计量经济学多元回归分析推断
所有计量经济学检验方法
所有计量经济学检验方法
1、回归分析：回归分析是用来确定两个变量之间相关关系的一种统计方法，它能够推断出一个变量对另一个变量的影响程度。
常用的回归检验包括偏直斜率检验、R平方检验、Durbin-Watson检验、自相关检验、Box-Cox检验等。
2、主成分分析：主成分分析（PCA）是一种统计分析方法，用于消除随机变量之间的相关性，从而简化数据分析过程。
常用的方法有二元主成分分析（BPCA）、多元主成分分析（MPCA）
3、因子分析：因子分析是一种统计学方法，用于确定从多个离散观测变量中提取的隐含变量。
常用的因子分析检验包括KMO检验、Bartlett 统计量检验、条件双侧门限统计量检验等。
4、多元分析：多元分析是一种统计学方法，用于探索随机变量之间的关系，常用的多元分析检验包括多元弹性网络（MANOVA）、多元回归（MR）以及结构方程模型（SEM）。
5、聚类分析：聚类分析是一种用于探索研究数据中的结构和特征的统计学方法。
它主要是将数据集分组，以便对数据集中的每组信息单独进行分析。
常用的聚类分析检验有K均值聚类、层次聚类、嵌套聚类等。
6、特征选择：特征选择是一种数据分析技术，用于从大量可能的特征中，选择有效的特征变量。
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
目录
02 内容摘要 04 作者介绍 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
第版
计量经济 学
时间
习题
序列
经典
变量
笔记
教材
笔记 复习
模型
导论
笔记
第章
习题
分析
数据
回归
内容摘要
本书是伍德里奇《计量经济学导论》（第5版）教材的配套电子书，主要包括以下内容：（1）整理名校笔记， 浓缩内容精华。每章的复习笔记以伍德里奇所著的《计量经济学导论》（第5版）为主，并结合国内外其他计量经 济学经典教材对各章的重难点进行了整理，因此，本书的内容几乎浓缩了经典教材的知识精华。（2）解析课后习 题，提供详尽答案。本书参考国外教材的英文答案和相关资料对每章的课后习题进行了详细的分析和解答。（3） 补充相关要点，强化专业知识。一般来说，国外英文教材的中译本不太符合中国学生的思维习惯，有些语言的表 述不清或条理性不强而给学习带来了不便，因此，对每章复习笔记的一些重要知识点和一些习题的解答，我们在 不违背原书原意的基础上结合其他相关经典教材进行了必要的整理和分析。本书特别适用于参加研究生入学考试 指定考研考博参考书目为伍德里奇所著的《计量经济学导论》的考生，也可供各大院校学习计量经济学的师生参 考。
讨
2.1复习笔记 2.2课后习题详解
3.1复习笔记 3.2课后习题详解
4.1复习笔记 4.2课后习题详解
5.1复习笔记 5.2课后习题详解
6.1复习笔记 6.2课后习题详解
7.1复习笔记 7.2课后习题详解
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学中的回归分析方法
计量经济学中的回归分析方法计量经济学是经济学中的一个重要分支，它主要是利用经济数据来进行定量分析。
而对于计量经济学来说，最重要的方法之一就是回归分析。
回归分析方法可以用来寻找变量之间的关系，进而预测未来的趋势和结果。
本文将介绍回归分析方法的基本原理及其在计量经济学中的应用。
回归分析的基本原理回归分析是一种利用数据来寻找变量之间关系的方法，其核心原理是利用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以描述多个自变量与一个因变量之间的关系，如下所示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε其中，Y表示因变量，即需要预测的变量；X1、X2、 (X)表示自变量，即可以通过对它们的变化来预测Y的变化；β0、β1、β2、…、βk表示模型中的系数，它们可以反映每个自变量对因变量的影响；ε表示误差项，即预测结果与真实值之间的差异。
利用回归分析方法，我们可以通过最小化误差项来得到最佳的系数估计值，从而建立一个能够准确预测未来趋势和结果的模型。
回归分析的应用在计量经济学中，回归分析被广泛应用于各个领域。
下面我们以宏观经济学和微观经济学为例，来介绍回归分析在计量经济学中的具体应用。
