培优专题6分式的概念、分式的基本性质含答案资料全

合集下载

专题6 应用分式基本性质解决问题（含答案）

专题6 应用基本性质解决问题知识解读1．分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 2．分式的变号规律（1）=A A B B --；（2）=A A B B --；（3）=A A B B --；（4）=A A B B----. 3．分子、分母的系数化整问题分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的系数都化成整数.4．分子、分母扩大的倍数与分式扩大的倍数的关系对于含未知数x ，y 的分式AB，当分式中x ，y 同时扩大2倍时，如果A ，B 同次，则分式会的值不变；如果A 是2次、B 是1次，则分式会扩大为原来的2倍；如果A 是1次、B 是2次，则分式会缩小为原来的12倍. 培优学案典例示范一、分式的性质是分式的变形依据例1 判断下列分式的变形是否正确，并说明理由. （1）1=1x x y y --；（2）22=b bc a a c ；（3）221=a b b a a b ---+；（4）221=a ba b b a --+-. 【提示】可从两个方面进行判定：①分子、分母乘或除以的是不是同一个整式；②这个整式是否一定不为零.【解答】【技巧点评】判定分式的变形是否正确可以从几个方面来考虑：①看分子、分母是不是同时进行了相同的运算； ②分子、分母只能同时乘除，不能同时加减；③分子、分母同时乘或除以的数或式必须不能为零.跟踪训练11．下列变形是否正确？为什么？（1）()()22221=x xy y x y x y x y ++-+- （2）()()22212=x xy y x y x y x y ++-+-（3）()()22222=x y x xy y x y x xy y ++++++ （4）()()22222=x y x xy y x y x xy y -++-++二、分子、分母系数化整问题例2 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数.（1）0.30.50.2a b a b +-；（2）10.2310.32x y -+.【提示】（1）将分子、分母同时乘10；（2）将分子、分母同时乘30. 【解答】【技巧点评】解决这类问题只需根据分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘分子、分母各项系数化整需要乘的数的最小公倍数.注意：分子、分母各项都要乘这个数，不能漏乘.跟踪训练22．不改变分式的值，把分式32241341123a a a a -+-+中的分子、分母的各项系数化为整数，并使次数最高项的系数为正数.三、分子、分母负号的处理例3 不改变分式的值，使下列分式分子、分母的第一项的系数为正. （1）3x y x y -+--＝；（2）23221x yx x ---+＝ .【提示】先将首项系数为负的分子或分母提取负号，然后利用分式的变号法则化简分式.【技巧点评】分式符号的变化是根据分式的基本性质进行的一种恒等变形，主要考查分子、分母所有负号个数.当负号的个数为奇数时，整个分式的符号为负；当负号的个数为偶数时，整个分式的符号为正.跟踪训练3 3．不改变分式23172x x x -+-+-的值，使分式的分子、分母中x 的最高次项的系数都是正数，应该是（）A . 23172x x x +-+B ．23172x x x +++C ．23172x x x ---D ．23172x x x --+四、公式的变形运用例4 将分式423xx y-中的x ，y 都扩大到原来的3倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大3倍C ．扩大6倍D ．缩小到原来的.【提示】思路1：将分式中的x ，y 换成3x ，3y ，然后化简；思路2：特殊值代入法. 【解答】【技巧点评】当分子、分母的次数相同时，如果x ，y 的值同时扩大和缩小相同倍数，分式的值不变.跟踪训练44. 若把分式2xyx y+中的x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（） A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.扩大为原来的8倍拓展延伸例5已知2113x x x =++，则分式2421x x x ++的值为________. 【提示】思路1：21x x x ++的分子、分母同时除以x ，转化为x +1x =2；思路2：由2113x x x =++。

分式及分式的基本性质

分式及分式如A/B（A,B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式。
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。

初中数学专题复习分式的概念和基本性质精讲精练(含答案).

分式【本章学习目标】分式与分数从概念、性质和运算法则上有许多相似之处，因此学习分式时，应特别注意与已有的分数知识进行类比联想．本章研究分式，是在分式有意义(即分母不等于零)的前提下进行的．分式的基本性质是进行分式的约分、通分等变形的依据．由于分式的分子与分母都是整式，所以在计算或化简时，本质上就是对分式的分子与分母进行整式运算．当分式的分子和分母都是多项式时，要通过对这些多项式分解因式而达到约分化简的目的．另外，在分式的加、减、乘、除四则运算过程中，做异分母分式相加减时，必须先通分，将分式都化为同分母分式再进行加减．所以，要进行分式运算，不但要掌握分式的四则运算法则，而且还须先掌握好通分和约分的方法．可以看出分式的混合运算是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．由于计算步骤较多，过程复杂，解题方法灵活多变，所以运算时必须要专心，细心，耐心，针对具体题目的特征，采用合适的解题方法，灵活而巧妙地进行混合运算．字母可以代表数，所以含有字母系数的一元一次方程与数字系数的一元一次方程没有本质区别．解题步骤包括：去分母，去括号，移项，合并同类项，得形如ax ＝b 的方程，在把系数化为1，x ＝ab时，要特别注意字母系数a ≠0的条件．解分式方程的基本思路是通过去分母，把分式方程转化为整式方程．去分母时，方程两边同时乘以分式的最简公分母．由于方程的两边都乘了一个整式，未知数的允许值范围可能扩大了，所求的整式方程的根中就可能有使原分式方程的分母为零的值，使分式方程失去了意义．为了去除这种增根，解分式方程后必须验根．对于分式方程的应用和整式方程的应用在数量关系上是相同的，只是整式方程含未知数的式子不受限制而已，所以方法灵活多样．【基础知识精讲】(1)了解分式的意义，这是本节重点；(2)会求一个分式有意义、无意义的条件； (3)会求一个分式的值为零的条件，这是本节难点； (4)理解有理式的定义． (5)掌握分式的基本性质；(6)会用分式的基本性质对分式进行恒等变形；(7)重点是通过对分数基本性质的类比，理解分式的基本性质； (8)难点是改变分式中分子或分母的符号法则的运用．【重点难点解析】 1．分式的意义如果A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，那么式子BA叫做分式．对于分式的概念，必须弄清以下两点：(1)分式是两个整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还有括号的作用．如ba nm -+表示(m ＋n )÷(a －b )． (2)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，如32-a b ，x2，a ab 等都是分式，而2y ，32yx -等就不是分式了．2．分式有意义、无意义的条件当分式的分母不为零时，分式有意义．如分式23-x ，当分母x －2≠0，即x ≠2时，分式23-x 有意义．当分式的分母为零时，分式无意义．如分式232-x ，当分母3x －2＝0，即32=x 时，分式233-x 无意义．在讨论分式有无意义时，不能对所给出的分式作任何变形．如分式b aab=变形后就是整式了．aab有意义时a ≠0，而b 对a 无任何限制，即a 可取任何数． 3．分式的值为零的条件要使分式的值为零，需要同时满足两项条件，缺一不可． (1)分母的值不等于零(即使得分式有意义)； (2)分子的值等于零． 4．有理式的定义整式和分式统称为有理式．下面举例解释，以帮助大家对分式概念的理解：(1)31是分数，它不是分式，而是整式； (2)4x-是整式，而不是分式；(3)两个整式的和、差、积所得的结果仍是整式，两个整式的商(除式不为零，下同)所得结果不一定是整式．两个分式的四则运算所得的结果可能是分式，也可能是整式．有理式的四则运算所得的结果一定是有理式．5．分式的基本性质我们知道分数的基本性质，即分数的分子分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变．类似地，我们有分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B M A B A ⋅⋅=；MB M A B A ÷÷= (M 是不等于零的整式)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，分式的约分、通分、化简和将要学习的解分式方程都离不开它．正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．因此学习中要注意以下两点：①式子中A ，B ，M 表示的是整式，特别要注意整式M 的值不等于零．②在应用时要充分理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误．6．分式基本性质的运用(1)把分式中分子、分母的系数化为整数．例如，分式y x yx 41313121-+的分子、分母系数都是分数，只要将分子、分母同乘以12，就可以化为整系数：y x y x y x y y x y x 3446)43(12)3121(12433121-+=-⨯+⨯=-+． (2)改变分式中分子、分母、分式的符号．例如：yxy x y x 333-=-=-；m n m n m n 222=--=--． (3)分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．因为分式的分数线具有括号的作用，当分子或分母为多项式时，要把它看作一个整式，变号时要将多项式的各项都改变符号．A ．重点、难点提示 1．理解分式的概念。

