中考数学专题讲义图形平移类

图形平移类联想融通：图形平移与函数相结合，会提出哪些什么问题呢？目的是考查什么呢？怎么解答？既然有是平移，一定用平移的性质：图形各点的平移距离相等、对应边相等，对应角相等这些相等关系；连结对应点的线段平行（或在同一直线上）、平移前后图形的对应边平行（或在同一直线上）等平行关系。

与函数相结合，就要找运动中随时间变化的量与时间之间的关系（如面积）。

解法归一：先画图形，再利用平移中的性质找等角、等线段、全等、相似，利用面积公式或部分之和等于整体建立函数关系。

一、平移集合图形类例27-1-1 如图27-1-1，在平面直角坐标系xOy中，一直直线xyl21:1=与直线6:2+-=xyl相交于点M，直线2l与x轴相交于点N。

（1）求M、N的坐标。

（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束），求S与自变量t之间的函数关系式。

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值。

交流分享：（1）借助一次函数得到△OMN的边ON的长、点M的坐标、得到ON上的高、点M到O的水平距离；(2)本问的研究与直角坐标系、已知的两个一次函数没有了关系，只研究矩形ABCD与△OMN的重叠面积了，其他和前面的动点一样：“用相似求高、用面积公式求重叠面积”例27-1-2 如图27-1-2①，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一个点E ，顶点M 的坐标为（2,4）；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在已知x 轴、y 轴上，且AD =2，AB =3，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图27-1-2所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N (如图27-1-2②)。

①当t =25时，判断点P 是否在这个抛物线上，并说明理由；②设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

交流分享：题目不算难，突出问题是分类不全，分析每个顶点的运动情况，加记住没点平移距离相等这一平移的性质可矣。

体验与感悟27-11.如图27-1-3，抛物线c=2)1(与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，顶-xy+-点为D，已知A（-1，0），(1)点B为（________）,点C为（______）;(2)△CDB的形状是________________(3)将△C0B沿x轴向右平移t个单位长度（0<t<3）得到△QPE.△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.2.如图，已知矩形OABC的顶点A为（0,2），C为（6,0），在OC上取点D将△AOD沿AD 翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M,N.(1)点D坐标是（_______）,点E坐标是（_______）(2)如图27-1-4①，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在请求出M点坐标；若不存在请说明理由；(3)如图27-1-4②，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN得面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的的自变量x的取值范围.3.如图27-1-5，矩形EFGH 的边EF =6cm ，EH =3cm ，在平行四边形ABCD 中，在BC =10cm ，AB =5cm ，sin ∠ABC =53，点E 、F 、B 、C 在同一直线上，且FB =1cm ，矩形从F 点开始以1cm /s的速度沿直线FC 向右运动，当边GF 所在直线到达D 点时即停止．（1）直接写出矩形的一边恰好通过平行四边形ABCD 的边AB 或CD 的中点的时间：__________．（2）若矩形运动的同时，点Q 从点C 出发沿C -D -A -B 的路线，以0.5cm /s 的速度运动，矩形停止时点Q 也即停止运动，则点Q 在矩形一边上运动的时间为_________s ？（3）在矩形运动过程中，①当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，求出重叠部分面积S （cm 2）与运动时间t （s ）之间的函数关系式，并写出时间t 的范围．②是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S =16.5cm 2？若存在，求出时间t ，若不存在，说明理由．4.已知抛物线c ax ax y +-=22与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且OA OC 3=.(1)求出抛物线的函数表达式；(2)直接写出直线BC 的函数表达式；(3)如图27-1-6①，D 为y 轴的负半轴的一点，且OD =2,以OD 为边作正方形ODEF ，将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方形移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为S ，运动的时间为t 秒（1<t ≤2）.求：①S 与t 之间函数关系式； ②在运动过程中，S 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由.（4）如图27-1-6②，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.5.已知，E为矩形ABCD的BC边上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F在线段BE上，EF=7,连接AF.如图27-1-7①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90o，NG=6，MG=8，斜边MN 与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图27-1-7②，△GMN从图27-1-7①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.运动时间为t：（1）当点G在线段AE上时，t=_______（2）是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S.请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.6.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）△AED的周长为________；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设移动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方E的对应点为E1，设直线向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．提醒：思考，平移几何图形的题目有何共通之处？二、移动抛物线联想融通：移动抛物线类题的共性是什么？它和上面的移动几何图形有什么相似之处？移动抛物线类题目的共性是a 不变；题目一般分为三类，其一是由点变化带动抛物线的变化，如例27-1-1，其二是抛物线沿某条直线平移，如例27-2-2；其三是先向左平移再向右平移，如体验与感悟27-1第1题.与平移其他几何图形一样，抛物线的平移只要抓关键点即可，如顶点与坐标轴交点等. 解法归一：注意利用二次函数的性质，其他与八单元无异例27-2-1 如图27-2-1，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t >0）秒，抛物线c bx x y ++=2经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1,0）、B （1，-5）、D （4,0） （1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S ＝821；（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围．交流分享：（1）略；（2）①看∠AMP 的正切值是否变化来断定；②用四边形AMNP 面积减去△AMP 的面积，或记MP 与CD 交于点Q ，用△QMN 的面积加上△NQP 的面积；③用恰等分“好点”数量特殊位置试值如（2，-2），（3，-2）例27-2-2如图27-2-2，已知直线121+=x y 交坐标轴于A ，B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点C ，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上C ，E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．交流分享：（1）过点D 向y 轴做垂线得一个与△AOB 全等的△，过点C 同理；（2）略；（3）忽略抛物线后画图；（4）把B `C `E `位置发现CE 弧所扫过的面积，等于BC 所扫过的面积.体验与感悟27-21.已知抛物线：x x y 22121+-=（1）求抛物线y 1的顶点坐标．（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式．（3）如图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图27-2-4，如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．（1）填空：点D的坐标为_______，点E的坐标为_______．（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．（3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．3.如图27-2-5，如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A 点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图27-2-6，抛物线x x y 2212+=与x 轴相交于B 、O （O 为坐标原点），顶点为A ，连接OA （1）求点A 的坐标和∠AOB 的度数；（2）若将抛物线x x y 2212+=向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m ，其顶点为点C ．连接OC 和AC ，把△AOC 沿OA 翻折得到四边形ACOC ′．试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C ′是否在抛物线x x y 2212+=上，请说明理由；（4）若点P 为x 轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q ，使以点O 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线c bx x y ++-=221（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角△ABC 的直角顶点B 在第四象限，A 、C 的坐标分别为（0，-1），（4,3）（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；6.如图27-8，已知直线与坐标轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O运动（运动到O点停止）；顶点为M的抛物线h=2)(（a<0）的对称轴经过点A，且始终经过点E过E作E G∥O A交抛物线于点G，交A B于点F，连结D E、D F、A G、B G．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，运动时间为t秒．y+-kxa出发向O运动（运动到O点停止）；顶点为M的抛物线h-=2)(（a<0）的对称轴经y+akx过点A，且始终经过点E过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，运动时间为t 秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．提醒：思考，平移抛物线与平移几何图形的题目有和共通之处？又有何不同之处？。