1. 宏观经济学：用回归分析预测国内生产总值（GDP）国内生产总值是一个国家经济发展的重要指标，因此预测GDP 的变化是宏观经济学研究的重点之一。
在这个领域，回归分析可以用来寻找各种经济因素与GDP之间的关系，进而通过对这些因素的预测来预测GDP的变化。
例如，我们可以通过回归分析来确定投资、消费、进出口等因素与GDP之间的关系，进而利用这些关系来预测未来的GDP变化。
2. 微观经济学：用回归分析估算价格弹性在微观经济学中，回归分析可以用来估算价格弹性。
价格弹性可以衡量消费者对价格变化的敏感度，其计算公式为：价格弹性= %Δ数量÷ %Δ价格例如，如果价格变化1%，相应数量变化1.5%，那么价格弹性就是1.5 ÷ 1 = 1.5。
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
计量经济学4 多元回归分析：推断
1.701
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ ) 0.284 0.092educ 0.0041exp er 0.022tenure log( wage (0.104) (0.007) n 526, R 0.316
2
(0.0017)
(0.003)
标准误
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
4.2.3 双侧对立假设
H1 : j 0 (4.12)
当经济理论（或常识）没有很好的说明j的 符号时，这是一个恰当的对立假设。即便知 道j在对立假设中的符号，采取双侧检验也 是明智的——避免根据回归方程中参数估计 值来提出对立假设。
双尾检验的拒绝法则：
tˆ c
j
(4.13)
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可以使用标准正态分布的临界值。
例子：5%的显著性水平，df=n-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
在显著性水 平是1%时 统计上显著
在显著性水 平是5%时 统计上不显著
小结：t统计量检验显著性原理
如果H0成立， P{｜t｜>t /2}＝ {｜t｜>t /2}是小 概率事件，如果该事 件在一次抽样中就出 现，说明假设H0值得 怀疑，应当拒绝H0
／ 2
／ 2
0
-t／2
拒绝H0
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念
计量经济学多元回归分析案例.pdf
计量经济学多元回归分析案例引言计量经济学是运用数理统计和经济学方法研究经济现象的一门学科。
在实际研究中，多元回归分析是一种常用的方法。
本文将通过一个实际案例来介绍计量经济学中的多元回归分析方法和应用。
研究背景单因素回归分析在计量经济学中，单因素回归分析是最基本的方法之一。
它通过确定一个因变量和一个自变量之间的关系，来解释因变量的变化。
然而，在现实世界中，经济现象往往受到多个因素的影响，因此需要使用多元回归分析来更全面地解释经济现象的变化。
问题陈述本研究的问题是探究某个城市的房价与多个因素之间的关系。
具体来说，我们感兴趣的因变量是房价，自变量包括房屋面积、地理位置、周边设施等。
我们希望通过建立一个多元回归模型来解释房价的变化，并分析不同因素对房价的影响程度。
数据收集为了进行多元回归分析，我们需要收集相关的数据。
在本案例中，我们采集了以下数据：1.房价：通过不同的房地产网站获取该城市的房屋销售数据，包括每个房屋的售价信息。
2.房屋面积：通过购房广告或房产中介提供的信息收集每个房屋的面积数据。
3.地理位置：通过经纬度或邮政编码信息获取每个房屋的地理位置信息。
4.周边设施：通过地图应用或开放的公共数据接口获取每个房屋周边设施（如学校、医院、商场等）的数量和距离信息。
数据预处理在进行多元回归分析前，我们需要对收集到的数据进行预处理。
缺失值处理在数据收集过程中，可能会出现数据缺失的情况。
对于缺失的数据，我们可以选择删除相应的样本，或者通过插补方法进行填充。
在本案例中，我们选择使用均值填充的方法。
数据转换由于多元回归模型要求变量之间具有线性关系，因此我们需要对非数值型数据进行转换。
在本案例中，地理位置可以通过编码转换为数值型变量。
模型建立在进行多元回归分析时，我们需要选择适当的模型来描述因变量和自变量之间的关系。