分式习题精讲含详细解答答案

1.分式的定义及性质1-1.若分式mx x +-212不论x 取任何实数总有意义，则m 的取值范围为（ D ） A. 1≥m B. m ＞1 C. 1≤m D.m ≠1分析：分式有意义的条件是分母不为0.只要m x x +-22≠0，即可，而m x x +-22=()1122-++-m x x =()112-+-m x ，要使()112-+-m x ≠0，因为()012≥-x ，所以只需要m －1≠0,即m ≠1。

1-2.若()()30622----x x 有意义，那么x 的范围是（ D ）。

A. x ＞2B. x ＜3C. x ≠3或x ≠2D. x ≠3且x ≠2 1-3.已知分式的值为正或负，或1，-1，或0.求字母的取值。

① 当x 时，分式21+x 的值为正。

解：由题意得21+x ＞0，根据实数运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知x+2与1同号，所以x+2＞0，所以x ＞-2. ② 当x 时，分式112+-x x的值为负。

解：由题意得112+-x x ＜0，因为x 2+1＞0,根据实数运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知1-x 与x 2+1异号，所以1-x ＜0，所以x ＞1. ③ 当x 时，分式22-+x x 的值为－1。

解：由题意得22-+x x =－1，所以x+2与x －2互为相反数，所以x+2＋x －2=0，所以x =－x ，所以x ≤0总结：以上题型为：已知分式的值为正或负，或为1，－1等常数，求x 的值。

这种题型的解法是：运用转化的思想。

A.若分式的值为正或负，则转化成解分式不等式，解分式不等式的方法是运用实数运算法则将分式不等式转化成整式不等式，再解整式不等式。

B.或分式的值为1，－1等常数时，则转化成求解分式方程，解分式方程的方法是先转化成整式方程，再解整式方程。

最后记得要检验是否有增根。

附加练习：④ 当x ＞5 时，分式52-x 的值为正。

分式的概念及其基本性质

n
2
n2
.
3
3
（×）（ ×）（× ）
先值化代简入求1值-.x1
x -1 x2 2x
然后请自选一个你喜欢的x
解：
1
1 x
x -1 x2 2x
=
x -1 x
x -1
÷ x2 2x …………………
= x - 1 × xx 2………………
x
x -1
= x+2
……………………
当x=1时，则原式=1+2=3 ……………………④ 请你判断以上解题正确吗？若不正确请说明理由.
-
1 2
1.若分式
A B
有意义，则B≠0.
若分式 A 无意义，则B=0.
B A
若分式 B =0，则A=0且B≠0.
2.分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数.
3.解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号.
一分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
用式子表示为：A A M A M M为不为0的整式
B BM BM
2.分式的约分和通分：（1）约分：把分式的分子与分母的公因式约去. （2）通分：把几个异分母的分式分别化为与原分式相等的同分母的分式.
4.处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的.
5.在进行分式的加减运算时，一定要把分子作为一个整体进行加减，需要添加括号时，一定要添加括号.

