问题，并可以同时考虑结构的物理非线性。
10.6 结构动力参数识别和动力检测
随着计算能力和计算方法的发展，结构分析模型的精度 越来越高。但是由于认识水平和结构复杂性的限制， 理论模型和实际结构之间总是存在一定的差距。其中 最主要的是边界条件不完全符合实际、复杂结构中的 某些材料特性也随着环境条件而变化、还有设计和施 工误差造成理论模型与实际结构不符等；同时使用期 间的疲劳与退化也改变了结构的特性。因此需要对结 构进行参数识别和检测，以评估其实际的运行状态， 并为维护、加固提供可靠的依据。 动力检测，是指利用结构的动力反应进行结构性态识别 的方法，包括对结构进行激励的方式、反应量（位移、 速度和加速度）和测量位置的选择，以及对测量信号 的处理方式和结构识别方法。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第10章 结构动力学专题
第十章 结构动力学专题
本章简要介绍几个结构动力反应分析中的问题 ◎ 结构多维地震动输入问题 ◎ 结构多点地震动输入问题 ◎ 动态子结构法 ◎ 结构动力分析中的物理非线性问题 ◎ 结构动力分析中的几何非线性问题 ◎ 结构动力参数识别和动力检测
结构动力学-2.
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
PROBLEMS：
1.A heavy table is supported by flat steel legs.Its natural period in lateral vibration is 0.5sec.When a 50kg plate is clamped to its surface.the natural period in lateral vibration is lengthened to 0.75sec.What are the weight and the effective lateral stiffness of the table?
mJ
二. 阻尼体系
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因：材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外
摩擦及介质阻力等. 阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比,方向与速度相反。
R(t) cy(t)
c-----阻尼系数 (damping coefficient ）
eTD
ln
Ai Ai 1
TD
对数衰减率
计算频率和周期可不计阻尼 2 2 D
阻尼测量
ln
Ai Ai 1
TD
2 D
2
1 ln Ai 2 Ai1
1 ln Ai 2n Ain
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 解: 1.阻尼比
运动方程及其解
m y(t)
cy(t)
my(t) k11 y(t )
运动方程 my cy k11y 0
清华大学大学物理课件6机械振动
y
A2
A2 A1
x
A1
2 即x2比x1超前 2 x
2 1
同相
A2 A1
反相
A2
x
A1
x
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x A cos( t )
A sin( t ) m cos( t
a1 0, 则 cos( 1 ) 0
7 11 1 或 6 6 6
31.4 15.7 0 15.7 31.4
v(cms ) 2 a A cos( t )
1
t (s )
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
31.4 x A cos(t ) 15.7 v A sin(t ) v m cos(t ) 0 2 1 v m A 31.4cms 15.7
解为： 谐振动运动方程
O
x
运动学特征
简谐振动定义（判据）：
描述运动的物理量遵从微分方程 运动学特征
（或运动方程为 物体所受合外力 ）
F kx
动力学特征
例：判断下列运动是否为简谐振动
1.乒乓球在地面上的上下跳动
2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动
切向运动
mg sin ma t d 2 a t R R 2 dt
O
d 2 mg mR 2 dt
mg
很小 sin
d 2 g 0 2 dt R
d 2 2 0 dt 2
g 令 R
2
谐振动
单摆
摆球对C点的力矩 M mgl sin 当 sin 时