在本案例中，我们选择使用普通最小二乘法（OLS）来估计回归模型的参数。
模型表达式我们将房价作为因变量（Y），房屋面积、地理位置和周边设施作为自变量（X）。
伍德里奇《计量经济学导论》（第6版）复习笔记和课后习题详解-多元回归分析：推断【圣才出品】
伍德⾥奇《计量经济学导论》（第6版）复习笔记和课后习题详解-多元回归分析：推断【圣才出品】第4章多元回归分析：推断4.1复习笔记考点⼀：OLS估计量的抽样分布★★★1．假定MLR.6（正态性）假定总体误差项u独⽴于所有解释变量，且服从均值为零和⽅差为σ2的正态分布，即：u～Normal（0，σ2）。
对于横截⾯回归中的应⽤来说，假定MLR.1～MLR.6被称为经典线性模型假定。
假定下对应的模型称为经典线性模型（CLM）。
2．⽤中⼼极限定理（CLT）在样本量较⼤时，u近似服从于正态分布。
正态分布的近似效果取决于u中包含多少因素以及因素分布的差异。
但是CLT的前提假定是所有不可观测的因素都以独⽴可加的⽅式影响Y。
当u是关于不可观测因素的⼀个复杂函数时，CLT论证可能并不适⽤。
3．OLS估计量的正态抽样分布定理4.1（正态抽样分布）：在CLM假定MLR.1～MLR.6下，以⾃变量的样本值为条件，有：∧βj～Normal（βj，Var（∧βj））。
将正态分布函数标准化可得：（∧βj－βj）/sd（∧βj）～Normal（0，1）。
注：∧β1，∧β2，…，∧βk的任何线性组合也都符合正态分布，且∧βj的任何⼀个⼦集也都具有⼀个联合正态分布。
考点⼆：单个总体参数检验：t检验★★★★1．总体回归函数总体模型的形式为：y＝β0＋β1x1＋…＋βk x k＋u。
假定该模型满⾜CLM假定，βj的OLS 量是⽆偏的。
2．定理4.2：标准化估计量的t分布在CLM假定MLR.1～MLR.6下，（∧βj－βj）/se（∧βj）～t n－k－1，其中，k＋1是总体模型中未知参数的个数（即k个斜率参数和截距β0）。
t统计量服从t分布⽽不是标准正态分布的原因是se（∧βj）中的常数σ已经被随机变量∧σ所取代。
t统计量的计算公式可写成标准正态随机变量（∧βj－βj）/sd（∧βj）与∧σ2/σ2的平⽅根之⽐，可以证明⼆者是独⽴的；⽽且（n－k－1）∧σ2/σ2～χ2n－k－1。
计量经济学4多元回归分析推断
计量经济学：多元回归分析推断引言多元回归分析是计量经济学中常用的一种分析方法，用于探究多个自变量对一个因变量的影响关系。
本文将介绍多元回归分析的基本概念和原理，并且解释如何使用多元回归分析进行推断。
多元回归模型多元回归模型可以表示为：multivariate_regression_model其中，Y是因变量，表示我们想要解释的变量；X1, X2, …, Xk是自变量，表示对因变量有可能影响的变量；β0, β1, β2, …, βk是回归系数，表示自变量对因变量的影响程度；ε是误差项，表示我们未能观测到的其他影响因素。
多元回归模型的目标是通过估计回归系数，来解释因变量与自变量之间的关系，并且用这个模型进行推断。
多元回归模型的估计多元回归模型的估计可以使用最小二乘法进行。
最小二乘法的基本思想是，通过最小化因变量Y与预测值Y_hat之间的平方差，来求解回归系数的估计值。
最小二乘法估计的求解过程，可以用矩阵表示如下：multivariate_regression_estimation其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，X T表示X的转置，(-1)表示矩阵的逆运算。
多元回归的推断多元回归模型的估计结果可以用于进行推断。
对回归系数进行假设检验，可以判断自变量对因变量是否有显著影响。
常用的假设检验有以下几种：1. 假设检验回归系数是否等于零：用于判断自变量是否对因变量有显著影响。
2. 假设检验回归系数是否等于某个特定值：用于判断自变量对因变量的影响是否等于某个理论值。
3. 假设检验多个回归系数是否同时等于零：用于判断自变量组合的整体影响是否显著。
假设检验的结果通常使用P值进行解释。
如果P值小于预先设定的显著性水平（通常为0.05），则拒绝原假设，认为回归系数是显著不等于零的。
多元回归的解释力度除了进行推断以外，多元回归模型还可以用于解释因变量的变异程度。
通过计算决定系数（R-squared），可以评估自变量对因变量的解释力度。
计量经济学第7章含有定性信息的多元回归分析