2024年中考数学复习-分式性质的拓展应用考点培优练习

分式性质的拓展应用考点培优练习考点直击1.分式定义：形如AB的式子叫分式，其中A，B是整式，且B中含有字母.(1) B=0时,分式无意义; B≠0时,分式有意义.(2) 分式的值为0:A=0,B≠0时,分式的值等于0.(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分.方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式.(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫作最简分式.分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式.(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫作分式的通分.(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积.(7)有理式：整式和分式统称有理式.2.分式的基本性质：(1)AB =A⋅MB⋅M(M是不为0的整式)；(2)AB =A÷MB÷M(M是不为0的整式)；(3)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.例题精讲例1若实数a，b，c满足条件1a +1b+1c=1a+b+c,则a,b,c中( )A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反的数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等【思路点拨】首先把等式去分母得到b²c+bc²+a²c+ac²+a²b+ab²+2abc=0，用分组分解法将上式左边分解因式得(a+b)(b+c)(a+c)=0,，从而得到a+b=0或b+c=0或a+c=0，根据相反数的定义即可选出选项.举一反三1 (湖北中考)已知分式x+y1−xy的值是a，如果用x，y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a，b ( )A. 相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为−1举一反三2 下列分式从左到右的变形一定正确的是 ( )A.b+xa+x =baB.b2a=b22abC.x−yx+y =y−xx+yD.−x−yx+y=−1举一反三3 要使1x+2=x−3x2−x−6成立，必须满足 ( )1A. x≠-2B.x≠−2且x≠3C. x≠3D.以上都不对例2 (南京统考)已知三个数x，y，z满足xyx+y =−2,yzy+z=43,xzx+z=−43,求xyzxy+yz+zx的值.【思路点拨】分式的分子是单项式，分母是多项式时，可以通过对等号两边同时取倒数来帮助运算.举一反三 4 已知代数式x⁴−x²+6x−8的值等于1，求代数式xx+1的值.举一反三5 已知xx2+x+1=13,求分式x2x4+x2+1的值.举一反三6 已知1x −1y=3,求分式2x−3xy−2yx−2xy−y的值.例3【探索】(1)若3x+4x+1=3+mx+1,则m=;(2) 若5x−3x+2=5+mx+2,则m= .【总结】若ax+bx+c =a+mx+c(其中a,b,c 为常数),则m=.【应用】利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值.举一反三7 已知x+1x =3,求x2x4+x2+1的值.11举一反三8 (西安统考)阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.在分式中，我们定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式；再如3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式).如x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1;再如x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+11=x+1+1x−1.解决下列问题：(1) 分式2x是 (填“真分式”或“假分式”)；(2)将假分式x−1x+2化为带分式：；(3)如果分式2x−1x+1的值为整数，那么整数x的值为 .过关检测基础夯实1.下列各式中2x ,a+2b2,a+bπ,a+1a,(x−1)(x+2)x+2,a+√bb，分式的个数是 ( )A. 2B. 3C.4D. 52.使分式x−1x2−3x+2有意义的x 的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x≠2C. x≠1且x≠2D.x可为任何数3.若分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0，则( )A. x=1或x=3B. x=3C. x=1D. x≠1且. x≠24.下列约分正确的是 ( )A.a9a3=a3 B.x+1x+1=0 C.x2+2x+1x+1=x+1 D.a2+b2a+b=a+b5.a5,n2m,12π,ab+1,a+b3,y5−1z中,分式有个.6.当分式1x−3有意义时，则 x 满足的条件是 .7.若分式x+1x−1的值为 0，则 x 的值是8.利用分式的基本性质填空：(1)3a5xy =()10axy(a≠0);(2)a+2a2−4=1().9.约分:(1)a3b3a2b+ab ;(2)x2−2x+1(x2+1)2−4x2.10. 通分: 2m−3,12(m+3).能力拓展11. 当分式62x−3的值为整数时，自然数x 的取值可能有 ( )A.3个B. 4个C.6 个D.8个12. 如果分式a2a+b中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值 ( ) A. 不变 B. 缩小 2倍C. 扩大 2倍D. 扩大 4 倍13. 设xyz≠0,且3x+2y—7z=0,7x+4y—15z=0,则4x2−5y2−6z2x2+2y2+3z2=¯.14.不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则a−23b12a+2b=15.x 取何值时，下列分式有意义：(1)x+22x−3;(2)6(x+3)|x|−12;(3)x+6x2+1.16. (1) 已知分式2x2−8x−2,x取何值时，分式的值为0?(2)x 为何值时,分式x2+23x−9的值为正数?17.已知实数a,b满足, 6ᵃ=2010,335ᵇ=2 010,求1a +1b的值.综合创新18. 设 a +b +c = abc(abc≠0),化简: a (1−b 2)(1−c 2)+b (1−c 2)(1−a 2)+c (1−a 2)(1−b )2aℎc= .19.若 x²+x −1=0,则x 4+(x−1)2−1x (x−1)的值为 .20.(舟山中考)给定下面一列分式(其中x≠ 0):x 3y,−x 5y2,x 7y3,−x 9y 4,⋯(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.4 分式性质的拓展应用【例题精讲】 1. B 解析: 1a+1b+1c=1a+b+c,去分母并整理得 b²c +bc²+a²c +ac²+a²b + ab²+2abc =0,即 (b²c +2abc +a²c )+(bc²+ac²)+(a²b +ab²)=0,∴c(a + b)²+c²(a +b )+ab (a +b )=0,(a +b ). (ac +bc +c²+ab )=0,(a +b )(b +c )⋅(a+c)=0,即a+b=0或b+c=0或a+c=0，则a ，b ，c 中必有两个数互为相反数.2. --4 解析：由已知条件可得x+y xy= −12,y+zyz=34,z+xzx=−34,即 1x+ 1y=−12,1y+1z=34,1z+1x=−34,三式相加得 2x+2y+2z=−12,∴1x+ 1y+1z=−14,∴xy+yz+zxxyz=−14, ∴xyz xy+yz+zx=−4.3.【探索】(1)1 (2)-13【总结】b-ac 【应用】x=2或x=0 解析：【探索】(1)将已知等式整理得3x+4x+1=3x+3+m x+1,即3x+4=3x+3+m,解得m=1;(2) 将已知等式整理得5x−3x+2=5x+10+m x+2,即5x-3=5x+10+m,解得:m=-13.【应用】4x−3x−1=4(x−1)+1x−1=4+1x−1,:x 为整数且4x−3x−1为整数,∴x-1=±1,∴x=21或x=0.【举一反三】1.B 解析：根据题意，用x ，y 的相反数代入这个分式,即 b =−x−y1−(−x )(−y )= −x+y 1−xy=−a,所以a ，b 互为相反数.2. D 解析:当a≠0且x=0时,等式才能成立，A 错误；当b≠0时，从左到右的变形才能成立，B 错误；分式从左不能变形到右,C 错误;−x−y x+y=−(x+y )x+y=−1,D 正确.3. B 解析:x+2≠0,解得x≠--2,又∵x²-x--6≠0,(x+2)(x -3)≠0,解得x≠-2且x≠3,则x≠-2且x≠3时,等式成立.4.7±√136解析： ∵x⁴−x²+6x −8=1, ∴x⁴−x²+6x −9=0,∴x⁴−(x −3)²= ,∴(x²+x −3)(x²−x +3)=0,∴x²+(x--3=0或 x²−x +3=0.当 x²−x +3=0时，方程无解；当 x²+x −3=0时,x=−1±√132.当 x =−1+√132时, xx+1=−1+√132−1+√132+1√131+√13= 7−√136;当 x =−1−√132时,xx+1=−1−√132−1−√132+1√131−√13=7+√136. 5. 13解析：由x x 2+x+1=13整理变形得1x+1+1x=13,从而得 x +1x=2.而 x 2+x 2x 4+x 2+1=1x 2+1+1x2,1x 2=(x +1x)2−2=2, 故x2x4+x2+1=13.6. 35解析：∵1x−1y=3,∴y−x=3xy,∴x−y=−3xy,∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2(x−y)+3xy(x−y)−2xy=2×(−3xy)+3xy−3xy−2xy=−3xy−5xy=35.7. 18解析：将x+1x=3两边同时乘x，得x2+1=3x,x2x4+x2+1=x2(x2+1)2−x2=x29x2−x2=18.8.(1) 真分式(2)1−3x+2(3)2或-4或0或-2解析：(3)2x−1x+1=2x+2−3x+1=2−3x+1.所以当x+1=3或-3或1或-1时，分式的值为整数.解得x=2或x=-4或x=0或x=-2.【过关检测】1. B 解析: a+2b2,a+bπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；a+√bb的分子不是整式，因此不是分式.2. C 解析: ∵x²−3x+2≠0即(x-1)(x-2)≠0,∴x-1≠0且x-2≠0,∴x≠1且x≠2.3. B 解析:∵分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0,∴x²−4x+3=0且(x--1)(x--2)≠0,∴x=3.4. C 解析:原式=a⁶,A错误;原式=1,B错误；该分式是最简分式，不需要约分，D错误.5.3 解析: n2m ,ab+1,y5−1z为分式.6. x≠3解析：由题意得x--3≠0，解得x≠3.7.-1 解析:由分式x+1x−1的值为0,得x+1=0且x-1≠0,解得x=-1.8.(1) 6a² (2)a-29.(1) 原式=a3b3ab(a+1)=a2b2a+1(2) 原式=(x−1)2(x2+1+2x)(x2+1−2x)=(x−1)2(x+1)2(x−1)2=1(x+1)210.2m−3=4(m+3)2(m+3)(m−3)12(m+3)=m−32(m+3)(m−3)11. B 解析:要使62x−3的值为整数，则2x-3只能取±1,±2,±3,±6,而x 是自然数,分析知2x-3可取±1或±3,对应得x为0,1,2,3.12. C 解析:∵分式a2a+b 中的a，b都同时扩大2倍, ∴(2a)22a+2b=2a2a+b,∴该分式的值扩大2倍.13.−116解析:∵xyz≠0,∴x≠0且y≠0且z≠0,{3x+2y−7z=0circle17x+4y−15z=0circle2②--①×2得7x-6x--15z+14z=0,∴x=z,将x=z代入①得3z+2y-7z=0,解得y=2x= 2z,原式=4z2−5×4z2−6z2z2+2×4z2+3z2=−22z212z2=−116.14.6a−4b3a+12b 解析a−23b12a+2b=6(a−23b)6(12a+2b)=6a−4b3a+12b.15.(1)x≠32(2)x≠±12 (3) x 为任意实数解析:(1)要使x+22x−3有意义,则2x-3≠0,解得x≠32.当x≠32时, x+22x−3有意义.(2)要使6(x+3)|x|−12有意义,则|x|-12≠0,解得x≠±12.当x≠±12时, 6(x+3)|x|−12有意义.(3)要使x+6x2+1有意义，则x²+1≠0.x为任意实数，x+6x2+1有意义.16.(1) -2 (2)x>3解析:(1)由2x2−8x−2=0,得2x²−8=0且x--2≠0,解得x=-2.当x=-2时,分式的值为0.(2)x2+23x−9的值为正数，得3x-9>0,解得x>3.当x>3时,分式x2+23x−9的值为正数.17. 1 解析: ∵6ᵃ=2010,335ᵇ=2010,∴6ᵃᵇ=2010ᵇ,335ᵃᵇ=2010ᵃ,∴6ᵃᵇ×335ᵃᵇ=2010ᵇ⁺ᵃ,(6×335)ᵃᵇ=2010ᵃ⁺ᵇ,∴ab=a+b,∴1a +1b=a+bab=1.18.4 解析:分子=a(1−b²−c²+b²c²)+b(1−c²−a²+a²c²)+c(1−a²−b²+a²b²)=(a+b+c)−ab(a+b)−bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc).∵a+b+c=abc,∴分子=abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)=abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)=abc+3abc=4abc.∴原式=4abcabc=4.19. 3 解析: ∵x²+x−1=0,∴x²=−(x−(1),x2+x=1,∴x4+(x−1)2−1x(x−1)=[−(x−1)]2+(x−1)2−1x(x−1)=2x2−4x+1x2+x−2x=2(1−x)−4x+11−2x=3(1−2x)1−2x=3.20.(1)任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y(2)观察这一列分式：①发现分母上是y¹,y²,y³,…,故第7 个式子的分母是y⁷.②发现分子上是x³, x⁵,x⁷,…,i故第7个式子的分子是：x¹⁵.③再观察符号，发现第偶数个分式为负，第奇数个分式为正.综上，第 7 个分式应该是x15y7.。

