第2章 电路基本定律

γix f)
2. 典型支路欧姆定律： 假设图2-6 a）所示典型支路中，支路电压u与支路电 流i的参考方向取关联方向，则有如下关系称为典型 支路欧姆定律（简称VCR）。
u us R i is
注意： 支路电压与支路电流必须取关联参考方向。假如支路电压 与支路电流的参考方向不关联，公式前加一个“-”号。 图中，电压源为0用短路线代替；电流源为0用开路代替； 使用公式，如遇受控源可当成普通电源对待，但方程中将 隐含未知量。 注意支路电压u与支路电流i的准确位置。
例 2-3 利用典型支路欧姆定律 u ab ? 求解图2-7电路中的未知电压
a
5A 10Ω
+
10V
-
b
1A
图2-7 典型支路欧姆定律的应用
解：由公式（2-6），u ab R(i is ) u s 70V
例 2-4 图2-8电路中含有受控源，试用典型支路欧姆 定律求解的未知电压u=？ 4μ
10A
•
i2
4–7–i1= 0
i1= –3A
4A
-12A
i1+i2–10–(–12)=0 i2=1A
KCL可推广到一个封闭面（平面电路）， 或封闭球体（黑匣子、立体电路）： -i1-i2-i3=0
(其中电流必有正负)
i1
网络
a)
b)
图2-4 扩展应用KCL定律
三、基尔霍夫电压定律 (KVL)：在任何集总参数电路中，在任 一时刻，沿任一闭合路径( 按固定绕向 )， 各支路电压的 代数和为零。 即 u(t ) 0 例: R2 + US1 _ R1 I1 I4 _ U + S4 R4 R3 I2 首先选定一个绕行方向，表示 电压下降的方向.如： 顺时针方向绕行:

u
k 1
b
k
ˆ ik 0
和
ˆ u
k 1
b
k
ik 0
(似功率平衡关系 )
证明：
+

uk
ik
–


+



uk

–


ik
uk = un - un ， ik = i 则
iβα iαβ , i k i αβ ,
uk i k unα i k unβ i k
(3) KCL表明在每一节点上电荷是守恒的；KVL是电
位单值性的具体体现(电压与路径无关)。 (4) KCL、KVL只适用于集总参数的电路。
[每节思考] 如何理解“支路呈现一端口结构”这句话？ 讨论KCL定律2种形式的区别？ 讨论KCL定律对“黑匣子”和封闭曲面的扩展 应用？ 讨论KVL定律3种形式的区别？
2.2 典型支路欧姆定律 1. 典型支路： 如图，一个电阻器串联一个电压源，再并联 一个电流源的组合叫典型支路，简称支路。
注1： 支路研究是电 路的“细胞”
i
R
+
Us
-
R
+
Us
-
is
a) R
b)
R
is
注2：
R
c) μUx
d)
+
-
R
+
Us
支路电流参考 方向画反了！
-
is
e) 图2-6 典型支路的定义
+ 3V – 5A R2
2A RL 2V –
解:
采用倒推法：设i'=1A，推出此时us'=34V。 则
i us ' i' us
us 51 即 i ' i' 1 1.5V us 34
2.3.3线性定律
公式表达为：
f x k m f um k n f in
显然，线性定律是叠加原理和齐性原理的综合。 [每节思考] 在运用叠加原理时，为什么每个独立电源的贡 献只能考虑一次？ 齐性原理只能应用于单一电源的电路吗？ 你能否找到一个利用叠加原理或齐性原理解题 反而麻烦的例子，是否说明线性定律意义不大 ？
x
a
5A
10Ω
+
-
b
1A
图2-8 含有受控源的典型支路分析
解：由公式（2-6），
u u ab R(i is ) 4 u x 60V 4 u x
*可见答案中还隐含电路其他部分的未知 量电压，只有通过其他部分电路的分析找到 新的关系式才能求解。
[每节思考] 仅仅使用基尔霍夫定律，不使用支路欧 姆定律，可以解出电路中全部的支路电压 和支路电流未知量吗？ 列出支路欧姆定律的全部变形公式？ 含有受控源的支路欧姆定律有何变化？
2. 4 功率守恒定律
2.4.1功率守恒定律
特勒根第一定理：如下式，其中各支路的电压与
电流取关联参考方向。则在任一瞬间，任一电路中的全 部支路所吸收的瞬时功率的代数和为零。
k 1
pk uk i k 0
k 1
b
b
特勒根第一定理实质上表达了在一个电路系统中，电源 提供（或发出）的功率与电路吸收的功率相等，就整个 系统而言功率是守恒的。
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独 立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 公式表达为：
f x kum usm kinisn f um f in
*当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零 值。电压源看作短路，而电流源看作开路。
举例如下图：有 i1=i1'+i1"+i1"' i2=i2'+i2"+i2"' i3=i3'+i3"+i3"'
当三个电源共同作用：
i1 R1 + us1 – i3 i1' i3'
i2
ia
R2 + – us2
ib
R3 + us3 –
=
R1
+ us1 –
i2'
来自百度文库R2
R3
+
us1单独作用
i1'' R1 i2'' R2 + – i3'' R3 i1''' i3'''
U 0
–R1I1–US1+R2I2–R3I3+R4I4+US4=0 –R1I1+R2I2–R3I3+R4I4=US1–US4
I3
即
U
R
U S
电源压升
电阻压降
或：
u e
推论：电路中任意两点间的电压等于：经过两点间任一路
径的各元件电压的代数和。元件电压降方向与两点
间电压参考方向一致取正号，相反取负号。 A
一 、 几个名词：(定义) 1. 支路 (branch)：电路中通过同一电流的每个分支。 (b) a + + b=3 uS1 注： uS2 _ _ 2 n=2 1 支路是电路 R3 3 的“细胞” R1 R2 l=3 b 2. 节点 (node): 三条或三条以上支路的连接点称为节点。( n ) 3. 路径(path)：两节点间的一条通路。路径由支路构成。 4. 回路(loop)：由支路组成的闭合路径。( l ) 5. 网孔(mesh)：对平面电路，每个网眼即为网孔。 网 孔是回路，但（立体电路的）回路不一定是网孔。