第7章含有定性信息的多元回归分析：二值(或虚拟)变量在前面几章中，我们的多元回归模型中的因变量和自变量都具有定量的含义。
就像小时工资率、受教育年数、大学平均成绩、空气污染量、企业销售水平和被拘捕次数等。
在每种情况下，变量的大小都传递了有用的信息。
在经验研究中，我们还必须在回归模型中考虑定性因素。
一个人的性别或种族、一个企业所属的产业（制造业、零售业等）和一个城市在美国所处的地理位置（南、北、西等）都可以被认为是定性因素。
本章的绝大部分内容都在探讨定性自变量。
我们在第7.1节介绍了描述定性信息之后，又在第7.2、7.3和7.4节中说明了，如何在多元回归模型中很容易地包含定性的解释变量。
这几节几乎涵盖了定性自变量用于横截面数据回归分析的所有流行方法。
我们在第7.5节讨论了定性因变量的一种特殊情况，即二值因变量。
这种情形下的多元回归模型具有一个有趣的含义，并被称为线性概率模型。
尽管有些计量经济学家对线性概率模型多有中伤，但其简洁性还是使之在许多经验研究中有用武之地。
虽然我们在第7.5节将指出其缺陷，但在经验研究中，这些缺陷常常都是次要的。
7.1 对定性信息的描述定性信息通常以二值信息的形式出现：一个人是男还是女；一个人有还是没有一台个人计算机；一家企业向其一类特定的雇员提供还是不提供退休金方案；一个州实行或不实行死刑。
在所有这些例子中，有关信息可通过定义一个二值变量(binary variable)或一个0-1变量来刻画。
在计量经济学中，对二值变量最常见的称呼是虚拟变量(dummy variable)，尽管这个名称并不是特别形象。
在定义一个虚拟变量时，我们必须决定赋予哪个事件的值为1和哪个事件的值为0。
比如，在一项对个人工资决定的研究中，我们可能定义female 为一个虚拟变量，并对女性取值1，而对男性取值0。
这种情形中的变量名称就是取值1的事件。
通过定义male 在一个人为男性时取值1并在一个人为女性时取值0，也能刻画同样的信息。
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
计量经济学中的回归分析
计量经济学中的回归分析计量经济学是经济学的一个重要分支，旨在通过运用数学和统计学的方法来研究经济现象。
其中，回归分析是计量经济学中最常用的方法之一，它被广泛应用于经济学研究、市场预测、政策制定等领域。
回归分析的基本思想是建立一个数学模型，通过对样本数据的分析来估计模型中的参数，进而预测或解释变量之间的关系。
在回归模型中，通常将一个或多个自变量与一个因变量相关联。
自变量是能够影响因变量的因素，而因变量则是我们感兴趣的变量。
回归分析的核心是线性回归模型。
线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来解释。
在这种模型中，我们通过最小二乘法来估计回归系数，使得模型的预测值与观测值之间的误差最小化。
然而，在实际应用中，线性回归模型并不总能完全满足我们的需求。
这时，我们可以引入非线性回归模型。
非线性回归模型允许自变量与因变量之间存在非线性关系，通过引入额外的变量或者对自变量进行变换，我们可以更好地描述变量之间的复杂关系。
除了线性和非线性回归模型，还有许多其他类型的回归模型被广泛应用于计量经济学中。
例如，多元回归模型可以同时考虑多个自变量与一个因变量之间的关系；面板数据模型可以用于分析多个个体在不同时间点的数据；时间序列回归模型可以用于分析随时间变化的数据。
回归分析的一个重要应用是预测。
通过建立合适的回归模型，我们可以利用已有的数据来预测未来的变量值。
这对于市场预测、经济政策制定等领域具有重要意义。
例如，通过分析过去几年的销售数据，我们可以建立一个销售额与广告投入之间的回归模型，从而预测未来某个广告投入水平下的销售额。
此外，回归分析还可以用于解释变量之间的关系。
通过分析回归系数的大小和显著性，我们可以判断自变量对因变量的影响程度。
例如，在教育经济学中，我们可以建立一个回归模型来研究教育水平与收入之间的关系，通过分析回归系数，我们可以得出教育对收入的影响程度。
然而，回归分析也存在一些限制和假设。
计量经济学(2012B)(第二章多元线性回归)详解
2 2i
n
n
2 i
i ( yi ˆ1x1i ˆ2 x2i )
i 1
i 1
n
i yi
n
(
y
ˆ x
ˆ x
) y
i1
i
1 1i
2 2i
i
i 1
n
y 2
(ˆ
n
x
y
ˆ
n
x
y )
i1
i