分式的概念和性质+答案

分式的概念和性质(基础)【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件•2•掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算•【要点梳理】【高清课堂403986分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 -叫做分式•其中AB叫做分子，B叫做分母•要点诠释：(1 )分式的形式和分数类似，但它们是有区别的•分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式•分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母•(2)分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况•(3)分母中的"字母”是表示不同数的"字母”，但n表示圆周率，是一个常数，不是字母，如-是整式而不能当作分式•(4)分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如〜是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，x不能看化简的结果•要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零•2.分式无意义的条件：分母等于零•3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零要点诠释：(1)分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零•(2)本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零•(3)必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： - ，仝(其中M是不等于零的整式).B B M B B M要点诠释：(1)基本性质中的A、B M表示的是整式.其中BM 0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调W0这个前提条件•(2)在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母X的取值围变大了•要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数要点诠释：根据分式的基本性质有 —-,——.根据有理数除法的符号法则有a a a ab b b aa.分式一与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着aaab b重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 .如果一个分式的分子与分母没有相同的因式 (1除外),那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释：(1)约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.(2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幕的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分要点诠释：(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母.(2) 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幕的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母 (3) 约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念 1下列式子中，哪些是整式？哪些是分式?25 a 2x , a2 5一虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中表示3【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式. 类型二、分式有意义，分式值为 0 2、下列各式中， m 取何值时，分式有意义?【思路点拨】x 5 3一个常数，因此这三个式子都不是分式. 【答案与解析】X解：整式：一-,5, 3 x 2，分式：-,心3 am不改【答案】解：分式没有意义的条件是分式的分母等于0•(1) 由 x(x 7) 0，得 x 0或 x 7 ,当x 0或x 7时，原分式没有意义(2) 由2x 0，得 x 0 ,当x 0时，原分式没有意义.(3) 由 2 x > 2 20 得，x 20，即 x 2 0 ,•••当x 取一切实数，原分式都有意义，即没有 x 值能使分式没有意义.【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0.(1) 2x 1/c 、 x x ； (3) x 2 3x ; 2 )2 x 12 x 4 【答案】解：（1）由2x1 0得 x-2，当x1 时， 3x23 (~) 2 0 ,22(1)3m【答案与解析】解：（1 ）由m 2故当m2时分式一m -有意义.2(2)由 |m|故当m 2时分式1- 有意义.|m| 2(3)由 m 29(m 29） 0 ,即无论 2m 取何值时 m 9均不为零，故当m 为任意实数时分式3m 2都有意义.m 29【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值, 然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义•这是解答这类问题的通用方法. 举一反三:【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义(1)3x x(x 7)(2) (3)x 2 x 2 21 2x 1 当x2时，分式齐的值为0(2)由 X 2 x 0 得 x 0或 x 1 ,当 x 0 时，x 21 0 1 0,22当 x 1 时，x 1(1)10,2•••当x 0时，分式笃_x的值为0. x 2 1 (3)由 x 2 0得 x 2 ,当 x 2时，x 2 4( 2)2 40 ,类型三、分式的基本性质【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式,分式的值不变• 举一反三：【变式1】如果把分式中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（）3x 2yA 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【答案】B ；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母.在分式有意义的前提下，分式罕2的值永不为0.x 2 43、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数.1 1 x y ⑵4 4 1 x2 分母同乘(1)眩 y ；0.02x 0.5y【思路点拨】将（1）式中分子、【答案与解析】13y 50,（2）式的分子、分母同乘 12即可.解: (1)止 y0.02x 0.5y (0.2 x y) 50 10x 50y(0.02x 0.5y) 50 x 25y(2) 1 1x y34 1 1 x y 2 31112 xy 3 41 112 xy 2 34x 3y 6x 4y(2) (b a)(c b) ?(a c)(a b)(b c) a c先观察分子，等式左边分式的分子为x y ，而等式的右边分式的分子为x 2 y 2,(2)先观察分母，等式左边的分母为(a c)(a b)(b根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以(b a)(c b) [(a b)(b c)] 1，所以在？处填上 1.4、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含"-”号./八 2a (2)4x / c 、 3m /、 2b (1)；(3) ；(4)-b5y n3c【答案与解析】2a2a 4x 4x“、 3m3m/八2b 2b 解: (1)(2)(3)(4)b b5y 5y n n3c3c【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变.一般地，在分式运算的最后结果中，类型四、分式的约分、通分【答案与解析】a 1a 2 1 (a 1)(a 1)2 2(1)山 x^_ ；x y ?【答案】/ 、2(X y) ； 1；由于(Xy)(x y) x 2 y 2，即将等式左边分式的分子乘以 x y ，因而分母也要乘以x y ，所以在？处应填上(x y)2.c)，等式右边的分母为a c ,(a b)(b c)，因为习惯于只保留一个负号，写在分式的前面.5、将下列各式约分:；(2)呼；(3)3x y知；(4)316m m ~2~ m m 20(2)4ax 2 12x 34x 2 g_a. 4x 2 g3xa 3x 2 415x y 33x yn 323x y g5x yn 33x y g15x 2y .16m m m(m 4)( m 4) (4) 厂m m 20 (m 5)(m 4) m2 4m m 5【总结升华】当分子、分母都是单项式时，分子、分母的相同因式最低次幕的乘积. 的最大公约数与分子、举一反三:【高清课堂403986【变式】通分：（1）分式的概念和性质b【答案】分母的公因式即是分子、分母的字母系数例6（2）】(3)a ；2b2e ' 与—；2a2bab2e'4ae3(2)解：（1）最简公分母为4ab2e ,b 4aebgb24ab2eb34ab2c'a2b2e(2)x2x 2x2(x 1)最简公分母为2（x 1）（x 1)，x 2x 2xg(x 1) 2( x 1)(x 1)(3)2(x 1)(x 1) 最简公分母是3 g be2a2b 2a2b g be（4）最简公分母是【巩固练习】.选择题1.在代数式2x 2(4) 1x 2a g2a4ab2e1x2 14xx2 42a24ab2e(x 1)(x 1)'2(x 1)(x 1)2(x 1)(x2a2b2e.3be2a2b2e(x 2)(xa bab2e2)，(x 2)(x 2)x 2x2 41)(a b) g2aab2e g2a2a22ab2a2b2e2 1 x,-3 x 3 2"，3xr，4xx242x2 52x4x42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)分式共有（）2x 4x2 42 .使分式值为0的x 值是（）x 5A. 0B. 5 3.下列判断错误的是（）A.当当X 2时，分式X 1有意义 3 3X 2B.当当ab 时,分式严2•有意义a 2b 2C.当当X 1时，分式2X1值为024X2—D. 当当X y时，分式X y-有意义4. X 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（）5•如果把分式中的X 和y 都扩大10倍，那么分式的值（X yC. aLJac 1二.填空题7 .当X = ______ 时，分式无意义.3X 68.若分式一^的值为正数，则X 满足 _________________7 X 9. ( 1)X 1X 21 X ()(2)( )3X5xy 23x 2y 10. (1)1() (2)1 X () X y X22yy 24 y 21X11.分式 Tr 三与—牛的最简公分母是 _______________________4a b 6ab cA.2个B.3个C.4个D.5个c.— 5D. X 5A.X 2 1D.X 1 X 2 16. A .扩大10倍2C.是原来的— 3正确的是（B .缩小10倍D.不变下列各式中， A.—b mD.12.化简分式：（1）x一£（y x ）3 ；（2）9 x 2 96x x 2 三.解答题 13.当x 为何值时，下列分式有意义 (1) x 鶴；（2）f ；（3） (4) x 2 1 x 21 14.已知分式仝卫，当y =— 3时无意义，当 y b y = 2时分式的值为0, 求当y = 15.不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数. —7时分式的值. (2)(4)3m 1 m 2【答案与解析】选择题 1. 【答案】B ；【解析】 1 , 3 , 2x 5是分式.x x 4 2x2. 【答案】 A ；【解析】 x 0且x 5 0. 3. 【答案】 B ；【解析】 aab b ,22有意乂 .a b4. 【答案】 D【解析】无论 x 为何值，x 21都大于零5. 【答案】 D【解析】 10x 20y 10(x 2y) x10x 10y10(x y)x 6. 【答案】 D ；【解析】利用分式的基本性质来判断 2y y二.填空题 7.【答案】2；【解析】由题意，3x 6 0,x 2.【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幕的乘积【解析】6x3 b 0，解得b 0，解得a2 38. 【答案】 X 7;【解析】由题意7 x 0, x 7.9. 【答案】 (1)2 X ； (2) 5y ；10. 【答案】 (1)X y ；(2) xy 2x y 【解析】 1X (X 1)(2 y) xy2 ; 2x y 2TV11. 【答案】 12a 2b 3c ；解：（1）由分母x 2 0，得 x 2 ••••当x 2时，原分式有意义.(2) 由分母4x 110，得 x亠 1 一，一………- 当x —时，原分式有意义.44(3) •••不论x 取什么实数，都有x 21 0 .••• x 取一切实数，原分式都有意义(4)X 2 0 , 2X 1 1 , •2 2(X 1)1 即 X 1 113. 2x 取一切实数，分式都有意义.所以分式为丄上，当y =-y 37时,12. 【答案】 (1).解答题【解析】 14. 解:【解析】由题意:。

