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6、分式的概念、分式的基本性质

【知识精读】

分式的概念要注意以下几点：

（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；

（3）分式有意义的条件是分母不能为0。

分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M“不为零”的条件。

下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。

【分类解析】

例1.已知a，b为有理数，要使分式a

b

的值为非负数，a，b应满足的条件是（）

A.a≥0，b≠0 C.a≥0，b>0分析：首先考虑分母

B.a≤0，b<0

D.a≥0，b>0，或a≤0，b<0

b≠0，但a可以等于0，由a≥0，得a≥0，b>0，或

b

a≤0，b<0，故选择D。

例2.当x为何值时，分式|x|-5

x+5

的值为零？

分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。解：由题意得，得|x|-5=0，x=±5，而当x=-5时，分母x+5的值为零。

∴当x=5时，分式|x|-5

x+5的值为零。

例3.已知112a-3ab-2b

-=3，求

a b a-2ab-b

的值（）

129

235

A. B. C. D.4

-=3，∴-=-3，将分式的分母和分子都除以a b，得

--3

例4.已知x-2y=0，求的值。

11

=-y

=-

1

分析：Θ1111 a b b a

22

2a-3ab-2b b a2⨯(-3)-39

===，故选择C。a-2ab-b-3-25

--2

b a

x2-3xy+y2

2x2+xy-3y2

分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。

解：Θx-2y=0∴x=2y

(2y)2-3⋅2y2+y2

∴原式=

2⋅(2y2)+2y2-3y2

2

7y27

例5.已知：x2-x-1=0，求x4+1

x4的值。

解一：由x2-x-1=0得x≠0，等式两边同除以x得：x-1-1=0，即x-1=1

x x

x4+1=x4+1-2+2

x4x4

111

=(x2-)2+2=[(x-)(x+)]2+2

x x x

11

=(x-)2(x2+

x x2

+2)+2

11

=(x-)2[(x-)2+4]+2

x x

=5+2=7

解二：由已知得：x-11

=1，两边平方得：x2+

x x2

=3

两边平方得：x4+1

x4=7

+ + = k ≠ 0 ，则 x = 3k ，y = 4k ，z = 6k

当 x ≠ 1 且 x ≠ -3 时，分式 x - 1

中考点拨：

1.若代数式 ( x - 2)( x + 1)

| x|-1

A. x = 2 或 x = -1

的值为零，则 x 的取值范围应为（ ）

B. x = -1

C. x = ±2

D. x = 2

⎧⎪( x - 2)( x + 1) = 0

解：由已知得： ⎨

⎪⎩| x|-1 ≠ 0

解得： x = 2

故选 D

简析：在求解分式值为零的题目时，考虑到分子为零，但不要忽略了分母不为零这一条

件。

2. 已知： x y z + + ≠ 0 ，求 3 4 6

x + y - z x - y + z

的值。

解：设 x y z

3 4 6

∴ x + y - z = 3k + 4k - 6k = 1 x - y + z 3k - 4k + 6k 5

题型展示：

1. x 为何值时， | x - 1| 1 =

x 2 + 2 x - 3 x + 3

成立？

解：Θ | x - 1| | x - 1|

=

x 2 + 2 x - 3 ( x + 3)( x - 1)

1 与 都有意义。

x 2 + 2 x - 3 x + 3

当 | x - 1| = x - 1 时，由分式的基本性质知：

| x - 1| x - 1 1 =

=

( x + 3)( x - 1)

( x + 3)( x - 1)

x + 3

⎧x - 1 ≥ 0 ⎪⎪

解不等式组： ⎨x ≠ 1

⎪

⎪⎩x ≠ -3

得： x > 1

∴ 当 x > 1 时， x - 1

=

2(9a + 12ab + 4b ) + 8 3a + 2b = 16

a ，

x ， (m + n ) ， x + y ， 2a 2 - a - 6 的值为零，则 a 的值为（

x + y =- x + y = x + y a 3 + a 2 的值等于零；

a 3 + a 2 无意义。

1

= x 2 + 2 x - 3 x + 3

说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本

性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。

18a 2 + 8b 2 + 24ab + 8

2. 把分式 化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出

3a + 2b

这个整式与分式的乘积等于多少？

解：原式 2 2

3a + 2b

= 2(3a + 2b ) 2 + 8

3a + 2b

= 2(3a + 2b ) +

8

3a + 2b

∴ 2(3a + 2b ) ⋅

8 说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。

【实战模拟】

1. 在下列有理式 2 2 x + 1 1

2 x - y 1 y (a - b ) 中，分式的个数是（

）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2. 如果分式 a 2 - 4

）

A. 2

B. -2

C. a = 2 且 a = -2

D. 0

3. 填空题：

（1） x - y ( ) -( ) ( )

=-

-( x + y)

（2）当 a = _______时，分式 a -

1

当 a = _______时，分式 a -

1