1 i1 1i i
2 i1 2 i i
TSS ESS
2.5 单个回归参数的置信区间 与显著性检验
一、置信区间
H (4)
的拒绝域为：
0
F F (2, n 3)
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
，则拒绝 H ， 0
认为回归参数整体显著；
H 若 F F (2, n 3)
，则接受
，
0
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
yˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i
Sˆj : 或 t:
模型的估计效果. (5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两个
量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别? (6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均
重量是多少？ yˆ 5.2415 f
（磅）
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
(0.1527) (0.0439)
(0.5928) (9.6989)
(0.0027) (3.1550)
R2 0.9855, R2 0.9831 ， F 408.9551
计量经济学-多元线性回归分析
yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei 其矩阵形式为
i=1,2…n
y xβˆ e
其中 ：
y1
y
y2
yn
x11
x
x12
x 21
x 22
xk1 xk2
x1n x2n xkn
ˆ1
βˆ
ˆ 2
ˆk
在离差形式下，参数旳最小二乘估计成果为
模型中解释变量旳数目为（k）
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
也被称为总体回归函数旳随机体现形式。它 旳 非随机体现式为:
E(Yi | X 2i , X 3i , X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
方程表达：各变量X值固定时Y旳平均响应。
0.17033
2.652155 0.0157
R-squared
0.9954 Mean dependent var
928.4909
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟随机误差项旳方差旳无偏估计
能够证明，随机误差项旳方差旳无偏估计量为
ˆ 2 ei2 ee
nk nk
四、参数估计量旳性质
在满足基本假设旳情况下，其构造参数旳一般
最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。
ˆ1
Байду номын сангаас
Q0
ˆ2
Q
3计量经济学(多元回归分析估计)
拟合优度
• 拟合优度：样本方差中被OLS回归线所解释的部分。
n
R2
( yˆ
y)
(y
y)
i 1
n
i 1
n
(y
i 1
i
y)
i
i
2
n
uˆ
2
1
2
i 1
n
(y
i
i 1
n
( yˆ
i 1
i
y)
2
2
i
y )2
n
uˆ
i 1
2
i
• 拟合优度介于0和1之间。
– 无论模型中包含了多少解释变量，总有一些因
素无法被包括进来，所有这些因素就包括在了
误差项中。
– 线性是指回归方程是诸参数的线性函数。
– 参数的解释，例4：
log( salary ) 0 1 log sales 2 ceoten 3ceoten 2 u
•
1
是其他条件不变的情况下薪水对销售量的弹性。
ˆ
0
i 1
i 1
n
n
L
2 xim rˆij 0 xim rˆij 0, m j
ˆ m
i 1
i 1
n
n
x rˆ (ˆ
ij ij
i 1
i 1
0
ˆ1 xi1 ˆ j 1 xi , j 1 ˆ j 1 xi , j 1 ˆ k xik rˆij )rˆij
Ƹ 是样本自变量的函数，因此
rˆ y
rˆ u
i n
ˆ j
n
计量经济学复习要点 (1)