分式的概念与性质(有答案)

分式的基本概念和性质一、分式的定义二、分式有意义的条件三、分式的值为零的条件四、讨论分式值的情况五、分式的基本性质1.基本性质2.约分3.最简公分母4.通分六、列代数式（分式）一、分式的定义1.【易】下列式子：1a ，2x -，6m ，3b ，z x y -，62a b +，25mn ，2217x x ++，a ba b -+中分式的个数是（） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个【答案】B2.【易】在式子1x ，12，212x +，3xyπ，4x y +，1a m +中，分式的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C3.【易】在式子1a ，3b ，ca b -，2ab π，22x x y -中，分式的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B4.【易】在式子3x y -，21a x -，1x π+，3a b -，12x y +，12x y +中，分式的个数为（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B5.【中】代数式2211532452m n y y x x y-+-，，，，中，分式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C6.【中】代数式2113x x ax x π+，，，中，分式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B7.【中】下列各式：()115x -，43x π-，222x y -，1x x +，25x x其中分式共有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A8.【中】下列式子：1x ，23a a b -，3x y +，42a π-，2x xx-，其中是分式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C9.【中】代数式()()1222122x x a b a b a x a x π-+++++，，，，中，分式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C10.【中】代数式215131n x h x m y x y x π+-++，，，，中，分式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D11.【中】代数式()()()222333124a x aa b x x m x mπ++÷--，，，，，中，分式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C12.【中】在下列各式中，11a -，243x y y -，h π-，22m n m n --，25a b a-，23x +，是分式的有________．【答案】11a -，22m n m n--，23x +13.【难】在下列代数式中：x π，12x y -，22x y x y -+，1x y x y+-，是分式的有________．【答案】22x y x y-+，1x y x y+-14.【难】在下列代数式中：222a b -，m n m n --，53x -，43x -，2y x y +，1111x+-是分式的有________．【答案】m nm n--，53x -，2y x y +，1111x+- 15.【难】在下列代数式中：211x -，111x x --，2a a，23x -，1155x x -++是分式的有________．【答案】211x -，111x x --，2a a ，23x -，1155x x -++二、分式有意义的条件16. 【易】若分式23x -有意义，则x 应满足的条件是（） A ．0x ≠B ．3x ≥C ．3x ≠D ．3x ≤【答案】C17. 【易】若分式25x -有意义，则x 的取值范围是（） A ．5x ≠ B ．5x ≠- C ．5x >D ．5x >-【答案】A18. 【易】在函数22xy x =+中，自变量x 取值范围是_________．【答案】1x ≠- 19. 【易】使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（） A ．2x =B ．2x ≠C ．2x =-D ．2x ≠-【答案】B20. 【易】函数21x y x -=-中自变量x 的取值范围是___________．【答案】1x ≠21. 【易】使分式211x x -+有意义的x 的取值范围是________．【答案】全体实数22. 【易】请写出一个对任意实数都有意义的分式，你所写的分式是________．【答案】221x + 23. 【易】无论x 取什么实数值，分式总有意义的是（）A ．21x x+ B ．221(2)x x -+ C ．211x x -+ D ．2xx + 【答案】C24. 【易】下列判断错误的是（）A ．当23x =/时，分式132x x +-有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义C ．当12x =-时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x yy x --有意义【答案】B25. 【易】若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（）A ．32a b ≠B ．b a 51=/ C ．23b a =-/D ．b a 32-=/【答案】D26. 【易】已知分式242x x -+，当x =________时，分式无意义．【答案】2-27. 【中】求下列分式有意义的条件：⑴22x y x y ++；⑵2128x x --；⑶293x x -+ 【答案】⑴分式有意义的条件是210m +≠，即m 为任何实数；⑵分式有意义的条件是228(4)(2)0x x x x --=-+≠，即4x ≠且2x ≠-； ⑶分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-28. 【中】当1x =时，分式23x x a+-无意义，则a =________．【解析】由题意，得：当时，20x x a +-=，即2110a +-=，所以2a = 【答案】229. 【中】使分式1111x++有意义的条件是________．【解析】由题意，得：101101x x+≠⎧⎪⎨+≠⎪+⎩ 解得12x x ≠-⎧⎨≠-⎩ 【答案】1x ≠-且2x ≠-30. 【中】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？【答案】1202x x+-≠+且20x +≠，则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠-，31. 【中】若使分式241312a a a-++没有意义，则a 的值为________．【解析】由题意，得：20a =或13102a a ++=，解得，0a =或15a =- 【答案】0或15-1x =32. 【中】有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0，乙：分式有意义时x 的取值范围是2x ≠±；丙：当1x =-时，分式的值为3-，请你写出满足上述全部特点的一个分式________．【答案】32x -（答案不唯一）33. 【中】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是________【答案】0x ≠且1x ≠±根据题意可得：010x x x ⎧≠⎪-⎨≠⎪⎩，解得0x ≠且1x ≠±34. 【中】分式1111a a ---有意义，那么a 的取值范围是__________．【答案】1a ≠±且2a ≠±35. 【中】请写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取何值，该分式都有意义）________．【答案】答案不唯一，如231x +等不论x 取何值，该分式都有意义，所以所写分式的分母最重要，联想到非负数的形式，20x ≥，所以只要在2x 的基础上加上一个正数即可作为分母，分子随意写一个数即可．36. 【中】当x 为任意实数时，分式212x x m-+一定有意义，则实数m 满足（）A ．0m ≥B ．1m >C ．1m ≤D ．1m < 【答案】B()2211211x x m x m =-+-+-，由题意得，()2110x m -+-≠恒成立，由于()210x -≥，所以10m -＞，即1m ＞37. 【难】a ，b ，c 为ABC △的三边，且分式222abca b c ab bc ac++---无意义，则ABC △是________三角形．【解析】由题意，得：()()()222222102a b c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形【答案】等边三、分式的值为零的条件38. 【易】若分式8x x-的值为零，则x 的值等于________________．【答案】839. 【易】若分式12x x -+的值为0，则x 的值等于________________．【答案】140. 【易】若分式261x x --的值为0，则x 的值等于________________．【答案】341. 【易】已知3x =时，分式31x kx +-的值为零，则k =________．【答案】9-42. 【中】若分式2362x xx --的值为0，则x 的值为（）A ．0B ．2C ．2-D ．0或2 【答案】A43. 【中】若分式211x x -+的值为0，则x 的值为________．【答案】144. 【中】若分式242x x -+的值为0，则x 应满足的条件是（）A ．2x =-B ．2x =C ．2x ≠-D ．2x =± 【答案】B45. 【中】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为________【答案】3-46. 【中】如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是________．【答案】247. 【中】分式265632x x x --+的值为0，则x 的值为________．【答案】3248. 【中】若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为________．【答案】049.【中】若分式2242x x x ---的值为0，则x =_________________．【答案】2x =-50.【中】若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________．【答案】251.【中】若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于________；【答案】252.【中】若分式2296a a a ---的值为0，则a 的值为（）A ．3B ．3-C ．3±D ．2a ≠-【答案】B53. 【中】如果分式11x x --的值是零，那么x 的取值是________．【答案】1x =-54. 【中】当x =________时，分式33x x -+的值为0．【答案】355. 【中】当x =_______时，分式3412x x -+的值是零．【答案】356. 【中】如果分式22a a -+的值为零，则a 的值为（）A ．1±B ．2C ．2-D ．以上全不对【答案】B57. 【中】如果分式222a a a ++-的值为零，则a 的值为（）A ．2-B ．1C ．0D ．以上全不对【答案】D58. 【中】式子()()811x x x -+-的值为零，则x 的值为（）A ．1±B ．1-C ．8D ．1-或8【答案】C59. 【中】若分式2||323x x x -+-的值为0，求x 的值．【答案】3四、讨论分式值的情况60. 【易】当x 为何值时，分式的值为正数？【答案】12x >-61. 