i βα i αβ

unα i αβ unβ i αβ unα i αβ unβ i β α
k 1
uk i k ( unα i αβ unβ i βα )
所有支路
b



将 所 有 支 路 k i k 相 乘, 对 节 点 , 与 unα 相 乘 项 之 和 一 定 是 u α unα ( i α ). 其 中, i α 表 示 联 接 在 节 点 上 的 所 有 支 路 电 α 流 的 代 数 和 根 据KC L, i α 0 , 所 以 有 nα ( i α ) 0. 同 . u 理 可 证 对 其 余 节 点 此 也 成 立, 即 式
2
2
可见，功率p与电压u或电流i不是线性比例关系。 叠加原理也适用于工程测量，可充分利用各个分电路的中间测 量数据，叠加后求取最终结果。 同学们应当认识到：叠加原理的重要性在于它为电路理论提供 了重要的理论基础，利用它形成一种解题技巧反倒是次要的。 事实上，很多情况下利用叠加原理分析电路不一定简单高效。
2.3 线性定律 前言： 可以证明，线性电路以支路电压或支路电流为未知 量的方程是一组线性方程。根据线性代数知识，线 性方程组的解具有所谓“可加性”与“齐性”。 将这两个重要性质落实到电路分析中，就得到本节 介绍的“叠加原理”和“齐性原理”，二者合一， 就得到“线性定律”。
2.3.1 叠加原理
叠加原理的运用要点总结如下： 首先将独立电源分组（最一般的分组方案是一个电源一组） ，分组的原则是相应的“分电路”易于求解。 画出各组电源单独作用时的“分电路”。在分电路中，将暂 不考虑的电源“置零”，即：独立电压源短路、独立电流源开 路，电路其他部分不变（包括受控源）。 在各个“分电路”中，电压与电流的参考方向与原电路相同 ，所求响应在叠加时，应注意根据原有参考方向确定各个分量 的±号，并求取代数和。 u pi R 叠加原理不适用于功率的计算。由电阻的功率计算公式 R
1
4 –
1
4
R1
us1
N
N
2 4 1 6 5 4 两个电路支路与节点联接关系相同： 假设两个电路中对应支路电压 方向相同，支路电流均取和支路电 压相同的参考方向。
2
3
3
1 2. 特勒根第二定理：
电路N ( N )的所有支路中的每一支 路的电压uk (u k ) 与电路 N ( N )中对应的支路中的i k ( i k )的乘积之和为零 (且各支路取关联方向 即 ),
第二章 电路基本定律 2.1 基尔霍夫定律 ( Kirchhoff’s Laws )
包括基尔霍夫电流定律(Kirchhoff’s Current
Law—KCL ) 和 基 尔 霍 夫 电 压 定 律 (Kirchhoff’s Voltage Law—KVL )。它反映了电路中所有支路电
压和电流的约束关系，是分析集总参数电路的基本定 律。基尔霍夫定律、欧姆定律、线性定律、功率守恒 定律构成了电路分析的基础。
例2. 求电压Us。
+ 10V –
I1
6
+ 4
10 I1
– + 4A
Us –
解: (1) 10V电压源单独作用： (2) 4A电流源单独作用：
I1 ' + 10V – 4
6
+
10 I1' – + Us' –
I1''
6
10 I1'' + –
4 + Us'' – 4A
Us"= -10I1"+2.44 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V Us'= -10 I1'+4= -101+4= -6V
+
R1
i2'''
R2
us2
R3 + us3 –
us2单独作用
us3单独作用
6
例1. 求图中电压u。 10V+ –
+ 4 u –
4A
解: (1) 10V电压源单独作用，4A电流源开路
u'=4V (2) 4A电流源单独作用，10V电压源短路 u"= -42.4= -9.6V 共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V 6 6 + 10V – + 4 u' – + 4 u'' – 4A

l1

l2 B
UAB (沿l1)=UAB (沿l2）
电位的单值性
*KVL定律实质上说明电路两点之间电 压的计算与路径无关，可以选不同路径 ，但两点间电压计算结果相同。
KCL、KVL小结：
(1) KCL是对支路电流的线性约束，KVL是对支路电压 的线性约束。 (2) KCL、KVL与组成支路的元件性质及参数无关。
注意：特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u， I 满足KCL,KVL即可。
选修：特勒根第二定理(Tellegen’s Theorem)
1.具有相同拓扑结构（特征）的电路
两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路 与节点的联接关系也相同。 R4 R2 R6 3 2 R5 R3 + R4' 2 R6' + us6 – is2 3 R1' R5' R3'
二、基尔霍夫电流定律 (KCL)：在任何集总参数电路中，在 任一时刻，流出(流入)任一节点的各支路电流的代数和为 零。 即： i(t) 0
例:
i1
i2 •
i4
i3
令流出电流为“+”(支路电流背离节点) –i1+i2–i3+i4=0 i1+i3=i2+i4
即 i i
入
出
物理基础:电荷守恒，电流连续性。 7A • i1
2.3.2齐性原理（homogeneity property):
1.线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样 的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样 的倍数。
例3.
2.当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 R1 21A R1 8A R 3A
1
i
i'=1A +
+ 21V – + 8V – RL=2 R1=1 R2=1 us=51V + + R2 13A R2 us us'=34V – – 求电流i 。