计量经济学复习要点参考教材：伍德里奇 《计量经济学导论》 第1章 绪论数据类型：截面、时间序列、面板用数据度量因果效应，其他条件不变的概念习题：C1、C2 第2章 简单线性回归回归分析的基本概念，常用术语现代意义的回归是一个被解释变量对若干个解释变量依存关系的研究，回归的实质是由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值。
简单线性回归模型是只有一个解释变量的线性回归模型。
回归中的四个重要概念1. 总体回归模型（Population Regression Model ，PRM)t t t u x y ++=10ββ--代表了总体变量间的真实关系。
2. 总体回归函数（Population Regression Function ，PRF ）t t x y E 10)(ββ+=--代表了总体变量间的依存规律。
3. 样本回归函数（Sample Regression Function ，SRF ）tt t e x y ++=10ˆˆββ--代表了样本显示的变量关系。
4. 样本回归模型（Sample Regression Model ，SRM ）tt x y 10ˆˆˆββ+=---代表了样本显示的变量依存规律。
总体回归模型与样本回归模型的主要区别是：①描述的对象不同。
总体回归模型描述总体中变量y 与x 的相互关系，而样本回归模型描述所关的样本中变量y 与x 的相互关系。
②建立模型的依据不同。
总体回归模型是依据总体全部观测资料建立的，样本回归模型是依据样本观测资料建立的。
③模型性质不同。
总体回归模型不是随机模型，而样本回归模型是一个随机模型，它随样本的改变而改变。
总体回归模型与样本回归模型的联系是：样本回归模型是总体回归模型的一个估计式，之所以建立样本回归模型，目的是用来估计总体回归模型。
线性回归的含义线性：被解释变量是关于参数的线性函数（可以不是解释变量的线性函数）线性回归模型的基本假设简单线性回归的基本假定：对模型和变量的假定、对随机扰动项u 的假定（零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定）普通最小二乘法（原理、推导）最小二乘法估计参数的原则是以“残差平方和最小”。
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4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
OLS估计量的抽样分布 检验对单个总体参数的假设：t检验 置信区间 检验关于参数的一个线性组合的假设 对多个线性约束的检验：F检验 报告回归结果
回归分析是要通过样本所估计的参数来代 替总体的真实参数，或者说是用样本回归 线代替总体回归线。 尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重 复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等 于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估 计值不一定就等于该真值。 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值 的差异有多大，是否显著，这就需要进一步 进行统计检验。 主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验 及参数的区间估计。
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ l o g ( w a g e ) 0 . 2 8 40 . 0 9 2 e d u c 0 . 0 0 4 1 e x p e r 0 . 0 2 2 t e n u r e ( 0 . 1 0 4 ) ( 0 . 0 0 7 ) ( 0 . 0 0 1 7 ) ( 0 . 0 0 3 ) n 5 2 6 , R 0 . 3 1 6
标准正态分布：Z=（Y-μ）/σ~N(0,1) χ2分布：X=∑Zi2~χn2
t分布：
F分布：
~tn
~Fk1，k2
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
SSR ~ 2 s ˆ
2 n2
s SST sˆ SST
2 x
SSR ~ tn2 2 s (n 2)