【易】若分式2121bb -+的值是负数，则b 满足（）A ．0b <B ．1b ≥C ．1b <D ．1b > 【答案】D62. 【易】已知a 、b 为有理数，要使分式ab的值为非负数，a 、b 应满足的条件是（）A ．00a b ≠≥，B ．00a b <≤，C ．00a b >≥，D ．0000a b a b ><≥，或≤，【答案】D63. 【中】当x 取什么值的时候，分式33x x +-的值为1-．【答案】03x x ≠-≤且64.【中】如果分式26xx x --的值恒为正数，求x 的取值范围【答案】20x -＜＜或3x ＞65.【中】使代数式34x xx-的值为正整数的x 值是（）A ．正数B ．负数C ．零D ．不存在的【答案】D66.【中】若31a +表示一个整数，则整数a 可以值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D67.【中】若41x +表示一个整数，则整数x 可取值共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D68.【中】若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（）A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B69.【中】若32n -表示一个正整数，则n 可取值得的正整数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】B121+x五、分式的基本性质1.基本性质 70. 【易】如果分式x yx y+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，那么此分式的值（） A ．不变B ．是原来的3倍C ．是原来的13D ．是原来的16【答案】A71. 【易】如果把分式2xx y +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．缩小6倍 D ．不变【答案】D72. 【易】如果把223xyx y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（）A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍【答案】A73. 【易】把分式()200x x y x y≠≠+，中的分子分母的x 、y 都同时扩大为原来的3倍，那么分式的值将是原分式值的（） A ．9倍 B ．3倍 C ．一半 D ．不变【答案】B74. 【中】不改变分式的值，使分式0.20.0120.05x x ---的分子、分母中各项系数都为整数为____________．【答案】20012100050x x ---75. 【中】如果a cb d=（其中0,0b d >>），那么下列式子中不正确的是（）A ．a b c d b d ++=B ．a b c d b d --=C ．a c c b d d +=+D ．a db c = 【答案】D76. 【中】下列变形正确的是（）A ．11a ab b+=+ B ．11a ab b--=-- C ．221a b a b a b-=--D ．()()221a b a b --=-+ 【答案】B77. 【中】下列变形正确的是（）A ．0a ba b +=+ B ．1a ba b-+=-- C ．22a a b b -=D ．0.10.330.22a b a ba b a b --=++【答案】B78. 【中】下列化简正确的是（）A ．22a b a b a b +=++B ．1a ba b --=-+ C ．1a ba b --=--D ．22a b a b a b -=--【答案】B79. 【中】下列各等式中，正确的是（）A ．0.220.33x y x yx y x y++=--B ．221x y x y x y+=++C ．x y y xx y y x++=--D ．()()221y x x y -=-【答案】D80. 【中】下列各式中正确的是（）A ．0x y x y +=+B ．22y y x x = C ．1x y x y -+=-- D ．11x y x y =--+- 【答案】D81. 【中】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．⑴35a-；⑵235x y -；⑶25b a --；⑷1115y x --- 【答案】⑴35a -；⑵235x y -；⑶25b a ；⑷1115y x-82. 【中】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的最高次项的系数都是正数．⑴223x x --+；⑵322311a a a a -+---；⑶3223145x x x x-+--++ 【答案】⑴223x x --；⑵323211a a a a -++-⑶2232154x x x x --+-2.约分83. 下列约分正确的是（）A ．632x x x= B ．x m m x n n +=+ C ．22x y x y x y -=++ D ．1x yy x-+=- 【答案】D84. 【易】约分：⑴1015ab ac -；⑵y x y x 322.36.1-；⑶211m m --；⑷2223812a bc a b c - 【答案】⑴23b c -；⑵12x -；⑶11m +；⑷223cb - 85. 【易】________化简22a aa+的结果是__________．________【答案】2a +86. 【易】化简：293x x --=___________．【答案】3x +87. 【易】化简分式2222936a b a b ab -后得（）A ．222232a b a b ab - B ．263ab a ab - C ．b a ab 23- D ．bb a ab2332- 【答案】C88. 【中】化简222a b a ab -+的结果为（）A ．b a -B ．a b a -C ．a b a +D ．b -【答案】B89. 【中】化简222m n m mn-+的结果是（）A ．2m nm - B ．m nm- C ．m nm+ D ．m nm n-+ 【答案】B90. 【中】化简分式：⑴=--3)(x y y x _____；⑵22996x x x-=-+_____．【答案】⑴21()x y --；⑵33x x +-91. 【易】化简：22121a a a -++=________ 【答案】11a a -+92. 【中】化简22222bab a b a ++-的正确结果是（） A ．b a b a -+ B ．b a b a +- C ．ab 21D ．ab21- 【答案】B93. 【中】填入适当的代数式，使等式成立．⑴22222()a ab b a b a b +-=-+；⑵1()1a b a b a b+=--【答案】⑴2a b +；⑵b a +94. 【中】化简：22442y xy x x y -+-_________________；22322m m m m -+=-________________；【答案】2x y -；1m m-95. 【中】约分：⑴22312()27()a b a a b --；⑵62322--++x x x x ；⑶22416m m m --；⑷2442-+-x x x 【答案】⑴249()a ab -；⑵13x x +-；⑶4m m -+；⑷2x -96. 【中】化简2244xy yx x --+的结果是（）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D97. 【中】化简：2222444m mn n m n -+=-_____．【答案】22m nm n -+98. 【中】化简：22211x xy y x y -+---=______________ 【答案】1x y -+3.最简公分母99. 【易】分式25364x y xyz，的最简公分母（）A ．212x yzB ．12xyzC ．224x yzD ．24xyz【答案】A100. 【易】分式32235b c a ax bx x-，，的最简公分母（） A ．15axb B ．315abx C ．30abx D ．330abx【答案】D101. 【中】分式234m -与542m-的最简公分母是____________．【答案】()()222m m -+102. 【中】分式2212a b a b a b b a+--，，的最简公分母（） A ．()()()22a b a b a b -+- B ．()()22a b a b -+C ．()()22ab b a --D ．22a b -【答案】D103. 【中】分式22211112121a a a a a --+++，，的最简公分母（） A ．()221a - B ．()()2211a a -+ C ．21a +D ．()41a -【答案】A104. 【中】分式222222222a b b a ab b a b a ab b -+-++，，的最简公分母是（）A ．()()()22222222a ab b a b a ab b -+-++B ．()()22a b a b +- C ．()()()2222a b a b a b +-- D ．44a b - 【答案】B105. 【难】求下列各组分式的最简公分母⑴277a -，2312a a a -+，211a - ⑵2145x x --，232x x x ++，22310x x x -- ⑶22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab - ⑷231881x x -+，2281x -，211881x x ++ 【答案】⑴27(1)(1)a a -+；⑵(5)(1)(2)x x x -++；⑶()()ab a b a b +-；⑷22(9)(9)x x -+4.通分106. 【易】将3b a ，2abc -通分可得________【答案】2366bc a bac ac-，107. 【易】将13，1a，1b 通分后，它们分别是_______【答案】33333ab b a ab ab ab，，108. 【易】通分⑴22328c aab bc-，；⑵1111y y -+，【答案】⑴3222221288c a b ab c ab c -，；⑵()()()()111111y y y y y y +-+-+-，109. 【易】通分⑴2221225ab a b c，；⑵223a b xy x ，；【答案】⑴2222541010ac a b c a b c，⑵223266xa yb x y x y ，110. 【中】通分422a a +-- 【答案】224442222a a a a a a -++-==---111. 【中】通分⑴2269x y ab a bc ，；⑵2216211a a a a -++-，【答案】⑴2222321818acx bya b c a b c ，；⑵()()()()()()2221611111a a a a a a -++-+-， 112. 【中】把12x -，()()123x x -+，()223x +通分过程中，不正确的是（）A ．最简公分母是()()223x x -+ B ．()()()2231223x x x x +=--+ C ．()()()()2132323x x x x x +=-+-+D ．()()()22222323x x x x -=+-+【答案】D113. 【中】通分⑴222111329xy x y x y ，，；⑵()222123a b a ba b -+-+，，【答案】⑴222222692181818x y yx y x y x y ，，；⑵()()()()()()()()222223a b a b a ba b a b a b a b a b a b ++--+-+-+-，，六、列代数式114. 【易】甲瓶盐水含盐量为1a ，乙瓶盐水含盐量为1b，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）A ．2a b ab +B ．a b ab +C ．1abD ．随所取盐水重量而变化【答案】A115. 【易】某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元。

