计量经济学多元回归分析推断

线性模型假定
研究如何检验那些有关某个特定的j的假设。
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念

定理 4.2 标准化估计量的t分布
在经典线性模型假定下，有
式中，k+1为总体模型中未知参数的个数。
证明：

正态分布：Y~N(μ,σ2)
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ l o g ( w a g e ) 0 . 2 8 40 . 0 9 2 e d u c 0 . 0 0 4 1 e x p e r 0 . 0 2 2 t e n u r e ( 0 . 1 0 4 ) ( 0 . 0 0 7 ) ( 0 . 0 0 1 7 ) ( 0 . 0 0 3 ) n 5 2 6 , R 0 . 3 1 6
虚拟假设：
H : 0 0 j ( 4 . 6 )
兴趣所在。又叫 原假设，零假设
意味着控制了其他自变量后， xj对y没有任何局部效应。
回顾统计学中给出的正态总体的均值的假设检验 t统计量（或t比率）
j
ˆ j t ˆ ˆ) se( j
(4.7)
软件会给出
备择假设
4.2.2对立假设:单侧对立假设
第4章 多元回归分析：推断

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
OLS估计量的抽样分布 检验对单个总体参数的假设：t检验 置信区间 检验关于参数的一个线性组合的假设 对多个线性约束的检验：F检验 报告回归结果
回归分析是要通过样本所估计的参数来代 替总体的真实参数，或者说是用样本回归 线代替总体回归线。 尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重 复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等 于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估 计值不一定就等于该真值。 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值 的差异有多大，是否显著，这就需要进一步 进行统计检验。 主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验 及参数的区间估计。
H : 0 1 j ( 4 . 8 )
并不是不关心j<0 的情形——只是基 于经济理论，对于 该研究，排除了 j<0的可能
临界值——根据显著 性水平和自由度决定 （查表可得G.2）

拒绝法则： 在 t
ˆ
j
c
(4 .9 )
时，H0在某一显著性水平上被拒绝并支持H1
在虚拟假设正确时，
错误拒绝它的概率
工资不可能低于0 ， 何况有最低工资法 案——不具有正态 分布
对变量做一 个变换，比 如log
一般来讲，相对于很大的样本容量来讲，误差的非正态性算 不上一个严重的问题——目前，我们姑且认可正态性假定。
4.1.3 定理

ˆ ) V ar( j
s2
SSTj ( 1R2 j)
定理4.1 正态抽样分布 在经典线性假定下，给定自变量的样本值， 有
2
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
ˆ
2 x
~ tn2
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总 体分布形式作出一个假设，然后利用样本信 息来判断原假设是否合理，即判断样本信息 与原假设是否有显著差异，从而决定是否接 受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息， 观察由此假设而导致的结果是否合理，从而 判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不 易发生”这一原理的。
标准正态分布：Z=（Y-μ）/σ~N(0,1) χ2分布：X=∑Zi2~χn2




t分布：
F分布：
~tn
~Fk1，k2
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
SSR ~ 2 s ˆ
2 n2
s SST sˆ SST
2 x
SSR ~ tn2 2 s (n 2)
n
2 S Tj (x x ) 其中，SSTj为xj的总样本变异 S ij j
因此，
Βιβλιοθήκη Baidu
i 1
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
证明：（仅证明β 1）
ˆ 1
rˆ y
i 1 n 2 ˆ r i1 i 1
n
i1 i
ˆi1ui 1 r
4.1 OLS估计量的抽样分布


已经了解了OLS估计量的期望值和方差—— 有助描述OLS估计量的精密度 要进行统计推断，还需要知道估计量的抽样 分布
4.1.1 正态性假定
样本中自变量的值既定，因而OLS估计量 的抽样分布取决于误差分布 假定MLR.6 正态性 总体误差u独立于解释变量x1，x2，…，xk， 而且服从均值为零，方差为s2的正态分布： 2

u~N ( 0 ,s )
4.1.2 经典线性模型假定

高斯—马尔科夫假定与正态分布假定一起被 称为经典线性模型假定
对参数而言为线性； 随机抽样性；条件均 值为0；不存在完全 共线性；同方差性 经典线性模型
总结经典线性模型假定的一种简洁方法：
在实际应用中，误差不一定具有正态性
例子：考虑劳动力市场上，工资与教育、 工作经历、在现任工作的任职年限的关系
2 ˆ r i1 1 i1ui
ˆi1 r ˆ 可以看作是 u 的线性组合， 其中 i1 ，所以 1 i 2 ˆ ri1 根据 MLR .6，ui是服从正态分布的随机 变量， ˆ 也是服从正态分布的随 机变量。 所以
1
相互独立的正太随机变量的线性组合依然服从正态分布
注意：

的任何线性组合也都是正态分布的。
{ }中的任何一个子集也都具有联合正态 分布。

4.2 检验对单个总体参数的假设：t检验

对总体模型中的某个参数的假设进行检验 总体模型： 假设它满足经典
y x x x u( 4 . 4 ) 0 1 1 2 2 k k

如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可以使用标准正态分布的临界值。

例子：5%的显著性水平，df=n-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
1.701