u~N ( 0 ,s )
4.1.2 经典线性模型假定
高斯—马尔科夫假定与正态分布假定一起被 称为经典线性模型假定
对参数而言为线性； 随机抽样性；条件均 值为0；不存在完全 共线性；同方差性 经典线性模型
总结经典线性模型假定的一种简洁方法：
在实际应用中，误差不一定具有正态性
例子：考虑劳动力市场上，工资与教育、 工作经历、在现任工作的任职年限的关系
4.1 OLS估计量的抽样分布
已经了解了OLS估计量的期望值和方差—— 有助描述OLS估计量的精密度 要进行统计推断，还需要知道估计量的抽样 分布
4.1.1 正态性假定
样本中自变量的值既定，因而OLS估计量 的抽样分布取决于误差分布 假定MLR.6 正态性 总体误差u独立于解释变量x1，x2，…，xk， 而且服从均值为零，方差为s2的正态分布： 2
工资不可能低于0 ， 何况有最低工资法 案——不具有正态 分布
对变量做一 个变换，比 如log
一般来讲，相对于很大的样本容量来讲，误差的非正态性算 不上一个严重的问题——目前，我们姑且认可正态性假定。
4.1.3 定理
ˆ ) V ar( j
s2
SSTj ( 1R2 j)
定理4.1 正态抽样分布 在经典线性假定下，给定自变量的样本值， 有
ˆ
2 x
~ tn2
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总 体分布形式作出一个假设，然后利用样本信 息来判断原假设是否合理，即判断样本信息 与原假设是否有显著差异，从而决定是否接 受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息， 观察由此假设而导致的结果是否合理，从而 判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不 易发生”这一原理的。
n
2 S Tj (x x ) 其中，SSTj为xj的总样本变异 S ij j
因此，
i 1
ˆ ˆ ( ) / sd ( ) ~ N ( 0 , 1 ) j j j
证明：（仅证明β 1）
ˆ 1
rˆ y
i 1 n 2 ˆ r i1 i 1
n
i1 i
ˆi1ui 1 r
2 ˆ r i1 1 i1ui
ˆi1 r ˆ 可以看作是 u 的线性组合， 其中 i1 ，所以 1 i 2 ˆ ri1 根据 MLR .6，ui是服从正态分布的随机 变量， ˆ 也是服从正态分布的随 机变量。 所以
1
相互独立的正太随机变量的线性组合依然服从正态分布
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会 接近标准的正态分布——df大于120， 就可-k-1=28，临 界值c=1.701
面积 =0.05
0
1.701
注意：
的任何线性组合也都是正态分布的。
{ }中的任何一个子集也都具有联合正态 分布。
4.2 检验对单个总体参数的假设：t检验
对总体模型中的某个参数的假设进行检验 总体模型： 假设它满足经典
y x x x u( 4 . 4 ) 0 1 1 2 2 k k
虚拟假设：
H : 0 0 j ( 4 . 6 )
兴趣所在。又叫 原假设，零假设
意味着控制了其他自变量后， xj对y没有任何局部效应。
回顾统计学中给出的正态总体的均值的假设检验 t统计量（或t比率）
j
ˆ j t ˆ ˆ) se( j
(4.7)
软件会给出
备择假设
4.2.2对立假设:单侧对立假设
2
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
线性模型假定
研究如何检验那些有关某个特定的j的假设。
是总体未知的特征， 而且永远不会确定的 知道它们。但可以做 出假设，然后通过统 计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念
定理 4.2 标准化估计量的t分布
在经典线性模型假定下，有
式中，k+1为总体模型中未知参数的个数。
证明：
正态分布：Y~N(μ,σ2)
H : 0 1 j ( 4 . 8 )
并不是不关心j<0 的情形——只是基 于经济理论，对于 该研究，排除了 j<0的可能
临界值——根据显著 性水平和自由度决定 （查表可得G.2）
拒绝法则： 在 t
ˆ
j
c
(4 .9 )
时，H0在某一显著性水平上被拒绝并支持H1
在虚拟假设正确时，
错误拒绝它的概率