分式的定义和基本性质

分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。

一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。

其中a称为分子，b称为分母。

分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。

分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。

在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。

二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。

例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。

例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。

例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。

例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。

例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。

三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。

将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。

初中数学培优：分式的概念、分式的基本性质(含答案)

分式的概念及性质一、基本知识分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．分式的基本性质：,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷ 分式的运算规律：,b d bc ad b d bd a c ac a c ac ±±=⋅=；b d b c bc a c a d ad ÷=⋅=；()nn n b b a a= 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1．化整为零，分组通分； 2.步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等学习分式时，应注意：(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；（3）分式需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．二、典型例题例1. 若分式2|2|169x x x ---+的值为0，则2x -的值为 11.1.1.1.199A B C D --或或例2 要使分式11||||x x -有意义，则x 的取值范围是．例3 已知122432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（） A ．7 B ．9 C ．13 D ．5例4.已知4,12x y xy +==-,求1111y x x y +++++的值例3计算下列各式： (1) 222231244a b a b a a b a ab b a b---÷+--++(2)443224211b a a b a a b a b a ++++++-；(3)xy z y x z xy z zx y x z y zx y yz x z y x yz x ---+++++-+--++)()()(222222；例4. 先化简，再求值：2222222222()()2a ab ac a b c a b c a ab ab a b a b+-----⋅÷-++-,其中1,2,3a b c ==-=-例5. 已知1110a b -=,求a ab b a ab b+---的值三、能力测试1.当x 任意实数时，下列分式中，一定有意义的是2221111 (112)x x x x A B C D x x x x -+---++ 2.已知分式(1)(3)(1)(3)x x x x -++-有意义，则x 的取值为 .1.3.1A x B x C x ≠-≠≠-且3.1x D x ≠≠-或3x ≠ 3．已知式子1)1)(8(-+-x x x 的值为0，则x 的值为( ) A ．±1 B ．－l C ．8 D ．－1或84.若290x -=，则分式2563x x x -+-的值为 .1.5.15.5A B C D --或5.有理数,x y 满足1xy =,设11,1111x y M N x y x y=+=+++++,则,M N 大小关系是 ....A M NB M NC M ND >=<不确定 6.当代数式2111111a a a ++-+-的值等于零时，a 的值是 1.3.1.1.2A B C D -- 7．化简)5)(4(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1+++++++++++x x x x x x x x 的结果是( ) A ．5642++x x B ．5632++x x C ．5622++x x D ．5612++x x8．若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 值有( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个9.已知226a b ab +=且0,a b >>则a b a b+-的值是...2.2A B C D ±10．已知0221≠+=+b a b a ，则ba 为( ) A ．－1 B ．1 C ． 2 D ．不能确定11．要使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为． 12．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，则所有符合条件的x 值的和为． 13．已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，则a = ，b ＝． 14.当2007,1x y =-=-时，442222_____2x y y x x xy y x y -+⋅=+++ 15.已知2222003,2004,2005a x b x c x +=+=+=,且6024abc =,则111=_____a b c bc ca ab a b c++--- 16.已知118x y+=,则2322x xy y x xy y -+++=__________ 17.已知4,3x y xy +==,则______y x x y += 18.若13x x +=,则221____x x +=, 242______1x x x =++,若2610x x -+=,则221____x x += 19．计算下列各题：（1）1814121111842+-+-+-+--x x x x x ；（2）42241313x x x x x x x x +-+++--+--+；（3（4）ab bc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222；20.若22(3)(2)32x x A B C x x x x x x -+=++-+-+,求有理数,,A B C 的值21.A 与B 的大小。

分式和分式方程知识点总结材料及练习

分式和分式方程知识点总结一、分式的根本概念 1、分式的定义一般地，我们把形如BA的代数式叫做分式，其中 A ，B 都是整式，且B 含有字母。

A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。

分式也可以看做两个整式相除〔除式中含有字母〕的商。

分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不为0的整式，分式的值不变。

MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。

其中，M 是不等于0的整式。

把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。

利用分式的根本性质可以对分式进展化简二、分式的运算 1、分式的乘除分式的乘法法如此分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

DB C A D C B A ••=• 分式的除法法如此分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。

C BD A C D B A D C B A ••=•=÷2、分式的加减同分母的分式加减法法如此同分母的两个分式相加〔减〕，分母不变，把分子相加〔减〕。

BCA B C B A ±=± 异分母的分式加减法法如此异分母的两个分式相加〔减〕，先通分，化为同分母的分式，再加〔减〕。

分式的通分把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个一样的分母叫做这几个分式的公分母。

几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算分式的混合运算，与数的混合运算类似。

先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。

三、分式方程 1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解〔也叫做分式方程的根〕。

3、解分式方程的步骤1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，3.将整式方程的根代入分式方程〔或公分母〕中检验。

初中数学培优：分式的概念、分式的基本性质(含答案)

分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

分式的基本概念及性质.题库教师版

分式的基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +【考点】分式的基本概念【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】根据分式的概念可知，分式的分母中必然含有字母，由此可知1t ，2211x x x -+-，24x x+，21321x x x +--，323a a a +为分式．(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-为整式．注意：3πx-中分母中的π是一个常数，因此它不是分式．2211x x x -+-，323a a a +，分式的概念是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式.【答案】1t ，2211x x x -+-，24x x +，21321x x x +--，323a a a +为分式(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-为整式．【例2】代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个【考点】分式的基本概念【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有211321x x x x y+-+，，.选C【答案】选C二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21nm + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【考点】分式的基本概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】⑴分式有意义的条件是0x ≠；⑵分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-；⑶分式有意义的条件是20a b -≠，即2a b ≠，12a b ≠；⑷分式有意义的条件是210m +≠，即m 为任何实数； ⑸分式有意义的条件是220x y +≠，故0x ≠或者0y ≠；⑹分式有意义的条件是228(4)(2)0x x x x --=-+≠，即4x ≠且2x ≠-；⑺当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果. 分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-【答案】⑴0x ≠；⑵3x≠-；⑶12a b ≠；⑷m为任何实数；⑸故0x≠或者0y≠；⑹4x≠且2x≠-；⑺即3x≠-【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【考点】分式的基本概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】由题意可知，14104x x+=⇒=-，故当14x=-时，分式2141xx++无意义．【答案】14x=-．【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【考点】分式的基本概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】由题意可知，23201x x x-+≠⇒≠且2x≠，故当1x≠且2x≠时，分式2132x x-+有意义．【答案】1x≠且2x≠．【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【考点】分式的基本概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】由题意可知，10x +≠，即1x ≠- 【答案】1x ≠-【例7】要使分式23xx -有意义，则x 须满足的条件为．【考点】分式的基本概念【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】3x ≠ 【答案】3x ≠【例8】 x 为何值时，分式1111x++有意义？【考点】分式的基本概念【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】1101x+≠+且10x +≠，则2x ≠-且1x ≠- 【答案】2x ≠-且1x ≠-【例9】要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值.【考点】分式的基本概念【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =【答案】15a =-或0a =【例10】x 为何值时，分式1122x++有意义？【考点】分式的基本概念【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：120220xx ⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得2x ≠-且52x ≠- 【答案】2x ≠-且52x ≠-【例11】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？【考点】分式的基本概念【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】1202x x+-≠+且20x +≠，则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠-，【答案】则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠-【例12】若分式2501250x x -++有意义，则x ；若分式2501250x x -++无意义，则x ；【考点】分式的基本概念【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】分式有意义，根据题意可得：1102502500x x ⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得251x ≠-且250x ≠-;分式无意义，根据题意可得：110250x+=+或2500x +=,即251x =-或250x =-;【答案】251x ≠-且250x ≠-；251x =-或250x =-【例13】若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【考点】分式的基本概念【难度】3星【题型】选择题【关键词】【解析】33aa- 有意义的条件为30a -≠, 3a ≠. 同理33a a -有意义的条件为3a ≠±.所以33aa-有意义，33a a -不一定有意义，应选D.【答案】D【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【考点】分式的基本概念【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：110330x x ⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x ≠-且4x ≠-;【答案】3x ≠-且4x ≠-【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;【考点】分式的基本概念【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则3x ≠且3x ≠-且4x ≠-;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则3x =或3x =-或4x =-;【答案】（1）3x ≠且3x ≠-且4x ≠-；（2）3x =或3x =-或4x =-三、分式值为零的条件【例16】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑵211x x -+ ⑶33x x --⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+ 【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】⑴101x x +=⇒=-，此时分母不为0，故当1x =-时，原式的值为0；⑵2101x x -=⇒=或者1x =-，但当1x =-时，分母为0，故1x =时，原式的值为0； ⑶由303x x -=⇒=±，又303x x -≠⇒≠，故3x =-； ⑷由2330x +≥>可知，无论x 为何值，分式的值都不为0；⑸由22301x x x +-=⇒=或者3x =-，又101x x -≠⇒≠，故3x =-； ⑹由2402x x -=⇒=±，又2200x x x +≠⇒≠且2x ≠-，故2x =．【答案】⑴1x =-时；⑵1x =； ⑶3x =-；⑷无论x 为何值，分式的值都不为0； ⑸3x =-； ⑹2x =．【例17】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+- ⑸288x x +⑹2225(5)x x --⑺(8)(1)1x x x -+-【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】⑴根据题意可得：21030x x -=⎧⎨+≠⎩，则12x =⑵根据题意可得：2230(1)(2)0x x x x ⎧--=⎨++≠⎩，则3112x x x x ==-⎧⎨≠-≠-⎩或且，所以3x =⑶根据题意可得：260560x x x ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，则6x =-⑷根据题意可得：22160340x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩，则4x =⑸根据题意可得：28080x x =⎧⎨+≠⎩，则0x =⑹根据题意可得：22250(5)0x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，则5x =- ⑺根据题意可得：(8)(1)010x x x -+=⎧⎪⎨-≠⎪⎩，则8x =【答案】⑴12x =；⑵3x =；⑶6x =-；⑷4x =；⑸0x =；⑹5x =-；⑺8x =【例18】若分式41x x +-的值为0，则x 的值为．【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】2010年，昌平一模【解析】4- 【答案】4-【例19】若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】2010年，西城一模【解析】分式为0，则240x+=，2x=-．【答案】2x=-【例20】若分式242xx--的值为0，则x的值为．【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】2010年，朝阳一模【解析】2-【答案】2-【例21】若分式242aa-+的值为0，则a的值为.【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】2010年，大兴二模【解析】2【答案】2【例22】若分式221xx-+的值为0，则x=．【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】【答案】2【例23】若分式221x xx+-的值为0，则x的值为．【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】2010年，房山二模【解析】0【答案】0【例24】若分式231xx++的值为零，则x= ________________.【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】2010年，海淀二模【解析】32-【答案】32-【例25】已知分式11xx-+的值是零，那么x的值是（）A．1 B. 0 C. 1- D. 1±【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】选择【关键词】2010年，平谷二模【解析】A【答案】A【例26】若分式2532xx-+的值为0，则x的值为．【考点】分式值为零的条件【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】52x =【答案】52x =【例27】如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是．【考点】分式值为零的条件【难度】2星【题型】填空【关键词】2010年，石景山二模【解析】2 【答案】2【例28】若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【考点】分式值为零的条件【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】当()()21030x x x ⎧-+≠⎪⎨+≠⎪⎩①②时，原分式的值不为零．由①得：2x ≠且1x ≠-．由②得：3x ≠-．∴若原分式的值不等于零，x 的取值范围是2x ≠且1x ≠-且3x ≠-．【答案】2x ≠且1x ≠-且3x ≠-【例29】若22x x a-+的值为0，则x = . 【考点】分式值为零的条件【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】根据题意可得： 2020x a x +≠⎧⎨-=⎩，即2x =且4a ≠-.【答案】2x =且4a ≠-.【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【考点】分式值为零的条件【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】若分式29113x x-++值为零，3x =.【答案】3x =【例31】若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值. 【考点】分式值为零的条件【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得：220320x x x x ⎧+=⎪⎨++≠⎪⎩，即(1)0(1)(2)0x x x x +=⎧⎨++≠⎩，所以0112x x x x ==-⎧⎨≠-≠-⎩或且，故0x =，代入可得211(1)x =-.【答案】1【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【考点】分式值为零的条件【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得230450550x x x x x ⎧+=⎪⎪+-≠⎨+⎪⎪+≠⎩，解得0x =，若问此分式何时无意义，则3x =-或5x =-或7x =-. 【答案】3x =-或5x =-或7x =-【例33】若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【考点】分式值为零的条件【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】若分式216(3)(4)x x x --+，则()()2160340x x x ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，所以4434x x x x ==-⎧⎨≠±≠-⎩或且，从而4x =.【答案】4x =【例34】若分式233x x x--的值为0，则x = .【考点】分式值为零的条件【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】2333(3)x x x xx x --=--，根据题意可得： (3)030x x x -≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以3x =-.【答案】3x =-【巩固】若分式250011250x x-=++，则x . 【考点】分式值为零的条件【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】分式值为零，根据题意可得：11025025002500x x x ⎧+≠⎪+⎪+≠⎨⎪-=⎪⎩，解得250x =.【答案】250x =【例35】若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.【考点】分式值为零的条件【难度】3星【题型】解答【关键词】2005年，杭州市中考【解析】根据题意可得：2(1)(3)0320m m m m --=⎧⎨-+≠⎩，所以3m =【答案】3m =四、分式的基本性质【例36】填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++= （4）()222x y x y x xy y +=--+ 【考点】分式的性质【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩，解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简：【解析】原式【答案】255x x+【例4】化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】由已知可知，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，，故【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。

(完整版)分式专题讲解(知识点+例题+练习+中考经典题)

分式专题讲解知识点一、分式的概念: 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且除式B 中含有字母，那么式子叫分式。

解读：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；分式A/B 有意义，则B =0(2)分式的分母的值不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；反之，若分式A/B 无意义，则B =0(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．反之，若分式A/B=0，则A =0，且B ≠0例题1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？a ab 2，x 1，3s ，b a a --，πy x +，)(21b a -，)(1z x y -，a-31练习：这些代数式中x -，π4，x a ，y x y x -+2，a 5-，71，2ba -，x -3中，是分式的有（）。

A.3个B.4个C.5个D.6个练习：已知的值。

，求x x x 011=--练习：的值是的值为零，则b 32122---b b b （） A.1 B.-1 C.1± D.2练习：写出一个含字母x 的分式，使得不论x 取何值，分式都有意义。

练习：若0y 3y 21,322是）为负数（）为正数；（）（为何值时，y x xx y -=探索题型：观察下列各等式：323112=+，434122=+，545132=+，656142=+，......，设n 为正整数，试用含n 的等式表示这个规律。

1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于0的整式)．特别提示：(1)在解题过程中，分母不为0是作为隐含条件给出的．若是分式，则说明分母中的字母一定能满足使分母不为0；(2)在运用分式的基本性质时，一定要重点强调分母不为0这个条件，没有给出的，要讨论是否等于0．例题1：下列运算中，错误的是( ).A.2b ab b a =B.b ab ab =2 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D .bc acb a =2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。